中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法2

1、淺談中學(xué)數(shù)學(xué)中的反證法 摘要 小結(jié)在解題過程中怎樣由假設(shè)出發(fā)尋找矛盾 , 哪些類型的問題適用于反證 法, 以及在學(xué)習(xí)反證法的過程中應(yīng)注意的兩方面。 關(guān)鍵詞 反證法 命題 反設(shè) 歸謬 結(jié)論 0引言 反證法是數(shù)學(xué)的一種極其重要的方法，特別是遇到的一些直接證明難于入 手，甚至無法入手的問題，反證法可使證明變得輕而易舉。它和分析法、綜合法 一樣，有著悠久的歷史，應(yīng)用也相當(dāng)廣泛。 在中學(xué)數(shù)學(xué)中，反證法是一個難點(diǎn)。 在學(xué)習(xí)反證法之前， 學(xué)生在學(xué)習(xí)平行線、 相交線、三角形等各章中，證題用的都是直接證法，突然學(xué)習(xí)反證法，與已有的 證題習(xí)慣不同，所以學(xué)生初學(xué)反證法，會有排斥的心理。加之，現(xiàn)在課本要求不 高，例題

2、很少，學(xué)生與老師不重視，知識不鞏固，使學(xué)生無法深刻理解反證法的 作用。但是，中學(xué)生好奇心強(qiáng)，對新鮮事物興趣濃，抓住這一特點(diǎn)，從淺顯的、 學(xué)生熟知的事實(shí)入手說明“反證法”，再引導(dǎo)其抽象概括，就能收到很好的教學(xué) 效果。論文中通過幾個例子表現(xiàn)反證法的思維方式， 說明反證法在解題中的重要 作用，并總結(jié)哪些類型的問題適用于反證法。 深刻理解反證法的實(shí)質(zhì)， 切實(shí)掌握 它的解題要領(lǐng)，能提高邏輯思維能力和解決實(shí)際問題的能力。 1 反證法的由來 反證法是數(shù)學(xué)中的一種證明方法，它是與直接證法相對的間接證法的一種。 法國數(shù)學(xué)家J 阿達(dá)瑪在其所著初等數(shù)學(xué)教程（平面幾何卷）中作了最準(zhǔn)確、 最簡明扼要的描述：“反證法在于

3、表明，若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會 導(dǎo)致矛盾”。反證法作為一種最重要的數(shù)學(xué)證明方法，在數(shù)學(xué)命題的證明中被廣 泛應(yīng)用。歐幾里得證明“素數(shù)有無窮多”的結(jié)論，歐多克斯證明“兩個正多邊形 的面積比等于其對應(yīng)線段比的平方”的結(jié)論， “最優(yōu)化原理”的證明，伽利略 推翻“不同重量的物體從高空下落的速度與其重量成正比”的斷言， “上帝并非 全能”的證明，都用了反證法。 2 什么是反證法 反證法是從原命題結(jié)論的反面出發(fā)， 通過正確的邏輯推理過程， 導(dǎo)致矛盾的 結(jié)果，從而肯定原命題結(jié)論正確的證明方法。 它是反設(shè)后通過歸謬使命題得到證 明的方法，所以，反證法又稱“歸謬法” 。英國數(shù)學(xué)家哈代對于這種證法給過一

4、個很有意思的評論，在棋類比賽中，經(jīng)常采用一種策略，叫“棄子取勢” ，即犧 牲一些棋子以換取優(yōu)勢。 哈代指出，歸謬法是遠(yuǎn)比任何棋術(shù)更為高超的一種策略， 棋手可以犧牲的是幾個棋子， 而數(shù)學(xué)家可以犧牲整盤棋。 反證法就是作為一種可 以想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。 3 反證法的一般步驟 應(yīng)用反證法證題， 首先應(yīng)分清命題的條件和結(jié)論， 再按“反設(shè) 歸謬 結(jié) 論”三步進(jìn)行： 3.1 反設(shè) 作出與原命題結(jié)論相反的假設(shè)。 反設(shè)是應(yīng)用反證法的第一步， 也是關(guān)鍵的一 步。反設(shè)的結(jié)論將是下一步歸謬的一個已知條件。反設(shè)是否正確、全面，直接影 響下一步的證明。 作為反設(shè)其含義是： 假設(shè)所要證明的命題的結(jié)論不成立， 而

