地震偏移成像

1、地震成像原理與方法第一章偏移成像第一章三維疊前深度偏移成像理論與方法第三章共聚集點(diǎn)偏移第四章共反射面疊加第五章偏移速度建模第一章偏移成像 1.1偏移成像的基本原理 1.2波動(dòng)方程偏移 1.3疊前偏移 1.4偏移速度分析 1.5深度偏移 1.6三維偏移 1.7二維和三維疊前深度偏移地震技術(shù)的發(fā)展趨勢(shì):1. 三維疊前深度偏移（3DPSDM）-地震成像（波動(dòng)方程法3DPSDM, CRS疊加,CFP 偏移）2. 四維地震-開發(fā)地震（VSP技術(shù)，P-S 技術(shù)， 井間地震,3D_AV0技術(shù)，4D地震， 彈性波阻 抗反演，裂縫分析，巖石物理，地震相與地震屬性分析，油藏描述等）Reflect on point

2、 smeari ng2(h / D)cos sinNMO_DMO_PostMigCorrecti on三大處理技術(shù)：反褶積、疊加、和偏移成像反褶積和疊加引自其它相關(guān)學(xué)科偏移成像基于古典技術(shù)偏移成像：1.具有地震勘探本身的特征。2. 計(jì)算機(jī)使其研究由地震波運(yùn)動(dòng)學(xué)特征過渡到地震波動(dòng)力學(xué)特征3. 提高地震空間分辨率和保真度 1.1偏移成像的基本原理i. 偏移成像的概念偏移反偏移反射地震方法：1. 激發(fā)彈性波，2.記錄反射波，3.研究地質(zhì)巖層結(jié)構(gòu)和物性特征。是一種反散 射問題。反射地震成像分做兩步：1記錄反射波，2.處理反射波。地震偏移技術(shù)是使反射界面最佳成像的一 種技術(shù)。1.偏移成像的基本概念地震偏

3、移：疊前或/和疊后偏移疊前偏移：使CSP道集記錄或COF道集記錄中的反射波歸位,繞射波收斂疊后偏移：基于水平疊加剖面，米用爆炸反射面概念實(shí)現(xiàn)傾斜反射層歸位和繞射波收斂偏移原理和偏移效果見下圖仃）地質(zhì)剖中的反射層面頷角總是大于時(shí)間剖向中相應(yīng)反射波的傾甬偏移使反射界 面變陡；?。└鋵拥拈L度，就鬆在地質(zhì)剖面中所屯的那樣總足比時(shí)間制面中短.所垃冏移 使反射界面編更；偏移原理圖偏移過程的定量分析圖備琢使反射層往止慣方向歸位w(a)W(O?5-i ca關(guān)中心點(diǎn)畫to剖面， 備豚剖面c）陰顯鏡射渕-偏務(wù)前的Wi相軸晰J 偏移后的幽崗相閔粧便鎖蟄同和昶歸儻劃它的冥實(shí)他下屛制加井棲規(guī)肘涵收披郵其J倍爐.點(diǎn)茴堆

4、崔出了it丘 鴿選界2. 發(fā)展史1）.古典的偏移技術(shù)（60年代前）-反射點(diǎn)的空間位置成像；2）.早期的計(jì)算機(jī)偏移技術(shù)（6070年代） -定性和概念性地對(duì)反射波運(yùn)動(dòng)學(xué) 特征成像；3）.波動(dòng)方程偏移技術(shù)（70年代后）定性或/和定量地對(duì)反射波運(yùn)動(dòng)學(xué)或/和動(dòng)力學(xué)特征成像.波動(dòng)方程偏移技術(shù)的發(fā)展1）.有限差分法波動(dòng)方程偏移：70年 代初期，J.CIaerbout教授首先提出了 用有限差分法解單程波動(dòng)方程的近似 式，用地面觀測(cè)的地震數(shù)據(jù)重建地震 波在地下傳播過程中的波場(chǎng)，從這些 傳播過程的波場(chǎng)中提取使地震界面成 像的那些數(shù)據(jù)，組成地震偏移剖面。由于這種偏移方法在計(jì)算過程中要解 波動(dòng)方程或其近似式，所以被稱

5、為波 動(dòng)方程法偏移技術(shù)。2(a)2341234圉弓-2 wftiii盼用曲移百（沖吉曲聲時(shí)界車斗向利和青叔、尹1丁狀詳胡 18祝H 正文 J If0i Coupanyl2）. Kirchhoff積分法波動(dòng)方程法偏移:70年代中期，F(xiàn)rench和Schneider等在繞射偏移法的基礎(chǔ)上使用了波動(dòng)方 程解的Kirchhoff積分公式，發(fā)展為地震偏移的波動(dòng)方程積分法。使繞射偏移建立在可靠的波的基本原理上。因而改善了偏移剖面，取得了良好的效果。3）.富里葉變換法波動(dòng)方程法偏移：70年代后期，Stolt和Gazdag等又先后提出 了在頻率-波數(shù)域解波動(dòng)方程，外推地震波場(chǎng)的方法。這種方法被稱為 F-K域偏

