正弦定理教學(xué)案例設(shè)計(jì)

1、正弦定理教學(xué)案例設(shè)計(jì) 一、教學(xué)內(nèi)容分析： 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)（必修5）（人教A版） 第一章解三角形：11 “正弦定理和余弦定理”的第 1課?！敖?三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性，在這次 課程改革中，被保留下來(lái)，并獨(dú)立成為一章。解三角形作為幾何 度量問(wèn)題，應(yīng)突出幾何的作用和數(shù)量化的思想，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。本課“正弦定理”，作為單元的起始課，為后 續(xù)內(nèi)容作知識(shí)與方法的準(zhǔn)備， 是在學(xué)生已有的三角函數(shù)及向量知 識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系作量化探究，發(fā)現(xiàn)并掌握正 弦定理（重要的解三角形工具），解決簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。 教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，通

2、過(guò)探索發(fā)現(xiàn)、合情推理與 演繹證明的過(guò)程，提高學(xué)生的思辨能力。 二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析： 由于本課內(nèi)容和一些與測(cè)量、幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題相 關(guān)，教學(xué)中若能注意課程與生活實(shí)際的聯(lián)系，注重知識(shí)的發(fā)生過(guò) 程，定能激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。當(dāng)然本課涉及代數(shù)推理，定理證 明中可能涉及多方面的知識(shí)方法，綜合性強(qiáng)，學(xué)生學(xué)習(xí)方面有一 定困難。 三、設(shè)計(jì)思想： 定理教學(xué)中有一種簡(jiǎn)陋的處理方式：簡(jiǎn)單直接的定理呈現(xiàn)、 照本宣科的定理證明，然后是大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng)用練 習(xí)。本課采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)、合作交流的研究性學(xué)習(xí)方式， 重點(diǎn)放在定理的形成、證明的探究及定理基本應(yīng)用上， 努力挖掘 定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維價(jià)值。從實(shí)

3、際問(wèn)題出發(fā)，引入數(shù)學(xué)課題， 最后把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題。 四、教學(xué)目標(biāo)： 讓學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)對(duì)特殊三角形邊角間數(shù) 量關(guān)系的探求，發(fā)現(xiàn)正弦定理；再由特殊到一般，從定性到定量， 探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察， 猜想，比較，推導(dǎo)正弦定理，由此培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī) 律的數(shù)學(xué)思考能力；培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想與引申的能力， 探索的精神與 創(chuàng)新的意識(shí)，同時(shí)通過(guò)三角函數(shù)、向量與正弦定理等知識(shí)間的聯(lián) 系來(lái)幫助學(xué)生初步樹(shù)立事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一的唯物 主義觀點(diǎn)。 五、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)： 本節(jié)課的重點(diǎn)是正弦定理的探索、 證明及其基本應(yīng)用；難點(diǎn) 是正弦定理應(yīng)用中“已知兩邊和其

4、中一邊的對(duì)角解三角形， 判斷 解的個(gè)數(shù)”，以及邏輯思維能力的培養(yǎng)。 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì): CB=435m/CBA=880, / BCA=42。由以上數(shù)據(jù)，能測(cè)算出橋長(zhǎng) AB嗎？這是一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題 ？ 引出：解三角形一一已知三角形的某些邊和角，求其他的邊 和角的過(guò)程。 設(shè)計(jì)意圖：從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，弓I入數(shù)學(xué)課題。 師：解三角形，需要用到許多三角形的知識(shí)，你對(duì)三角形 中的邊角知識(shí)知多少？ 生：，“大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角” 師：“ a b c A B C”，這是定性地研究三角形 中的邊角關(guān)系，我們能否更深刻地、從定量的角度研究三角形 中的邊角關(guān)系？ 引出課題：“正弦定理 設(shè)計(jì)意圖：從聯(lián)系的觀點(diǎn)，從新的

