§221圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、 22.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 一、教學(xué)目標(biāo) （一）知識(shí)教學(xué)點(diǎn) 使學(xué)生掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)，能根據(jù)所給有關(guān)圓心、半徑的具體條件準(zhǔn)確地寫(xiě)出 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，能運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程正確地求出其圓心和半徑，解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題， 并會(huì)推導(dǎo)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. （二）能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過(guò)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生利用求曲線的方程的一般步驟解決一些實(shí)際問(wèn)題 的能力. （三）學(xué)科滲透點(diǎn) 圓基于初中的知識(shí)，同時(shí)又是初中的知識(shí)的加深，使學(xué)生懂得知識(shí)的連續(xù)性；通過(guò)圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程，可解決一些如圓拱橋的實(shí)際問(wèn)題，說(shuō)明理論既來(lái)源于實(shí)踐，又服務(wù)于實(shí)踐，可 以適時(shí)進(jìn)行辯證唯物主義思想教育. 二、教材分析 1重點(diǎn)：（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)步

2、驟；（2）根據(jù)具體條件正確寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. （解決辦法：（1）通過(guò)設(shè)問(wèn)，消除難點(diǎn)，并詳細(xì)講解；（2）多多練習(xí)、講解.） 2難點(diǎn)：運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題. （解決辦法：使學(xué)生掌握分析這類(lèi)問(wèn)題的方法是先弄清題意，再建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系, 使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡(jiǎn)單，最后解決實(shí)際問(wèn)題.） 三、活動(dòng)設(shè)計(jì) 問(wèn)答、講授、設(shè)問(wèn)、演板、重點(diǎn)講解、歸納小結(jié)、閱讀. 四、教學(xué)過(guò)程 （一）復(fù)習(xí)提問(wèn) 前面，大家學(xué)習(xí)了圓的概念，哪一位同學(xué)來(lái)回答？ 問(wèn)題1 :具有什么性質(zhì)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為圓？ 平面內(nèi)與一定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為圓（教師在黑板上畫(huà)一個(gè)圓）. 問(wèn)題2 :圖2-9中哪個(gè)點(diǎn)是定點(diǎn)？哪個(gè)點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)？

3、動(dòng)點(diǎn)具有什么性質(zhì)？圓心和半徑都反 映了圓的什么特點(diǎn)？ 圓心C是定點(diǎn)，圓周上的點(diǎn) M是動(dòng)點(diǎn)，它們到圓心距離等于定長(zhǎng)|MC|=r，圓心和半徑 分別確定了圓的位置和大小. 問(wèn)題3:求曲線的方程的一般步驟是什么？其中哪幾個(gè)步驟必不可少？ 求曲線方程的一般步驟為： (1) 建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x , y)表示曲線上任意點(diǎn) M的坐標(biāo)，簡(jiǎn)稱(chēng)建系設(shè)點(diǎn)；圖 2-9 寫(xiě)出適合條件P的點(diǎn)M的集合P=M|P(M)|,簡(jiǎn)稱(chēng)寫(xiě)點(diǎn)集； (3) 用坐標(biāo)表示條件 P(M)，列出方程f(x , y)=0，簡(jiǎn)稱(chēng)列方程； (4) 化方程f(x , y)=0為最簡(jiǎn)形式，簡(jiǎn)稱(chēng)化簡(jiǎn)方程； (5) 證明化簡(jiǎn)后的方程就是所求曲線的方程，

4、簡(jiǎn)稱(chēng)證明. 其中步驟(3)(4)必不可少. 問(wèn)題歸當(dāng)同0時(shí).jF(x)=占f(x) = a2是同解方程嗎7 當(dāng)盤(pán)0時(shí)跑)=a2 二- a) (Jf優(yōu))+ 亂)=U - a = 0 7f(x) = a(故當(dāng)AO時(shí)，Jf(x)=乩與F(x) = J是同解方程* 下面我們用求曲線方程的一般步驟來(lái)建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (二) 建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 1建系設(shè)點(diǎn) 由學(xué)生在黑板上畫(huà)出直角坐標(biāo)系，并問(wèn)有無(wú)不同建立坐標(biāo)系的方法教師指出：這兩 種建立坐標(biāo)系的方法都對(duì)，原點(diǎn)在圓心這是特殊情況，現(xiàn)在僅就一般情況推導(dǎo).因?yàn)镃是定 點(diǎn)，可設(shè)C(a , b)、半徑r，且設(shè)圓上任一點(diǎn)M坐標(biāo)為(x , y) 2 寫(xiě)點(diǎn)集 根據(jù)定義，圓

5、就是集合P=M|MC|=r 3. 列方程 由兩點(diǎn)間的距離公式得： 4. 化簡(jiǎn)方程 將上式兩邊平方得： (x-a)2+(y-b)2=r2 (1) 方程(1)就是圓心是C(a, b)、半徑是r的圓的方程我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 這時(shí)，請(qǐng)大家思考下面一個(gè)問(wèn)題. 問(wèn)題5:圓的方程形式有什么特點(diǎn)？當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，圓的方程是什么？ 這是二元二次方程，展開(kāi)后沒(méi)有xy項(xiàng)，括號(hào)內(nèi)變數(shù)x, y的系數(shù)都是1點(diǎn)(a , b)、r 分別表示圓心的坐標(biāo)和圓的半徑當(dāng)圓心在原點(diǎn)即C(0 , 0)時(shí)，方程為x2+y2=r2 教師指出：圓心和半徑分別確定了圓的位置和大小，從而確定了圓，所以，只要a, b, r三個(gè)量確定了且r0