6、 移方法。由于該方法計(jì)算簡單，效率高，因而很快得到了推廣。3. 移方法分類矣論i滋度曼t的情況.時(shí)間忖移適尉于瞬加刊乘上掃繞旺海應(yīng)構(gòu)進(jìn)中廝用*融珥于謹(jǐn)慶有嚴(yán)商變化曲 情配+建度的櫃向童ft車大時(shí)曳麗用加制曲“構(gòu)進(jìn)慟苛，連度秋閆龍化副烈時(shí)込用-代聞跺孫僞移杯俑移適用卡社加刖面舉年熠冷聲旳面相竽宵怛不適合切猜度不同帕相沖堆矗或耆是向建廈樺度鴨女旳堆X .把繭卻分陽移（斜時(shí)帶WMO）：通過饕加右的恨掙再列電奸的程捕* 酢郁廿忖 棒R解決耳棄不訶豊加遠(yuǎn)廈的和沖傾用覽託問樓輯*時(shí)同幅瓚輸出條移剖面軍產(chǎn)生未經(jīng)怕移的申間帥剖面新U不址受壊出弩博棘人51怦週客眈陸律睦惻制曲止有怕親別曲也尤論也何述皚每 欣相亦

7、佩殆覽星閆邸融嚴(yán)務(wù)供但.牲前部分口轄甚這種泄用方堆戟 -種倆他.用于克農(nóng)嚴(yán)童橫創(chuàng)還廈F羽街情撫*這忖且無適怔合適的曲處碑=址a?后時(shí)何幽移舍加刑麗上出理有來口射州半血比禪的聞針岡描抽 向n這尼鼻旨4常刖的-呻三蝶俯移粘式*-丄樂百湍度恢移川來轉(zhuǎn)臥三廈址上梅遺SW11A烈嗽向扇嵐童化呵三雅柱削時(shí)間俯蚌在件詢部仆聞移下能輸議何國討；Z中包丈旁T愉銅竝帶反時(shí)時(shí)*nit機(jī)時(shí)允i札并ELZ能響HJ&ii&H蓋證虞戟唱這是k人樂Ftl喘的處理打港*二.基于射線理論的疊后偏移與疊前偏移?經(jīng)典的偏移方法和早期的計(jì)算機(jī)偏移方法?都是基于射線理論?經(jīng)典的偏移方法只研究到達(dá)時(shí)間。疊后偏移有圓弧切線法和線段移動(dòng)法；疊

8、前偏移包括橢圓切線法和交會(huì)法等?早期的計(jì)算機(jī)偏移方法利用了波前、繞射等地震波傳播的惠更斯原理，盡管只 是定性的、概念性的，但與手工操作法相比偏移剖面除了歸位精度提高外，還考 慮了波形特征。疊后偏移有波前模糊法、繞射曲線疊加法；疊前偏移有Rockwell 偏移疊加法和Paturet-Tariel偏移疊加法等。1.疊后偏移疊后偏移：即疊加偏移，是對(duì)疊加后的地震記錄做偏移。下面介紹圓弧切線法、 波前模糊法和繞射曲線（面）疊加法。1）. 圓弧切線法一次反射波NMO后,得到時(shí)間疊加剖面* 1zvto2 (1.1.1 )得到視深度剖面如果界面的傾角？ =0或者很小, 深度界面。如果界面傾角不可忽略, 實(shí)位

9、置。校正的做法是以地面各點(diǎn)為圓心， 以各點(diǎn)下至視界面的垂直距離為半 徑做圓弧，其圓弧族的切線即為 校正后的反射界面（v=cont ）。例如只有1度或更小，則視深度界面就是真 則應(yīng)當(dāng)進(jìn)行傾角校正，以求出反射界面的真當(dāng)速度是深度的函數(shù)時(shí)，例如 v = v0 （ 1 + bz），B為常數(shù)時(shí)，則圓弧的圓心不 位于地面上，而位于地面點(diǎn)的正下方某深度上。這時(shí)，圓心的深度和圓弧的半徑 由下式求出：1(1.1.2)z ch(v to) 11rsh(vo to)2）. 波前模糊法波前模糊法也可以稱為波前切線法，它是對(duì)疊加后的地震剖面進(jìn)行偏移的方法。這個(gè)方法是反推反射界面上的波場(chǎng)。以地面接收點(diǎn)為中心，把相當(dāng)于反射

