概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)4183自考必備復(fù)習(xí)資料

1、浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 1 1.1.事件間的關(guān)系事件間的關(guān)系 包含關(guān)系包含關(guān)系：事件：事件a發(fā)生必然導(dǎo)致發(fā)生必然導(dǎo)致b發(fā)生，記為發(fā)生，記為 相等關(guān)系相等關(guān)系： ，記為，記為a=b。 積事件積事件：事件：事件a與與b同時(shí)發(fā)生，記為同時(shí)發(fā)生，記為ab。 和事件和事件：事件：事件a或或b至少有一個(gè)發(fā)生，記為至少有一個(gè)發(fā)生，記為 差事件差事件：事件：事件a發(fā)生而發(fā)生而b不發(fā)生，記為不發(fā)生，記為a- -b。 互斥事件互斥事件：事件：事件a、b不能同時(shí)發(fā)生，即不能同時(shí)發(fā)生，即 ，又稱，又稱a 、b為為互不相容事件互不相容事件。 逆事件逆事件：“a不發(fā)生不發(fā)生”這一事件稱為這一事件稱為a的逆事件，記為的逆

2、事件，記為 ，a與與 又稱為又稱為對(duì)立事件對(duì)立事件。 ab ab ab abba且 a a aa, aasasa 事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算事件間的關(guān)系與事件的運(yùn)算 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 2 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 3 2.2.事件的運(yùn)算律事件的運(yùn)算律 交換律交換律： 結(jié)合律結(jié)合律： 分配律分配律： 對(duì)偶律（對(duì)偶律（de morgan德摩根律）德摩根律）： 減法減法： ;abbaabba ()()ab ca bc ()();abcabc ()()();ab cacbc ()()()abcabac ;abab;abab abab 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 4 概率的公理化定義概率的公理化定義

3、：設(shè)：設(shè)e是隨機(jī)試驗(yàn)，是隨機(jī)試驗(yàn)，s是樣本空是樣本空 間，對(duì)間，對(duì)e的每個(gè)隨機(jī)事件的每個(gè)隨機(jī)事件a，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，賦予一個(gè)實(shí)數(shù)p(a)， 若它滿足：若它滿足： 非負(fù)性非負(fù)性： 規(guī)范性規(guī)范性： ，s為樣本空間（必然事件）為樣本空間（必然事件） 可列可加性可列可加性：若事件：若事件 中中 則則 則稱則稱p(a)為事件為事件a的發(fā)生的發(fā)生概率概率。 0( )1p a ( )=1p s 12 , n a aa, ij a aij 1212 ()()()p aap ap a 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 5 概率的性質(zhì)概率的性質(zhì) 1.1.有限可加性：有限個(gè)兩兩互斥的事件有限可加性：有限個(gè)兩兩互斥的事件 則則

4、 2.2. 是是a的對(duì)立事件，則的對(duì)立事件，則 3.3. 則則 4.4.一一 ，當(dāng)，當(dāng)a，b互斥即互斥即 時(shí)時(shí) 5.5. 6.6. 推廣：推廣： 12 , n a aa ()( )( )()p abp ap bp ab 1212 ()()()() nn p aaap ap ap a a 1p ap a ab()= ( )( )p bap bp a ( )0,p( )1p s ( ) 1p a ()( )( )( )p abcp ap bp c ()()()p abp acp bc ()p abc ab ()( )( )p abp ap b 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 6 1.1.定義定義：事件a

5、已發(fā)生的條件下事件b發(fā)生的概率，稱 為條件概率條件概率，記為p(b|a)。 例 將一枚硬幣拋擲兩次，觀察其出現(xiàn)正面的情況，設(shè) a=至少有一次為正面h，b=兩次擲出同一面， 求p(b|a) 解：樣本空間s=hh,ht,th,tt,a=hh,ht,th, b=hh,tt。則可得： p(b|a)1/3 條件概率的計(jì)算公式條件概率的計(jì)算公式： ab a 中包含的基本事件 中包含的基本事件 | p ab p ba p a 條件概率條件概率 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 7 乘法定理乘法定理：設(shè)設(shè)p(a)0，則有，則有p(ab)=p(b|a)p(a) 推廣：推廣：p(ab)0，則有，則有p(abc)=p(c|

