第五章線性參數(shù)的最小二乘處理

1、第五章線性參數(shù)的最小二乘處理習(xí)題5-1研究鈾-鐵米尺基準器的膨脹系數(shù)時得出，在不同溫度卞該米尺基準器的長度的修正 值可用下述公式表示：x+ty+t2L式中x表示在0C時米尺基標準器的修正值（微米）；y和z為溫度系數(shù)：f為溫度（C）； L 為/C基準器的長度的修正值（微米）。經(jīng)研究得在不同溫度下米尺基準器長度的修正值如下 表：I12345t17.2500.5515.36310.45914.277L160.285.7047.6141.49124.2567891017.80622.10324.63328.98634.417154.87192.64214.57252.09299.84求未知參量兒產(chǎn)乙的

2、最可依賴值。5-2對未知量x, y, z，組合測量的結(jié)果如卞：.=0v=0 z=o x-v=0.92, 沖735 -A+z=1.00 試求x, y, z的最可依賴值及其標準誤差。5-3由等精度測定方程為：x+37yM369w=363 x+32y+1024z=41.4 x+27y+729w=475 x+2y+484w=547 x+17y+289w=632 x+12)H-144z=72.9 x+7v+49=83.7試用矩陣最小二乘法求X, N z的最可依賴值及其精度。5-4交流電路的電抗*3厶-,coC在角頻率3尸3時，測得x為0.83=2時，測得x為Xz=0.233=1時，測得X為”3=03試求

3、：（i）厶，C及其方差：（ii）co=3時（入=0.1）電抗值及其方差。5-5試求卞列方程給岀的x, y的最大或然值及其標準誤差。2x+v=5lX-V=l.l4x-v=7.4x+4v=59J56測得一直線上四段長度AB、BC、CD、DE分別為24.1, 35.8, 30.3和33.8厘米，但已知AD準確長90厘米和EE準確長100厘米。試求AB, BC, CD, DE的最人或然值。5-7由方程組3x+v=29x-2v=0.92x-3v=l9J試求x, y的最犬或然值及其標準誤差。5-8由下面的不等精度的測定方程組，求X，忑的最可信賴值及其標準誤差。xi=0權(quán)：Pi=8X2=0P：=10Xi+Z

4、v2=0.25Xi-3x2=0.925-9由下面的不等精度的測定方程組，試用矩陣最小二乘法求匕y的最人或然值及其標 準誤差。x-3y=-5.6P：=2Ps=3權(quán)：Pi=l4x+v=&l2yv=052a+v=515J0由下面的測定方程組，試求心y的最可依賴值及其標準誤差。 權(quán)：Pi=lP：=3P3=24計725J1試求滿足卞列方程的卅“ 7及其標準誤差（假設(shè)它們是等權(quán)的）。x+)h-7=4.012a-)h-=1.04x+3y-2z=5.023x+y=4975-12由座標點(1, 0) (3, 1)和(-1, 2)到某點的距離分別為3.1, 2.2和3.2。試求該點 座標位置的最大或然值及其標準誤

5、差。5-13對某一角度值，分兩個測回進行測定，其權(quán)等于測定次數(shù)，測定值如卞。試求該 角度的最可信賴及其標準誤差。第一測回第二測回Pi73456，334。554013454234。5530134。5520134。5523455134。55,70134。55，10134。55505J4某平面三角形三個角被測出為A=485r10% B=602524% C=70427%令假設(shè)這種 測量(1)各次權(quán)相等；(11)各次權(quán)分別為1、2、3；試求A、B、C的最大或然值。5-15數(shù)N系時間F的函數(shù)N=Xi+ x2t+ xt2測定后的N的值如下。測定是在異權(quán)情況卞進行的，試求X!，X2, X3的最可信賴值。112