5、角度看過(guò)去的問(wèn)題，使 學(xué)生對(duì)于過(guò)去的知識(shí)有了新的認(rèn)識(shí)， 同時(shí)使新知識(shí)建立在已有知 識(shí)的堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)上，形成良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)。 （二）猜想、實(shí)驗(yàn)： 1發(fā)散思維，提出猜想：從定量的角度考察三角形中的邊 角關(guān)系，猜想可能存在哪些關(guān)系？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生根據(jù)已有知識(shí)“abc A BC”，可能出現(xiàn)以 下答案情形。如 a/A=b/B=c/C,a/sinA=b/sinB=c/sinC, a/cosA=b/cosB=c/cosC,a/tanA=b/tanB=c/tanC,等等。 設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學(xué)能力 2、 研究特例，提煉猜想：考察等邊三角形、特殊直角三 角形的邊角關(guān)系，提煉出 as

6、inA=bsi nB=csi nC 。 3、 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想：這一關(guān)系式在任一三角形中是 否成立呢？ 請(qǐng)學(xué)生以量角器、刻度尺、計(jì)算器為工具，對(duì)一般三角形 的上述關(guān)系式進(jìn)行驗(yàn)證，教師用幾何畫(huà)板演示。在此基礎(chǔ)上， 師生一起得出猜想，即在任意三角形中，有 asinA=bsi nB=csi nC。 設(shè)計(jì)意圖：著重培養(yǎng)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的探究意識(shí)和動(dòng)手實(shí)踐能 力 （三）證明探究： 對(duì)此猜想，據(jù)以上直觀考察，我們感情上是完全可以接受 的，但數(shù)學(xué)需要理性思維。如何通過(guò)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理，證明正 弦定理呢？ 1、特殊入手，探究證明 ： 在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探 討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)

7、系。在RL ABC中，設(shè) BC=a,AC=b,AB=c, c=90，根據(jù)銳角的正弦函數(shù)的定義，有 a sin A c sin B c ，又 sin C = 1=c c ab_ 貝寸 sin A sin B c sin C =c ，從 a b c 而在直角三角形 ABC中，sinA _sin sin C。 2、推廣拓展，探究證明 ： 問(wèn)題2:在銳角三角形 ABC中，如何構(gòu)造、表示“ a與 si nA、b與si nB ”的關(guān)系呢？ 探究1:能否構(gòu)造直角三角形，將問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能出現(xiàn)以下答案情形。學(xué)生對(duì) 直角三角形中證明定理的方法記憶猶新，可能通過(guò)以下三種方 法構(gòu)造直角

8、三角形。 生1:如圖1，過(guò)C作BC邊上的線CD，交BA的延長(zhǎng) 線于D，得到直角三角形 DBC。 生2:如圖2，過(guò)A作BC邊上的高線AD，化歸為兩個(gè)直 角三角形問(wèn)題。 生3:如圖3,分別過(guò)B、C作AB、AC邊上的垂線，交 于D，連接AD，也得到兩個(gè)直角三角形 經(jīng)過(guò)師生討論指出：方法2，簡(jiǎn)單明了，容易得到“ c與 sinc、b與sinB ”的關(guān)系式。 知識(shí)鏈接：根據(jù)化歸一一這一解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方 法，把銳角三角形中正弦定理的證明歸結(jié)為直角三角形問(wèn)題是自 然不過(guò)的。而方法3將把問(wèn)題延伸到四點(diǎn)共圓， 深究下去，可得 ab c sin A_sin B _sin c =2R，對(duì)此，可留做課后思考解決

9、 D 圖2 圖3圖 4 探究2:能否引入向量，歸結(jié)為向量運(yùn)算？ （1）圖2中蘊(yùn)涵哪些向量關(guān)系式？ 學(xué)生探究，師生、生生之間交流討論，得 AB BC二AC,AB BC C 0, AB二CB - CA,（這三個(gè)式子本質(zhì)上是相同 的），ADBC=O等， （2） 如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系？（施以什么運(yùn)算?） 生：施以數(shù)量積運(yùn)算 (3) 可取與哪些向量的數(shù)量積運(yùn)算？ 學(xué)情預(yù)設(shè)：此處，學(xué)生可能會(huì)做如下種種嘗試，如兩邊 自乘平方、兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量 AB (或BC、AC )，均無(wú)法如愿。此 時(shí)引導(dǎo)學(xué)生兩邊同時(shí)點(diǎn)乘向量 AD ,并說(shuō)出理由：數(shù)量積運(yùn)算產(chǎn)生 余弦，垂直則實(shí)現(xiàn)了余弦與正弦的轉(zhuǎn)換。 知識(shí)鏈接：過(guò)渡