6、ab)p(ab) = p(c|ab) p(b|a)p(a) 設(shè)設(shè) 為為n個(gè)事件個(gè)事件 ，且，且 121 ()0 n p a aa 12 , n a aa(2)n 12121121 ()(|) () nnnn p a aap aa aap a aa 1211122211 (|,) (|,)(|) () nnnn p aa aap aa aap aa p a 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 8 全概率公式全概率公式 劃分劃分：設(shè)：設(shè)s為試驗(yàn)為試驗(yàn)e的樣本空間，的樣本空間， 為為e的一的一 組事件，若組事件，若 則稱則稱 為樣本空間為樣本空間s的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分. . 例例 e：擲骰子觀察點(diǎn)數(shù)：擲骰子觀

7、察點(diǎn)數(shù) 是是s的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分 不是不是s的一個(gè)劃分的一個(gè)劃分 123 =1 2 34 56bbb， ， 12 , n b bb , ,1,2, ij b bij i jn 12n bbbs 12 , n b bb 1 2 3 4 5 6s ， 123 =1 2 33 45 6ccc， ， 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 9 全概率公式全概率公式 定理定理：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)：設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)e的樣本空間為的樣本空間為s，a為為e的事件的事件 . . 為為s的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且 則則 ，稱之為，稱之為全概率公式全概率公式。 注：注：全概率公式給出我們一個(gè)用來計(jì)算在眾多原全概率公式給出我們一個(gè)用來計(jì)算在

8、眾多原 因因 的作用下事件的作用下事件a發(fā)生概率的方法發(fā)生概率的方法. . （由因得果由因得果） 12 , n b bb()0(1,2, ) i p bin 1122nn ( )( |) ()( |) ()( |) ()p ap a b p bp a b p bp a b p b 12 , n b bb 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 10 貝葉斯公式（貝葉斯公式（由果溯因由果溯因） 設(shè)設(shè)e的樣本空間為的樣本空間為s，a為為e的事件的事件. 為為s的一個(gè)劃分，且的一個(gè)劃分，且 ， 則則 為為貝葉斯（貝葉斯（bayes）公式）公式. 稱稱 為為先驗(yàn)概率先驗(yàn)概率； 稱稱 為為后驗(yàn)概率后驗(yàn)概率. ( )0

9、, ()0.(1,2, ) i p ap bin 12 , n b bb 1122nn ()( |) ( ) ( | )= ( )( |) ( )( |) ()( |) () iii i p abp a b p b p b a p ap a b p bp a b p bp a b p b () i p b (|) i p ba 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 11 獨(dú)立性獨(dú)立性 獨(dú)立事件獨(dú)立事件：兩事件：兩事件a、b，a發(fā)生對(duì)發(fā)生對(duì)b發(fā)生沒有影響，發(fā)生沒有影響， b發(fā)生也對(duì)發(fā)生也對(duì)a沒有影響，則稱兩事件相互獨(dú)立沒有影響，則稱兩事件相互獨(dú)立. .則則 p( (ab)=)=p( (a) )p( (b|

10、|a)=)=p( (a) )p( (b) ) 獨(dú)立與互斥的區(qū)別獨(dú)立與互斥的區(qū)別： a，b相互獨(dú)立：相互獨(dú)立：p( (ab)=)=p( (a) )p( (b) )； a，b互斥：互斥：p( (ab)=0)=0。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 12 分布律分布律 稱為離散型隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量x的的 分布律分布律，分布律可用列表的方式直觀的表示出來，分布律可用列表的方式直觀的表示出來 (1,2, ) kk p xxp k x k p 1 p 1 x 2 x n x 2 p n p 1、寫出可能取值即寫出了樣本點(diǎn) 2、寫出相應(yīng)的概率即寫出了每一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率 分布律（概率分布）分布律（概率分布

11、） 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 13 1.1.兩點(diǎn)分布，又稱為兩點(diǎn)分布，又稱為(0-1)(0-1)分布分布 (0-1)(0-1)分布的分布律為分布的分布律為 也可以寫為也可以寫為 0 1 0 1x x k p 1-p p 1 ()(1),0,1 kk p xkppk 三種重要的離散型隨機(jī)變量三種重要的離散型隨機(jī)變量 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 14 2.2.二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 隨機(jī)試驗(yàn)隨機(jī)試驗(yàn)e只有兩個(gè)可能結(jié)果：只有兩個(gè)可能結(jié)果：a和和 ，則稱，則稱e為為伯伯 努利試驗(yàn)努利試驗(yàn)。設(shè)。設(shè)p( (a)=)=p( (0p1),),則則 將伯努利試驗(yàn)將伯努利試驗(yàn)獨(dú)立獨(dú)立地地重復(fù)重復(fù)進(jìn)行進(jìn)行n次，稱為次，稱為