6、3456789tl1.51.10.70.3-0.1-0.51.0-1.5-2.0Ni6.203.452.001.802.404.558.8515.7024.40Pi0.7070.5005J6硝酸鈉在100份水內(nèi)的溶解度與溫度的關(guān)系，測定為溫度0410152129365168溶解度66.771.076.380.685.792.999.4113.6125.1上述關(guān)系可用直線67.5+0.87/表示（式中t為溫度）。試用最小二乘法來檢證。5J7由下列測定的方程組，求X、Y最可信賴及其或然誤差。X+Y=370權(quán)：Pi=52X+Y=619P：=43X+Y=867P3=4X+2Y=49.2P4=4X+3Y

7、=606P5=32X+3Y=867P6=23X+2Y=98.4Pt=35J8由下列測定方程組，求X、Y最可信賴及其標準誤差。2X+4Y+8Z=0.16122200X+4840Y+10648Z=019863200X+10240Y+32768Z=050982600X+6760Y+17576Z=028963X+9Y+27Z=041815-19假設(shè)有三個某種量規(guī)，其值分別為YY 丫3?，F(xiàn)在將它們直接地或間接地與數(shù) 值已知為N的標準量規(guī)比較，比較的方案為卞述三種（三種組合）：（I）每一個量規(guī)各與標準量規(guī)比較二次：（II）第一個量規(guī)（YJ與標準量規(guī)比較二次，第二個量規(guī)（YJ與第一個量規(guī)比較二 次，第三個量

8、規(guī)（YJ與第二量規(guī)比較二次；（in）每一個量規(guī)各與標準量比較一次，然后它們相互按不同的組合比較一次；上述三種測量方案得到的條件方程式如下表所示：(1)(2)(3)YiN=XiYiN=XiYiN=XiYiN=X2YiN=X：y2n=x2y2n=x3YYi=X3y3n=x3y2n=x4YYi=X4YzYi=X4y3n=x5y3y2=x5Y3YXsYlN=XY3Yz=X6Y3Y：=X6試研究采用那一種測量方案能夠獲得最好的結(jié)果。（提示：可以比較不同測量方案下未 知數(shù)的權(quán)）。典型題解5-1由測量方程3x + y = 2.9 x-2y = 0.9 2x 一 3y = 1.9 試求x、y的最小二乘法處理及

9、其相應(yīng)精度。解：方法一：列出誤差方程組：兒=29-(3只+ 2 v2=0.9-(x-2y) 心9-(2x-3y)J3工匕三=(29一(3人+刃)2 +(09_(x_2y)f +(l9_(2%_3y)2 i=l分別對心y求偏導(dǎo)，并令它們的結(jié)果為0,2(3% + y) 一 2.9) x 3 + 2(x - 2y) - 0.9) + 2(2% 一 3y) -1 9) x 2 = 02(3x + y) 一 2.9) 一 2(x 一 2y) 一 0.9) x 2 + 2(2% 一 3y) -1 9) x 3 = 0即,14.Y-5y = 13.4 一 5x+14y = 4.6由上式可解得結(jié)果：x= 0.

10、9626 y = 0.0152方法二：直接列表計算給出正規(guī)方程常數(shù)項和系數(shù)15ail（匚a*2=叮+丁 +叮/-1=(-0.003)2 + (-0.0322)2 + (0.0204)2= 0.00146由題已知，H =3, 1 = 2 得= 0.0382由不定乘數(shù)的方程組14幾_5仏=1_5d + 14d2 = 0 14血-5d“ = 05d： +142 = 1dn =0.0819d22 =0.0819得6 =o7T = 00382j00819 = 0.01096 = 0.0382V0.0819 = 0.0109方法二：按矩陣形式計算，由誤差方程V = L-AX片= 29_(3x + 2yj

11、v2 = 0.9-(x-2y) 叮 l9-(2x-3y)上式可以表示為vih3 1v2=l21 -2?S.2 -3;2.931AXV =v2;L =0.9;A =1-2:x =厶1.92-3.y.可得X= LaTL = (A。尸 ALLd式中3 1 _31214 -5*1 -2=1 -2 一3-5 142 3 .-i1145114 514 -514517114 5-5 14所以=CW Lyi-22.90.91.91 47171_294 13-23 -322.90.91.9即解得,1164.6171 2.6_ 0.9626-一 0.0152x = 0.9626y = 0.0152.將最佳估計值代

