24二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、汎4二次函數(shù)與幕函數(shù) 基礎(chǔ)知識(shí)*自主學(xué)習(xí) 1要點(diǎn)梳理 知換回檢理晡教材 i.二次函數(shù) (1) 二次函數(shù)解析式的三種形式 一般式：f(x) = ax2+ bx+ c(a 豐 0). 頂點(diǎn)式：f(x)= a(x m)2+ n(a 0). 零點(diǎn)式：f(x) = a(x xi)(x x2)(a 0). (2) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x) = ax2 + bx+ c(a0) f(x)= ax2 + bx+ c(a0時(shí)，幕函數(shù)y= xn是定義域上的增函數(shù). (5)若函數(shù) f(x)= (k2 1)x2+ 2x 3 在(一R, 2)上單調(diào)遞增，則 k=f. (6)已知 f(x)= x2 4x+ 5

2、, x 0,3)，則 f(x)max= f(0) = 5, f(x)min= f(3) = 2. 2. (2013 重慶)-,3 a a+ 6 ( 6 a3)的最大值為 9鉅 C. 3D. 2 答案 B 解析 因?yàn)? a a + 6 =“ 18 3a a2 r3 2 81 =A/- a+ 2 2+才， 所以當(dāng)a = 2時(shí)，”,3 a a+ 6的值最大，最大值為 | 3 .函數(shù)f(x)= (m 1)x2+ 2mx+ 3為偶函數(shù)，則f(x)在區(qū)間(一5, 3)上 A 先減后增 B先增后減 C.單調(diào)遞減D 單調(diào)遞增 答案 D 解析 由f(x)為偶函數(shù)可得 m= 0, f(x) = x2 + 3, f

3、(x)在區(qū)間(一5, 3)上單調(diào)遞增. 4. 已知函數(shù) y= x2 2x+ 3在閉區(qū)間0, m上有最大值 3，最小值2，貝V m的取值范圍為 答案1,2 解析 y= x2 2x+ 3的對(duì)稱軸為x= 1. 當(dāng)m2 時(shí)，ymax = f(m) = m2 2m+ 3= 3, m = 0 或 m= 2，無(wú)解. 1 w m w 2. 5. 若幕函數(shù)y= (m2 3m+ 3)xm2 m 2的圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m的值為 答案 1或2 m2 3m + 3= 1 解析由，解得m= 1或2. m2 m 2w 0 經(jīng)檢驗(yàn)m= 1或2都適合. 題型一二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例 1已知函數(shù) f(x)= x2 +

4、2ax+ 3, x 4,6. (1) 當(dāng)a= 2時(shí)，求f(x)的最值； 求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y= f(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)； (3)當(dāng)a= 1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間. 思維啟迪 對(duì)于(1)和(2)可根據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系直接求解，對(duì)于(3)，應(yīng)先將函數(shù)化為 分段函數(shù)，再求單調(diào)區(qū)間，注意函數(shù)定義域的限制作用. 解 (1)當(dāng) a= 2 時(shí)，f(x)= x2 4x+ 3= (x 2)2 1，由于 x 4,6, f(x)在4,2上單調(diào)遞減，在2,6上單調(diào)遞增， f(x)的最小值是 f(2) = 1，又 f( 4)= 35, f(6) = 15,故 f(x)的最大值是 35. (2) 由

5、于函數(shù)f(x)的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是x= a，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù), 應(yīng)有一aw 4 或一a 6，即 aw 6 或 a 4. (3) 當(dāng) a= 1 時(shí)，f(x)= x2 + 2x+ 3, f(|x|)= x2 + 2|x| + 3,此時(shí)定義域?yàn)?x 6,6, yX + 2x+ 3, x 0, 6 且 f（X）= x2- 2x+ 3, xc - 6, 0 f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6, 單調(diào)遞減區(qū)間是一6,0. 思維升華(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型：軸定區(qū)間定、軸動(dòng)區(qū)間定、 軸定區(qū)間動(dòng)，不論哪種類型，解決的關(guān)鍵是考查對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，當(dāng)含有參數(shù)時(shí)，要

