導(dǎo)數(shù)有關(guān)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)經(jīng)典例題及解析近年高考題帶答案(20210105062407)

1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 【考綱說(shuō)明】 1、了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景（如瞬時(shí)速度，加速度，光滑曲線切線的斜率等）；掌握 函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念。 2、熟記八個(gè)基本導(dǎo)數(shù)公式；掌握兩個(gè)函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則，了解復(fù)合函數(shù)的求 導(dǎo)法則，會(huì)求某些簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。 3、理解可導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；了解可導(dǎo)函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充 分條件（導(dǎo)數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)）；會(huì)求一些實(shí)際問(wèn)題（一般指單峰函數(shù)）的最大值和最小值。 【知識(shí)梳理】 、導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù)y=f(x),如果自變量x在Xo處有增量X ,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y =f ( Xo+ X ) _y f (

2、Xo),比值 x叫做函數(shù)y=f ( x )在Xo到Xo+ x之間的平均變化率，即 y f(xox)f(xo)y x =x。如果當(dāng)x 0時(shí)，x有極限，我們就說(shuō)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xo處可 導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做f (x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)，記作f ( Xo)或yl X X。 .目、.f (XoX) f (Xo) *lim lim 即 f (Xo) = x o x = x ox 說(shuō)明: yy (1) 函數(shù)f (X)在點(diǎn)Xo處可導(dǎo)，是指 X 時(shí)，X有極限。如果 X不存在極限，就說(shuō) 函數(shù)在點(diǎn)Xo處不可導(dǎo)，或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。 (2) X是自變量X在Xo處的改變量，X 0時(shí)，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零。 由導(dǎo)數(shù)

3、的定義可知，求函數(shù) y=f (x)在點(diǎn)xo處的導(dǎo)數(shù)的步驟: (1) 求函數(shù)的增量 y =f (Xo+ x ) f (Xo)； (2) 求平均變化率 y f (Xo x) f (Xo) X = (3) 取極限，得導(dǎo)數(shù)f (Xo)=譏:。 、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)Xo處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線 y=f (x)在點(diǎn)p (Xo，f (Xo)處的切線 的斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f （x）在點(diǎn)p （xo, f （X。）處的切線的斜率是f（X。）。相應(yīng) 地，切線方程為 y yo=f/ （xo） （x x。）。 三、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) C 0 nn 1 ); x nx ; (sinx) cosx

4、. J (cos x)sin x ; 心） ex;(ax) axl na； In x 1 x ; J loga x- logae x 四、兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1：兩個(gè)函數(shù)的和（或差）的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和（或差）， 即：（u V） u V. 法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)，加上第一個(gè)函 數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即：（uv） uv uv. 若C為常數(shù),則（Cu） Cu Cu 0 Cu Cu .即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函 數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（Cu） Cu. 法則3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子 uuv

5、 uv 2 的積，再除以分母的平方：v = v （v 0）。 形如y=f （X）的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解一一求導(dǎo)一一回代。法則: 五、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 1、單調(diào)區(qū)間： 一般地，設(shè)函數(shù) y f (x) 在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)， 如果 f (x) 0，則 f (x) 為增函數(shù)； 如果 f (x) 0，則 f (x) 為減函數(shù)； 如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f(X)0，則f(x)為常數(shù)； 2、極點(diǎn)與極值： 曲線在極值點(diǎn)處切線的斜率為 0，極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為 0；曲線在極大值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為 正，右側(cè)為負(fù)；曲線在極小值點(diǎn)左側(cè)切線的斜率為負(fù)，右側(cè)為正； 3、最值： 一般地，在區(qū)間a , b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在

6、a , b上必有最大值與最小值。 求函數(shù)？(x)在(a，b)內(nèi)的極值； 求函數(shù) ?(x) 在區(qū)間端點(diǎn)的值 ?(a) 、?(b) ； 將函數(shù) ?(x) 的各極值與 ?(a) 、?(b) 比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。 4定積分 (1) 概念：設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a , b上連續(xù)，用分點(diǎn)a = xOx1xi 1xixn = b把區(qū) 間a , b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi 1, xi上取任一點(diǎn)E i (i = 1, 2,n) 這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間 a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被 n 作和式In = X xdx = In x + C; e dx

