打印一份離散型隨機變量典型題

1、離散型隨機變量典型題1有3張形狀、大小、質(zhì)量完全相同的卡片，在各張卡片上分別標(biāo)上0、1、2?，F(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張，讀出其標(biāo)號x，然后把這張卡片放回去，再抽一張，其標(biāo)號為y，記.二xy o（ 1）求.的分布列；（2 ）求E 和D o解：（1） 可能取的值為0、1、2、4 o（2分）且卩（5，卩（T）訂，P（諾，卩（一亡 （6分）所求的分布列為：匕 0124（8 分）5 P-9121(2)由(1)可知，999h51E =0122 ,41=19999( 11 分)D紅(0 -1)2 X59(1 -1)2x1 +(2 _1)2 x? +(4_1)2=蘭9999(14分）2.（本題滿分14分）甲

2、與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記正面朝上的次為E ；乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次為 n.（1）分別求E和n的期望；（2）規(guī)定；若E n，則甲獲勝，若E n ,則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率 解 E的可能取值為0, 1, 2, 3則E的分布列為E0123P13318888 I1 3313則 E E = 0123 -88882n的可能取值為0, 1, 2則n的分布列為5 / 11111424P(E n )=(8 48441 3所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為。2 163. 甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6,被甲或乙解出的概率為0.92.(1) 求該題

3、被乙獨立解出的概率；(2) 求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.解：(1)記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.設(shè)甲獨立解出此題的概率為P-乙為P2.( 2分)則 P( A)=Pi=0.6,P(B)=P2P(A B) =1 - P(A B) =1 一(1 一 R)(1 一 P2) = RP2 - RP2 =0.92.0.6 P2 -0.6P2 -0.92則 0.4P2 =0.32即 P2 =0.8(7分)(2)P( =0) = P(A) P(B) =0.4 0.2=0.08P( =1) = P(A)P(B) P(A)P(B) = 0.6 0.2 0.4 0.8 =0.44P( =2) = P(A

4、) P(B) =0.6 0.8=0.48的概率分布為:012P0.080.440.48E = 0 0.081 0.442 0.48 = 0.440.96 = 1.4D = (0 -1.4)2 0.08(1 -1.4)2 0.44(2 1.4)2 0.48二 0.15680.07040.1728 =0.4或利用 D 二 E( 2) -(E )2 =2.36 -1.96 =0.4(12分)4. 口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標(biāo)有數(shù)字1，三張標(biāo)有數(shù)字2，二張標(biāo)有數(shù)字3,第一次從口袋里任里任意抽取一張，放回口袋里后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為 .(I)為何值時，其

5、發(fā)生的概率最大？說明理由;(n)求隨機變量的期望E 。解(I)依題意，隨機變量的取值是2、3、4、5、6因為P( =2)斗2 ；8264(=3)2 32188264(=4)2322 3 221(=6)8264(=5)=82642248264 所以，當(dāng)=4時，其發(fā)生的概率21P (=4)- 一最大8分918 211264415(n) E =234 -56 -12分646464646445.(本小題滿分12 分)A有一只放有x個紅球，y個白球，z個黃球的箱子(x、y、z 0,且 x+y+z=6),B有一只放有3個紅球，2個白球，1個黃球的箱子，兩人各自從自己的箱子中任取一球比顏色，規(guī)定同色時為A勝

6、，異色時為B勝(1 )用x、y、z表示B勝的概率；(2)當(dāng)A如何調(diào)整箱子中球時，才能使自己獲勝的概率最大？ 解：(1)顯然A勝與B勝為對立事件，A勝分為三個基本事件：x 1PS)在 2，P(A2)13，p(a3)A!:“A、B均取紅球”；A2： “A、B均取白球”：A3： “A、B均取黃球”3x+2y+z d、 . 3x+2y+z P(A)= P(A) P(A2)P(A3), P(B) =1 -3636(2)由(1 )知 P(A)二 3x 2y z，又x y z = 6, x _ 0, y _ 0, z _ 036十曰3x + 2y+z 12+xz 1.-門口 亠仆亠口仏于是P(A),當(dāng)x=6