5、討 論的反面成立故應(yīng)準(zhǔn)確找到命題的結(jié)論， 抓住關(guān)鍵的字句進(jìn)行分析、 引導(dǎo)、示范、 訓(xùn)練，體會怎樣對命題的結(jié)論進(jìn)行正確、全面的否定。在訓(xùn)練時，主要做以下工 作：（1）正確分清題設(shè)和結(jié)論。 （2）對結(jié)論實(shí)施正確否定。一般而言，一種情形 是直接在結(jié)論前加“不”或去掉“不” 例如：是 不是，有 沒有，能 不 能，成立 不成立，存在 不存在，大于等于 不大于等于（即小于）等等, 此類問題的否定較為簡單。另一種情形是不能簡單地加“不”，例如，A :只有 一個，A :至少有兩個；A :至少有一個，A : 一個都沒有；A :至多有一個， A :有兩個或兩個以上；A:都在，A :都不在或不都在等等。這些應(yīng)多做分

6、析理 解。（3）對結(jié)論否定后，應(yīng)找出其所有的情況。例如， A :大于，A :不大于。 不大于即小于或等于。對這兩種情況在下一步的“歸謬”中應(yīng)一一證明不成立。 3.2歸謬以及肯定結(jié)論 反證法的“歸謬”是反證法的核心，其含義是：從命題結(jié)論的假設(shè)（即把反 設(shè)作為一個新的已知條件）及原命題的條件出發(fā)，引用一系列論據(jù)進(jìn)行正確推理， 推出與已知條件、定義、定理、公理等相矛盾的結(jié)果 ?！翱隙ńY(jié)論”其含義是： 判斷產(chǎn)生矛盾的原因在于反設(shè)是假， 從而肯定原命題是真。在教學(xué)中應(yīng)通過適當(dāng) 的例題，由淺入深地去引導(dǎo)學(xué)生如何尋找和探求矛盾， 矛盾產(chǎn)生常有以下幾種可 能。 3.2.1由假設(shè)或已知所推出的結(jié)果與已知條件相矛

7、盾 例1、已知p3 + q32，求證：p + q 2。 分析：這是一個不等式問題 （1）反設(shè)。結(jié)論是“ p+q 2”，則應(yīng)假設(shè)為p q 2，那么p q 2將作為下 一步“歸謬”的已知條件。 （2） 歸謬。p q 2是一個已知條件，結(jié)合題設(shè)分析 p、q均為三次方，故由 p q 2, 得 p 2-q, 所以 3323 p （2 q） 8 12q 6q q , 3322 p q 8 12q 6q 6（q 1）22, 33 p q 2. 這個結(jié)論與已知p3 + q3=2矛盾，而推理正確，故而假設(shè)錯誤， （3）肯定結(jié)論?？隙ńY(jié)論p + q 2正確，命題得證。 3.2.2由假設(shè)或已知推出的結(jié)果與已學(xué)定理相

8、矛盾 例2、已知:如圖1,設(shè)點(diǎn)A、B、C在同一直線上，求證：過 A、B、C三點(diǎn)不能 作圓 分析：命題的結(jié)論是一個否定性結(jié)論。 （1）反設(shè)。不能 能,假設(shè)過A、B、C三點(diǎn)能作圓，那么這個結(jié)論將作為下 一步“歸謬”的一個已知條件。 （2）歸謬。由上述假設(shè)過 A、B、C三點(diǎn)能作圓出發(fā)，設(shè)此圓圓心為 0,則A、 B、C三點(diǎn)中連任意兩點(diǎn)的線段是圓 0的弦，由垂徑定理：0既在AB的中垂線 0M上，又在BC的中垂線0N上，從而過點(diǎn)0有兩條直線0M與0N均與AC 垂直，這個結(jié)論就與定理“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”相矛盾。 推理正確，故而假設(shè)錯誤。 （3） 肯定結(jié)論。即過同一直線上三點(diǎn) A、B、C不

