高中不等式所有知識及典型例題(超全)

1、一.不等式的性質(zhì)：二.不等式大小比較的常用方法：1 .作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2 .作商（常用于分數(shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；3.分析法；4.平方法；5.分子（或分母）有理化；6.利用函數(shù)的單調(diào)性；7.尋找中間量或放縮法；8.圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基 本的方法。三.重要不等式221. （1）若 a,b r,則 a.2 b2 2ab（2）若 a,b r,則 ab a一b-（當(dāng)且僅當(dāng) a b 時取“二”）22. （1）若a,b r*,則a_b 題 （2） 若a,b r*,則a b 2而（當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“二”） 22若a,b r*,則abab(當(dāng)且僅當(dāng)a

2、b時取二”)2,-1.3.若x 0 ,則x - 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x 1時取“=”); x一， 1,一 .一 “若x 0,則x 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x 1時取“二”)b時取“=”)x若x 0,則x 1 2即x 1 2或x 1 -2 (當(dāng)且僅當(dāng)axxx若ab 0,則a b b a2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時取二”）11若 ab 0 ,貝u a b 2即 a b b a b a4.若 a,b r,則(a_b)225.a3+b3+c33abc (a,b,cr+)a+b+c3 3/abc （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）；2或2 - -2 （當(dāng)且僅當(dāng)a b時取二”） b a1 上一一一一一，.一6. n (a1+a2+

3、an)ga1a2l an (ar ,i=1,2，n),當(dāng)且僅當(dāng) a1=a2= =an取等方;變式：a2+b2+c2ab+bc+ca;ab (a+b)2(a,br+);abc( a+b+c)ab-（當(dāng)且僅當(dāng)a b時取二”） 2注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求 它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”.（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛 的應(yīng)用.(a,b,cr+)23a+b2a2+b22 b.(0a b)7.濃度不等式b nanb bn0,m

4、0; a a+m應(yīng)用一：求最值11例1:求下列函數(shù)的值域(1) y=3x 2+ 21(2) y=x+x解題技巧:5技巧一：湊項 例1：已知x ,求函數(shù)y 4x 24，的最大值。4x 5評注：本題需要調(diào)整項的符號，又要配湊項的系數(shù), 技巧二：湊系數(shù)例1.當(dāng)口時，求y x(8 2x)的最大值。2技巧三： 分離 例3.求y -一少二(xx 1使其積為定值。1)的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無法運用基本不等式，可先換元,令t=x+1,化簡原式在分離求最值。(t 1)2 7(t 1)+10 t2 5t 44= t 5當(dāng) x -1 ,即 t=x4 1 口時,t=2即x= 1時取“=”號)技巧五：注意

5、：在應(yīng)用最值定理求最值時，若遇等號取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)a 一f (x) x 的單x調(diào)性。例：求函數(shù)y-2-jl的值域。x2 4解：令,x2 4t(tx2 5x2 4x2 411- t 1(t 2)x2 4 t1不在區(qū)間2,故等號不成立，考慮單調(diào)性。一一 1 .因為y t -在區(qū)間 t1,單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間2,為單調(diào)遞增函數(shù)，故y所以，所求函數(shù)的值域為52,2.已知0 x 1,求函數(shù)條件求最值y jx(1 x)的最大值.；3.2 ,求函數(shù)y jx(2 3x)的最大值.31.若實數(shù)滿足a b 2 ,則3a 3b的最小值是分析:和”到“積”是一個縮小的過程，而且 3a 3b定值，因此考慮利

6、用均值定理求最小值,解:當(dāng)3a變式：若iog4 x log 4 y2 ,求-的最小值.并求x,y的值 x y3a 和3b 都是正數(shù)，3a 3b 和 2d3a 3b 2g3ab 63b時等號成立，由a b 2及3a 3b得a b 1即當(dāng)a b 1時，3a 3b的最小值是6.技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時，要注意取等號的條件的一致性， 否則就會出錯。一一 192:已知x 0, y 0,且一 一 1,求x y的取小值。 x y技巧七、已知x, y為正實數(shù)，且x 2 +5=1,求x產(chǎn)干 的最大值.-a 2+ b 2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故米用公式ab得，0vb15令 t=b+