10、到達(dá)時(shí)間上的值送到以 vt/2=z的深度為半 徑的圓弧上去。如果我們把深度z仍以雙程時(shí)間表示，就把反射數(shù)值送到以t為 半徑的圓弧上去（圖1-4 ）。把各道上的所有反射波值都按這個(gè)原則去做，并把 送到同一點(diǎn)的值疊加起來，就可以組成偏移剖面。把某道上某時(shí)間t上的振tit2 412 2Xi(1.1.3)幅值送到相鄰各道上的時(shí)間由下式算出：其中XiXiX0用波前振幅疊加來求反射界面發(fā)出的波前實(shí)際上就是用這種方法做切線 要求：較密的地震道和較高的信噪比，以得到滿意的偏移剖面。3）.繞射曲線（面）疊加法繞射曲線或繞射曲面疊加法是把地震剖面上的波場(chǎng)振幅值按繞射波時(shí)距曲線進(jìn) 行相加。因?yàn)槔@射波時(shí)距曲線與所有反

11、射波的時(shí)距曲線形狀相比較，其凸率最大,故亦可稱它為最大凸率法。圖$4液前偏移法的繪抵媲圖S5繞射疊加法的戴據(jù)傳送7L 2vt0 tan(1.1.5)具體做法是，當(dāng)要得到地震剖面上某個(gè)（X0,t 0）點(diǎn)的偏移后的數(shù)據(jù)時(shí)，我們要計(jì) 算一條以這點(diǎn)為頂點(diǎn)的繞射雙曲線。它在各道上的時(shí)間 t由下式算出：12 2tit24 XiV(1.1.4)式中XiXiXo在進(jìn)行偏移時(shí)我們把各道上等于上式時(shí)間t的波場(chǎng)值取出來疊加在（xo,t 0）點(diǎn)的波場(chǎng)值上，這就算完成了（ xo,t 0）點(diǎn)的偏移處理，如圖1-5所示。無論是波前模糊法還是繞射 疊加法，其基本原理都是根 據(jù)惠更斯原理提出來的。 波前模糊法是把一個(gè)道上的 波

12、場(chǎng)值送到各個(gè)道上去疊加 輸出道法；而繞射疊加 法是把各道上的相應(yīng)值取來 在一道上疊加輸入道法 兩者都符合反射波歸位和繞 射波收斂的要求，而且它們 的疊加值也相等。波前弧或繞射曲線在x方向上的范圍L稱為偏移孔徑。L的范圍是由最大實(shí)際傾 角來決定的。傾角越大，L越大；有效波越深，L也越大。L的大小可用下式來 估算：2 疊前偏移疊前偏移：即偏移疊加，是對(duì)疊加前的多次覆蓋的地震記錄先偏移，再疊加。下面介紹橢圓切線法、孔徑的中心，原則上應(yīng)當(dāng)位于 X。處，但也可以是不對(duì)稱的圖1-7是用繞射 疊加偏移法處理 前后的地震剖面c 從對(duì)比中可以看 出，偏移后剖面 上的地層層位關(guān) 系得到了正確的 反映。有利于地 質(zhì)

13、解釋。11偏移疊加法。1）橢圓切線法當(dāng)給定CSP記錄時(shí), 可用橢圓切線法（圖1-8）。 反射點(diǎn)（2D）位于以炮點(diǎn)和接 收點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓上， 這個(gè)橢圓的方程可表示為：2X2.2v t4Rockwell 偏移疊加法和 Paturet-Tarielv2t2 l2(1.1.6)對(duì)每個(gè)炮檢距的記錄上的反射波畫好橢圓弧。做橢圓弧族的切線即為偏移后的剖面。2）Rockwell偏移疊加法Rockwell偏移疊加法實(shí)際上是疊后偏移所使用的波前模糊法的一個(gè)擴(kuò)展。具體做法：把每個(gè)記錄道上任一 t時(shí)刻的采樣值，在以炮檢距中點(diǎn)的地面點(diǎn)為原 點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中送到以vt/2為長軸，（Jv2t2）/2為短軸的橢圓與各個(gè)地震記

14、錄道垂直線相交的各個(gè)點(diǎn)上去，并且與其它地震道送至該交點(diǎn)上的采樣振幅值相加，即得偏移疊加剖面。偏移疊加實(shí)質(zhì)上是用振幅疊加來做切線的。3） Paturet-Tariel偏移疊加法1971 年P(guān)aturet-Tariel用相同炮檢距的剖面進(jìn)行疊前偏移，把所有相同炮檢距的偏移后的剖面疊加得到偏移疊加剖面。疊前偏移的原理如圖1-9所繞射點(diǎn)M所產(chǎn)生的繞射波到達(dá)時(shí)曲線為:t212 2x h 2vto12 2x h 2v(1.1.7)當(dāng)炮檢距h=0時(shí)，上式表現(xiàn)為:式中t0為從M點(diǎn)到A點(diǎn)的雙倍旅 行時(shí)間。t x和tx0的曲線表示在 圖1-9的右圖中。為了進(jìn)行偏移，我們應(yīng)當(dāng)把 tx的曲線上的地震能量（即采樣 點(diǎn)振

