高中數(shù)學第九章三垂線定理(一)教學案蘇教版

1、三垂線定理（一）一、素質(zhì)教育目標（一）知識教學點1三垂線定理及其逆定理的形成和論證2三垂線定理及其逆定理的簡單應用（二）能力訓練點1猜想和論證能力的訓練2由線面垂直證明線線垂直的方法（線面垂直法）；3訓練學生分清三垂線定理及其逆定理中各條直線之間的關(guān)系；4善于在復雜圖形中分離出適用的直線用于解題（三）德育滲透點通過定理的論證和練習的訓練滲透化繁為簡的思想和轉(zhuǎn)化的思想二、教學重點、難點、疑點及解決方法1 教學重點（ 1 ） 掌握三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直（ 2 ）掌握三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂

2、直，那么它也和這條斜線的射影垂直2教學難點：兩個定理的證明及應用3教學疑點及解決方法（ 1 ）三垂線定理及其逆定理，揭示了平面內(nèi)的直線與平面的垂線、斜線及斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線的垂直關(guān)系， 其實質(zhì)是平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線 （或斜線在 平面內(nèi)的射影）垂直的判定定理（ 2 ）本節(jié)課的兩個定理，涉及的直線較多，學生在認識和理解上都會存在困難，為了加深印象并說明復雜的直線位置關(guān)系， 可以采用一些教具， 或者讓學生準備三根竹簽， 按照 教師的要求擺放在學生感性認識的基礎(chǔ)上，進行理性的證明和記憶，有助于定理的掌握（3）三垂線定理是先有直線a垂直于射影ao的條件，然后得到a垂直于斜線po的結(jié)

3、論；而其逆定理則是已知直線a垂直于斜線pq再推出a垂直于射影a0.在引用時容易引起混淆，解決的辦法是，構(gòu)造一個同時使用這兩個定理的問題，引導學生分清（ 4 ）教學核心是定理的形成教學，教學的指導思想是：遵循由具體探究抽象、由簡單 到復雜的認識規(guī)律，啟發(fā)學生反復思考，不斷內(nèi)化成為自己的認知結(jié)構(gòu)三、課時安排本課題共安排2 課時，本節(jié)課為第一課時四、學生活動設(shè)計三垂線定理及其逆定理的條件和結(jié)論都比較簡單，但應用卻很廣泛，為了培養(yǎng)學生的 能力，應讓學生探索定理的命題形式，充分利用好手中的三根竹簽設(shè)計學生活動符合建構(gòu)主義的教學思想，也符合教師為主導、學生為主體的教學思想；教師根據(jù)教學要求，提出問題，創(chuàng)設(shè)

4、情景，引導學生觀察、猜想，主動發(fā)現(xiàn)，主動發(fā)展，從 而調(diào)動了學生學習的積極性五、教學步驟（一）溫故知新，引入課題師：我們已經(jīng)學習了直線和平面的垂直關(guān)系，學新課之前，讓我們作個簡單的回顧：1直線和平面垂直的定義？2直線和平面垂直的判定定理3什么叫做平面的斜線、斜線在平面上的射影？4.已知平面”和斜線l ,如何作出l在平面a上的射影？（板書）l a a = a，作出l在平面a上的射影（二）猜想推測，激發(fā)興趣師：根據(jù)直線與平面垂直的定義我們知道，平面內(nèi)的任意一條直線都和平面的垂線垂直，那么，平面內(nèi)的任意一條直線是否也都和平面的一條斜線垂直呢？xp（教師演示教具，用一個三角板的一條直角邊當平面的斜線，一

5、根包有色紙的竹竿擺 放在桌面的不同位置當作平面內(nèi)的不同直線，學生容易看出它們不一定互相垂直.）師：是否平面內(nèi)的任意一條直線都不和這條平面的斜線垂直呢?（教師將三角板的另一條直角邊平放在桌面上，并提示學生注意這條直角邊與平面的 關(guān)系一一在平面上，與斜線的關(guān)系一一垂直.）師：在平面上有幾條直線和這條斜線垂直?（學生可能會回答一條，也可能回答無數(shù)條，教師應調(diào)整桌面上的竹竿位置，使其平 行于三角板的直角邊，然后平行移動，并向?qū)W生說明，這些直線都與斜線垂直.）師：平面內(nèi)一條直線具備什么條件，才能和平面的一條斜線垂直?（學生的直覺判斷是要與那條和桌面接觸的直角邊平行，這是正確的，但無多大用途；這時教師提醒

6、學生注意斜線在平面內(nèi)的射影，并調(diào)整教具，將三角板的斜邊當作平面的斜線,構(gòu)成垂線、斜線和射影的立體模型；要求學生與同桌配合，擺放課前準備的竹簽成教師示范 的模型；然后在教師的引導之下觀察、猜想，與同桌的探討中發(fā)現(xiàn)了只要與斜線的射影垂直就和斜線垂直.）（三）層層推進，證明定理師：猜測和實驗的結(jié)論不一定正確，那么你想怎樣證明這個猜想呢?（若用幻燈或投影儀，可以節(jié)省板書時間.）已知：pa、po分別是平面a的垂線、斜線，ao是po在平面a上的射歌 aca, al ao ml-87).圖 1-67求證：a，po師：這是證明兩條直線互相垂直的問題，你準備怎么證明？分析：從直線和平面垂直的定義可知，要證兩條直