12、入誤差方程可得,. viV = L-AX= v22.931 _0.96260.91-20.01521.92-3-0.0030-0.03220.0204將計算得到的數(shù)據(jù)代入式中= 0.0382為求出估計量上y的標準差，首先求出不定常數(shù)d“ 由已知，不定常數(shù)的系數(shù)與正規(guī)方程的系數(shù)相同,(j 9 j = h2) 因而c/“是矩陣中各元素，即11 12114 5d2l d2217114 5C114 = 0.0819 1117114 d = 0.0819-171可得估計量的標準差為6 =bTT = 00382j00819 = 0.0109crv = 0-7 = 0.0382V0.0819 = 0.010

13、95-2己知誤差方程為 = 10.013-v3 = 10.002-x3v5 = 0.008-(Xj -x3)v- = 10.010龍v4 = 0004_(“ -x2) v6 = 0.006-(x2 -x3) 試給出Ap X2, %的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。解:根據(jù)矩陣形式，誤差方程V = l-a可以表示為vih10 0 v2l201 0V300 1V4厶1-1 0V5l510 -1比401 -1x2可得式中vi116C10.013100 v2l210.010010V3l310.002001:L =:A =V40.0041-10V5h0.00810-1?6.0.00601_LV1X= =C1

14、A7L = (A7A)1A7LL = (A。尸100010o0113-1-1-13-1-1-13-1 0 10 -1 -148448 41 1 0103 -10-1 3-1 -1 311611010.013-1-184410011o484010-101448_0010-1-1_4444-4080-404-410.01310.01010.0020.0040.0080.00610.01010.0020.0040.0080.006160.2000=160.148016160.052010.0125=10.009310.0033即解得兀=10.0125=10.0093 也=10.0033將最佳估計值代

15、入誤差方程可得Vj = 10.013-羽=10.013-10.0125= 0.0005=5x10v2 =10.010-x2 =10.010-10.0093= 0.0007= 7X104v3 =10.002-x3 =10.002-10.0033=-0.0013=-13xl04v4 = 0.004(jq -x2) = 0.004-(10.0125-10.0093) = 0.0008= 8x W4v5 = 0.008 一(再-x3) = 0.008 一 (10.0125 一 10.0033) = -0.0012 = -12x IO4v6 = 0.006-(x2 一 e) = 0.006-(10.00

16、93-10.0033) = 0 得62LV7 = vf + V； + V； + V； + V- + VJi=l= (5x IO4)2 +(7 x 10*)2 +(-13 x104)2+(8 xlO4)2 +(-12 xlO-4)2 +0= (25 + 49 + 169+64 +144) x IO-8= 4.51x10“可得= 221xl0T為求出估計量”心“的標準差，首先求出不定乘數(shù)d曠 不定乘數(shù)血的系數(shù) 與正規(guī)方程的系數(shù)相同，因而d“是矩陣C中各元素，即di2d23 =84164護=0.5d=丄 x 8=0.5一 16仏=x8=0.533 16于是估計量的標準差，S何7 = 2.21x103

17、 753=0.00166. =cf77 = 2.21x10V65=0.00166, = o-yfd = 2.21X103 V05=0.00165-3測力計示值與測量時的溫度f的對應(yīng)值獨立測得如下表所示。t/C151821242730F/N43.6143.6343.6843.7143.7443.78設(shè)f無誤差，尸值隨/的變化呈線性關(guān)系F = k0+kt,試給出線性方程中系數(shù)心和R的最小 二乘估計及其相應(yīng)精度。解：方法一：列出誤差方程式，% =存伙o+就)令ko=a, k = b為待估計量，則誤差方程可寫成為Vi=Fi-(a + bti)為計算方便，將數(shù)據(jù)列表如下：1r,./Ct；/C2FJN-F

18、JCN11522543.61654.1521832443.63785.3432144143.68917.2842457643.711049.0452772943.741180.9863090043.781313.4Z1353195262.155900.19根據(jù)誤差方程，列出正規(guī)方程:66血+工3=工爲 i=li=l66 6i=li=li=l將表中計算出的相應(yīng)系數(shù)值代入上面的正規(guī)方程得6a + 135b = 262.15135fl+ 3195/? = 5900.15解得a = 43.4324b = 001152心=43.4324、 = 0.01152將怎，R代入誤差方程得：% =片一 (43.4

