2017年數(shù)學競賽預賽非數(shù)學類試題評分標準及參考答案_第1頁
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文檔簡介

1、 2017年數(shù)學競賽預賽（非數(shù)學類）試題評分標準及參考答案一 1. 已知可導函數(shù)滿足, 則解： 在方程兩邊求導得 ,.從而 由于，故。2求解 由于 =。3. 設具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且，其中為非零常數(shù)。則=_。解: ， ，。所以。4. 設有二階導數(shù)連續(xù)，且，則=_解：，所以。這樣。5不定積分=_. 解: 由于 。6. 記曲面和圍成空間區(qū)域為，則三重積分=_.解：使用球面坐標 。二（本題滿分14分) 設二元函數(shù)在平面上有連續(xù)的二階偏導數(shù). 對任何角度，定義一元函數(shù). 若對任何都有且. 證明是的極小值. 解： 由于對一切成立，故, 即是的駐點. -4分 記，則 . -10分上式對任何單位向量成立，故

2、是一個正定陣, 而是極小值. -14分三 (本題滿分14分) 設曲線為在 ，上從到的一段. 求曲線積分解: 記為從到的直線段, 則， . -4分 設和圍成的平面區(qū)域，方向按右手法則. 由Stokes公式得到 . -8分右邊三個積分都是在各個坐標面上的投影面積，而在面上投影面積為零. 故 . 曲線在面上投影的方程為 . -12分 又該投影（半個橢圓）的面積得知. 同理，. 這樣就有. -14分四(本題滿分15分) 設函數(shù)且在實軸上連續(xù)，若對任意實數(shù)，有，則，。 證. 由于，有 。 因此 。 -4分然而 ，其中 .這樣就有 (1) -10分即 .注意到 ，和。-13分把以上兩個式子入(1)，即得結論。 -15分五(本題滿分15分) 設為一個數(shù)列，為固定的正整數(shù)。若 ，其中為常數(shù)，證明。證明：對于，記 。由題設，從而 。 -5分而。 由題設知 。 -10分對正整，設，其中，從而可以

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