7、線互相垂直，只要證明其中一條直 線垂直于另一條直線所在的平面即可.師：這個平面你找到了嗎？生：是平面pao師：怎木箱正明a，平面pao呢？生：只要證明a垂直于平面pao內(nèi)的兩條相交直線.證明：,、pa1 a 、palcil al 平面 pao ,ac cl f|pou平面pao() paaao = ajj說明：1 .定理的證明，體現(xiàn)了 “由線面垂直證明線線垂直”的方法；2 .上述命題反映了平面內(nèi)的直線、平面的斜線和斜線在平面內(nèi)的射影這三條直線之間的垂直關(guān)系，這就是著名的三垂線定理： 在平面內(nèi)的一條直線， 如果和這個平面的一條斜線 的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直.3 .改變定理的題設(shè)和結(jié)論，

8、得到逆命題：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一 條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直.可以用同樣的方法證明， 這就是三垂線定理的逆定理(請學生簡要說明其證明方法和步驟).4 .定理中包含了三個垂直關(guān)系：pa! a , aol a, pol a,pal a 1pai a 1可以筒單記憶為：,八； nroln，naol可從中不難 po1 a ip01 3 |看出三垂線定理名稱的來由.5 .從定理的條件看，關(guān)鍵的是直線和平面的相對位置關(guān)系，而與平面本身是否水平放 置無關(guān)；在平面內(nèi)的直線a與斜線或斜線的射影的位置關(guān)系關(guān)鍵在于垂直；這樣直線a的如下四種位置關(guān)系，都是三垂線定理及其逆定理常見的情形

9、.圖 i-se6 .從定理的結(jié)論看，三垂線定理及其逆定理是判斷直線垂直的重要命題.（四）初步運用，提高能力1 .（見課后練習題 1.）已知：點。是 abc的垂心，opl平面 abc求證：pa，bc.（學生先思考，教師作如下點撥）（1）什么叫做三角形垂心？（2）點。是 abc的垂心可以得到什么結(jié)論？（3）可以考慮使用三垂線定理證明：你能找出本題中，應用三垂線定理必須涉及到的 幾個重要元素？圖 1-69生：首先先確定一個平面一一平面abg斜線是pa pa在平面abc上的射影是 ad, ad垂直于 bc,，pal bc.師：他的回答是否有缺漏？生：應1交代 bc是平面abc上的一條直線.師：對，這個

10、交代是必需的?。ㄒ晫W生程度作適當補充，用教具演示，還可以舉反例 說明.）證明：連接 ao并延長交bc與d.。是abc的垂心 =aoi ec, po1平面abc bc匚平面abc 斜線pa在平面abc上的射影是ad j師：三垂線定理是證明空間兩條直線互相垂直的重要方法，上面的示例反映了應用三垂線定理解題的一般步驟，即確定一個平面、平面的垂線、斜線和斜線在平面上的射影.同時要注意的是平面內(nèi)的一條直線和射影垂直，有這條直線和斜線垂直（定理）；平面內(nèi)的一條直線和斜線垂直，有這條直線和射影垂直（逆定理），同學們必須理解掌握.2 .（見課本例1）如果一個角所在平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平

11、面上的射影在這個角的平分線上.己知；如圖1姒/bac在平面。內(nèi)，點p”，pe1ab,己lag pol a ,垂足分別是 e、f、o, pe= pf.圖 1-90求證：/ bao= / cao（學生思考，教師作適當?shù)狞c撥.）（1）在平面幾何中，證明點在角的平分線上的常規(guī)方法是什么？（2） pe= pf給我們提供了什么結(jié)論？（3）所缺的垂直關(guān)系可以用三垂線定理或逆定理證明，你能列出證明所需的條件嗎?證明：pe = pf p01 cl=oe = ofpo1 clpe 1 ab =pf1acjzbao = zcaooe1abof1ac3.（課堂練習，師生共同完成.）圉 1-91如圖1-91，點p為平面

12、 abc外一點，pal bc, pd ab,求證：pb ac.分析：證明直線與直線垂直的問題，可以考慮三垂線定理及其逆定理，圖形中缺少的 平面的垂線需要添加上去.證明：過p作平面abc的垂線，垂足為 q連結(jié)ao bq co pax bc；ao bc （三垂線逆定理）.同理可證 cox ab,o是 abc的垂心. . obl ac,pb ac （三垂線定理）.（五）歸納小結(jié)，強化思想師：這節(jié)課，我們學習了三垂線定理及其逆定理，定理的證明方法是證明空間兩條直 線互相垂直的基本方法，我們稱之為線面垂直法；還通過三個練習的訓練加深了定理的理解, 同時得到立體幾何問題解決的一般思路.六、布置作業(yè)作為一般

13、要求，完成習題四11、12、13.提高要求，完成以下兩個補充練習：用心愛心專心91.如圖1-92paa abc所在平面，ab= ac= 13, bc= 10, pa= 5,求點 p到直線 bc的距離.p圖 1hj2參考答案：設(shè)bc的中點為d,連結(jié)pd. . ab= ac= 13, bc= 10,adbc.且 ad- 12.又pal 平面 abg - pd bc.即pd的長度就是p到直線bc的距離.而 pd= 13.2.（課后練習題2略作改變）如圖1-93 , l是平面a的斜線，斜足是 q a是l上任意一點，ab是平面a的垂線，b 是垂足，設(shè)od是平面a內(nèi)與ob不同的一條直線， ac垂直于ow c,若直線l與平面a所 成的角0 =45 , / boc= 45 ,