7、, y=z=0，即A在相中只放6363621個紅球時，獲勝概率最大，其值為26 某中學(xué)有5名體育類考生要到某大學(xué)參加體育專業(yè)測試，學(xué)校指派一名教師帶隊，已知2每位考生測試合格的概率都是-,3(1)若他們乘坐的汽車恰好有前后兩排各3個座位，求體育教師不坐后排的概率;若5人中恰有r人合格的概率為 旦，求r的值;243記測試合格的人數(shù)為，求的期望和方差。解：(1)體育教師不坐后排記為事件A,貝 V P(A)二 cyC62 1(2)每位考生測試合格的概率P，測試不合格的概率為1 -P =-3 3r r則 B(r) =C5 P (1 _P)5 -T80243r rr,2、r,1、5_rC_28035，即

8、 C5 (-) (3)C/2r = 80 , r =3h2-B(5,)3u210KE =5, D3 37袋中有1個白球和4個黑球，每次從其中任取一個球，直到取到白球為止(I)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差；(n)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時，求取球次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解(I)當(dāng)每次取出的黑球不再放回時，設(shè)隨機變量是取球次數(shù)，因為每次取出的黑球不故隨機變量的概率分布列為:12345p111115.555.5再放回，所以的可能取值為1，2，3, 4，5，易知P( =1)1C5c1P( =2)=CC5= 5,p(5c1=3)= CC5cC；c1P( =4)占C5c3c1 1C

9、；c3 c；= ；,P( =5)=5c1cE =1 12 1 3 14 15 1 =3,D=(1 3)2(23)2 1 (33)2 -5555555555555555212122222八(4 -3)(5 -3)(21012 )=2. .6分555(n)當(dāng)每次取出的黑球仍放回去時，設(shè)隨機變量 是取球次數(shù)，因為每次取出的黑球4 1仍放回去，所以的可能取值是一切正整數(shù)，P( =kH(-)kJ ,k =1,2J|BH5 5n123nP154 15 5(4)2 1(護1所求概率分布為AA丄=5,D 二E 2(E )2 k2一52 = 20.5k55&如圖，一輛車要直行通過某十字路口，這時前方剛好由綠燈轉(zhuǎn)

10、為紅燈.該車前面已有4輛車依次在同一車道上排隊等候(該車道只可以直行或左轉(zhuǎn)行駛).已知每輛車直行的概率為2 一 1，左轉(zhuǎn)行駛的概率.該路口紅綠燈轉(zhuǎn)換間隔均為 1分鐘.假設(shè)該車道上一輛直行的車駛出33停車線需要10秒，一輛左轉(zhuǎn)行駛的車駛出停車線需要20秒.求：(1) 前面4輛車恰有2輛左轉(zhuǎn)行駛的概率為多少？(2) 該車在第一次綠燈亮起的1分鐘內(nèi)能通過該十字路口的概率(汽車駛出停車線就算通過路口)(1)今心(4分)(3) 假設(shè)每次由紅燈轉(zhuǎn)為綠燈的瞬間，所有排隊等候的車輛都同時向前行駛，求該車在這 十字路口候車 時間的數(shù)學(xué)期望。7 / 11停車蜒(2) C：(3)4 C：(|)3(3)滲(8分)(3

11、)設(shè)該車在十字路口停車等候時間為 t，則時間t的分布列為時間t(min)13概率P161127271611 49則停車時間的數(shù)學(xué)期望為1 16 3二竺min.(13分)2727 279 某校一個研究性學(xué)習(xí)團隊從網(wǎng)上查得，某種植物種子在一定條件下的發(fā)芽成功的概率為11，于是該學(xué)習(xí)團隊分兩個小組進行驗證性實驗2(I)第一小組做了 5次這種植物種子的發(fā)芽實驗(每次均種下一粒種子)，求他們的實驗至少有3次成功的概率；(n)第二小組做了若干次發(fā)芽實驗(每次均種下一粒種子)，如果在一次實驗中種子發(fā)芽成功就停止實驗，否則就繼續(xù)進行下次實驗.直到種子發(fā)芽成功為止，但實驗的次數(shù)不超過5次求這一小組所做的種子發(fā)芽