12、n重伯努利重伯努利 試驗(yàn)試驗(yàn)。 x表示表示n重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件a發(fā)生的次數(shù)，發(fā)生的次數(shù)，x所有可所有可 能取值能取值k=0,1,2,=0,1,2,n。求。求p x= =k p x= =k 記記q=1-=1-p， 隨機(jī)變量隨機(jī)變量x服從參數(shù)為服從參數(shù)為n, ,p的二項(xiàng)分布，記為的二項(xiàng)分布，記為 當(dāng)當(dāng)n=1=1時(shí)，即為時(shí)，即為(0-1)(0-1)分布分布。 (1) kkn k n c pp a 1p ap ,0,1,2,kn 00 () nn kkn k n kk p xkc p q ()nqp1 ( , )xb n p 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 15 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x的概

13、率分布律為的概率分布律為 稱稱x服從參數(shù)為服從參數(shù)為的的泊松分布，記，記 () 0,1,2, 0 ! k e p xkk k ， ( )xp 3.3.泊松分布泊松分布(poisson(poisson分布分布) ) poisson定理 設(shè) 是一個(gè)常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè) ， 則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有 0n np lim(1) ! k kknk nnn n e c pp k 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 16 當(dāng) 時(shí)近似公式近似效果更佳。10100npn， 20,0.05, 1, k n k kk n np e c ppnp k 二項(xiàng)分布與泊松分布有 以下近似公式 ： 當(dāng)時(shí) 其中 ！ 浙江師范大

14、學(xué)浙江師范大學(xué) 17 定義：定義：設(shè)設(shè)x為一個(gè)隨機(jī)變量，為一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)是任意實(shí)數(shù)，函數(shù) 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量x的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱的概率分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱 分布函數(shù)分布函數(shù)。 由分布函數(shù)的定義，有由分布函數(shù)的定義，有 ( )f xp xx 1221 p xxxp xxp xx 21 ()()f xf x 分布函數(shù)分布函數(shù) ( )f x 的幾何意義： x x 注注: 分布函數(shù)分布函數(shù)f(x)在在x處的函數(shù)值表示處的函數(shù)值表示x落在區(qū)間落在區(qū)間 上的概率。上的概率。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 18 (1) (2)f(x)是一個(gè)不減函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù) (3)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，若

15、分布律為對(duì)于離散型隨機(jī)變量，若分布律為 則其分布函數(shù)則其分布函數(shù) ( ) k k xx f xp xxp xx 0( )1f x ,()lim( )1 x ff x ,()lim( )0 x ff x kk p xxp 分布函數(shù)分布函數(shù) 1221 0()()()p xxxf xf x ( )f x 的性質(zhì)： 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 19 定義：對(duì)于隨機(jī)變量x的分布函數(shù) 若存在 非負(fù)的函數(shù) 使對(duì)于任意實(shí)數(shù) 有： ( ),f x ( )( ) x f xf t dt ( ),f x , x ( )f x其中 稱為x的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度概率密度。 則稱x為連續(xù)型隨機(jī)變量， 概率密度概率密度

16、 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 20 00 ()( ) ( )( ) xx f xxf xp xxxx f xf xlimlim xx ( )f x 的性質(zhì)： 1) ( )0f x + 2) ( )1f x dx 2 1 1221 12 3) () ( ) 0 x x xx xx p xxxf t dtp xa 對(duì)于任意的實(shí)數(shù) ， 4) ( ) ( )( )f xx f xf x在連續(xù)點(diǎn) ， ( )f x即在的連續(xù)點(diǎn) ( )yf x 1 x 2 x 1面積為 12 p xxx 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 21 1.1.均勻分布均勻分布 定義：定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x具有概率密度函數(shù)具

