空間向量與立體幾何+本章練測(數(shù)學(xué)人B選修21)

1、第三章空間向量與立體幾何（數(shù)學(xué)人b 選修 2-1）建議用時(shí)實(shí)際用時(shí)滿分實(shí)際得分120 分鐘150 分一、選擇題 （本大題共 10 小題，每小題 5 分，共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在正方體 abcd-a1b c d中，若 e 為 a c中點(diǎn)，則直線ce 垂直于（）11111a acb bdc a 1dd a 1a2.在正方體 abcd-a1b c d中， o 是底面 abcd 的中心， m 、n 分別是棱 dd、d c的中111111點(diǎn)，則直線 om （）a 和 ac 、 mn 都垂直b垂直于ac ，但不垂直于mnc垂直于mn ，但不垂直于acd與 a

2、c 、 mn 都不垂直3.如圖所示， 已知空間四邊形abcd 中，向量=a， =b ， c，若 m 為 bc 中點(diǎn)，g 為 bcd的重心，用 a、b、c 表示向量a. （ a+b-2c ） b.a+b-2cc.（ a+b-c ）d.（ a+b+2c ）4下列各組向量中不平行的是（）a a(1,2,2), b ( 2, 4,4)b c(1,0,0),d(3,0,0)c e( 2,3,0),f(0,0,0)d g(2,3,5), h(16,24,40)53,1, 4)，則點(diǎn)a關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）已知點(diǎn) a(a (3, 1,4)b (3,1,4)c (3,1,4) d (3,1, 4)6若向

3、量 a(1,2), b(2,1,2) ，且 a 與 b 夾角的余弦值為8 ，則等于（）9a 2b2c2 或2d 2或255557若 a (1,2,1)， b(4,2,3)， c (6,1,4)，則 abc 的形狀是（）a 不等邊銳角三角形b 直角三角形c鈍角三角形d 等邊三角形uuur8若 a ( x,5x,2x1) ， b (1, x2,2x 的值等于（）x) ，當(dāng) ab 取最小值時(shí)，a 19 b 87819cd7149空間四邊形 oabc 中， oboc ， aobaocuuur uuur，則 cos 的值是3（）1b21a cd 022210.在下列條件中，使m 與 a 、 b 、c 一

4、定共面的是（）a om2oaob ocb om1 oa1 ob1 oc532c mambmc0d omoaoboc0二、填空題 （本大題共4 小題，每小題 5 分，共20 分 .把答案填在題中橫線上）11.若向量 a (4,2,4), b(6,3,2) ，則 (2 a3b) ?( a2b) _.12.若向量 a = 2ijk ， b = 4i9 j k ，則這兩個(gè)向量的位置關(guān)系是_.13.已知向量 a(2,1,3), b(4,2, x) ，若 ab ，則 x_；若 a / / b ,則 x _.14.已知正方體 abcd a1b1c1 d1 的棱長是，則直線da1 與 ac 間的距離為 .三、

5、解答題 （解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟，共80 分）15（. 10 分）已知四棱錐 pabcd 的底面為直角梯形，ab / dc ，dab 90 , pa 底面 abcd ，且 paaddc1， ab 2 ， m 是 pb 的中點(diǎn) .（1）證明：面pad面 pcd ；（2）求 ac 與 pb 所成角的余弦值；（3）求面 amc 與面 bmc 所成二面角的余弦值.16（10 分）如圖，在四棱錐vabcd 中，底面abcd 是正方形，側(cè)面vad 是正三角形,平面 vad底面abcd （1）證明：ab平面 vad ；（2）求面 vad 與面 vdb所成的二面角的余弦值17（ 10 分）如圖

6、，在四棱錐pabcd 中，底面abcd 為矩形，側(cè)棱pa底面abcd ，ab3 ，bc1， pa2 ，e 為 pd 的中點(diǎn) .（1）求直線ac 與 pb 所成角的余弦值；第 17 題圖（2）在側(cè)面 pab內(nèi)找一點(diǎn)n ，使 ne面 pac ，并求出點(diǎn)n 到 ab 和 ap 的距離 .18（ 10分）如圖所示的多面體是由底面為abcd 的長方體被截面aec1f所截而得到的，其中ab4, bc2,cc13,be1.（1）求bf的長；第 18 題圖（ 2）求點(diǎn) c 到平面 aec1f 的距離 .19（ 10分） 如圖，已知矩形abcd所在平面外一點(diǎn)p ， pa平面abcd ， ab=1， bc=2，p