6、依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論；(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題則主要依據(jù)二次函數(shù) 圖象的對(duì)稱軸進(jìn)行分析討論求解. 跟瑤訓(xùn)(1)二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x= 2,最小值為一1,則它的解析式是 1 答案 y= (x 2)2-1 若函數(shù)f(x) = 2x2 + mx 1在區(qū)間1 ,+ )上遞增，則 f( 1)的取值范圍是_ 答案 (一3 3 解析拋物線開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為x=m, m4. 又 f( 1) = 1 mW 3, f( 1) (3, 3. 題型二二次函數(shù)的應(yīng)用 【例 2 已知函數(shù) f(x)= ax2 + bx+ 1(a, b R), x R. (1) 若函數(shù)f(x)的最小值為f

7、( 1) = 0，求f(x)的解析式，并寫出單調(diào)區(qū)間； (2) 在(1)的條件下，f(x)x+ k在區(qū)間3, 1上恒成立，試求 k的范圍. 思維啟迪利用f(x)的最小值為f( 1) = 0可列兩個(gè)方程求出a、b;恒成立問(wèn)題可以通過(guò) 求函數(shù)最值解決. 解 (1)由題意有 f( 1)= a b+ 1 = 0, 口b 且一2= 1, a = 1, b= 2. f(x)= x2 + 2x+ 1,單調(diào)減區(qū)間為(一a, 1, 單調(diào)增區(qū)間為1 ,+ ). (2)f(x)x+ k在區(qū)間3, 1上恒成立， 轉(zhuǎn)化為x2 + x+ 1k在區(qū)間3, 1上恒成立. 設(shè) g(x) = x2 + x+ 1, xC 3, 1

8、,則 g(x)在3, 1上遞減. -g(x)min = g( 1) = 1. k1，即k的取值范圍為(一3,1). 思維升華有關(guān)二次函數(shù)的問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法.用 函數(shù)思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn). 液蕭訓(xùn)練2 已知函數(shù)f(x)= x2 + 2ax+ 2, x 5,5. (1)當(dāng)a= 1時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； 求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y= f(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù). 解 (1)當(dāng) a= 1 時(shí)，f(x)= x2 2x+ 2= (x 1)2+ 1 , x 5,5, 所以當(dāng)x= 1時(shí)，f(x)取得最小值1； 當(dāng)x= 5

9、時(shí)，f(x)取得最大值37. 函數(shù)f(x)= (x+ a)2 + 2 a2的圖象的對(duì)稱軸為直線x= a, 因?yàn)閥= f(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)， 所以一a 5，即 a 5. 故a的取值范圍是(一5 U 5 ,+). 題型三幕函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【例3 (1)已知幕函數(shù) f(x)= (n2 + 2n 2)xn2 3n(n Z)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱，且在(0,+ ) 上是減函數(shù)，貝U n的值為 B . 1C . 2 1 1 若(2m+ 1)2 (m2+ m 1) 2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 半1質(zhì)1 b. 2 ，+ 5 1 D.飛,2 A. a. C. ( 1,2) 思維啟迪(1)由幕函數(shù)的定義

10、可得n2 + 2n 2= 1,再利用f(x)的單調(diào)性、對(duì)稱性求 1 構(gòu)造函數(shù)y= x2，利用函數(shù)單調(diào)性求 m范圍. n； 答案(1)B(2)D 解析(1)由于f(x)為幕函數(shù)，所以n2+2n 2 = 1, 解得n= 1或n = 3,經(jīng)檢驗(yàn)只有n= 1適合題意，故選 B. 1 (2)因?yàn)楹瘮?shù)y= x2的定義域?yàn)?，+ a), 且在定義域內(nèi)為增函數(shù)， 所以不等式等價(jià)于 2m+ 1 0, 2 m + m 1 0, 2m+ 1m2+ m 1. 解 2m + 1 0，得 m2 解 m2+ m 1 0, .5 1 mW 或m 解 2m + 1m2+ m 1，得1m2, 2 寸5 1 綜上w mf(a 1)