17、有概率密度函數(shù) 則稱則稱x在區(qū)間在區(qū)間( (a, ,b) )上服從上服從均勻分布均勻分布。記為。記為 注注：x落在落在( (a, ,b) )上任一子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子上任一子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子 區(qū)間的長(zhǎng)度，而與位置無關(guān)。區(qū)間的長(zhǎng)度，而與位置無關(guān)。 1 ( ) 0 axb f xba 其他 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 ( , )xu a b 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 22 均勻分布的分布函數(shù)均勻分布的分布函數(shù) 0 ( ) 1 xa xa f xaxb ba xb f x 0 b xa 1 b a f x 0 b xa 1 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 23 定義：連續(xù)型

18、隨機(jī)變量定義：連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度為的概率密度為 稱稱x服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，記為的指數(shù)分布，記為 指數(shù)分布的分布函數(shù)指數(shù)分布的分布函數(shù) 0 ( ) (0) 0 x ex f x 0 0 ( ) (0) 1 0 x x f x ex 2.2.指數(shù)分布指數(shù)分布 ( )xe 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 24 1.1.定義：定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量x的概率密度為的概率密度為 其中其中 為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱x服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的正態(tài)分布正態(tài)分布（也稱為（也稱為gaussgauss分布分布），記為），記為 ,(0) 2 () 2 21 2 ( )() x f xe

19、x , 2 ( ,)xn 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 3.3.正態(tài)分布正態(tài)分布 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 25 2. f( (x) )圖形的性質(zhì)：圖形的性質(zhì)： 關(guān)于關(guān)于 對(duì)稱對(duì)稱 結(jié)論：結(jié)論： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，取得最大值時(shí)，取得最大值 固定，改變固定，改變 ，f( (x) )的圖形不變，沿的圖形不變，沿x軸平移軸平移 固定，改變固定，改變 ，由最大值，由最大值 知，知， 越小，越小， 圖形越尖，圖形越尖，x落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。 時(shí)，時(shí)， ，即曲線以，即曲線以x軸為漸近線。軸為漸近線。 3.3.分布函數(shù)分布函數(shù)f( (x) ) x 0, hphxpxh x

20、1 2 ( )f 1 2 ( )f x ( )0f x 22 ()() 22 2211 22 ( ) tt xx f xedtedt 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 26 4.4.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 時(shí)，稱時(shí)，稱x服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布， 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù) 分布函數(shù)分布函數(shù) 結(jié)論結(jié)論： 的函數(shù)值見的函數(shù)值見第第382382頁(yè)頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 例例 ，求，求 (0,1)xn0,1 2 21 2 ( ) x xe 2 21 2 ( ) tx xedt ()1( )x x ( ) x (0,1)xn 2.013.25px 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 27 5.5.正態(tài)

21、分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布轉(zhuǎn)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 引理引理 若若 ，則，則 結(jié)論：結(jié)論： i.i. ，則它的分布函數(shù)，可寫成：，則它的分布函數(shù)，可寫成： ii.ii. iii.iii.正態(tài)分布的問題都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布的問題都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分布，然后查書中第態(tài)分布，然后查書中第382382頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得解頁(yè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得解 例例 ，求，求 (0,1) x zn ( )() xxx f xp xxp 2 ( ,)xn 2 ( ,)xn 12 12 xxx p xxxp 21 ()() xx (1,4)xn 01.6px 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 28 隨

22、機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 1.1.離散型離散型 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布律的求法：離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布律的求法： 1.1.找出找出y=g(=g(x) )的所有可能取值的所有可能取值 2.2.找出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的找出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的x取值，將對(duì)應(yīng)概率相加取值，將對(duì)應(yīng)概率相加 例例 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量x具有分布律具有分布律 求求 的分布律。的分布律。 x -1 0 1 2 -1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 0.2 0.3 0.1 0.4 k p 2 yx 問題提出問題提出：已知隨機(jī)變量：已知隨機(jī)變量x的概率分布，且已知的概率分布，且已知 y=g(x)， 求求y的概率分布

23、。的概率分布。 關(guān)鍵是找出關(guān)鍵是找出y的等價(jià)事件。的等價(jià)事件。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 29 2.2.連續(xù)型連續(xù)型 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布的求法：連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布的求法： 1.1.求求y=g(=g(x) )的取值范圍的取值范圍 2.2.分段討論分段討論 在取值范圍外的在取值范圍外的y， 在取值范圍內(nèi)的在取值范圍內(nèi)的y， ( )0 y fy 11 ( ) ()( )( ) yx fyp yyp g xyp xgyfgy 111 ( )( )( )( ) ( ) yyxx fyfyfgyfgygy 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 30 ( ),( )0 ( )0) () x xfxxg xg