7、= ex + c； 曰 (E i) x (其中 x為小區(qū)間長(zhǎng)度)，把門-即厶x-0時(shí)，和式In的極 限叫做函數(shù)f(x) n bblimf 在區(qū)間a，b上的定積分，記作：af(x)dx，即 a f(x)dx 二 n i1 ( E i) X。 積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式。 基本的積分公式: Odx C; xmdx + C (m Q, mH 1); axdx x a lna + C； cosxdx =si nx + C; sin xdx = _ cosx + C (表中C均為常數(shù)) (2)定積分的性質(zhì) kf (x)dx b k f (x)dx a (k為常數(shù)); b af(x)

8、g(x)dx bb a f(x)dx a g(x)dx aa bcb f (x)dxf (x)dxf(x)dx ) aac(其中 av cv b)。 (3) 定積分求曲邊梯形面積 由三條直線x = a, x = b(a0)圍 成的曲邊梯的面積 f (x)dx 0 如果圖形由曲線yi = fi(x) , y2= f2(x)(不妨設(shè)f i(x) f 2(x) 0),及 直線x = a, x = b (a0,且x工1時(shí)，f(x) Inx k，求k的取值范圍 1 /X 1 I a( Inx) 【解析】(1)f (x)= x2一 (x 1) 故 1 f(1)=- 2 由（1）知也 x 1 即、 a 2

9、丄 x 所以f（x） 解得 a=1, b=1 nx k、1 (xn 衛(wèi)門(2ln x (k 1)(x2 1) )0 x 考慮函數(shù)h（x） 2ln x (k -(x x 0)，則 h(x) (k 1)(x2 1) 2x 2 x (i)設(shè) k 0，由 h(x) k(x2 1) (x 1)2 x2 1時(shí), h(x)0。而 h(1) 0，故 2由于直線x+2y-3=0的斜率為 -，且過(guò)點(diǎn)（1,1）, x2 1 當(dāng) x (0,1)時(shí)，h(x) 0，可得亠 h(x) 0 ； 1 x 1 當(dāng) x ( 1，+)時(shí)，h(x)0 1 x2 從而當(dāng)x0,且x In x kIn x k 1 時(shí)，f (x)- (+)0

10、，即 f (x)+. x 1 xx 1 x 1 2 （ii）設(shè) 0k0,故 h（x）0,而 h（ 1） 1 k 1 1 =0，故當(dāng)x （ 1，）時(shí)，h（x）0,可得 h（x）0,而 h （1）=0,故當(dāng) x (1, + ）時(shí)，h（x） 0,可得 1 1x2 h（x） 0, g(x) 1 e 2。 【解析】由f(x)=孕可得f (x) 1 k In x x x e ，而f 即J 0，解得k 1 ; e 1 1 In x (n) f (x) x_ e ，令f (x)0可得x 1 , 當(dāng) 0 x 1 時(shí)，f (x) 0 ;當(dāng)x 1時(shí), f (x) In x 于是f (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)為增函數(shù);

11、 在(1,)內(nèi)為減函數(shù)。 (m) 1 1 In x g(x) (x2 x)區(qū) 1x2 (x2 x) In x x， e 1 時(shí)，1 x20,lnx 0, x2 x 0,ex 0， g(x) 0 1時(shí)，要證g(x) (x2 1 1 In x ,2 、x1 x (x x)- x匚 ee x)lnx 1 只需證1 x2 (x2x)ln x ex(1 e2)，然后構(gòu)造函數(shù)即可證明。 【例5】 (2012北京)已知函數(shù) f(x)詈苴中a 0 、丨 (I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間; (U)若直線x y 10是曲線y f (x)的切線，求實(shí)數(shù)a的值; 2 (m)設(shè)g(x)xI nx xf(x)，求g(x)在

12、區(qū)間1，e上的最大值.(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)) 【解析】(I)以) a(2 x) x3,( x )，在區(qū)間 (,0)和(2, )上，f (x) 0 ；在區(qū)間(,2) 上, f (x).所以, f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是( ，)和(2, 單調(diào)遞增區(qū)間是(，2). (U)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 (x,y)則 ya(x 1) 2 x x y1 a(2 x) 1 31 x 解得x (m) g(x) xlnx a(x 1)，則 g (x lnx 1 a 解 g (x) ，得x )上, g(x)為遞增函數(shù). 所以，在區(qū)間(，e1)上, g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(e1 當(dāng)ea1，即 a 1時(shí)，在區(qū)間1，e 上, g