19、324+ 0.001152；)將耳，0代入上式，可得殘余誤差為：% = 43.61-(43.4324+ 0.01152x15)=0.0048NV2 = 43.63 一 (43.4324+ 0.01152x18)= 一 0.00976N% = 43.68 一 (43.4324+ 0.01152x2 l)=0.00568NV； =43.71-(43.4324+ 0.01152x 24)=0.00112NV5 = 43.74 - (43.4324+ 0.01152x 27)= - 0.00344N=43.78-(43.4324+0.01152x30)=0.002N可得：6遲甲=(00048尸 + (

20、-0.00976尸 + (0.00568)2 + (0.00112)2 + (-0.00344)2 + (0.002)， i=l= 0.000167374可得標準差為，由上面所給的正規(guī)方程的系數(shù)，可列岀求解不定乘數(shù)的方程組66+135=1135尙+31952 =06仏+ 13522=0135J21+3195J22=1分別解得dn =3.38095d- =0.00635估計量怎，的標準差為% = b風(fēng)=0.00647V338095 = 0.00119 % = 0.00647/0.0063 5 = 0.000516方法二：直接利用矩陣求解，誤差方程V = L-A可寫成可得式中v2V3V4:L =I

21、L*43.6f43.6343.6843.71543.74?6.4378.(71ArL = (ArA/1ArL1111一 15 18 21 24127所以6135 135 316513195-1356135-1356135316513195-135_945-135643.6113195 -135ir 11945_1356 J15 181211 124 2743.631 1 43.683043.7143.7443.7843.4324 0.01152將最佳估計值代入誤差方程V = L- A?C得43.43240.01152可計算/VTV /0.000167374 門=0.00647為求出估計量心，R

22、的標準差，需要求出不定乘數(shù)心的系數(shù)，而不定乘數(shù)d “的系數(shù)與正 規(guī)方程的系數(shù)相同，因而是矩陣C中各元素，即C屮飼=丄嚴95 -135-d2l22_945|_-1356 _則3195d = 3.3809511945d“ = = 0.00635_945可得估計量的標準差為% = o眄=0.0064773.38095=0.00119% =0-77 = 0.0064770.00635 = 0.0005165-4研究米尺基準器的線膨脹系數(shù)，得出在不同溫度時該基準器的長度修正值可用公式AL = x+ W + 7尸表示。式中為（PC時米尺基準器的修正值（單位為“加）：y和z為溫度系 數(shù)；/為溫度。在不同溫度

23、時米尺基準器的修正值A(chǔ)L如卞表所示：t/C0.551536310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.417AL/.im5.7047.6191.49124.25154.87192.64214.57252.09299.84試求” y,乙的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。 解：利用矩陣形式誤差方程V = L-A艾可以表示為vih10.5510.5512 v2L153635.3632V34110.45910.4592V4L114.27714.2772XV5=/5117.80617.8062yV6l6122.10322.1032JV7Lf124.63324.633VS1

24、28.98628.986?134.41734.417vl 5.70 -10.5510.5512 V2l247.61153635.3632也91.49110.45910.4592V4124.25114.27714.2772AXV5:L =&=154.87:A =117.80617.8062z、:x =yV6h192.64122.10322.1032Jh214.57124.63324.6332V8252.09128.98628.9S62-V9_J9.299.84_134.41734.417可得xX= y =C-1ArL = (ArA)-1ArL式中C1 = (ArA)-11111110.5515.