24、 x yg xy ：設(shè)，或。 ， 則 具有概率密度為： 定定理理 ( ( )( ) , ( ) 0, x y fh yh yy fy 其他 min( (),() max( (),() ( )( ) gggg h yxyg x 其中， 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 31 第四章第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征隨機(jī)變量的數(shù)字特征 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 32 定義：定義： 定義：定義： 1 11 () 1,2, , kk kk k kk k kk k xp xxpk x px e x x p e xx p 絕對(duì)收 設(shè)離散型隨機(jī)變量 的分布律為： 若級(jí)數(shù)則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量 的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， ,

25、0，有 2 () (). d x p xe x 切比雪夫不等式的等價(jià)形式 2 () ()1. d x p xe x 注注： 1. 切比雪夫不等式可用來估計(jì)不是服從正態(tài)分布的隨 機(jī)變量落在e(x)附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要作用是進(jìn)行概率論的理論研 究。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 41 第六章第六章 樣本及抽樣分布樣本及抽樣分布 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 42 樣本樣本 總體：總體：試驗(yàn)中全部可能的觀察值（試驗(yàn)中全部可能的觀察值（研究對(duì)象的全體，研究對(duì)象的全體， 如一批燈泡），如一批燈泡），一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量一個(gè)總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量x。 個(gè)體：個(gè)體：每個(gè)可能觀察值稱為個(gè)體（

26、每個(gè)可能觀察值稱為個(gè)體（組成總體的每個(gè)元組成總體的每個(gè)元 素，如某個(gè)燈泡）素，如某個(gè)燈泡） 抽樣：抽樣：從總體從總體x中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)行觀察的中抽取有限個(gè)個(gè)體對(duì)總體進(jìn)行觀察的 取值過程。取值過程。 隨機(jī)樣本：隨機(jī)樣本：隨機(jī)抽取的隨機(jī)抽取的n個(gè)個(gè)體的集合個(gè)個(gè)體的集合(x1,x2,xn), n 為樣本容量。為樣本容量。 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本滿足以下兩個(gè)條件的隨機(jī)樣本 (x1,x2,xn) 1. 每個(gè)每個(gè)xi與與x同分布同分布 2. x1,x2,xn是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 說明說明：后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。后面提到的樣本均指簡(jiǎn)單隨機(jī)

27、樣本。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 43 統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量：設(shè)設(shè) 是總體是總體x的樣本，則函數(shù)的樣本，則函數(shù) 如果不包含任何未知參數(shù)則稱為樣本如果不包含任何未知參數(shù)則稱為樣本 的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量。 22 123 1232123 3 2 312 1 , 1 2 2 3 max, 1 4 5 i i nxxx xxxxxxx xxx 思考題： 設(shè)在總體中抽取樣本其中 已知，未知 指出在 哪些是統(tǒng)計(jì)量，哪些不是統(tǒng)計(jì)量，為什么？ 答：只有(4)不是統(tǒng)計(jì)量。 統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 12 , n xxx 12 , n g xxx 12 , n xxx 簡(jiǎn)言之，樣本的不含任何未知參數(shù)的函數(shù)。簡(jiǎn)言之，樣本的不含任

28、何未知參數(shù)的函數(shù)。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 44 常用的統(tǒng)計(jì)量常用的統(tǒng)計(jì)量 1.1.樣本平均值：樣本平均值： 2.2.樣本方差：樣本方差： 3.3.樣本均方差：樣本均方差： 4.4.樣本樣本k階階( (原點(diǎn)原點(diǎn)) )矩：矩： 5.5.樣本樣本k階中心矩：階中心矩： 1 1 n i i xx n 2 2 1 1 1 n i i sxx n 2 2 1 1 1 n i i xnx n 2 2 1 1 1 n i i ssxx n 1 1 ,1,2, n kk ki i axxk n 1 1 ,2,3, n k ki i bxxk n 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 45 統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布統(tǒng)計(jì)學(xué)三大分布