9、能作圓。 （圖1） 3.2.3由假設(shè)或已知推出的結(jié)果與已學(xué)性質(zhì)相矛盾 1 例 3、已知 a 0,b0 ,求證：一(a+b)、. ab 2 分析：(1)反設(shè)。結(jié)論是“，則應(yīng)假設(shè)丄(a + b). ab . 2 (2) 歸謬。丄(a + b ). ab, 2 /. a + b 2 ab /. a-2 . ab + b 0. (與已知結(jié)合)又 a 0,b0 , (ya -. b ) 2 0. 此結(jié)論與實(shí)數(shù)平方的非負(fù)性質(zhì)矛盾，說明假設(shè)錯誤. (3) 肯定結(jié)論。二丄(a + b ). ab . 2 3.2.4由假設(shè)或已知所推出的結(jié)果與已學(xué)公理相矛盾 例4、在同一平面內(nèi)，若h , J是垂直于直線I的兩條不

10、同的直線，則直線11 , I2不 相交。 分析：這是一個幾何問題，涉及到直線的垂直問題。 (1) 反設(shè)。假設(shè)l1， l2相交 (2) 歸謬。因為l1，I2相交，所以從直線I外一點(diǎn)(l1，I2交點(diǎn))引兩條直線l1，I2 同它垂直，又由平面幾何知識可知，從直線I外一點(diǎn)不可能引兩條不同直線I1，I2 同它垂直，這顯然與公理相矛盾，所以假設(shè)不成立。 (3) 肯定結(jié)論。命題成立，即若直線I1與直線I2同時垂直于直線I，則I1，I2不相 交。 3.2.5由已知所推出的結(jié)果與假設(shè)相矛盾 例5、已知a a+2，求證：a -1 分析：(1)反設(shè)。假設(shè)a -1. (2)歸謬。因為a 。貝q sin_A 1，所以

11、cos一C 1 2 2 6 2 2 2 這與cos-C 1矛盾，故假設(shè)不成立，所以 23 4.7其它類型命題 除了以上幾種常見題型宜用反證法， 還有以下幾種情形的命題可用反證法： 基本定理、公理以及一些定理的逆定理； 條件較少，且又無公理、定理可用； 直接證法較難，命題結(jié)論的反面更易于反駁。 總之，當(dāng)從已知條件出發(fā)要證出結(jié)論較困難時， 而此時結(jié)論的反面又比結(jié)論 本身更明確、更具體、更簡單、更易判斷時就可考慮用反證法。在學(xué)習(xí)和解決實(shí) 際問題的過程中須注意命題的結(jié)論中如有 “能”、“有”、“一定”等肯定性詞語時， 或有“不能”、“不是”、“不存在”、“不可得”等否定語句時，或命題結(jié)論中有“至 多”

12、、“至少”、“無窮”等詞語時?？煽紤]用反證法，另外不等關(guān)系的證明，當(dāng)結(jié) 論的反面容易否定時，也可用反證法。只要不斷地進(jìn)行探索和總結(jié)，就能切實(shí)掌 握如何應(yīng)用反證法。 5應(yīng)用反證法證題應(yīng)注意的兩方面 在反證法的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往由于對反證法的認(rèn)識不夠、 理解不深，缺乏證 明命題必要的邏輯推理能力，以致于常出現(xiàn)不少問題 5.1 “反證法”與直接證法的等效性 反證法作為一種間接證法，盡管在表現(xiàn)形式上和直接證法有所區(qū)別， 且作為 一種證明方法，它有時又是獨(dú)一無二的，但實(shí)質(zhì)上它和直接證法是等效的， 是可 以相互轉(zhuǎn)換的，它遵循的推理格式是（A B C C） （A B）。 例12：已知，如圖2, AC、BD分別

13、是AB的垂線、斜線且三線共面，求證：BD 與AC相交。 1、用直接證法：因為BD與AB斜交，而AC丄AB，所以BD與AC不平行，又 因為AC、BD共面，可知它們分別交直線 AB于A、B兩點(diǎn)，所以，AC、BC不 重合，即AC與BD相交（同一平面內(nèi)的兩直線不是平行，就是相交）。 2、用反證法：假設(shè)BD與AC不相交，則由題意可知 BD / AC,又因為AC丄 AB,所以BD丄AB,這與已知BD與AB斜交相矛盾，所以BD與AC相交。 舉反例是說明一個命題是假命題時一種常用的方法， 例如，要說明假命題“大 于一的角是鈍角”，只要隨便舉一個大于或等于畀的角，如 角，根據(jù)鈍角的 2 2 定義，它大于畀但卻不