7、a=2， e 、f分別是ab、 pc 的中點(diǎn)（ 1）求證：ef 平面pad ；第 19 題圖（2）求證： cd ef；（3）求 ef 與平面 abcd 所成的角的大小20（ 10 分）如圖所示，已知四棱錐 p-abcd 的底面為等腰梯形， abcd ，acbd ，垂足為 h ， ph 是四棱錐的高， e 為 ad 中點(diǎn) .（1）證明： pebc；第 20 題圖（2）若 apb = adb 60，求直線pa 與平面 peh 所成角的正弦值.21（ 10分）如圖所示，在四棱錐p-abcd中， ab 平面pad， pd=ad， e 為pb 的中點(diǎn)，向量=，點(diǎn)h 在 ad上，且=0.（1）求證:ef平

8、面pad.第 21 題圖（ 2）若 ph= ，ad =2， ab=2， cd =2ab，求直線 af 與平面 pab 所成角的正弦值.求平面 pad 與平面 pbc 所成二面角的余弦值.22.（ 10 分）如圖所示，在三棱錐垂足 o 落在線段 ad 上，已知（ 1）證明： apbc.p-abc 中， ab ac， d 為 bc 的中點(diǎn)， po平面 abc ，bc 8， po 4， ao 3，od 2.第 22 題圖（2）在線段 ap 上是否存在點(diǎn) m，使得二面角 a-mc-b 為直二面角？若存在，求出 am 的長；若不存在，請(qǐng)說明理由 .第三章空間向量與立體幾何（數(shù)學(xué)人b 選修 2-1）答題紙

9、得分：一、選擇題題號(hào)12345678910答案二、填空題11 12 13 14三、解答題15.16.17.18.19.20.21.22.第三章空間向量與立體幾何（數(shù)學(xué)人b 選修 2-1）答案一、選擇題1.b解析： 以 a 為原點(diǎn)， ab 、ad 、aa 1 所在直線分別為x，y，z 軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，則 a （ 0， 0， 0）， c（1， 1， 0）， b （1， 0， 0），d（ 0，1， 0），a 1（ 0， 0， 1）， e（ 1 ， 1 ， 1），22uuuruuuruuur ce=（ - 1 ， - 1， 1）， ac =（ 1， 1， 0）， bd =（ -

10、1， 1， 0），22uuuuruuura1 d =（ 0， 1，-1）， a1a =（0， 0， -1），uuur uuur11uuuruuur顯然 ce ? bd =-+0=0 ，ce bd ，即 cebd 故選 b 222.a解析： 以 da 、 dc 、 dd 1 所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體的棱長為2a，則 d（ 0， 0， 0）、 d1（ 0， 0，2a）、 m （ 0，0， a）、 a （ 2a，0， 0）、c（ 0， 2a， 0）、o（ a， a， 0）、 n（ 0， a，2a）uuuuruuuuruuur om =（ -a， -a， a）

11、， mn =（ 0， a， a）， ac =（-2a， 2a， 0）uuuuruuuuruuuuruuur om ? mn =0， om ? ac =0，om ac ， om mn 故選 a 3.a解析： 在 adm中，=+，由線段中點(diǎn)的向量表示知=（ a+b ），由相反向量的概念知=-=-c，所以=+=（ a+b ） -c=（ a+b-2c ） .4 d解析： b = - 2aa b ； d = - 3cd c .而零向量與任何向量都平行 .5 a解析： 關(guān)于某軸對(duì)稱，則某坐標(biāo)不變，其余全部改變.6 c解析： cos a, ba ?b68 ,2,或2.a b325 955uuuruuuruu

12、uruuuruuur7 a解析 ： ab(3,4, 2), ac(5,1,3), bc(2, 3,1) ， ab ? ac 0 ， 得 a 為 銳 角；uuuruuuruuuruuur0 ， 得 b 為 銳 角 ， 所 以 為 銳 角 三 角 形 ， 又ca ?cb 0 ， 得 c為 銳 角 ； ba? bc8c解析：uuur(1 x, 2x 3, 3xuuur(1 x)2(2 x 3)2( 3x 3) 214 x232 x 19 ，當(dāng)ab3), ab8 uuurx 時(shí)， ab 取最小值 .79d解析：uuuruuuruuur uuuruuuruuur uuuruuur uuuruuur uu