29、22 12 222 1 ,0,1 1,2, 1 1 i n i n i x xxxxnin nn 設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱 服 服從從自自由由度度為為 的的， 指 指式式右右端端包包 分分布布記記為為 含含的的獨(dú)獨(dú)立立自自由由變變 義義 度度 定定： 量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 2 0,1 ,xnynx y x tnttt n y n 設(shè)設(shè)并并且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 服服從從自自由由度度為為 的的 分分布布，記記 則 則稱稱隨隨變變量量為為機(jī)機(jī) 定定義義： 22 12 1 1212 2 12 , , / , / unvnx y u n fn nfff n n v n nn 設(shè)設(shè)

30、且且獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服 定定義義： 從從自自由由度度的的 分分布布，記記為為 其 其中中稱稱為為第第一一自自由由度度，稱稱為為第第二二自自由由度度 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 46 2 分分布布的的一一些些重重要要性性質(zhì)質(zhì)： 2222 1. ,2nen dn設(shè)則有 222 1122121212 2. ,ynyny yyynn設(shè)且相互獨(dú)立，則有 2 2分布的可加性性質(zhì) 稱為，可推廣到有限個(gè)的情形： 22 12 11 , mm iimii ii yny yyyn 設(shè)且相互獨(dú)立，則 2 2 2 2 2 ,01, , n n f n y dy n 為分布的 上 對(duì)給定的概率 稱滿

31、足條件 的點(diǎn) 上 分位點(diǎn) 的 分位 值可查 點(diǎn) 分布表. 2 n 0 2 分布的分位點(diǎn) x ( )f x 0.1,25n例： 2 0.1 2534.381 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 47 2 0,1 ,xnynx y x tnttt n y n 設(shè)設(shè)并并且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立， 服服從從自自由由度度為為 的的 分分布布，記記 則 則稱稱隨隨變變量量為為機(jī)機(jī) 定定義義： , 01, tn h t dttn t ntt 對(duì)給定的稱滿足條件的點(diǎn) 為分布的。 分布的上 分位點(diǎn)可上位點(diǎn)查分分布表 t分布 1 2 1 2 2 2 1, n n n t t nh tt n n 分布的概率密度為： tn f x

32、 x0 t分布的分位點(diǎn) 10n 313x ( )f x 1n 4n 2021 t分布的密度函數(shù) 1 ( )( )tntn 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 48 22 12 1 1212 2 12 , , / , / unvnx y u n fn nfff n n v n nn 設(shè)設(shè)且且獨(dú)獨(dú)立立， 則 則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服 定定義義： 從從自自由由度度的的 分分布布，記記為為 其 其中中稱稱為為第第一一自自由由度度，稱稱為為第第二二自自由由度度 f分布 1 1 12 12 2 21 1212 2 1212 , 2 ,0 221 0, n n nn f n n nnn ny y y nnn y n

33、 分布的概率密度為： 其它 1 1221 ( ,),(,)ff n nff n n 性質(zhì)：則 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 49 12 1212 , 1212 , 01,;, , fn n f x n ndxfn n f n nfn nf 對(duì)于給定的稱滿足條件的點(diǎn) 為分布的。的值可分位點(diǎn)查上分布表 0 x 12 f x 21 ,20nn 2 25n 2 10n f分布的密度函數(shù) 0 x 12 ,fn n ( )f x f分布的分位點(diǎn) 1 11221 ( ,)(,)fn nf n n 0.95 5,10f 例如：例如： 0.05 11 0.211. 10,54.74f 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 50

34、 z ,0,1 ,01xnzp xz z 此外 設(shè) 標(biāo) 若滿足 準(zhǔn)正態(tài) 條件 分布的上則稱點(diǎn)為分位點(diǎn)。 1 zz 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 51 第七章第七章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 52 1212 1212 1 ;, , 1,2, , 1 1,2, , 1121 , 212 kk k v vkn n v vi i xf x xke x e xvkxxxx vaxvk k a k n a 設(shè)總體 的分布函數(shù)為是待 估計(jì)的未知參數(shù)，假定總體 的 階原點(diǎn)矩存在， 則有：對(duì)于樣 用樣本矩作為總體矩的估計(jì)，即 本 其 階樣本 ： 矩是： 令 12 12 2 , , , 12 kk