6、，圓的方程就給定了. 這就是說(shuō)要確定圓的方程，必須具備三個(gè)獨(dú)立 的條件注意，確定 a、b、r，可以根據(jù)條件，利用待定系數(shù)法來(lái)解決. (三) 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用 例1寫(xiě)出下列各圓的方程：(請(qǐng)四位同學(xué)演板) (1) 圓心在原點(diǎn)，半徑是 3; (2)圓心在點(diǎn)C(久4),半徑是伍 經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(5 , 1)，圓心在點(diǎn) C(8 , -3); 圓心在點(diǎn) C(1 , 3)，并且和直線 3x-4y-7=0相切. 教師糾錯(cuò)，分別給出正確答案：(1)x2+y2=9 ; (2)(x-3)2+(y-4)2=5; 仗一叩+(尸紂二25;仗-廳+(?今二薯 指出：要求能夠用圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)熟練地寫(xiě)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. 例2說(shuō)出下

7、列圓的圓心和半徑：(學(xué)生回答) (1) (x-3)2+(y-2)2=5； (2) (x+4)2+(y+3)2=7; (3) (x+2)2+ y2=4 教師指出：已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要能夠熟練地求出它的圓心和半徑. (2)試判斷 例3(1)已知兩點(diǎn)P1(4 , 9)和P2(6 , 3)，求以P1P2為直徑的圓的方程; 點(diǎn)M(6, 9)、N(3 , 3)、Q(5, 3)是在圓上，在圓內(nèi)，還是在圓外？ 解： 分析一： 從確定圓的條件考慮，需要求圓心和半徑，可用待定系數(shù)解決. 解法一：(學(xué)生口答) 設(shè)圓心C(a, b)、半徑r，則由C為P1P2的中點(diǎn)得： 2 2 又由兩點(diǎn)間的距離公式得：-| I J-

8、- - I - 一 .1 一 所求圓的方程為：(x-5)2+(y-6)2=10 分析二：從圖形上動(dòng)點(diǎn) P性質(zhì)考慮，用求曲線方程的一般方法解決. 解法二：(給出板書(shū))直徑上的四周角是直角， 對(duì)于圓上任一點(diǎn) P(x , y)，有 PP1 丄 PP2.： , . * : , I. 化簡(jiǎn)得：x2+y2-10 x-12y+51=0 . 即(x-5)2+(y-6)2=10 為所求圓的方程. 解(2):(學(xué)生閱讀課本) 分別計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離： |CM|=才+卩一礦=皿 |CN戶(hù)+ 0比=V13 710； |CQ|=7(5-5)2=3 r; (3) 點(diǎn)在圓內(nèi)Pv r . 3. 以 A(x1 , y1)、B(

9、x2 , y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(證 明留作作業(yè)) 例4 圖2-10是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖.該圓拱跨度AB=20m拱高0P=4m在 建造時(shí)每隔4m需用一個(gè)支柱支撐，求支柱 A2P2的長(zhǎng)度(精確到0.01m). 此例由學(xué)生閱讀課本，教師巡視并做如下提示： (1) 先要建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系，使圓的標(biāo)準(zhǔn)方程形式簡(jiǎn)單，便于計(jì)算； (2) 用待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (3) 要注意P2的橫坐標(biāo)x=-2 V 0，縱坐標(biāo)y 0,所以A2P2的長(zhǎng)度只有一解. (四) 本課小結(jié) 1圓的方程的推導(dǎo)步驟； 2. 圓的方程的特點(diǎn)：點(diǎn)(a , b)、r分

10、別表示圓心坐標(biāo)和圓的半徑； 3. 求圓的方程的兩種方法：(1)待定系數(shù)法；(2)軌跡法. 五、布置作業(yè) 1求下列條件所決定的圓的方程： (1) 圓心為C(3 , -5)，并且與直線 x-7y+2=0相切； (2) 過(guò)點(diǎn)A(3 , 2)，圓心在直線 y=2x上，且與直線 y=2x+5相切. 2. 已知：一個(gè)圓的直徑端點(diǎn)是A(x1 , y1)、B(x2 , y2). 證明：圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0. 3. 一個(gè)等腰三角形底邊上的高等于5,底邊兩端點(diǎn)的坐標(biāo)是(-4 , 0)和(4 , 0)，求它的 外接圓的方程. 4趙州橋的跨度是 37.4m，圓拱高約為7.2m,求這座圓拱橋的拱圓的方程. 作業(yè)答案: 1. (1)(x-3)2+(y+5)2= 32 (2)(鑾-2)a+(y-4)a ”或依一護(hù) + (y 導(dǎo)=了 2. 因?yàn)橹睆降亩它c(diǎn)為A(x1 , y1)、B(x2 , y2)，則圓心和半徑分別為 所以圓的方程為 yi仗 i -盹)+01 -升尸 =4 化簡(jiǎn)得：x2-(x1+x2)x+x1x2+y2-(y1+y2)y+y1y2=0 即(