13、(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)最大值為 g(e) e a ae 當(dāng)e 1 e,即a 2時(shí)，在區(qū)間1,e上, g(x)為遞減函數(shù)，所以g(x)最大值為g(1) . a 1 當(dāng) 1 e 0; 當(dāng) x 1，時(shí)，f (x)0, 所以f(x)在x=-處取得極大值，在x=-處取得極小值。 2 2 2 (2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)則f (x)恒大于等于零或f (x)恒小于等于零， 因?yàn)?a0所以 = (-2a) (2010課標(biāo)全國(guó))曲線y丄在點(diǎn)(-1,-1)處的切線方程為() x 2 A y=2x+1 B y=2x-1C y=-2x-3 D y=-2x-2 -.(2012 陜西)設(shè)函數(shù) f(x)=xe

14、x,貝U() A x=1為f(x)的極大值B x=1為f(x)的極小值 C x=-1為f(x)的極大值D x=-1為f(x)的極大值 (2008廣東理)設(shè)a R，若函數(shù)y eax 3x , x R有大于零的極值點(diǎn)，則( -4a0,解得 00.且 g g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)xv0時(shí), 3 0 ,.則不等式f（x）g（x） v 0的解集是 A ( 3,0)(3,) B (3,0)(0,3) C , 3)U (3, + D (壬 3)U (0,3) 7.（2007海南、寧夏理） 曲線y e2在點(diǎn)（4, A. 9e 、 , 2 B. 4e2 C. 2e2 8. (2008 湖北理

15、)若 f(x)= 1 2 x bln(x 2 2)在(-1,+ ）上是減函數(shù)，則b的取值范圍是（） A.-1 , +xB. (-1 , +x)c . ,1 D. (-%, -1 ) 9. （2005江西理科）已知函數(shù)y xf （x）的圖像如右圖所示（其中f （x）是函數(shù)f （x）的導(dǎo)函數(shù)）， 下面四個(gè)圖象中y f（x）的圖象大致是 （） （1）（2006江西、天津理科）右圖中陰影部分的面積是（ A 23 B 9 2.、3 C 35 3 、填空題: 11. （2007湖北文）已知函數(shù)y f（x）的圖象在M （1，f（ 1）處的切線方程是y -x+2, 2 f（1） f （1）=. 12. （ 2

16、007湖南理）函數(shù)f（x） 12x x3在區(qū)間3,3上的最小值是 13. （2008全國(guó)U卷理）設(shè)曲線y eax在點(diǎn)（0,）處的切線與直線x 2y 10垂直，則 a 14. （2006湖北文）半徑為r的圓的面積S（r） = r2,周長(zhǎng)C（r）=2 r，若將r看作（0，+ s）上的變量，貝U （ r2） = 2 r，式可以用語(yǔ)言敘述為： 對(duì)于半徑為R的球，若將R看作（0,+s）上的變量，請(qǐng)你寫出類似于 的式子： 式可以用語(yǔ)言敘述為：. 三、解答題: 15. （2005重慶文）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該產(chǎn)品的月生產(chǎn)量x（噸）與每噸產(chǎn)品的價(jià)格 1 2 p（元/噸）之間的關(guān)系式為：p 24200 -x

17、 ,且生產(chǎn)x噸的成本為R 50000 200 x （元） 5 問(wèn)該產(chǎn)每月生產(chǎn)多少噸產(chǎn)品才能使利潤(rùn)達(dá)到最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=收入一成本） 16. （2008重慶文）設(shè)函數(shù)f （x） x3 ax2 9x 1（a p 0）.若曲線y=f（x）的斜率最小的切線與 直線12x+y=6平行，求: (I) a的值； (U)函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間. 17. (2008全國(guó)I卷文、理)已知函數(shù)f(x) x3 ax2 x 1 , a R . (I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； 2 1 (U)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間 -,1內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍. 3 3 3. (2006浙江理)設(shè)曲線y e x(x 0