35、a kkk 解此方程即得的一個(gè)矩估計(jì)量 矩估計(jì)法矩估計(jì)法 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 53 最大似然估計(jì)的求法最大似然估計(jì)的求法 寫出似然函數(shù)寫出似然函數(shù) 求求 ，使得，使得 為為 的最大值，求法如下：的最大值，求法如下： 求使得方程求使得方程 又又 在同一在同一 處取得極值，因此，處取得極值，因此， 的最的最 大似然估計(jì)值可從方程大似然估計(jì)值可從方程 中求得中求得 稱稱 為似然方程為似然方程 ( )0l 的 ( )l ( )l ( )l ( )( )ll與l n ln ( )0l ln ( )0l 1.1.單參數(shù)單參數(shù) 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 54 2.2.雙參數(shù)雙參數(shù) 似然函數(shù)似然函數(shù) 似

36、然方程似然方程 12 1 12 2 ln ( ,) 0 ln ( ,) 0 l l 1211221212 ( ,);,;,;, n lp xp xp x 最大似然估計(jì)法最大似然估計(jì)法 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 55 估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn)估計(jì)量的評(píng)選標(biāo)準(zhǔn) 對(duì)總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計(jì)量，對(duì)總體的未知參數(shù)可用不同方法求得不同的估計(jì)量， 如何評(píng)價(jià)好壞？如何評(píng)價(jià)好壞？ 通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)：通常用三條標(biāo)準(zhǔn)檢驗(yàn)：無偏性無偏性，有效性有效性，相合性相合性 無偏性無偏性 , , n e li e m e 若那么 若則 稱為估計(jì)量 的偏差 漸近稱 是 的無偏估計(jì)量 12 , n xxex滿足 則稱 定

37、義 是 的一 若參數(shù) 的估計(jì) 個(gè)無偏 量： 估計(jì)量。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 56 有效性有效性 12 12 12 , , dd 設(shè)是 的兩個(gè)無偏估計(jì)， 如果對(duì)一切成立， 且至少對(duì)某一個(gè)上式中的不等式成立， 定 則稱 比 義： 有效。 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 57 相合性相合性 1 , 0 0 , n n xx n lim p 設(shè)為參數(shù) 的估計(jì)量， 若對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)， 依概率收斂于 ， 定 即有： 義 成立 則稱 為 的相合估計(jì)量 ： ， 或一致估計(jì)量 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 58 2 , n單個(gè)正態(tài)總體的情形 22 12 , 1 n xxxnxs 來自和分別為樣本均值和方差 置信度為

38、1. 均值 的置信區(qū)間 2 1 已知時(shí) , 0,1 x xn n 是 的無偏估計(jì) 由 2 1 x pz n 有 22 1p xzxz nn 即 22 ,xzxz nn 置信區(qū)間為： 正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值與方差的區(qū)間估計(jì) 2 u 1 2 2 2 u 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 59 2 2 未知時(shí) 143 1 x t n sn 由第頁(yè)定理三有： 22 111 x ptntn sn 有 22 111 ss p xtnxtn nn 即 22 1 ,1 ss xtnxtn nn 置信區(qū)間為： 2 t 1 2 2 2 t 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 60 2 2. 方差的置信區(qū)間 設(shè) 未

39、知 2 2 2 143 1 1 ns n 由第頁(yè)定理二有： 2 22 1222 1 111 ns pnn 有 22 2 22 212 11 1 11 nsns p nn 即 22 22 212 11 , 11 nsns nn 置信區(qū)間為： 1- ? 思考題: 均方差 的置信度為 的置信區(qū)間是什么 2 2 2 1 2 1 2 2 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 61 thank you! 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 62 第八章第八章 假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn) 浙江師范大學(xué)浙江師范大學(xué) 63 問題：設(shè)x ，已知，未知。給定 ， 問 ？ )( 2 ，n 0 0 假設(shè) . 0100 ：，：hh 稱為原假設(shè)(零假設(shè))， 稱為備擇假設(shè)(對(duì)立假設(shè))。 0 h 1 h 通過某種方式確定常數(shù)k。若 ，則接受 ，若 ，則拒絕 (接受 )。 0 xk 0 h 0 xk 0 h 1 h 犯兩類錯(cuò)誤的概率： 若 為真而被拒絕，我們稱為犯第一類錯(cuò)誤(又稱犯 “棄真”錯(cuò)誤，