15、幅）送到零炮檢距繞射雙曲 線的頂點(diǎn)M上去疊加。這樣，把 各個(gè)相同炮檢距的剖面偏移后疊 加在一起即得偏移疊加剖面。 圖1-10.偏移疊加剖面與疊后偏1.2 2 t t24x_1冷L02v(1.1.8)83移剖面對(duì)比圖(a).水平疊加剖面(b).疊后偏移剖面；(c). 偏移疊加剖面三.基于波動(dòng)方程的波場(chǎng)外推與地震成像原理使用波動(dòng)方程進(jìn)行偏移，首先就是要 重建反射波的原來波場(chǎng)。反射界面上 剛剛產(chǎn)生的反射波，就認(rèn)為是該反射面的像。為進(jìn)行波場(chǎng)外推，把波動(dòng)方程分解為上行波方程和下行波方程。1.上行波和下行波 波動(dòng)方程有兩個(gè)解，一般表示為exp i (t r/v)/r在地震勘探中一般 取深度方向向下為正z的

16、方向。向正z方向傳播的地震波稱 為下行波，即用exp i (t r / v) / r向負(fù)z方向傳播的波為上行波，即用exp i (t r / v) / r代表的波。下行波即入射波，上行波為反射波。分離過只有在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)的情況下上行波和下行波才是分離的 程如下：二維波動(dòng)方程為：2 2,2_u_uJu2 22, 2x z v t對(duì)(1.1.9)式相對(duì)x和t做二維付里葉正變換，并進(jìn)行算子分解得到:d2dz2kx2)d2dz2kz2(ikz)( ikz)i0dz dz(1.1.10 )9其中利用了波散關(guān)系:2 2kx kz 2V由(1.1.10 )式得出：(1.1.11 )d2i,v2

17、k；dz(1.1.13)其中，正號(hào)代表上行波方程，負(fù)號(hào)代表下行波方程。2 波場(chǎng)外推正向外推就是根據(jù)波在當(dāng)前位置上的振動(dòng)情況向波的自然傳播方向用 計(jì)算手段預(yù)測(cè)出波場(chǎng)。反向外推是向波的自然傳播方向的反方向上重建原來的波 場(chǎng)。對(duì)一個(gè)波場(chǎng)應(yīng)是進(jìn)行正向外推還是反向外推均有物理問題決定。1）上行波的外推du2(1.1.13)積分結(jié)果為:u（z z） i v2 kX z（1.1.14 ）e （z）（1）上行波正向外推公式上行波的正向外推式就是向負(fù)z方向的外推公式。從（1.1.14 ）式可求出為：i ： kX z（z） u（z z）e v（1.1.15）根據(jù)這個(gè)公式可以計(jì)算模擬反射波的地震記錄（地震圖）。（2

18、） 上行波反向外推公式上行波的反向外推式就是向正z方向的外推公式。從（1.1.14 ）式可得出為：2M- kX z（ 1.1.16）（z z） （z）e v根據(jù)這個(gè)公式可以進(jìn)行地震記錄的向下半空間延拓，求出地下任何一點(diǎn)的波場(chǎng), 實(shí)現(xiàn)地震波偏移的目的。2）下行波的外推(1.1.17)(1.1.18)一2積分結(jié)果為：d(z z) i V2 kx2 ze d(z)據(jù)此可以得出下行波的正、反向外推公式（1）下行波正向外推公式 推式為：下行波的正向外推式是指沿正z方向的外推。其外d(zz)(z)ez(1.1.19)2）下行波反向外推公式 式為：下行波的反向外推是指沿負(fù)z方向的外推。其外推r 2這個(gè)方程可

19、用來模擬下行波的地震記錄(z) (zz)ebkXz(1.1.20)上式可用來從下行波場(chǎng)進(jìn)行反向求源的計(jì)算工作 下面分析波場(chǎng)本身的條件對(duì)外推結(jié)果的影響kz(1.1.21)當(dāng)kkx時(shí)，kz為正或負(fù)的實(shí)數(shù)，這時(shí)所有外推公式中存在虛指數(shù)。 說明在外推過 程中波場(chǎng)發(fā)生相位變化。一般都能得出正確的結(jié)果。當(dāng)kx k 時(shí)，kz值為虛數(shù):kz i.k；k2( 1.1.22)(zz)(z)e2 2 kx k波場(chǎng)外推時(shí)只有振幅變化，而無相位變化（1.1.23）當(dāng)指數(shù)項(xiàng)取負(fù)號(hào)時(shí)，外推的波場(chǎng)迅速衰減，稱這種波為 倏逝波。當(dāng)指數(shù)項(xiàng)取正號(hào)時(shí)，外推波場(chǎng)迅速增大，這是一種實(shí) 際不存在的波，只是進(jìn)行波場(chǎng)計(jì)算時(shí)發(fā)生， 我們稱它為耗