12、實驗次數(shù)的分布列和期望。解：(I)至少有3次成功包括3次、4次和5次成功，即：啄1)2 十 c；d)4(1-)gdlo.s 4,2 2 2 2 2(n)依題意有：- .12345P111丄丄248161661 1 1 1 1 31+2嫌 冷一匯 4T 卄疋一 =4-2 481 61 61 610從分別寫有1, 2,3, 4,5,6,7,8,9的九張卡片中，任意抽取兩張，計算：(I)卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率；(n)當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時，就說這次試驗成功，求在15次試驗中成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。(n)次試驗成功的概率為P=C3 曽。3 =3，從而 E B.J5,1故產(chǎn)1E- =n p

13、=15疋_ =5。9 / 1111 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中 6題，乙能答對其中的 8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格。(I)求甲答對試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。0123p1P 311 :301026(n)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。解：(I)依題意，甲答對試題數(shù)的概率分布如下:4分甲答對試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望:21 3119E&：=0123 -301026 5(n)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為則 P(A)二 C6C4 C660 2080C3。120_120C - Cs56 56112141201201

14、59分(文6分)甲、乙兩人考試均不合格的概率為:214111P(AB) =P(A) P(B) =(1)(1):一153 15 45甲、乙兩人至少一個合格的概率為44p =1 _p(AB)=14545理文均12分12. 出租車司機從飯店到火車站途中有6個交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇紅燈這一事件是相互獨立的，并且概率都是 1。3(I)求這位司機遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率;II)求這位司機在途中恰好遇到三次紅燈的概率。解：(1 )這位司機在第一、第二個交通崗都未遇到紅燈，第三個交通崗遇到了紅燈所以卩=(1_)(1_丄)133327(II)這位司機在途中恰好遇到三次紅燈的概率為13分2人，會

15、跳舞的有P( 0)吒13 學(xué)校文娛隊的每位隊員唱歌、跳舞至少會一項，已知會唱歌的有人，現(xiàn)從中選2人設(shè)為選出的人中既會唱歌又會跳舞的人數(shù)，且(I) 求文娛隊的人數(shù)；(II) 寫出的概率分布列并計算E .解：設(shè)既會唱歌又會跳舞的有x人，則文娛隊中共有(7-x)人，那么只會一項的人數(shù)是(7-2 x )人.(I)T P( 0) =P( 一 1)=1P( =0)誌，匕3二 P( =0) 3分10即爭3 氐10(7 _2x)(6 _2x) _ 3(7_x)(6_x) -10 x=2. 5 分故文娛隊共有5人. 7分P( T)二c2 c4c245，P( =2)=1011分（II）的概率分布列為匕012P34

16、110510.341八-E 0. 12=1. 13 分1051014. 一臺儀器每啟動一次都隨機地出現(xiàn)一個10位的二進制數(shù)a1a2a|a10，其中A的12各位數(shù)字中，a1 =1，ak（k =2,3,丨1（ ,10）出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為一，例如：3 3A = 1001110001，其中 a a a a a 0， a a5 a ag 1 ，記S =印 a? a3 |l（。當(dāng)啟動儀器一次時，（1 ）求S = 3的概率；（2）求S = 5，且有3個1連排在一起其余無任 2個1連排在一起的概率。2 2 2 1 7 16解：（1）p=c；（2）2（1）7 弓；3 33（2）P =應(yīng) 5 A2）（

