2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C題

1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從a/b/c/d中選擇一項(xiàng)填寫）： c 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?保定電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：輸油管線設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型摘要：本問(wèn)題要求我們對(duì)油田運(yùn)送成品油鋪設(shè)管線進(jìn)行了設(shè)計(jì)與優(yōu)化，因此如何使費(fèi)用最省，進(jìn)而選出鋪設(shè)最

3、優(yōu)管線成為此問(wèn)題的關(guān)鍵。針對(duì)問(wèn)題一，我們根據(jù)有無(wú)共用管道，建立了方案一和方案二，在考慮共用管線鋪設(shè)費(fèi)用和非共用管線鋪設(shè)費(fèi)用相同和不同的情況下，針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的不同情形，方案一利用平面幾何知識(shí)、光學(xué)性質(zhì)建立模型求解和對(duì)方案二利用多元函數(shù)求極值的方法求解，并對(duì)兩方案的進(jìn)行對(duì)比，得出管線鋪設(shè)費(fèi)用最小的方案。針對(duì)問(wèn)題二，在問(wèn)題一結(jié)果的基礎(chǔ)上，根據(jù)問(wèn)題二中已知的兩煉油廠距鐵路線的距離和與兩煉油廠之間的水平距離，確定方案二最佳。由于在城區(qū)需增加附加費(fèi)用，根據(jù)三個(gè)不同公司給出的不同附加費(fèi)用估算結(jié)果，通過(guò)線性權(quán)重得出附加費(fèi)用，因此應(yīng)使附加費(fèi)用和管線鋪設(shè)費(fèi)用的和最小，根據(jù)多元函數(shù)求極值

4、的方法，利用mathematic軟件求解得出合理結(jié)論。車站的坐標(biāo)為；兩輸油管線匯合點(diǎn)的坐標(biāo)為；在距的正上方；的最優(yōu)解為。針對(duì)問(wèn)題三，在問(wèn)題二結(jié)論的基礎(chǔ)上，根據(jù)兩煉油廠的工作能力，對(duì)輸油管道進(jìn)行改進(jìn)，使得在使用管道不同的情況下，設(shè)計(jì)出最佳的鋪設(shè)方案，使用mathematic數(shù)學(xué)軟件求解，得到最佳布置方案和相應(yīng)的費(fèi)用。關(guān)鍵詞：光學(xué)性質(zhì)、多元函數(shù)求極值、線性權(quán)重、mathematic數(shù)學(xué)軟件一、問(wèn)題重述某油田計(jì)劃在鐵路線一側(cè)建造兩家煉油廠，同時(shí)在鐵路線上增建一個(gè)車站，用來(lái)運(yùn)送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，油田設(shè)計(jì)院希望建立管線建設(shè)費(fèi)用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。1. 針對(duì)兩煉油廠到鐵路線距離和

5、兩煉油廠間距離的各種不同情形，提出設(shè)計(jì)方案。若有共用管線，考慮其共用管線費(fèi)用與非共用管線費(fèi)用相同或不同的情形。2. 兩煉油廠的具體位置其中廠位于郊區(qū)，廠位于城區(qū)，兩個(gè)區(qū)域有明顯的分界線。若所有管線的鋪設(shè)費(fèi)用均相同， 鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，根據(jù)三家工程咨詢公司對(duì)此項(xiàng)附加費(fèi)用的估計(jì)，為設(shè)計(jì)院給出管線布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。3. 為進(jìn)一步節(jié)省費(fèi)用，煉油廠根據(jù)生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時(shí)的管線鋪設(shè)費(fèi)用就各不相同，拆遷等附加費(fèi)用同上。給出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費(fèi)用。二、問(wèn)題分析對(duì)于問(wèn)題一的分析：根據(jù)題意針對(duì)建立管線使得管線鋪設(shè)費(fèi)用最省，對(duì)題中提出針對(duì)兩煉油廠到鐵路線的距離