18、)在點(diǎn)M(t, e )處的切線I與x軸y軸所圍成的 三角形面積為S (t )。 (I)求切線l的方程； (U)求S (t)的最大值。 19. (2007海南、寧夏文)設(shè)函數(shù)f(x) ln(2x 3) x2 (I)討論f (x)的單調(diào)性； 3 1 (U)求f(x)在區(qū)間 -的最大值和最小值. 4 4 20. (2007 安徽理)設(shè) a 0, f ( x)=x 1-1 n2 x + 2a In x (x0). (I)令F (x)= xf 7 (x),討論F (x )在(0. +x)內(nèi)的單調(diào)性并求極值; 2 (U)求證：當(dāng) x1 時(shí)，恒有 xln x 2a In x + 1. 【課后作業(yè)】 、選擇題

19、 1. （2005全國(guó)卷I文）函數(shù)f（x） x3 ax2 3x 9,已知 f (x)在 x 3時(shí)取得極值，則 C f (x)0 Df (x)0，g (x)0 時(shí)，f (x)0 , g (x)0，則 x0，g (x)0 B f (x)0，g (x)0)有極大值9. (I)求m的值；(U)若斜率為-5的直線是曲線y f (x)的切線，求此直線方程. 【參考答案】 【課堂練習(xí)】 一、選擇 1 10AADBD DDCCC (2)填空 (1) 3 ;12 .16；13.2; 14.- R34 R2,球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球 3 的表面積函數(shù) 、解答題 15.解：每月生產(chǎn)x噸時(shí)的利潤(rùn)為f (x)(2420

20、0 1 x2)x (50000 5 200 x) 因f(x)在0,)內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)x 200使f (x) 0,故它就是最大值點(diǎn), 且最大值為: 1 3 f (200)-(200)324000 20050000 5 3150000(元) 答：每月生產(chǎn)200噸產(chǎn)品時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大, 最大利潤(rùn)為 315萬(wàn)元. 16.解：(I )因?yàn)?f (x) x2 ax2 9x 1, 所 f (x) 3x2 2ax 9 a x 時(shí)，f (x)取得最小值 2 9 .因斜率最小的切線與12x 3 6平行，即該切線的斜率 為-12，所以9 2 12,即 a29. 3 解得a 3,由題設(shè)a 0,所以a 3. 3 3,因此 f

21、(x) x 2 3x 9x 1, 17解:(1) f(x) 32 x ax x 1 2 求導(dǎo)：f (x) 3x 2ax f (x)在R上遞增 當(dāng) a2 3 時(shí)， 0, 當(dāng)a2 3 , f (x)0求得兩根為x a a2 3 3 即f (x)在3遞增, ，3 a a2 3 aa2 3 33 遞減, a a2 3 3 遞增 (2)要使f(x)在在區(qū)間2, 1 33 內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng), f (x)0 在 2, 3 由f(X)的圖像可知，只需 2 3 1 3 ，即 0 4a 3 2a 3 解得。a2。所以，a的取值 范圍2, 18.解：( I)因?yàn)?f (x) (e (U)令 y= 0 得 x=t

22、+1, x=0 所以 S(t) =1(t 1)e(t 1) e t (x t).即 e tx y 當(dāng) t (0, 1)時(shí)，S (t)0, 9 (1,+ O)時(shí),S (t)0,所以 S(t)的最大值為 S(1)=-。 e 19解：f(x)的定義域?yàn)?OO f (x)- 2x 2x 3 4x2 2x 6x 3 2(2x 1)(x 1) 2x 3 x 1 時(shí)，f (x) 時(shí)，f (x)0 ;當(dāng) x i 時(shí)，f(x) 0 - 從而, f(x)分別在區(qū)間 3 2, O單調(diào)增加，在區(qū)間 1 2單調(diào)減少. (n) 由( (I)知 f (x)在區(qū)間 3 1 的最小值為f 1 ln2丄 4 4 2 4 3 上1

