廣工高等數(shù)學A1試卷及答案

1、廣東工業(yè)大學考試試卷(A )課程名稱： 高等數(shù)學A(1)試卷滿分100分考試時間：2008 年1月14日 ( 第20周 星期一)題號-一-二二三四五六七總分1234評卷得分評卷簽名復核得分復核簽名、填空題：(每小題4分，共20分)(X0 )不存在3.1. limx 3 t2e1 dt極限 lim 的值等于(x 1 In xA. eB. exx 22. 設y y(x)是由方程y 1 xey所確定的隱函數(shù)，則dy3.設 f(x)可導，則 lim f(2 2x)f(2)x 04.x(sin x e2x )dx =5.微分方程yy tanx cos2 x滿足初始條件y12的特解為二、選擇題:(每小題4

2、分,共 20 分)1.2.A. 1設函數(shù)f (x)在xsi nx 0Jx在x0處連續(xù)2xk,x 0B.0C.1設函數(shù)f(x)D. 2則有(,則x x0處取得極值,k ().f (X0)0B. ff (X0)0或f (x)不存在D. fA.C.(xo)D. 14.定積分 a2ax2dxa a20x2dx的值等于()A. a2B. a2C. a24D. a225. x 0 為 f(x)A.可去間斷點x1的(2 exB.無窮間斷點C 跳躍間斷點D.連續(xù)點二、計算題(每小題7分，共28分)1.求由參數(shù)方程xy3e上所確定的函數(shù)的二階導數(shù)2etd2ydx22求曲線 y x2(12lnx7)的凹凸區(qū)間和拐

3、點.3.計算定積分2 (x3222sin x) cos xd x .4.求微分方程y 8y16y e4x的通解.x).0 ,且已知f(0)1,四、(8分)證明：當 x 0時，2x In2(1 x) 2ln(1五、(8分)如果二階可微函數(shù)f (x)滿足方程：f (x)求 f(x).六、(7分)設f(x)在0,上連續(xù),在(0,)內(nèi)可導,求證：存在(0,),使得f ( ) f( )cotx七、(9分)設D是位于曲線 y xa 2a (a 1, 0 x )下方、x軸上方的無界 區(qū)域.(1)求區(qū)域D繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積 V(a);(2 )當a為何值時,V(a)最小？并求此最小值.廣東工業(yè)大學考

4、試答題紙課程名稱：高等數(shù)學A（1）試卷滿分100分考試時間：2008 年1月14日（第20 周 星期一）1. e5dy2.xey3. 2f（2）;sin x4.x cos x1 x2_e25 y sin xcosx題號-一-二二三四五六七總分1234評卷得分評卷簽名復核得分復核簽名一、填空題：（每小題4分，共20 分）（5 分）二、選擇題：（每小題4分，共20 分）12345BCADA三、計算題（每小題7分，共28分）dy（2&）2 2tte（3 分）1.解:dx（3e ）32e2t） dt3dx4 2t14 3tee33e t94 2t 13e dxdt（7 分）2.解:函數(shù)的定義域為：（0

5、,）y 24x1 nx 2x,（ 1 分）11y 24lnx 22,令 y 0 得 x e 12（3分）列表討論如下：111111x(0, e 12)e乃(e 12, + )y0+y凸1118e 6凹(5 分)11區(qū)間(0, e 1211為曲線的凸區(qū)間，區(qū)間e 12, +）為曲線的凹區(qū)間，11 11曲線有拐點：(e12,18e 6)（7 分）3. 解：因為x3cosx為一，2】上連續(xù)的奇函數(shù)，所以2 x3cosxdx 02(2 分)2(x3222sin x)cos xd x =sin22xcos xdx2 02sin22xdx =1 _4 02(1cos4x)dx(5 分)1(x.in4x)

6、2484. 解：特征方程為：r2 8r 160,特征根：r2 4(3 分)齊次方程的通解為：Y(6 C2x)e4x由于4為特征方程的二重根,且Pm(x) 1故可設原方程的一個特解為：y Ax2e4x(5 分)將其代入原方程得：1所以 y* x2e4x ,y (C C2x)e4x四、(8分)證明：令f (x) 2x2Ae4x e4x ,解得：A12從而求得原方程的通解為1 2 4xxe2ln 2(1 x) 2ln(1x),f (0) 0(7 分)0(2 分)令：g(x) x ln(1x), g(0)當 x 0 時，g(x)J 0,x(4 分)所以g(x)單調(diào)增加,g(x) g(0)(6 分)f

7、(x)單調(diào)增加,故當x0 時,f(x)f (0)0,即2x ln2(1 x) 2ln(1 x) 證畢(8 分)因此f (x)0,五、(8分)解：所給方程兩邊對x求導得:f (x)4f(x)0(1)(2 分)特征方程為：r2 4 0,解之得：r i,(4 分)方程(1)的通解為：f(x) C1 cos2x C2 sin2x 又f(0)1,代入式得：C11,所以f (x) cos2x C2 sin2x,f (x)2sin2x2C2 cos2x(6 分)由題目所給條件知:f (0)x4 f (t)dt)00,x 0代入得：C20,(8 分)于是求得：f (x) cos2xF()F(0)0,所以由羅爾定理，至少存在一點(0,),使得：F ( ) 0(5 分)又F ( ) f (x)sin x f (x)cosxx所以f ( )sinf ( )cos 0因為(0,),所以sin0,從而有(3 分)內(nèi)可導，且證畢(7 分)六、(7 分)證明：設 F(x) f (x)s inx,由題目所給條件知：F(x)在0,上連續(xù),在(0,cosf( ) .f( )cotsin七、(9分)解：(1)所求旋轉體的體積為V(a)xxa adx0(2 分)aIn axdaaIn axxa aaIna0xa adx =2 aIn a(5 分)(2)