6、與兩煉油廠之間的距離各種不同情形進(jìn)行分析討論，在假設(shè)條件下即要求管線鋪設(shè)的總長(zhǎng)最短，利用光學(xué)知識(shí)中對(duì)稱點(diǎn)和多元函數(shù)求極值的方法分別建立兩個(gè)可行方案。分析共用管道和非共用管道鋪設(shè)費(fèi)用相同和不相同的情形，兩者相同時(shí)只考慮管線鋪設(shè)的距離最短即可，兩者不同時(shí)考慮到有共用管道，通過(guò)對(duì)模型的討論和驗(yàn)證得出最優(yōu)方案。對(duì)于問(wèn)題二的分析：在該問(wèn)題中兩煉油廠的具體位置已給出，由問(wèn)題一得出在滿足該已知條件的情況下，方案二最優(yōu)，但鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需考慮拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，所以問(wèn)題既要考慮鋪設(shè)在城區(qū)的管道費(fèi)用和附加費(fèi)用還要考慮在郊區(qū)非共用管道和共用管道鋪設(shè)費(fèi)用，要求它們的費(fèi)用和最省。由線性權(quán)重方法得出相對(duì)合理的

7、附加費(fèi)用，再由問(wèn)題一選取方案二并建立直角坐標(biāo)系求解問(wèn)題。得出車站的坐標(biāo)為；兩輸油管線匯合點(diǎn)的坐標(biāo)為；在距的正上方；的最優(yōu)解為。對(duì)于問(wèn)題三的分析：在該問(wèn)題中考慮到煉油廠的生產(chǎn)能力選用相應(yīng)的油管，但此時(shí)管線的鋪設(shè)費(fèi)用a廠和b廠有所不同即非共用管線鋪設(shè)費(fèi)用和共用管線鋪設(shè)費(fèi)用均不相同。對(duì)此問(wèn)題的分析應(yīng)建立在問(wèn)題二的基礎(chǔ)上，對(duì)相應(yīng)各部分的費(fèi)用求和，同樣建立直角坐標(biāo)系求解問(wèn)題。得出車站的坐標(biāo)為；兩輸油管線匯合點(diǎn)的坐標(biāo)為；在距的正上方；的最優(yōu)解為。三、模型假設(shè)1. 管道直線鋪置，無(wú)彎道；2. 各管道路況對(duì)管道鋪置無(wú)影響，因此管線的建設(shè)費(fèi)用與管線的長(zhǎng)度成正比；3. 對(duì)煉油廠廠址和車站站點(diǎn)用點(diǎn)表示，對(duì)管道用線表

8、示；4. 車站可在鐵路上任意一點(diǎn)修建；5. 鐵路為一條直線無(wú)彎道；6. 、區(qū)域分界線垂直于鐵路；7. 共用管道和非共用管道的施工費(fèi)用不予以考慮四、符號(hào)說(shuō)明1. 兩煉油場(chǎng)分別為廠、廠，點(diǎn)、點(diǎn)分別為、在鐵路上的投影，為車站, 為共用管道的交點(diǎn)，點(diǎn)為廠管道鋪設(shè)在分界線的交點(diǎn), 分界線與鐵路的交線2. 、分別為到的距離、 到的距離、到的距離、到的距離3. 為管道的總長(zhǎng)度4. 為所需的費(fèi)用5. 區(qū)域?yàn)榻紖^(qū)，區(qū)域?yàn)槌菂^(qū)五、模型建立及求解（一） 對(duì)問(wèn)題一的解答:方案一aaqbm5km8km20km5kml圖一利用幾何知識(shí)，用光學(xué)性質(zhì)建立模型：如圖一作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，得所需輸油管線總長(zhǎng)度為：方

9、案二圖二對(duì)于方案二如圖二所示設(shè)；,;虛線是平行于軸的直線，若使最小，即做是關(guān)于虛線的對(duì)稱點(diǎn)即 ，所以，因此最小值為利用mathematic把對(duì)y求導(dǎo)得；令得；討論：1、當(dāng)共用管線和非共用管線費(fèi)用相同時(shí)只需考慮管線的距離：（1）.當(dāng)時(shí)；的最小值當(dāng)時(shí)則； ；隨機(jī)取一組符合條件的，解得此時(shí)小于，所以方案二最佳；同理：當(dāng)時(shí)；解得即選方案二。（2）.當(dāng)時(shí)；的最小值為；當(dāng)時(shí)；則，隨機(jī)取一組符合條件的數(shù)據(jù)此時(shí)則方案一為最佳方案；同理：當(dāng)時(shí)；解得即選方案一。2、當(dāng)共用管線和非共用管線費(fèi)用不相同時(shí)要考慮方案二中的各部分管線的總費(fèi)用并與方案一中的費(fèi)用對(duì)比，得出最優(yōu)方案。經(jīng)過(guò)查閱資料得知非共用管道5萬(wàn)元/千米；共用