20、損波。在計(jì)算中要避免 發(fā)生這種情況。當(dāng)kx k 時(shí)，上行波的外推式可寫為:U （z z）vkX k2 z（ 1.1.24）e此時(shí)反向外推遇到倏逝波，正向外推發(fā)生耗損波。分別表示為:.2 . 2(1.1.25)u(z z) (z)e kx k zkX k2 z( 1.1.26)u(z) u(z z)e由此可見，用上行波方程進(jìn)行向下波場(chǎng)外推永遠(yuǎn)是計(jì)算穩(wěn)定的。 而用上行波方程 進(jìn)行正向外推就可能遇到耗損波，因此有可能是不穩(wěn)定的。除非在計(jì)算中不斷地 把kxk的波場(chǎng)濾除掉。同理可求出kxk時(shí)下行波的外推式為：(z Zz( 1.1.27)(z)此時(shí)也是反向外推遇到倏逝波，正向外推遇到耗損波3) 波場(chǎng)外推的

21、Kirchhoff積分法Kirchhoff積分法并不直接解波動(dòng)方程，而是用數(shù)學(xué)方法來描述關(guān)于波的傳 播的惠更斯原理，從而求出空間上任一點(diǎn)波場(chǎng)值的。Kirchhoff早在1883年就證明了，從擾動(dòng)區(qū)向外某點(diǎn)M(x1,y1,z1)傳播的波 的t時(shí)刻的波場(chǎng)u(x1,y1,z1)可以從擾動(dòng)區(qū)封閉表面上的u(x,y,z,t-r/c) 波場(chǎng) 以及該波場(chǎng)對(duì)時(shí)間和表面法線方向的導(dǎo)數(shù)通過積分式求出來。因此要假定 u(x,y,z,t)在圭寸閉面上和圭寸閉面內(nèi)有直至二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。Kirchhoff利用了格林定理：(u 2v v 2u)dVVu v dS(1.1.28)1 9u取為波場(chǎng)函數(shù),1V RR2 (x x

22、j2 (y yj2 (z 乙)2當(dāng)把觀測(cè)點(diǎn)用包含有波前面在內(nèi)的封閉曲面包圍起來，如圖1-11 (a) , (b)那樣的封閉時(shí)，這樣的封閉面 S和它所包圍的體積V作為(1.1.28 )式的積分限， 經(jīng)過一定的推導(dǎo)后得出M(x,y,z)點(diǎn)的正向外推波場(chǎng)為：(1.1.29)這里n的方向取封閉表面的外法線方向。如果把觀測(cè)點(diǎn)M移至封閉面外，則有:(1.1.30)(1.1.29)式中u(x, y, z,tR)是推遲場(chǎng)(1.1.29 )式就是著名的Kirchhoff積分。它描述了物理波場(chǎng)傳播的過程，也滿 足奇次波動(dòng)方程，是它的積分形式解。對(duì)我們來說，也可以稱它為正向外推公式。 注意：Kirchhoff積分只

23、滿足均勻介質(zhì)的情況。下面討論用Kirchhoff積分進(jìn)行波場(chǎng)反向外推問題(地震偏移)。這時(shí)，所取的封 閉體積V應(yīng)在波前傳播方向的反方向，計(jì)算點(diǎn)M (x1 ,y2 ,z3 )就在這個(gè)封 閉體內(nèi)。根據(jù)格林定理同樣可求出形式上相同的反向外推的Kirchhoff積分式：u(x,yi,z,t)11_R4 S vR ndS(1.1.31)式中的u不再是推遲場(chǎng)，而是超前場(chǎng)u(x, y,乙 tR)(1.1.31)式為用于波場(chǎng)反向外推的 Kirchhoff積分式。它可用于上行波的 反向外推，也可用于下行波的反向外推。當(dāng)然，這種外推與正向外推不同，它 不 代表一個(gè)物理過程，而只是一種重建波場(chǎng)的計(jì)算過程。3 地震反

24、射波場(chǎng)成像從波動(dòng)場(chǎng)的觀點(diǎn)敘述反射波成像的一般原理。地震成像 地震偏移反射系數(shù)值反映該反射點(diǎn)反射系數(shù)相對(duì)值的反射波振幅反射成像實(shí)際上就是把地面上觀測(cè)到的反射波歸位到產(chǎn)生它的反射點(diǎn)上去。地震偏移與地震成像在現(xiàn)階段可以視為同一概念。地震偏移成像：一是上行波場(chǎng)的反向外推；二是在外推波場(chǎng)中提取成像值。Claerbout提出下述反射波成像原則： 反射面位于這些點(diǎn)上，其入射波的初至與反射波的產(chǎn)生時(shí)間相同如圖1-12所示反射波成像的基本公式可寫為:Map(x,z) u(x, z,td) d (x, z, td)(1.1.32)(1.1.32 )式?jīng)]有考慮反射系數(shù)隨著入射角變化的情況， 它實(shí)質(zhì)上是相位信 息的公