23、 3 9 7 1 3 1 1 49 又f f - InIn ln 1 ln 0 . 4 4 2 16 2 16 7 2 2 6 5 H J 丿 V IJ=LXI III 4 44162 所以f(x)在區(qū)間 31的最大值為f 1 丄ln- 20. (I)解：根據(jù)求導(dǎo)法則得f(x) 1如2a,x 0. 故 F(x) xf (x) x 2Inx 2a,x 0,于是 F (x)1 -,x 0. 列表如下: x (0,2) F( x) - F(x) 2 (2,+ %) 0 + 極小值F (2) T 故知F (x)在(0, 2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2, +x)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x = 2處取得極 小值 F

24、(2)= 2-2In2+2 a. (U)證明：由a 0知，F(xiàn)(x)的極小值F(2) 2 2In2 2a 0. 于是由上表知，對(duì)一切 x (0,)，恒有F(x) xf (x) 0. 從而當(dāng)x 0時(shí)，恒有f (x) 0,故f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增加. 所以當(dāng) x 1時(shí)，f(x) f(1)0,即x 1 ln2x 2aInx 0. 故當(dāng)x 1時(shí)，恒有x In2 x 2a In x 1. 【課后作業(yè)】 一、選擇 1-10 DBDAB ACABD 、填空 11. 5x y 20 ；12.8 ； 13. 32 ; 14. 2 , -2 . 3 三、解答題 15.解：(I ) f (x) = 3x + 6x

25、+ 9.令 f (x)0，解得 x3, 所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(汽一 1), (3,+7 . (II )因?yàn)?f( 2) = 8+ 12 18+ a=2 + a, f (2) = 8+ 12+ 18+ a = 22 + a, 所以 f(2)f( 2) 因?yàn)樵?一1, 3) 上 f (x)0，所以f(x)在1,2上單調(diào)遞增, 又由于f(x)在2, 1上單調(diào)遞減, 因此f(2)和f( 1)分別是f(x)在區(qū)間2, 2上的最大值和最小值，于是有 22 + a= 20, 解得a= 2. 故 f (x)= x3+ 3x2 + 9x 2,因此 f( 1) = 1 + 3 9 2= 7, 即函數(shù)f

26、(x)在區(qū)間2, 2上的最小值為一7. 16.解(I)： f xx3 bx2 cx，二 f x 3x2 2bx c。從而 g(x) f(x) f (x) x3bx2ex(3x22bx c) =x3(b 3)x2(c2b)xc是一個(gè)奇函 數(shù)，所以g(0)0得c 0，由奇函數(shù)定義得b 3 ; (U)由(I)知g(x) x 6x，從而g (x) 3x 6，由此可知， (,、一2)和2,)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞增區(qū)間；(2八2)是函數(shù)g(x)是單調(diào)遞減區(qū)間; g(x)在x,2時(shí)，取得極大值，極大值為 4.2，g(x)在x .2時(shí)，取得極小值，極小值 為42。 一、解：(I )由f (x) x3 bx2

27、 cx d的圖象過(guò)點(diǎn)P (0，2) ,d=2知,所以 f(x) x3 bx2 cx 2, f (x)=3x 2+2bx+c,由在(-1,(-1)處的切線方程是 6x-y+7=0,知 -6-f(-1)+7=0, 即 f(-1)=1, f (-1)=6, 3 2b c 6,即 1 b c 2 1, 2b c 3,解得b=c=-3。故所求的解析式為f(x)=x -3x3x+2 2 (II) f (x)=3x -6x-3, 令 3x2-6x-3=0 即 x2-2x-1=0,解得 X1=1-、2 ,x 2=1 + 、2 , 當(dāng) x1 +、2 時(shí)，f (x)0;當(dāng) 1- _2x1+、2 時(shí)，f (x)0 f(x)=x 3-3x2-3x+2 在(1+、2,+ s)內(nèi)是增函數(shù),在(-s, 1- .2)內(nèi)是增函數(shù),在 (1- 2 ,1+、2)內(nèi)是減函數(shù). 18.解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x (m，則長(zhǎng)為2x(m)，高為h 葺空4.5 3x(m)0 xv弓 故長(zhǎng)方體的體積為 V(x) 2x2(4.5 3x) 9x2 6x3(m3)(0 x 0；當(dāng) 1vxv 2 時(shí)，V (x) v 0, 3 故在x=1處V (x)取得極大值，并且這個(gè)極大值就是V (x)的最大值。 從而最大體積V= V(x)= 9X12-6 x 13 (mi),此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 m,高為1.5 m.