10、教材中，證明方法所引用的單位向量j就 是與向量AD共線的單位向量。過(guò)去，學(xué)生常對(duì)此感到費(fèi)解， 經(jīng)如此鋪墊方顯自然 探究3：能否引入向量的坐標(biāo)形式，把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù) 運(yùn)算？ (1) 如圖4，建立直角坐標(biāo)系，可得： A(0,0),B(c,0),C(bcosA,bsi nA), (2) 向量 BC 的坐標(biāo)=?( bcosA-c，bsinA) (3) 哪一點(diǎn)的坐標(biāo)與向量bc的坐標(biāo)相同？由三角函數(shù)的定 義，該點(diǎn)的坐標(biāo)又為多少？ 根據(jù)平行四邊形法則，D( acos(18O0 - B),asin(18O0 一 B)，從而 建立等量關(guān)系： bcosA c=acos(1800 - B), bsinA= as

11、in(180-B), 整理，得c= bcosA+ acosB (這其實(shí)是射影定理)， a/sinA=b/sinB ，同理可得 a/sinA=c/sinC 。 知識(shí)鏈接：向量，融數(shù)與形于一體，是重要的數(shù)學(xué)工具， 我們可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)描述和研究幾何元素之間的關(guān)系(如 角與距離等），這里學(xué)生已經(jīng)學(xué)過(guò)向量，可根據(jù)學(xué)生素質(zhì)情況決 定是否采用探究2與3 問(wèn)題3：鈍角三角形中如何推導(dǎo)正弦定理？（留做課后作業(yè)） （四）理解定理、基本應(yīng)用： a b c sinA sinB sinC 1、正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦 的比相等，即 問(wèn)題4、定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？ （1）從結(jié)構(gòu)看

12、：各邊與其對(duì)角的正弦嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，成正比 例，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧美。 （2）從方程的觀點(diǎn)看：每個(gè)方程含有四個(gè)量，知三求 一。從而知正弦定理的基本作用為： 已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如 bsin A * - sin B ； 已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對(duì)角可以求其他 角的正弦值，如sin人二帥B。 2、例題分析 例 1 .在 ABC 中，已知 A=32.0 , B=81.8 , a=42.9cm,解三 角形。 評(píng)述：定理的直接應(yīng)用，對(duì)于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可 使用計(jì)算器。 例2 .在ABC中，已知a = 20cm,b =28cm,A = 40，解三角形 （角度精確到10,邊長(zhǎng)精確到

13、1cm）。 評(píng)述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)， 可能有兩解的情形。 課后思考：已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角形能唯一 確定嗎？為什么？ 3、課堂練習(xí)： （1）、弓I題（問(wèn)題1） （2）、在 ABC中，sinA sinB 是 A B 的 A.充分不必要條件B.必要不充分條件 C.充要條件D.既不充分也不必要 條件 設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)二個(gè)課堂練習(xí)，練習(xí)（1） 目的是首尾呼 應(yīng)、學(xué)以致用；練習(xí)（2 ）則是將正弦定理、簡(jiǎn)易邏輯與平面 幾何知識(shí)整合，及時(shí)鞏固定理，運(yùn)用定理。 （五）課堂小結(jié)： 問(wèn)題5:請(qǐng)同學(xué)們用一句話表述學(xué)習(xí)本課的收獲和感受。 生1:原來(lái)我只會(huì)解直角三角形，現(xiàn)在我會(huì)解一般三角形