25、式?；蛘哒f，它對(duì)接近法線入射的情況時(shí)基本是正確的， 能夠反映反射系 數(shù)在各點(diǎn)上的變化情況。應(yīng)用(1.1.32)式涉及到要選擇下行波的初始時(shí)間。 這是一個(gè)困難問題。 我們通過假設(shè)下行波是最小相位而避開這個(gè)問題。我們把作為初始時(shí)間，可推出如下的反射圖象公式：Map(x,z) u(x,z,t)d(x,z,t)dt( 1.1.38)當(dāng)下行波是脈沖波時(shí),(1.1.38)式很精確。但是，如果d(x,z,t) 是一個(gè)短延續(xù)長度的子波時(shí)，它只是一個(gè)很好的近似成像公式。 1.2 波動(dòng)方程偏移地震偏移成像技術(shù)發(fā)展到今天已經(jīng)產(chǎn)生了各種形式的在各種域?qū)崿F(xiàn)的方法。歷史上曾經(jīng)起過作用的根據(jù)幾何光學(xué)原理的成像方法已經(jīng)被淘汰

26、?，F(xiàn)在正在流行的是建立在波動(dòng)方程基礎(chǔ)上的三種方法，即Kirchhoff積分法，有限差分法和F-K法及其各種變形。這三種方法由于有相同的數(shù)理基礎(chǔ)，因此它們的原理相同。 同時(shí)，因計(jì)算方法不同，它們之間又有許多不同之處。下面討論三種方法對(duì)水平 疊加地震剖面的偏移。一.頻率-波數(shù)域波動(dòng)方程偏移采用爆炸反射面的理論。為了成像，要求向地面以下反向外推地震波場(chǎng)。假 定z軸垂直向下為正，測(cè)線沿x軸，則u(x,z,0)表示偏移后的真實(shí)剖面，而 u(x,0,t)是未偏移的疊加剖面。在均勻各向同性完全彈性介質(zhì)中，用半速度代替地震波傳播速度，則標(biāo)量波 動(dòng)方程變?yōu)椋? 2 22-2) 0z(1.2.1)u(x, z,t

27、)(kx,kz,2u2u2x2u2 z2 u2 kx u2kz u(1.2.2)對(duì)(1.2.1 )式進(jìn)行傅里葉變換并利用(1.2.2 )式有22沙2kz2)0(1.2.3)其中正號(hào)代表上行波，負(fù)號(hào)是下行波1. Stolt偏移法設(shè)u(kx,kz,t)為u(x,z,t)的二維傅里葉變換，對(duì)(1.2.1)式進(jìn)行上述變換得到:y(kx24kz2)將(1.2.3)式代入上式有2 0QUJt2按上行波求解，即取正值得i tu(kx,kz,t) A(kx,kz)e其中A與t無關(guān)。令t=0,上式變?yōu)椋簎(kx,kz,0) A(kx,kz)從而，A(kx,kz)是待求的偏移剖面U(x，z，0)的傅里葉變換A(k

28、x,kz)。對(duì)F面討論用水平疊加剖面u(x，0，t)如何求出u(kx,kz,t)做傅里葉逆變換得:u(x,z,t) $ dkx A(kx,kz)ei t e i(kxx kzz)dkz4令z=0,上式變?yōu)椋簎(x,0,t) 丄 dkx A(kx,kz)ei(t kdkz( 2*4)4(125)設(shè)水平疊加剖面u(x,0,t)的二維傅里葉變換為B(kx,)，則B(kx, ) dx u(x,0,t)e i( t kxx)dt其逆變換為：u(x,0,t) A dkx B(kx, )ei( t kxx)d(1.2.6)4比較(1.2.4 )與(1.2.6 )有A(kx,kz)dkz B(kx, )d-J

29、這樣A(kx,kz) B(kx,)-dkz按上行波取正號(hào)并對(duì)kz微分得A(kx,kz) B(kx,2kzI122J kx /kz )v2 Jkx2/kz2(127)對(duì)A(kx,kz)做二維傅里葉逆變換得到:u(x, z,0)A(kx,kz)e i(kxX kzz)dkxdkz(128)u（x,乙0）就是要求取的偏移剖面（J的肘鏡肛？農(nóng)示 仃P(guān) 回中的一宦斜反射,ft）停移后，放附燙陽史了 +衛(wèi)稻至5 p 郎平玻數(shù)在遍移口不更；丸比鐵把鳴移酊的嚴(yán)店 痊彖宜金在俯移后的用）豐-豐圈引用 ChunJ acewit19： 1：圖1-16均速Stolt偏移流程上述偏移原理見圖1-15。由圖1-15和（1

30、.2.7 ）式可看出，在每個(gè)頻率=vk/2移向新的頻率=vkz/2時(shí)，要乘上一個(gè)振幅比例kz/k。通過這個(gè)頻率移動(dòng)，把 視傾角？轉(zhuǎn)換為真傾角？ 一。其流程見圖1-16。上述頻率一波數(shù)域的偏移方法稱為Stolt偏移方法Stolt法的偏移效果見圖1-17，1-18和S-S5-17交晞疫斡的判丘謂善威見團(tuán)如丁星大働甬匪制的十7 梯算番脈沖響應(yīng) 聶卷勰評(píng)和弧杷朝就林應(yīng)車建冬宀咆0）取t=0時(shí)的波場(chǎng)值，即可實(shí)現(xiàn)三維偏移成像。 此時(shí)，(1.2.31)1 u(x0,y,O,t -)( 1.2.32)丄 dA J2 z AR 利用（1.2.24 ）式將單程的上行波剖面u（x,y,0,t） 向下延拓，得到深度為