14、是鈍角。反證法則是直接證明比較困難時而采用的一種間 接證法，且常應(yīng)用于證明真命題，其證明的步驟分為反設(shè)歸謬肯定原結(jié)論三段， 因此與舉反例相比，反證法在格式上更嚴(yán)格、規(guī)范，要求更高一些 6結(jié)束語 數(shù)學(xué)是一門邏輯性很強(qiáng)的科學(xué)，通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅能夠解決許多實(shí)際問題， 還可以在學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)人的思維能力。反證法作為一種重要的數(shù)學(xué)證明方 法，其獨(dú)特的證明方法和思維方式能使學(xué)生的思路開闊， 推理嚴(yán)密， 對發(fā)展學(xué)生 的智力、培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和創(chuàng)造性思維也是大有裨益的。 從數(shù)學(xué)中最基本 的性質(zhì)、定理到某些難度較大的世界名題， 若運(yùn)用反證法進(jìn)行證明， 也能夠收到 最佳效果。 參考文獻(xiàn) 1 喬罩琴，鮑云林“

15、反證法”問答江蘇：中學(xué)生數(shù)學(xué) .2004,5 月下 . 2 徐加生，紀(jì)健淺談用反證法證題的常見題型. 江蘇: 數(shù)學(xué)通報 .2007, 第 46 卷. 3 廉蒙巧用反證法證明代數(shù)題北京：思路方法技巧.2004. 4 王蘭卿反證法的一般步驟與形式大同：大同高專學(xué)報 .1998, 第 12 卷第 1期. ? 【唯美句子】 走累的時候，我就到升國旗哪里的一角臺階坐下，雙手撫膝，再閉眼， 讓心靈受到陽光的洗滌。懶洋洋的幸福。 頂 3 收藏 2 ? 【唯美句子】 一個人踮著腳尖，在窄窄的跑道白線上走，走到很遠(yuǎn)的地方又走回來。 陽光很好，溫暖，柔和。漫天的安靜。 頂 7 收藏 7 ? 【唯美句子】 清風(fēng)飄然

16、，秋水緩淌。一絲云起，一片葉落，剔透生命的空靈。輕輕用 手觸摸，就點(diǎn)碎了河面的臉。落葉舞步婀娜不肯去，是眷戀，是裝點(diǎn)？瞬間回眸，點(diǎn)亮了 生命精彩。 頂 11 收藏 9 ? 【唯美句子】 幾只從南方歸來的燕子，輕盈的飛來飛去，“幾處早鶯爭暖樹，誰家新 燕啄春泥，”其樂融融的山林氣息，與世無爭的世外桃源，讓人心曠神怡。 頂 0 收藏 2 ? 【唯美句子】 流年清淺， 歲月輪轉(zhuǎn)， 或許是冬天太過漫長， 當(dāng)一夜春風(fēng)吹開萬里柳時， 心情也似乎開朗了許多，在一個風(fēng)輕云淡的早晨，踏著初春的陽光，漫步在碧柳垂青的小 河邊，看小河的流水因為解開了冰凍而歡快的流淌， 清澈見底的的河水，可以數(shù)得清河底 的鵝軟石，偶

17、爾掠過水面的水鳥，讓小河蕩起一層層的漣漪。河岸換上綠色的新裝，剛剛 睡醒的各種各樣的花花草草，悄悄的露出了嫩芽，這兒一叢，那兒一簇，好像是交頭接耳 的議論著些什么，又好象是在偷偷地說著悄悄話。 頂 3 收藏 4 ? 【唯美句子】 喜歡海子寫的面朝大海春暖花開，不僅僅是因為我喜歡看海，還喜歡詩 人筆下的意境，每當(dāng)夜深人靜時，放一曲純音樂，品一盞茶，在腦海中搜尋詩中的恬淡閑 適。在春暖花開時，身著一身素衣，站在清風(fēng)拂柳，蝶舞翩躚的百花叢中，輕吹一葉豎笛， 放眼碧波萬里，海鷗，沙灘，還有揚(yáng)帆在落日下的古船，在心曠神怡中，做一簾紅塵的幽 夢。 頂 0 收藏 2 ? 【唯美句子】 繁華如三千東流水，你只

