可化為一元一次方程的分式方程(提高)知識講解

1、可化為一元一次方程的分式方程(提高)【學習目標】1. 了解分式方程的概念和檢驗根的意義，會解可化為一元一次方程的分式方程.2. 會列出分式方程解簡單的應用問題.【要點梳理】要點一、分式方程的概念分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程 要點詮釋：(1)分式方程的重要特征：是等式；方程里含有分母；分母中含有未知數(shù)(2) 分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)(不是一般的字 母系數(shù))分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù) 的方程是整式方程(3) 分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉化為整式方程要點二、分式方程的解法解分式的基本思想：將分式方程轉化為整式方程 轉化方法是方程兩邊都

2、乘以最簡公分 母，去掉分母在去分母這一步變形時，有時可能產生使最簡公分母為零的根，這種根叫做 原方程的增根因為解分式方程時可能產生增根，所以解分式方程時必須驗根解分式方程的一般步驟：(1) 方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程(注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母)；(2) 解這個整式方程，求出整式方程的解；(3) 檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0,則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0,則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解要點三、解分式方程產生增根的原因方程變形時，可能產生不適合原方程的根，這種根叫做原方程的增根產生增根的原因：去分

3、母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是含有字母的式子，這個式子有可能為零，對于整式方程來說，求出的根成立，而對于原分式方程來說，分式無意義， 所以這個根是原分式方程的增根 要點詮釋：(1 )增根是在解分式方程的第一步“去分母”時產生的根據(jù)方程的同解原理，方程的兩邊都乘以(或除以)同一個不為0的數(shù)，所得方程是原方程的同解方程如果方程的兩邊都乘以的數(shù)是0,那么所得方程與原方程不是同解方程，這時求得的根就是原方程的增根(2)解分式方程一定要檢驗根，這種檢驗與整式方程不同，不是檢查解方程過程中是否有錯誤， 而是檢驗是否出現(xiàn)增根， 它是在解方程的過程中 沒有錯誤的前提下進行的要點四、分式方程的應用分式方程的應

4、用主要就是列方程解應用題列分式方程解應用題按下列步驟進行：(1) 審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關系；(2) 設未知數(shù)；(3) 找出能夠表示題中全部含義的相等關系，列出分式方程；(4) 解這個分式方程；(5) 驗根，檢驗是否是增根；(6) 寫出答案【典型例題】類型一、判別分式方程A .、下列關于x的方程，是分式方程的是(B.空Z1仝72【答案】【解析】B、C、D、3+x _D.解：A、方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；方程分母中不含未知數(shù)，故不是分式方程；方程分母中不含表示未知數(shù)的字母，n是常數(shù)；方程分母中含未知數(shù) x，故是分式方程.D.=1 -：2+x x故選D

5、.【總結升華】判斷一個方程是否為分式方程， 主要是依據(jù)分式方程的定義, 是否含有未知數(shù)(注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母).類型二、解復雜分式方程的技巧也就是看分母中02、解方程:131041x4 x-3 x-5 x1【答案與解析】解：方程的左右兩邊分別通分,3x 13x 1(x -4)(x -3)(x -5)(x -1)3x 1x 1 小0 ,(x-4)x(-3)x* 今(1)- 1 1 1(3x+1) | 1 = 0 ,T(x-4)(x-3) (x-5)(x-1)一3x + 1= Q 或:=0 ,(x 4)(x3) (x 5)(x 1)由 3x 0，解得 x = -1 ,3由(

6、x -4)( x -3)-0，解得 x = 7 .(x -5)(x T)x=7是原方程的根.【總結升華】 若用常規(guī)方法，方程兩邊同乘(x-4)(x-3)(x-5)(x-1)，去分母后的整式方程的解很難求出來. 注意方程左右兩邊的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右兩邊分別通分的方法來解.舉一反三:【變式】解方程+ +x 4 x 7 x 5 x 6【答案】解：移項得兩邊同時通分得(x 5) -(x 4) (x 7) -(x 6)(x 4)(x 5) (x 6)( x 7)即 1(x 4)( x 5) (x 6)(x 7)因為兩個分式分子相同，分式值相等，則分式分母相等.所以(x 4)(x 5

7、) =(x 6)(x 7),2 2x 9x 20 二 x 13x 42,2 2x 9x 20-x -13x -42 =0 ,-4x-22 = 0,11x =211檢驗：當 x時，(x 4)(x 5)(x 6)(x 7) = 0.11二 x是原方程的根.2類型三、分式方程的增根2 mx 33、( 1)若分式方程2有增根，求m值；x-2 x -4 x + 2k _11 k _5(2)若分式方程 22 有增根X = -1，求k的值.x -1 x -x x -x【答案與解析】解: (1)方程兩邊同乘(x，2)(x-2)，得 2( x 2) m 3(2).(m -1)x - -10 .10x =1 -m

8、由題意知增根為x = 2或x = -2 ,衛(wèi)=2或匹2.1m 1 _m(2)方程兩邊同乘 x(x 1)(x -1)，得(k -1)x -(X 1) =(k - 5)(x 1).3x = k - 4.k4x =3增根為x = -1 , y.3k = 1.【總結升華】（1）在方程變形中，有時可能產生不適合原方程的根， 這種根叫做原方程的增 根.在分式方程中，使最簡公分母為零的根是原方程的增根；（2）這類問題的解法都是首先把它們化成整式方程，然后由條件中的增根，求得未知字母的值.舉一反三：【變式】是否存在實數(shù) x，使得代數(shù)式 I與代數(shù)式1+ ；的值相等.x+2 x2 - 41-2【答案】解：根據(jù)題意

9、得：一 -一=1+亠,x+24x- 222去分母得：x - 4x+4 - 16=x - 4+4x+8 ,移項合并得：8x= - 16 ,解得：x= - 2,經檢驗x= - 2是增根，分式方程無解，所以不存在這樣的實數(shù) x,使得代數(shù)式一-一與代數(shù)式1+一的值相等.x+2 K2 - 4x- 2類型三、分式方程的應用4、（ 2016?婁底）甲、乙兩同學的家與學校的距離均為3000米.甲同學先步行 600 米,然后乘公交車去學校、乙同學騎自行車去學校.已知甲步行速度是乙騎自行車速度的丄，公2交車的速度是乙騎自行車速度的2倍.甲乙兩同學同時從家發(fā)去學校，結果甲同學比乙同學早到2分鐘.（1 ）求乙騎自行車

10、的速度；（2 ）當甲到達學校時，乙同學離學校還有多遠？【思路點撥】 根據(jù)時間量之間的關系來列分式方程，即甲同學比乙同學早到2分鐘.【答案與解析】解：（1 ）設乙騎自行車的速度為x米/分鐘，則甲步行速度是1 x米/分鐘，公交車的速度是2x米/分鐘，根據(jù)題意得600 3000 - 600 3000 o+ = - 2 -，2 *解得：x=300米/分鐘，經檢驗x=300是方程的根，答：乙騎自行車的速度為300米/分鐘；(2 )T 300 X 2=600 米，答：當甲到達學校時，乙同學離學校還有600 米.【總結升華】舉一反三：此題主要考查了分式方程的應用，根據(jù)題意得到乙的運動速度是解題關鍵.【變式】一慢車和一快車沿相同路線從A地到B地，慢車比快車早出發(fā) 2小時，在離 A地2276公里處快車追