7、1,1t2/t -竿=8ab 18法二：由已知得:1 y y 1830-ab = a+ 2b.當(dāng)且僅當(dāng)t=4,即b=3, a= 6時，等號成立。30- ab 2 ab令 u= ab. 質(zhì) 372則 u2+ 25 u-300, -52 u3721 , ab力點評：本題考查不等式 圣 vab (a,b r)的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；如何由已知2不等式ab a 2b 30 (a,b r)出發(fā)求得ab的范圍，關(guān)鍵是尋找到a b與ab之間的關(guān)系，由此想到不等式 2 癡(a,b r ),這樣將已知條件轉(zhuǎn)換為含ab的不等式，進而解得ab的范圍. 2變式：1.已知a0, b0, ab (a+ b) =

8、1,求a+b的最小值。2.若直角三角形周長為1,求它的面積最大值。技巧九、取平方的最值.a 2 + b 2a-2,本題很簡單5、已知x, y為正實數(shù)，3x+2y= 10,求函數(shù) w= v3x +v2y解法一：若利用算術(shù)平均與平方平均之間的不等關(guān)系，弓也v3x +v2y 0, w2=3x+2y+273x 的=10+2標(biāo) 遍 010+(灰)1 2 (0 )2 = 10+(3x+2y)= 20 w0回=2水應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1 .已知a,b, c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2 b2 c2 ab bc ca1)正數(shù) a, b, c滿足 a+b+c= 1,求證：(1 a)(1 b)(1 c

9、)8abc例6:111已知 a、b、c r ,且 a b c 1。求證：一 1 一 1 一 18abc分析:1 1 a不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個2-bc ,可由此變形入手。 a解：q a、b、c1r , a b c 1 o - 1 a2 .阮a1 d 2、ac同理一 1 b b2”連乘，又12 . ab1 oc c上述三個不等式兩邊均為正，分別相乘，得當(dāng)且僅當(dāng)a1 ,，一-時取等號。3應(yīng)用三：基本不等式與包成立問題19例：已知x0,y0且1 91,求使不等式x ym包成立的實數(shù)m的取值范圍。x y19,x y9x 9y ,10y 9x ,解：令x yk,

10、x 0, y0, - 1,l 1. 1x ykx kyk kx ky103一一1 2 3 0 k 16 , m ,16k k應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：1 a b、例：右 a b 1,p lga lgb,q (iga ig b), r lg()，則 p, q,r 的大小關(guān)系是-2 2(2)不等式(x 2)jx2 2x 3 0的解集是3或 x 1);g(x) 0的解集(答:x| x (3)設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是r,且f(x) 0的解集為x|1 x 2, ,則不等式f(x)gg(x) 0的解集為,1)u2,)；(4)要使?jié)M足關(guān)于一 24x 3 0和 x6xx的不等式2x* 2

11、 9x a 0 (解集非空)的每一個x的值至少滿足不等式 8 0中的一個，則實數(shù)a的取值范圍是.4.分式不等式的解法：(答：7, 81)分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數(shù)為正 般不能去分母，但分母包為正或恒為負時可去分母,最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時, 如(1)解不等式25 xx2 2x(2)關(guān)于x的不等式axb 0的解集為(1,),則關(guān)于x的不等式(答:(1,1)u(2,3);；父上0的解集為x 2|x|a的解集|ax+b| c-c ax+bcax+b1c或 ax+b0)和|x-a|+|x-b|0)型不等式的解法方法一：

12、利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想;方法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想;方法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1:解下列不等式：(1).x2 2x1(2). -3x或x2-2x3或x0或0vx1原不等式的解集為x | x0 或 0vx3 解法2 (數(shù)形結(jié)合法)作出示意圖，易觀察原不等式的解集為x | x0 或 0x3 第(1)題圖第(2)題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且容易解答錯誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)圖象，則解集為x|x1或x3知x4 .7.含參不等式的解法：求解的通法是“定義域為前提，函

13、數(shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后要寫上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別 說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如,22（1）若loga2 1,則a的取值范圍是（答：a 1或0 a -）;332（2）解不等式-aj x（a r） ax 11 .、_1,、（答：a 0時，x|x 0； a 0時，x|x -或 x 0； a 0 時，x| x 0或 x 0） aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值。如關(guān)于x的不等式ax b 0的解集為（，1）,