11、的實(shí)數(shù)a的 取值范圍. 解 (1)m2+ m= m(m+ 1), m N*, 而m與m + 1中必有一個(gè)為偶數(shù)， m(m+ 1)為偶數(shù). 函數(shù)f(x) = x(m2+ m)1(m N*)的定義域?yàn)?,+ m)，并且在定義域上為增函數(shù). (2) /函數(shù)f(x)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2, 1 - 2 = 2(m2+ m) 1,即即 22 = 2(m2 + m) 1. m2+ m= 2.解得 m= 1 或 m= 2. 1 *n 又T m N , m= 1. f(x)= x2 . 2 a 0, 由 f(2 a)f(a 1)得 a 10 2 aa 1. 3 3 解得1w a夕 a的取值范圍為1 ,刁. 思想與方法系列

12、2 分類討論思想在函數(shù)中的應(yīng)用 典例：(12分)已知函數(shù)f(x)= ax2 |x|+ 2a 1(a為實(shí)常數(shù)). (1) 若 a= 1，作出函數(shù)f(x)的圖象； 設(shè)f(x)在區(qū)間1,2上的最小值為g(a),求g(a)的表達(dá)式. 思維啟迪 (1)因f(x)的表達(dá)式中含|x|,故應(yīng)分類討論，將原表達(dá)式化為分段函數(shù)的形式， 然后作圖. r3-2|-If/ L 2 3 (2) 因a R，而a的取值決定f(x)的表現(xiàn)形式，或?yàn)橹本€或?yàn)閽佄锞€，若為拋物線又分為 開(kāi)口向上和向下兩種情況，故應(yīng)分類討論解決. 規(guī)范解答 解 當(dāng)a= 1時(shí)， f(x)= X2 |x|+ 1 x2 + x+ 1, x0 作圖(如右圖所

13、示)5分 (2) 當(dāng) x 1,2時(shí)，f(x)= ax2 x+ 2a 1.6 分 若a = 0,則f(x) = x 1在區(qū)間1,2上是減函數(shù), g(a) = f(2) = 3.7 分 若a工0, 1 1 則 f(x) = a x 2 2+ 2a 亦1, 1 f(x)圖象的對(duì)稱軸是直線 x= 2. 當(dāng)a0時(shí)，f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù)， g(a) = f(2) = 6a 3. 當(dāng)02a1時(shí)，f(x)在區(qū)間1,2上是增函數(shù), g(a) = f(1) = 3a 2. 111 當(dāng) 1 2，即0a4時(shí)，f(x)在區(qū)間1,2上是減函數(shù), 1 a2 溫馨提醒本題解法充分體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，在二次

14、函數(shù)最值問(wèn)題的討論 中，一是要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論， 二是要對(duì)對(duì)稱軸進(jìn)行討論. 在分類討論時(shí)要遵循分類 的原則：一是分類的標(biāo)準(zhǔn)要一致， 二是分類時(shí)要做到不重不漏， 三是能不分類的要盡量避 免分類，絕不無(wú)原則的分類討論 . 思想方法感悟提高 方法與技巧 1. 二次函數(shù)、二次方程、二次不等式間相互轉(zhuǎn)化的一般規(guī)律： (1) 在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，常借助于二次函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合來(lái)解，一般 從：開(kāi)口方向；對(duì)稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析. (2) 在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般需借助于二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解. 2幕函數(shù)y= xa(a R)圖象的特征 o0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)

15、和(1,1)，在第一象限的圖象上升；a0時(shí)，圖象不過(guò)原點(diǎn)，在第一象 限的圖象下降，反之也成立. 失誤與防范 1 對(duì)于函數(shù)y= ax2 + bx+ c,要認(rèn)為它是二次函數(shù)，就必須滿足a工0,當(dāng)題目條件中未說(shuō)明 0時(shí)，就要討論 a= 0和0兩種情況. 2. 幕函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限， 至于是否出現(xiàn)在第二、 三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性； 幕函數(shù)的圖象最多只能同時(shí)出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi)；如果幕函 數(shù)圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn) A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練 一、選擇題 1. 若f(x) = x2-ax+ 1有負(fù)值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是() A. a- 2 B. - 2a2 或 a

16、- 2D. 1a0，貝V a2 或 a0,則一次函數(shù)y= ax+ b為增函數(shù)，二次函數(shù) y= ax2 + bx+ c的開(kāi)口向上，故 可排除A ； 若a0, b0,從而嚴(yán)0，而二次函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)， 2 a 故應(yīng)排除B，因此選C. 3. 如果函數(shù)f(x)= x2 + bx+ c對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,都有f(1 + x)= f( x)，那么 A . f( 2)f(0)f(2) B. f(0) f( 2)f(2) C. f(2)f(0)f( 2) D. f(0)f(2)f( 2) 答案 D 解析 由f(1 + x)= f( x)知f(x)的圖象關(guān)于x= 1對(duì)稱， 又拋物線開(kāi)口向上，結(jié)合圖象(圖略)