10、管道8萬(wàn)元/千米；方案一的費(fèi)用可得；方案二的費(fèi)用有：（1）.當(dāng)時(shí)；隨機(jī)取一組符合條件的，解得；即方案二為最優(yōu)方案；當(dāng)時(shí)；即選方案二。（2）同理：.當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)；，此時(shí)小于則方案一為最佳方案；當(dāng)時(shí)；則即選方案一。（二） 問(wèn)題二的解答：根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)；即選用方案二。但是在 城區(qū)內(nèi)既要鋪設(shè)管道的費(fèi)用還要增加拆遷和工程補(bǔ)償?shù)雀郊淤M(fèi)用，所以既要考慮郊區(qū)部分管線的鋪設(shè)費(fèi)用又要考慮城區(qū)部分管線的鋪設(shè)費(fèi)用和附加費(fèi)用，根據(jù)題中給的公司一具有甲級(jí)資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級(jí)資質(zhì)，根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定得知甲級(jí)資質(zhì)需要五年的工作經(jīng)驗(yàn)而乙級(jí)資質(zhì)置需要三年的工作經(jīng)驗(yàn)，他們的評(píng)估結(jié)果的權(quán)重近似看做；所以實(shí)際附的費(fèi)用為具體方案

11、如下圖三所示：a w圖三在郊區(qū)與城區(qū)的分界線n上取點(diǎn)，設(shè)；做虛線為的平行線；做關(guān)虛線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交虛線于點(diǎn)，設(shè)；為城區(qū)分界線與鐵路線的交點(diǎn)，設(shè)；根據(jù)題中給出的數(shù)據(jù)建立具體模型其費(fèi)用：；利用二元函數(shù)求極值的方法得出：當(dāng)時(shí)有最優(yōu)解，此時(shí)可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，所以所在的直線的方程為；當(dāng)時(shí)可得；即車站的坐標(biāo)為；兩輸油管線匯合點(diǎn)的坐標(biāo)為；在距的正上方；的最優(yōu)解為。（三） 問(wèn)題三的解答：由第二問(wèn)已得出選用方案二，對(duì)于第二問(wèn)中的模型需要改進(jìn)的地方就是算出段、段、段、段的費(fèi)用的和最小。如圖四所示l圖四w同樣在郊區(qū)與城區(qū)的分界線上取點(diǎn)，設(shè)；做虛線為的平行線；做關(guān)虛線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交虛線于點(diǎn)，設(shè)；為城區(qū)分界線與鐵路線

12、的交點(diǎn)，設(shè)；根據(jù)題中給出給出的各部分的單位費(fèi)用解答： 利用mathematica三元函數(shù)求極值的方法，將分別對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)，再解方程組解得：當(dāng)時(shí)有最優(yōu)解，此時(shí)；的最優(yōu)解為萬(wàn)元。即最優(yōu)方案為將車站建在離點(diǎn)的地方，非共用管道與共用管道的連接點(diǎn)在離車站的正上方，輸送煉油廠油的管道城區(qū)與郊區(qū)的交點(diǎn)在離點(diǎn)的正上方，在距的正上方；最少的費(fèi)用為。六、模型的改進(jìn)和推廣本模型假設(shè)共用管道和非共用管道的施工費(fèi)用沒(méi)有進(jìn)行考慮它的費(fèi)用，實(shí)際施工過(guò)程中是必須要考慮的，由于輸油管的型號(hào)太多，無(wú)法確定施工的具體費(fèi)用，可以根據(jù)具體情況在以上模型中進(jìn)行推廣。假設(shè)中沒(méi)有考慮障礙物管道鋪設(shè)的影響，可是現(xiàn)實(shí)施工過(guò)程中是不可能的，由于路況太多也無(wú)法得到確切的施工費(fèi)用，可以根據(jù)實(shí)際情況在以上模型中進(jìn)行推廣。在題中確定附加費(fèi)用只是根據(jù)公司資質(zhì)評(píng)選所需的工作經(jīng)驗(yàn)來(lái)確定的，并不確切有待改進(jìn)。七、參考文獻(xiàn)1楊啟帆，康旭升，趙雅囡.數(shù)學(xué)建模.北京.高等教育出版社.20052mark m.meerschaert（著），劉來(lái)福，楊淳，黃