25、36310.45914.27717.80622.10324.633O.55125.36310.459214.277217.806222.103224.633128.9862S.986210.5510.5512153635.363110.45910.4592114.27714.2772117.80617.8062122.10322.1032124.63324.633,128.98628.9S62134.41734.41720.7857-0.08320.0019-0.08320.0129-0.00030.0019-0.00030.0000所以xX= y = C1 ArL0.7857-0.08320

26、.0019-0.08320.0129-O.OOO30.0019-0.00030.00000.551536310.45914.27717.80622.10324.63328.98634.4170.55125.363210.4592 14.277217.8062 22.10324.633 2&986：34.41725.7047.6191.49124.25x 154.87192.64214.57252.09299.841.1002=8.61450.0018即解得x = 1.1002y = 8.6145 Z = 0.0018將最佳估計值代入誤差方程可得0.5510.5512 5.3635.363210

27、.45910.459214.27714.2772X17.80617.8062y22.10322.10324.63324.633228.98628.986?34.41734.417 5.70 10.5510.5512 47.61153635363291.491 10.45910.4592124.251 14.277 14.27721.1002154.871 17.806 17.80628.6145192.641 22.103 22.1030.0018214.571 24.633 24.633?252.091 28.986 28.9862.29984.1 34.417 34.417-0.14740

28、.25720.0896 -0.2140=-0.20250.23610.1544-0.25300.0795可計算o =再由/0.33279-3= 0.2355 0.7857-0.08320.0019 血-0.08320.00190.0129-0.0003-0.00030.0000厶=0.7857d22 =0.012933 = 0.0000可得估計量的標準差為ax = cr7/0.7857 = 0.20876 =刃石=0.235570.0129 = 0.0267空= 0.2355/0.0000 = 0.00005-5不等精度測量的方程組如下：R =2 ； 2x_3y = 05,$=3x-3y =

29、-56 ,片=1 ； 4x+y = 8.1, 試求X、V的最小二乘法處理及其相應(yīng)精度。 解：方法一：列出誤差方程叫=_56_(x_3y)P =1v2 =8.1-(4x+y)P2=2v3 = 05_(2x_3y)巴=3現(xiàn)用表格計算出正規(guī)方程常數(shù)項和系數(shù)，/5p.此Pi2 PiPg%/Pg Ji嘰li11-3119-3565. 616.8241232288. 164.816.232-13123-60. 531. 5z451 1-162.231.5根據(jù)誤差方程，列出正規(guī)方程45兀 一 v = 62.29r-x + 14y = 315解得x = 1.4345y = 23525由殘余誤差方程兒=厶一(“

30、+% y)=lx-5.6-(lxl.4345-3x2.3525)2 =lxO.O23O2Rv； =2x8.1-(4xl.4345+lx2.3525)2 =2x0.00952=3x0.5-(2xl.4345-lx2.3525)2 =3x(-0.0165)2于是町得標準差為= 0.0392xO.O23O2 +2x0.0095z +3x(-0.0165)232由已經(jīng)計算出來的正規(guī)方程的系數(shù)，及不定乘數(shù)的方程組451-v4 = 3.01 “ +孔20解：由前面三個線性的誤差方程V = L-AX可解得A? x2的近似估計值“0,兀 利用矩陣形式求解：h5.13vi1 012=8.26:v =v2:A =

31、0 113.211 1可得1 =C-1A7L = (A7A)1ArL x.式中1 1 01010 10111 1-i所以,2r-1_12_1 2-13-122-f10 1J一12.01 1J8.2613.215.135.1312-118.26亍_-121.13.211 15.2100 3 24.6000 _ 5.0700- 一 8.2000取“兀2得近似值丘0=50700,疋0=8200 ,令xi = Jio + 6町將誤差方程線性化，現(xiàn)分別對測量方程求偏導(dǎo)壘ox1Wo12 =0=1oil = = =-ri=ioX =V10 七f_ X；(xl+x2)2= 0.3818x1(x1+x2)-x1

32、x2則誤差方程化成線性方程組V = L - A6 ,丿4 Zt(A10- V20)_0.06= 0.1460x =.xo可得式中所以4 /1(X10,X20)0.04一 -0.06-0.12010.38188=0.14606=C_1ArL =(ArA)_1ArLc1 = (Ay11r 01 0 1 0.3818010 1 1 0.1460110.38180.1460.-1-12.14581.05571.05572.02130.6272-03276-0.32760.6658=CF L0.6272-0.327611 0 1 0.3818-0.32760.6658 Jo 1 1 0.14600.06