17、可知f(0)f(2)f( 2). 則實(shí)數(shù)m的取值范 ( ) (x) = 2a(x1)0, 4. 設(shè)二次函數(shù)f(x)= ax2 2ax+ c在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減，且f(m)0，即函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是直線 x= 1. 所以 f(0) = f(2)，則當(dāng) f(m)w f(0)時(shí)，有 0 mW 2. 1 5已知f(x)= x2 ,若0ab1，則下列各式中正確的是 1 1 A. f(a)f(b)f(a)f(b) 1 1 B. f(a)f(b)f(b)f(a) 1 1 C. f(a)f(b)f(b)f(? 1 1 D. f(a)f(a)f(b)f(b) 答案 C 1 解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x) =

18、x 2在(0 , + a )上是增函數(shù)， 1 1 又 0ab：-，故選 C. b a 二、填空題 6.若函數(shù)y= mx2+ x+ 5在2,+a )上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_ 1 答案 0Wm- 4 解析 m=0時(shí)，函數(shù)在給定區(qū)間上是增函數(shù)； 1 mz 0時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，對(duì)稱軸為x=0 , / 0mw：綜上Ow mW 丁. 4 4 7 .若方程x 將a = 1代入式得 5 1 2 6312 6 f(x)=- 5x 5x 5= 5(x+ 3) + 5， 函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(一R， 3， 單調(diào)減區(qū)間是一 3， + m). 10.已知函數(shù)f(x) = x2 + 2ax+1 a在x 0,

19、1時(shí)有最大值2，求a的值. 解函數(shù) f(x)= x2 + 2ax+ 1 a =(x a)2+ a2 a+ 1， 對(duì)稱軸方程為x= a. (1) 當(dāng) a0 時(shí)，f(x) max= f(0) = 1 a， -1 a= 2， a = 1. (2) 當(dāng) 0w aw 1 時(shí)，f(x)max= a2 a + 1， a2 a + 1 = 2，a2 a 1 = 0， 11x+ 30 + a= 0的兩根均大于5，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 1 答案 0 0 蘭0i 結(jié)合圖象有f50，：0 2x的解集為(1,3).若方程f(x) + 6a =0有兩個(gè)相等的根，求f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解/ f(x) + 2x0 的解集為

20、(1,3), 設(shè) f(x) + 2x= a(x 1)(x 3)，且 a0, f(x)= a(x 1)(x 3) 2x= ax2 (2 + 4a)x+ 3a. 由方程 f(x) + 6a= 0 得 ax2 (2 + 4a)x+ 9a = 0. 方程有兩個(gè)相等的根， - A= (2 + 4a)2 4a 9a= 0， 1 解得a= 1或a = 5.由于a1 時(shí)，f(x)max= f=a, a= 2. 綜上可知，a = 1或a= 2. 1.設(shè)函數(shù)f(x) = 2x- 7, x0, B組專項(xiàng)能力提升 若f(a)0, A. (汽一3) C. ( 3,1) 答案 C 解析當(dāng) a0 時(shí)，(2)a 71 , B

21、 . (1 ,+ ) D . ( s, 3) U (1 ,+ ) 即 2 3, - - 3a 0 時(shí)，.a1 , Ow a1.故3abc, a+ b + c= 0，集合 A= m|f(m)0 B. ? m A,都有 f(m + 3)0 C. ? mo A，使得 f(mo+ 3) = 0 D. ? mo A,使得 f(mo+ 3)bc, a+ b + c= 0 可知 a0, c0, 且 f(1) = 0, f(0) = c1 時(shí)，f(x)0. 丄mb 由ab，得1訂， 設(shè)方程ax2 + bx+ c= 0的另一個(gè)根為X1, r,b 貝 y X1+1=a1,即 卩 x12, 由 f(m)0 可得2m1, 所以 1m+ 30，選A. 3. 已知函數(shù)f(