18、在乎閑云野鶴般的采菊東籬、身心自由，置身 置靈魂于曠野，高聲吟唱著屬于自己的歌，悠悠然永遠(yuǎn)地成為一個真真正正的淡泊名利、 鄙棄功名利祿的隱者。 頂 1 收藏 3 ? 【唯美句子】 世俗名利和青山綠水之間，你選擇了淡泊明志，持竿垂釣碧泉綠潭；權(quán) 力富貴和草舍茅廬之間，你選擇了寧靜致遠(yuǎn)，曉夢翩躚姹紫嫣紅。 頂 2 收藏 3 ? 【唯美句子】 那是一株清香的無名花，我看到了它在春風(fēng)夏雨中風(fēng)姿綽約的模樣，可 突如其來的秋雨，無情的打落了它美麗的花瓣，看著它在空谷中獨(dú)自凋零，我莫名其妙的 心痛，像針椎一樣的痛。秋雨，你為何如此殘忍，為何不懂得憐香惜玉，我伸出顫抖的雙 手，將散落在泥土里的花瓣捧在手心。

19、頂 4 收藏 5 ? 【唯美句子】 滴答滴答，疏疏落落的秋雨，趕著時間的腳步，嘩啦啦的下起來。聽著 雨水輕輕地敲擊著微薄的玻璃窗，不知不覺，我像是被催眠了一樣，漸漸的進(jìn)入了夢鄉(xiāng)。 頂 3 收藏 5 ? 【唯美句子】 在這極致的悲傷里，我看到了世間最美的愛，可誰又能明白，此刻的我 是悲傷還是歡喜，也許只有那撥動我心弦的秋季，才知道潛藏在我心中的眼淚。 頂 4 收藏 3 ? 【唯美句子】 看著此情此景，我細(xì)細(xì)地聆聽。像是聽到了落葉的呢喃，秋風(fēng)的柔軟， 在這極短的瞬間，他們一起訴說著最美的愛戀，演繹著永恒的癡纏。當(dāng)落葉安詳?shù)奶稍诖?地，露出幸福的模樣，你看，它多像一個進(jìn)入夢鄉(xiāng)的孩子。突然發(fā)現(xiàn)，秋風(fēng)并

20、非是想象中 的劊子手，原來它只是在葉子生命的最后一刻，讓它體會到愛的纏綿，飛翔的滋味。 頂 1 收藏 1 ? 【唯美句子】 很感謝那些耐心回答我的人，公交上那個姐姐，還有那位大叔，我不知 道他們是不是本地人，但我們遇到的一個交警協(xié)管，一位頭發(fā)花白的大姐，她是上海本地 人，很和善，并不像有些人說的上海人很排外。事實(shí)上，什么都不是絕對的。 頂 2 收藏 0 ? 【唯美句子】 我嗅到濃郁的香奈爾，卻也被那種陌生嗆了一鼻。也許，我卻不知道， 那時的感受了。那里沒有那么美好，沒有安全感，歸屬感。我想要的自由呢，不完全地體 驗到了。 頂 2 收藏 1 ? 【唯美句子】 那些繁華的都市，車水馬龍，燈紅酒綠，流光溢彩，卻充斥著一種悲哀， 浮夸。我看到各種奢華，卻也看到各種卑微，我看到友善親和，也看到暴躁粗魯，我看到 金光熠 ? 【優(yōu)美語句】 踏過一片海，用博識的學(xué)問激起片片微瀾；采過一叢花，正在聰慧的碰 碰外送來縷縷清噴鼻；無過一個夢，決定從那里啟程。 頂 0 收藏 0 ? 【優(yōu)美語句】 人生如一本書，應(yīng)該多一些精彩的細(xì)節(jié)，少一些乏味的字眼；人生如一 支歌，應(yīng)該多一些昂揚(yáng)的旋律，少一些憂傷的音符；人生如一幅畫，應(yīng)該多一些亮麗的色 彩，少一些灰暗的色調(diào)。 頂 0 收藏 0 ? 【優(yōu)美語句】 母愛是一滴甘露，親吻干涸的泥土，它用細(xì)雨的溫情，用鉆石的堅毅， 期待著閃著碎光的泥土的肥沃；