31、 z的面上的波場(chǎng)值。sin zkxk：coszk：izk；kykxkyizkxky(1.2.33)kyKirchhoff 積分法的偏移效果見圖1-23三.有限差分法波動(dòng)方程偏移下面討論使用有限差分法對(duì)水平疊加地震剖面的偏移問題。為了把上行 波方程表示為空間-時(shí)間域的表達(dá)式，需要把上行波方程表示為某種近似式。然 后在空間-時(shí)間域研究其差分方程及求解問題。最后討論一些計(jì)算方法和效果。1.上行波的空間-時(shí)間域方程為了適應(yīng)介質(zhì)速度的空間變化，我們要在空間-時(shí)間域中進(jìn)行偏移成像或地 震圖的模擬工作。首先就要把上行波方程表示在空間 -時(shí)間域中，這需要用到某種根式展開。1）二項(xiàng)式展開 下面我們將用到1（1

32、X）2這樣的二項(xiàng)式展開， 在這里我們介紹幾種 展開式。圖5-狂 丸希里去悍牡菲淖度淒幷說驗(yàn)為充仔新幵ET好帆蛉左工門咱伯農(nóng)明了譏怖衽，它見爭所目逹度呱于哥It辱度（昨雨 殖度】迪戒的(1) Taylor 展開這是一個(gè)眾所周知的顯式展開式，它一般表達(dá)為：（1 x執(zhí)語討詁即5(1234 )展開條件I XI 1。如果把這種展開式用于微分算子，在不進(jìn)行輔助處理時(shí)將找不到穩(wěn)定的有限差分 方程來解相應(yīng)的微分方程。因此我們?cè)谑褂枚?jí)近似以上的展開式時(shí)不能用這種 展開式。2）連續(xù)分式展開，或稱為 Pade展開這個(gè)展開式表示為如下形式（I X I 1）:2 11這是一種隱式展開式。其各級(jí)展開式如下一級(jí)展開式:(

33、1 X)21 2X二級(jí)展開式：(1 X)；1-1 -4二級(jí)展開式：(1 x)7(1235 )(1.2.36a)(1.2.36b)(1.2.36c)(1237)高級(jí)展開式可依此類推。(3)迭代展開這種隱式展開法，是把前一級(jí)的展開結(jié)果代入下一級(jí)的展開式中。設(shè)丄R (1 X)則逐次迭代展開式可表示為一級(jí)展開式：1冬2X二級(jí)展開式：R21 X 1 二2 1 24用這種展開方法得到的各級(jí)展開式如下。來代替1/R，則可以達(dá)到目的。上式中:(1.2.38a)(1.2.38b)盼1市Ro 1三級(jí)展開式:R3(1.2.38c)高級(jí)近似式可依此類推出來從（1.2.36）和（1.2.38）公式組可以看出，后兩種展開

34、是等價(jià)的2） 上行波的空間-時(shí)間域方程在第一節(jié)已經(jīng)求出了頻率-波數(shù)域的上行波方程（1.1.12）式:u z用迭代展開法展開上行波方程:i 1v2 2kxVi 1v2 2kxV1Rn(1.2.39)I, 22/2式中尺1 U ，R0 1由(1.2.39)式求出各級(jí)近似式如下。u .“2 2kxVi1,2一級(jí)近似式:zV2(1.2.40a)u .彳i12 22 kxV2 2.2 2 u二級(jí)近似式:zVkxV4 2(1.2.40b)(1.2.40c)二級(jí)近似式:2 21 kxV4 41 kxVi 1v2 21 kxV高級(jí)近似式可依次類推?，F(xiàn)在，我們把（ 時(shí)間域，求出一級(jí)近似方程。1.2.40a）式轉(zhuǎn)

35、換到空間-上行波方程（1.2.40a）式可改寫為:(1.2.41)對(duì)（1.2.41 ）式進(jìn)行傅里葉反變換:i (kx, z, )ei( t kxX)d dkx12 v2i( t kxx)u(kx, z, )ed dkx(1.2.42)Vkx(kx, z, )ei( t kxx)d dkx 04根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì):u(x,乙 t)1t22u(x, z,t)1t222u(x,z,t)1x22i (kx,z,)ei(t kxx*dkx(1.2.43a)2 (kx，z.)ei(t kxX)ddkx(1.2.43b)k：(kx,z,)ei(tkxX)ddkx(1.2.43c)2 13(1.2.51