13、uroa? bcoa ?(ocob)oa oc cosoa ob cos33uuur0 .cos oa, bcuuuruuuruuur uuuruuuroa bcoa bcoa bc10.c 解析：空間的四點(diǎn)p、a 、b、c 共面只需滿足opxoayobzoc , 且 xyz1即可，只有選項(xiàng)c 符合二、填空題11. 212解析： 2a 3b ( 10,13, 14) ， a 2b (16, 4,0) .12.垂直解析： a (2,1,1),b(4,9,1), a ?b0ab .13.106 解 析 ： 若 ab， 則823x0, x10； 若 a / /b， 則,332 : ( 4) ( 1)

14、: 2 3: x, x6 .uuuruuuur14.3 解析： a(0,0,0), c (1,1,0),d (0,1,0), a1 (0,0,1), ac (1,1,0), da1(0,1,1),3uuuuruuuuruuuruuuuruuuur設(shè) mn( x, y, z), mnac , mnda1 , xy0, yz 0, 令 yt ,uuuuruuuur(m, am, b) ,則 mn( t ,t ,t) ，而另可設(shè) m (m, m,0), n (0, a, b), mnmt,1uuuur111uuuur1113amt , n (0, 2t, t), 2tt1,t，(,3mn), mn9

15、993.bt ,3 3 3三、解答題15.解： 以 a 為坐標(biāo)原點(diǎn) ad 長為單位長度，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點(diǎn)坐標(biāo)為a(0,0,0), b(0,2,0), c(1,1,0),d(1,0,0), p(0,0,1), m (0,1,1 ) .2（1）因 ap(0,0,1), dc(0,1,0), 故 ap ? dc0, 所以 apdc.由題設(shè)知 addc ，且ap 與 ad 是平面 pad 內(nèi)的兩條相交直線，由此得 dc面 pad .又 dc 在面 pcd 內(nèi)，故面 pad 面 pcd .（ 2）因?yàn)?ac (1,1,0), pb (0,2, 1),故 | ac |2 ,| pb |5,

16、ac ? pb 2,所以 cosac , pbac ? pb10 .| ac | pb |5（3）在 mc 上取一點(diǎn) n ( x, y, z) ，則存在r 使 ncmc ,nc(1x,1y,z), mc(1,0,1 ),x 1, y1, z1 .22要使只需uuuruuuur即1解得4anmc ,an ? mc 0,xz 0,.25可知當(dāng)4時(shí) , n點(diǎn)坐標(biāo)為 ( 1 ,1, 2), 能使 an ?mc0.555此時(shí) , an(1,1,2), bn(1, 1,2), 有 bn ? mc0.5555由 an ?mc0, bn ? mc0得 anmc , bnmc .所以anb 為所求二面角的平面角

17、.uuur30uuur30uuuruuur4q| an |5,| bn |5, an ? bn.uuur5uuur uuuruuur2cosan ? bn.an, bnuuuruuur3| an |bn |16.解： 以 d 為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.（ 1） 不 妨 設(shè)a(1,0,0)， 則b(1,1,0)， v (1 ,0,3 ) ，22ab(0,1,0),va( 1 ,0,3 ) ,22由 ab ?va0, 得 ab va ，又 abad ，因而 ab 與平面 vad 內(nèi)兩條相交直線 va ， ad 都垂直 . ab 平面 vad .（2）設(shè)e為dv中點(diǎn)，則e( 1 ,0,3 )

18、，44ea( 3,0,3 ), eb( 3 ,1,3 ), dv( 1,0,3 ).444422由 ebdv0,得 ebdv ,又 ea dv .因此，aeb 是所求二面角的平面角，uuur uuurcos(ea, eb)uuuruuurea ? ebuuuruuur| ea | eb |21 .717.解：（ 1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則a, b,c, d , p, e 的坐標(biāo)為a(0,0,0) 、b( 3,0,0)、c (13,1,0) 、d (0,1,0) 、p(0,0, 2) 、e(0, ,1) ，2從而 ac( 3,1,0), pb (3,0, 2).設(shè) ac與 pb 的夾角

