61隨機變量的概率分布、期望與方差

1、如皋市薛窯中學(xué)2011屆高三理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)61隨機變量的概率分布、期望與方差【考點解讀】離散型隨機變量及其分布列：A;超幾何分布：A;條件概率及相互獨立事件：A；n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布：B;離散型隨機變量的均值與方差：B【復(fù)習(xí)目標(biāo)】1了解取有限值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性；會 求某些簡單的離散型隨機變量的分布列。2了解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進行簡單的應(yīng)用。3了解條件概率和兩個事件相互獨立的概念(對條件概率的應(yīng)用題不作要求 )。4 理解n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單的實際問題。5了解取有限值的離散型隨機變量的均值、方

2、差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求出期望 值、方差。活動一：基礎(chǔ)知識1. 隨機變量：1) 定義：。2) 表示方法： 。2. 隨機變量分布列的定義：假定隨機變量X有n個不同的取值，它們分別是X1,X2丄Xn且P(X=xi)=pi ,i=1,2, -n, 稱為隨機變量 X的概率分布列，簡稱X的分布列3. 概率分布表將用表的形式表示如下：XX1LX2XnPL此表稱為隨機變量X的概率分布表4. 分布列的性質(zhì)：概率分布列中P(i 1,2L n)滿足以下兩個條件:(1) (2) 5. 兩點分布如果隨機變量X只取兩個可能值 _0 和1，則稱該隨機變量 X服從0-1分布或兩點分布并記為X0-1或X兩點分

3、布.其概率分布表為：其中丨min M , n，且n N,M N,n,M,N N .稱分布列X01mPC 0 c n CM CN MC1 C n 1 CM CN MCmC n m CMCN MCn CNCn CNCn CN為超幾何分布列.如果隨機變量(n, M,N)的超幾何分布，記為并將P(Xr n rCMCN Mr)CJCnX的分布列為超幾何分布列，則稱隨機變量X H(n ,M ,N),0,1,2,L ,l 記為 H (r; n,M, N)X服從參數(shù)為(2)說明：超幾何分布的模型是不放回抽樣；超幾何分布種的參數(shù)是(n, M , N)；記號H (r; n, M , N)中各個字母的含義： 7.

4、n次獨立重復(fù)試驗定義：一般地，由n次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成 ，每次試驗的結(jié)果 僅有兩種對立的狀態(tài)即A與A，每次試驗中P(A) p 0,我們將這樣的試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗.思考：n次獨立重復(fù)試驗必須具備哪些條件？&二項分布定義：(1 )在n次獨立重復(fù)試驗中，事件 A恰好發(fā)生k ( 0 k n)次的概率為 O(2)若隨機變量X的分布列為P(X k) c；pkqn k,0 p 1, p q 1,k 0,1,2丄n，則稱X服從參數(shù)為n, p的二項分布，記作 X B n, p9. 隨機變量的均值離散型隨機變量的均值：般地,若離散型隨機變量 X的分布列為XX1X2LXiLXnPP1P2LPiL

5、Pn則稱為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，記為E(X)或其中Xi是隨機變量X的可能取值，p是概率，Pi 0,i 1,2,L , n, P1P2 L 幾110. 隨機變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差(1 )定義：離散型隨機變量X的分布列為XX1X2LXLXnPP1P2LPiLPn則(X E(X)2描述了 Xi(i 1,2丄，n)相對于均值E(X)的偏離程度.n而 V(X) (x EX)2pii 1為這些偏離程度的加權(quán)平均 ，刻畫了隨機變量與其均值E(X)的平均偏離程度，我們稱 V(X)為隨機變量X的方差,其算數(shù)平方根為隨機變量 X的標(biāo)準(zhǔn)差.(2) 方差的意義：方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散程度的量，如果

6、V(X)值大，表示X取值分散程度大，E(X)的代表性差；而如果 V(X)值小，表示X取值分散程度小，E(X)的代表性好.(3) 離散型隨機變量方差的計算：n利用定義計算：V(X)Xi2pi2，其中Pi是x的分布列.i 1利用公式計算：V(X) E(X2) (E(X)2.活動二：基礎(chǔ)練習(xí)1. 袋中有大小相同的紅球 6個、白球5個，從袋中每次任意取出 1個球，直到取出的球是白球時為 止，所需要的取球次數(shù)為隨機變量，則 的可能值為.2. 已知隨機變量 X的分布列為P (X=i)=丄(i=1 , 2, 3),則P (X=2)=.2a13 .如果 B 15,-，則使P ( =k)取最大值的k值為 .44

7、 .已知的概率分布-101P111236則在下列式子中， E ()=-；V()=竺；P( =0)=正確的個數(shù)是32731115 .已知的分布列為=-1,0,1,對應(yīng)P=-,-,-,且設(shè) =2 +1,則 的期望是 .2636. 甲、乙兩人輪流投籃直至某人投中為止，已知甲投籃每次投中的概率為0.4，乙每次投籃投中的概率為0.6，各次投籃互不影響.設(shè)甲投籃的次數(shù)為，若乙先投，且兩人投籃次數(shù)之和不超過4次，求的概率分布.活動三：典型例題例1某商場舉行抽獎促銷活動，抽獎規(guī)則是：從裝有9個白球、1個紅球的箱子中每次隨機地摸出一個球，記下顏色后放回，摸出一個紅球可獲得獎金10元；摸出兩個紅球可獲得獎金 50

8、元.現(xiàn)有甲、乙兩位顧客，規(guī)定：甲摸一次，乙摸兩次，令X表示甲、乙兩人摸球后獲得的獎金總額.求：(1) X的概率分布；(2) X的均值.例2 一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6個交通崗，假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是1 .3(1 )設(shè)X為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X的分布列；(2) 設(shè)Y為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y的概率分布；(3) 求這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率第6頁共5頁例3甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩 個保護區(qū)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的概率分布分別為0123P0.3

9、0.30.20.2試評定這兩個保護區(qū)的管理水平012P0.10.50.4活動四：自主檢測1 設(shè)一隨機試驗的結(jié)果只有 A和A，且(A)=p,令隨機變量X= 1A出現(xiàn)，則x的方差V(X)=0 A不出現(xiàn)2 若某一射手射擊所得環(huán)數(shù)X的概率分布如下：X45678910P0.02 -0.040.060.090.280.290.22 -則此射手“射擊一次命中環(huán)數(shù)X 7”的概率是.3 設(shè) B (n, p),若有E( )=12 , V( )=4，則n、p的值分別為4 .設(shè)隨機變量X的概率分布為：X123nPk2k4k2n-1 k :則k=5. 有甲、乙、丙、丁四名網(wǎng)球運動員，通過對過去戰(zhàn)績的統(tǒng)計，在一場比賽中，甲對乙、丙、丁取 勝的概率分別為0.6 , 0.8 , 0.9.(1)若甲和乙之間進行三場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；(2) 若四名運動員每兩人之間進行一場比賽，求甲恰好勝兩場的概率；(3) 若四名運動員每兩人之間進行一場比賽，設(shè)甲獲勝場次為，求隨機變量的概率分布.6. A、B是治療同一種疾病的兩種藥，用若干試驗組進行對比試驗.每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用A,另2只服用B,然后觀察療效.若在一個試驗組中，服用A有效的小白鼠的只數(shù)比服用B有效的多，就稱該