36、)把(1.2.43a) (1.2.43b)和(1.2.43c)式代入(1242)式，得到:2 x212uv t2(1.2.44)上式就是空間-時(shí)間域的一級(jí)近似的上行波方程，常常被稱為15方程同理可求出空間-時(shí)間域的二級(jí)及二級(jí)以上近似的上行波方程。經(jīng)推導(dǎo), 空間-時(shí)間域的二級(jí)近似的上行波方程為：3233u v u 1 u7223t z4 x zv t3v3u4 x2 t(1.2.45)上式常常被稱為 45波動(dòng)方3）浮動(dòng)坐標(biāo)系中的單程波方程上行波方程在一定的浮動(dòng)坐標(biāo)系中可以簡化我們對(duì)二維波動(dòng)方程：2 2 2u u 1 u22272x z v t(1.2.46)進(jìn)行如下的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換：x xz zt t

37、 z v坐標(biāo)變換前后波場(chǎng)本身是不變的，因此存在:(1.2.47)u(x, z,t) u(x,z,t)(1.2.48)從（1.2.47）和（1.2.48）導(dǎo)出下列導(dǎo)數(shù)等式:22uu2,2xx222212uuuu2.2z t2zzvvt22uu,2,.2tt(1.2.49a)(1.2.49b)(1.2.49c)2 152uz2將（1.2.49）各式代入（1.2.46）式中得到新坐標(biāo)系中的波動(dòng)方程為:2 2u 2 u2x v z t上式變換到頻率-波數(shù)域?yàn)椋?2I 2 2 u ukxu i20v z z(1251)式可改寫為：2 2(1.2.52) 2 i u kx u z vv從上式得到下列關(guān)系式

38、：i z v z它表示坐標(biāo)變換前后的算子關(guān)系2一i u ipz vv因此，上行波方程可表示為：1k；（1.2.53）（1.2.53）式的右端項(xiàng)可展開為各級(jí)近似式，便得到上行波各級(jí)近似方程。一級(jí)近似式uz(1.2.54)二級(jí)近似式vk；ZK u4(1.2.55)uI 234vkx v kxi43三級(jí)近似式z24u2 q v2 k：1 22 2(1.2.56)高級(jí)近似式可依次類推。由以上各式用前述方法可求出空間-時(shí)間域的各級(jí)近似方程。下面給出一級(jí)和二級(jí)近似方程。一級(jí)近似方程用推導(dǎo)（1.2.44）式那樣的方法可以求出一級(jí)近似方程為:2uz t2ux2(1.2.57)與（1244）式相比，減少了一項(xiàng)。

39、從而也 減少了計(jì)算時(shí)間和差分時(shí)的時(shí) 間層（少了一層）。另外，保持了計(jì)算的穩(wěn)定性。二級(jí)近似方程用推導(dǎo)（1.2.45）式那樣的方法可以求出二級(jí)近似方程為：3uv23uv 3u0t2 z4x2 z2x2 t0（1.2.58）這個(gè)方程與（1.2.45）式相比也是少了一項(xiàng)。這也會(huì)減少計(jì)算工作量。2 有限差分法地震偏移技術(shù)如前所述，水平疊加地震剖面 可以看做是自激自收地震剖面；又可以 看做是所有反射面同時(shí)爆炸產(chǎn)生波源向地面?zhèn)鞑?，被地面的接收器記錄?上行波剖面。對(duì)于這種觀測(cè)結(jié)果，為了成像，要求 向地面以下反向外推地震波場(chǎng)。 在外推過程中假設(shè)地震剖面上無任何多次波，也不存在任何規(guī)則干擾波，如折 射波等。如果

40、在剖面上存在這些波，在外推過程中也都按反射一次波處理，但 它們是不能正確歸位的，只能造成偏移成像剖面的干擾。因此，如果存在這些 波，應(yīng)當(dāng)在偏移處理前把它們?yōu)V掉。1）浮動(dòng)坐標(biāo)下的有限差分法地震偏移v/2速度代替v。這樣,（1.2.59）采用浮動(dòng)坐標(biāo)系，只討論一級(jí)近似的上行波二階偏微分方程（1.2.57）的有限差分偏移問題?？紤]到爆炸反射面的概念，用（1.2.57）式可重新寫成：2 2u v u c2 0 t z 4 x而變。(1.2.60a)(1.2.60b)(1.2.60c)(1.2.60d)這里的速度，假設(shè)它是常數(shù)，在實(shí)用中它可以隨x和z（ x ,0 t T,0 z Z）u（x,乙T） 0u（x, z,T） 0tu（x,z 0,t）（x,t）u(x, Z,t) 0目的：通過解上述微分方程求出地面以下任何點(diǎn)（x,z 0）上的式中 u(x,z 0,t)（x,t）即為在地面所觀測(cè)的地震波場(chǎng)曾經(jīng)在該點(diǎn)出現(xiàn)過的上行波的波場(chǎng)值（位移或壓力場(chǎng)振幅）u（X,z,t