17、-）4（1）-640 （注：分三類 1110- ； 110- ； 10-）33315. 如圖A、B兩點之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，他們能通過的最大信息量分別為1、1、2、2、3、4,現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量； 、設(shè)選取的三條網(wǎng)線由 A到B可通過的信息總量為 x，當(dāng)x 6時，才能保證信息暢通， 求線路信息暢通的概率； 求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學(xué)期望。亠2_解：14=123 = 6P(x = 6)i+c2 CC624=223=7P(x 二 7)cl c； 1C：；1 34=2 2 4= 8.P(x=8)C； 13：2 3 4 =9 P(x=9)C； 1C6310.p(x _

18、6) = p(x =6) p(x = 7) p(x = 8) p(x = 9)1131153=+ + + =4420102043即線路信息暢通的概率為，6分4C 1 1 2=4. p(x =4)3C6101 1 3=12 2=5 P(x = 5)320x456789P13113110204420101 c1CT-信息總量x分布列1+8 匯一3+9漢丄= 6.5410442010二線段同過信息量的數(shù)學(xué)期望為6.5 13分16.某中學(xué)籃球隊進行投籃訓(xùn)練，每人在一輪練習(xí)中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定止該輪練習(xí)，否則一直投到4次為止.已知運動員甲的投籃命中率為0.7.(1) 求一輪練習(xí)中運動員甲的投籃次數(shù)E

19、的分布列，并求出E的期望EE位有效數(shù)字)；(2) 求一輪練習(xí)中運動員甲至少投籃3次的概率.解：(1) E的可能取值為1, 2, 3, 4,旦命中即停(結(jié)果保留兩E =1 時，P ( E =1) =0.7E =2 時,E =3 時,E =4 時,P(E =2) =0.7(1-0.7)=0.21;2P ( E =3) =0.7(1-0.7)=0.06334P ( E =4) =0.7(1-0.7)+(1-0.7)=0.027. E的分布為E1234P0.70.210.0630.02718 / 11 EE =1X 0.7+ X 2 X 0.21+3 X 0.063+4 X 0.027=1.4(2)P

20、( E 3)=P( E =3)+P( E =4)=0.063+0027=0.0917、1甲、乙兩名射擊運動員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為一，乙射擊一次命中10環(huán)的210環(huán)的次數(shù)為E ,且E的數(shù)學(xué)期望 EE概率為s，若他們各自獨立地射擊兩次，設(shè)乙命中4=,表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對值.3(1) 求s的值及的分布列，(2) 求的數(shù)學(xué)期望.4解：(1)依題意知 E s B(2 , s)，故 EE =2s=,32 s=.3的取值可以是甲、乙兩人命中甲、乙兩人命中甲、乙兩人命中0,1 , 2.10環(huán)的次數(shù)均為10環(huán)的次數(shù)均為10環(huán)的次數(shù)均為 p( =0)=36 I 1 139 一 360次的

21、概率是1次的概率是2次的概率是(2)2 (3)2(1 112 2 2(1 1)(2 )=-2 2 3 31_ 36，1)(2 11 2)/23 33392、 139，甲命中10環(huán)的次數(shù)為2次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為0次的概率是甲命中10環(huán)的次數(shù)為0次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為2次的概率是丄36-.1 - 3/V1 -X1-2 1 - 2/V /V2 -X2 - 3/V1 -Xp( =2)=36 1=36，10分13536- p(=1)=1 一 p(=0) - p(=2)=1 -36故的分布列是E =01 丄 236236918. 位學(xué)生每天騎自行車上學(xué) ，從他家到學(xué)校有 相互獨立的，且首末兩個交通崗遇到紅燈的概率均為 為丄.2n012pr14分5個交通崗，假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是 p ,其余3個交通崗遇到紅燈的概率均(1)若p =2,求該學(xué)生在第三個交通崗第一遇到紅燈的概率3(2)若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過,求p的取值范圍.18解：(1)記該學(xué)生在第i個交通崗遇到紅燈 A、(i二1,2，5),2 111P(AA2 A3)、巧)(匕)宀.答：該學(xué)生在第三