33、0.04-0.06-0.120.06_ 0.6272_ -0.32760.04-0.06-0.3276 0.29960.19160.66580.3382 -0.0279-0.12解得,-0.0164-0.01004=一00164=-0.0100 兀=心 + 禹=5.0700 0.0164=5.0536x2 =x2Q + 5=8.2000-0.0100=8.1900將吃的最佳估計值代入誤差方程計算可得,5.135.05360.0764 8.268.19000.070013.2113.2436-0.03363.01 _3.1252-0.1152_可得,= 0.1120再由,0.6272_ -032

34、76-0.32760.6658則,dn = 0.6272d 22 = 0.6658可得估計量的標準差為，by = b何7 = 0.112(/06272 = 0.0887匚 =72? = 0.112(/0.6658 = 0.09145-8今有兩個電容器，分別測其電容，然后又將其串聯(lián)和并聯(lián)測量，測得如下結(jié)果:C嚴 0.2071/zFCA + C2 = 0.4111/FC2 = 0.2056/F- = 0.1035/F試求電容器電容量的最町信賴值及其精度。解：前面三個方程為線性方程組，同時取cf, c；為待估計量C,C2的近似值，舁，&為估計量與所取近似值的偏差，待估計量g,g的表達式為G = cf

35、 + 炭C2 = C? + 炭測量的誤差方程組為片=0.2071-C；v2 =0.2056-C2也=0.4111-(G + CJ上式可以表示為：V = L-AXV1U10v2=l201JS.厶-11C,S.207 廠I oA c.v =v2;L =0.2056:A =0 1；x=1Cr厶0.41111 1可得C1AtL = (AtA)1AtL式中n 11 01-2 1T1 J 2.if 2 -13-12所以=C4ArL0.207廣12-fj0 f0.20563-12.01 10.41112-1-120.20710.20560.41110.61970.61520.20656一 0.20507得,

36、C： = 0.20656/FC? = 0.20507/zF再令由題中,/；=C=C? + V厶= q+c(cf +疋)+(C； + g)f 一 gG+q c + c?g +邑(帶+邑)-儼邑 0 +帶(帶+邑)-帶0C + cy 一 1(帶+邑尸2現(xiàn)將函數(shù)在Cl C；處展開，取一次項，則有曲5 =曲$)+條c.=c?(/=b 2, 3, 4)將展開式代入誤差方程，并令廠=厶_曲,0)(i=l, 2, 3, 4)則，厶=0.2071- C： = 0.2071- 0.20656 = 0.00053L 1 = 0.2056 一 C2 = 0.2056 一 0.20507 = 0.00053 * =

37、0.4111-(+ C?) = 0.4111-(0.20656 + 0.20507) = -0.00053. = 0.1035-(4) = 0.1035-2656 心0507 = C + C?0.20656+0.20507則誤差方程組化成線性方程組,即，V = L 一 A8叫=厶一+如朋） v2= Lry （旳閃+幺22炭） #3 =厶一31疋+。32 靈） 厶-4 廚 +%/） 在由前面的方程組分別求偏導(dǎo)：oil = = = gu l-劉 = = = 12532 add lol = = = h h Jk 並俎並一如並俎GC + c2)-clc2(c + c2y* =0-24819 c:=c?

38、d =0.25181C：=C04 |C(C + CJ-CC% =刃步=c + cj-則化成矩陣形式VL-AS式中_ 0.00054 1100.0005301，A=-0.00053110.00059 j0.206560.205078 =則,8 = C1 A,TL=(AtTA)IATL,式中cT=(Ag)101 0 1 0.20656010 1 1 0.20507110.206560.205071.042362.04267-1.042363.08472 -1.042362.042360.0005412.04267-1.042361 p 0 1 0.206560.000533.08472一1.042362.04236 J|_0 1 1 0.20507-0.000530.000590.00054 12.04267-1.04236 1.00031 0.2081810.000533.08472一1.042362.042361.00031 0.20352J-0.000530.000591_0.0001432_3.084720.00