14、則不等式 12 0的解集為（答：（1,2） ax b5 .絕對值三角不等式定理1：如果a,b是實數(shù)，則|a+b| |a|+|b|,當(dāng)且僅當(dāng)ab0時，等號成立。注：（1）絕對值三角不等式的向量形式及幾何意義：當(dāng)a, b不共線時，a+b|a|+| b 它的幾何意義就是三角形的兩邊之和大于第三邊。（2）不等式|a|-|b| |a b| |a|+|b|中“二”成立的條件分別是：不等式|a|-|b| |a+b|0,左側(cè)“二”成立的條件是ab&0且|a| |b|;不等式|a|-|b| |a-b| |a|+|b| ,右側(cè)“二”成立的條件是ab0且|a|引b| 。定理2：如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|

15、|a-b|+|b-c|, 當(dāng)且僅當(dāng)（a-b）（b-c）時，等號成立。例1.已知 0, x a , y b ,求證2x 3y 2a 3b 5 .例2.（1）求函數(shù)y x 3 x 1的最大和最小值；（2）設(shè) a r,函數(shù) f x ax2 x a（ 1 x 1）.若a 1,求f x的最大值例3.兩個施工隊分別被安排在公路沿線的兩個地點施工，這兩個地點分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個施工隊的共同臨時生活區(qū)，每個施工隊每天在生活區(qū)和施工地點之間往返一次.要使兩個施工隊每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？6 .柯西不等式a1bla2b2anbn2a12a2a22h2

16、b；b22aibir, i 1,2 n等號當(dāng)且僅當(dāng)ai a2an ?；騜i kai時成立（k為常數(shù)，i 1,2 n）類型一：利用柯西不等式求最值1 .求函數(shù)y 士 5瓜二t +凱。-2k的最大值一：.無-1之。且10-2m0 ,函數(shù)的定義域為kel5,且1y = 5乂 1 -k*/s x j5- 彳 0由y 一標(biāo)丁而kitr布丁，127得力10-2汽-2&70 即5j10 2m 261 0 ,解得 27,127.27時函數(shù)取最大值，最大值為 痘.當(dāng)函數(shù)解析式中含有根號時常利用柯西不等式求解類型二：利用柯西不等式證明不等式2229+2 .設(shè)立、上、亡為正數(shù)且各不相等，求證： 。十8 。十門 a十

17、3十c= 2g+a+r）（t +十-）=【（窗 + 為+3+|7）+匕+0/7 + 1 +）：4_1 ra +/?人+e 。+1。+8 b -c 4+煌之 q + 1 + 1j 9又直、b、二各不相等，故等號不能成立力十二 匕十厘 白十3十亡。類型三：柯西不等式在幾何上的應(yīng)用6. aabc的三邊長為a、b、c,其外接圓半徑為 r,求證：+/ +c2x+ + ）36sin 3 a sin5 sin 3 （7. n 。1 4qsin w = i -證明：由三角形中的正弦定理得2衣，所以sn 達 口14戍2141于是左邊=s +方* + 1)(4+-一 4)336汽：sin 2 a sin 3 si

18、n 3 c七.證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法（比較法的步驟是:分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號或與1的大小，然后作出結(jié)論。作差（商）后通過 ）.1常用的放縮技巧有：-1n(n 1)1.k 1 jk 2, k k如(1)已知a b c,求證：a2b b2c (2)已知 a,b,c r,求證：a2b2 b2c211(3)已知 a,b,x,y r ,且1,x y,a b1 jk2c a2 2c a求證:（4）若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證:(5)已知 a,b,c r,求證：a2b2(6)若 n n,求證：,(n 1)2 1(n 1)(7)已知|a|b | ,求證:（8）求證:|a| |b|a b|l 4n1n(n 1)k . k,22ab bc,ay2 2c an2abc(axx ab . blg|a| |b| .?|a b|2ca ;c) ；匕?b c a1g 1g aabc(a b c);lgb lgc；八.不等式的包成立，能成立，恰成立等問題：不等式包成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù) 方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1 ）.包成立問題xminxmax若不等式f x a在區(qū)間d上包成立，則等價于在區(qū)間d上f若不等式f x