19、為，則cosac?pb33 7 , ac 與 pb 所 成 角 的 余 弦 值 為| ac |?| pb|2 71437.14（2）由于 n 點(diǎn)在側(cè)面 pab內(nèi)，故可設(shè)n 點(diǎn)坐標(biāo)為 ( x,0, z) ，則ne( x, 1 ,1z) ，由 ne面 pac 可得，2ne ? ap0,(x, 1,1z)(0,0,2)0,z 10,2化簡得ne ? ac即13x10.(,1z)( 3,1,0)0.0.x,223x ,6z1,即 n 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 3 ,0,1) ，從而 n 點(diǎn)到 ab 和 ap 的距離分別為 1,3.6618.解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則d (0,0,0) ，b(2,

20、 4,0) ,設(shè) f (0,0, z) . aec1 f 為平行四邊形，uuur由 afuuuurec1得,(2,0, z)( 2,0,2),z 2. f (0,0,2).uuurbf ( 2, 4,2).uuur于是 | bf |2 6, 即 bf 的長為 26.（2）設(shè) n 為平面 aec1f 的法向量，顯然 n 不垂直于平面 adf ,故可設(shè) n(x, y,1) ,uuur0 x 4 y 1 0,4 y 1 0,x1,n ? ae 0,1由uuur得即yn ? af 0,2 x 0 y 2 0,2 x 2 0,.4uuuur34 33又cc1(0,0,3), 設(shè)cc1與 n 的夾角為，則

21、 coscc1 ? nuuuur.cc1n31331116433433. c 到平面 aec1f 的距離為 d | cc1 | cos3331119.（ 1）證明：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系a-xyz，則： a（ 0，0， 0），b（ 1， 0， 0）， c（ 1， 2，0）， d（ 0， 2， 0）， p（ 0， 0， 2），e 為 ab 的中點(diǎn)， f 為 pc 的中點(diǎn)， e（， 0， 0）， f （， 1， 1），uuuruuuruuur ef (0，1， 1)， ap (0， 0，2) ， ad (0， 2，0)，uuuruuuruuur ef ( ap + ad )，uuuruuuruu

22、ur ef 與 ap ， ad 共面 . e? 平面 pad ， ef 平面 pad ；uuur（2）證明：cd (-1 ， 0， 0) ，uuuruuur cd ? ef =（ -1， 0，0）（? 0，1， 1） =0，cd ef.uuuruuur（3）解： ef (0 ，1， 1)， ap (0， 0， 2)，uuuruuuruuuruuuref ?apcos ef.， ap = uuuruuur =efapuuuruuur ef ，ap =45 .uuur ap 平面 abcd ，uuur ap 是平面abcd的法向量，uuur ef與平面abcd所成的角為90uuur ef ，uuu

23、rap =45 20.解： 建立空間直角坐標(biāo)系，有的點(diǎn)的坐標(biāo)未知，可先設(shè)出其坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算.以 h 為原點(diǎn)， ha， hb ，hp 分別為 x，y， z 軸，設(shè)線段 ha 的長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示） ，則 a（ 1， 0， 0）， b（0， 1， 0）.（1）設(shè) c（ m， 0， 0）， p（ 0， 0， n）（m0），則 d （0， m， 0），e.可得 =， = （ m， -1， 0） .因?yàn)?- +0=0，所以 pe bc.（ 2）rt ahd 中， adh= 60， had =30，ah =1， dh =ah tan 30 = . m=- ，rt hab 中， ab=

24、 .由題意， rt pha rtphb ， pa=pb.又 apb=60， apb 為等邊三角形， pa=pb = .rt pah 中， ph =1， n=1，故 c，d，e，p（0，0，1）， =，=（ 0，0， 1） .設(shè) n=（ x，y，z）為平面 peh 的法向量，則即因此可以取 n （ 1， 0） .又=（1， 0， -1），設(shè)直線 pa 與平面 peh 所成角為 ，所以 sin =|cos，n |= .所以直線 pa 與平面 peh 所成角的正弦值為.21.解： 證線面平行轉(zhuǎn)化為證線線平行，向量法求線面角及二面角（1）如圖所示，取pa 的中點(diǎn) q，連結(jié) eq 、dq，e 是 pb 的中點(diǎn)，eq ab，且 eq=ab.又=，df ab，且df =ab，eq df ，且 eq=df ，四邊形eqdf 為平行四邊形，ef qd .又 ef? 平面 pad ，且 dq ? 平面 pad， ef平面 pad .（ 2） ab 平面 pad， ab? 平面 abcd ，平面 pad 平面 abcd .又=0， ph ad .又平面 pad 平面 abcd =ad，ph 平面 abcd .又 ab平面 pad ，在平面abcd