14、 了 師：通過(guò)本課學(xué)習(xí)，你發(fā)現(xiàn)自己更強(qiáng)大了。 生2:原來(lái)我以為正弦定理的證明，只有書(shū)上一種方法， 今天我們學(xué)到了課本以外的眾多方法。 師：我們學(xué)習(xí)過(guò)兩個(gè)重要數(shù)學(xué)工具，即三角函數(shù)與平面 向量，正弦定理的證明充分展示了它們的妙用。 生3:公式很美。 師：美在哪里？ 生3:體現(xiàn)了公式的對(duì)稱(chēng)美，和諧美 在同學(xué)們的熱烈討論的基礎(chǔ)上，用課件展示小結(jié)： 1、在正弦定理的發(fā)現(xiàn)及其證明中，蘊(yùn)涵了豐富的思想方 法，既有由特殊到一般的歸納思想，又有嚴(yán)格的演繹推理。 在定理證明中我們從直觀幾何角度、向量運(yùn)算角度探求了數(shù) 學(xué)工具的多樣性。 2、 正弦定理反映了邊與其對(duì)角正弦成正比的規(guī)律，據(jù) 此，可以用角的正弦替代對(duì)邊，

15、具有美學(xué)價(jià)值 3、利用正弦定理解決三類(lèi)三角形問(wèn)題： (1) 已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角。 (2) 已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn) 而求出其他的邊和角。 (3) 實(shí)現(xiàn)邊與角的正弦的互化。 設(shè)計(jì)意圖：通常，課堂小結(jié)均由老師和盤(pán)托出，學(xué)生接 受現(xiàn)成的結(jié)論。本設(shè)計(jì)充分發(fā)揮學(xué)生思維參與的主動(dòng)性和創(chuàng)造 性，師生合作，讓課堂小結(jié)成為點(diǎn)睛之筆。 (六) 作業(yè)布置： 1、書(shū)面作業(yè)：P10習(xí)題1.1 1、2 2、研究類(lèi)作業(yè)： 1）在鈍角三角形中探求證明定理的不同方法。 a b c , k 2）在厶ABC中，sin A sinB sinC ，研究k的幾何意義 3）已知三角形的兩邊一角，這個(gè)三角

16、形能唯一確定嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：對(duì)問(wèn)題 3），根據(jù)分散難點(diǎn)，循序漸進(jìn)原則， 在例2中初步涉及，在課后讓學(xué)生先行思考，在“正、余弦定 理”第三課時(shí)中予以下圖的剖析闡述 已知邊a,b和 aCH = bsinA 無(wú)解 O 七、教學(xué)反思： 1、本課就新課程理念下定理教學(xué)課的課堂模式，做了一些 探索。以問(wèn)題解決為中心，通過(guò)提出問(wèn)題，完善問(wèn)題，解決問(wèn)題， 拓展問(wèn)題，采用實(shí)驗(yàn)探究、自主學(xué)習(xí)的研究性學(xué)習(xí)方式，重點(diǎn)放 在定理的形成與證明的探究上， 努力挖掘定理教學(xué)中蘊(yùn)涵的思維 價(jià)值，培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力。改變了定理教學(xué)中簡(jiǎn)陋的處理方式 （簡(jiǎn)單直接呈現(xiàn)、照本宣科證明，大劑量的“復(fù)制例題”式的應(yīng) 用練習(xí)）。 2、“用教材

17、教，而不是教教材”，盡管教材中對(duì)本課知識(shí) 方法的要求并不高，只介紹了通過(guò)作高將一般三角形變換為直 角三角形，再將三角比變換得到等式的化歸方法，但教學(xué)不僅 是忠實(shí)執(zhí)行課程標(biāo)準(zhǔn)，而且是師生共同開(kāi)發(fā)課程，將教材有機(jī) 裁剪，并融入個(gè)性見(jiàn)解的過(guò)程。如在正弦定理的證明探究中， 學(xué)生完全可能?chē)@“如何構(gòu)造直角三角形？”，八方聯(lián)系，廣 泛聯(lián)想，分別應(yīng)用平面幾何四點(diǎn)共圓、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向 量的坐標(biāo)運(yùn)算等知識(shí)方法。本課設(shè)計(jì)充分預(yù)設(shè)各種課堂生成， 盡量滿足不同思維層次學(xué)生的需求。 3、突出數(shù)學(xué)的本質(zhì)。正弦定理的本質(zhì)是“定量地描寫(xiě)三角 形邊角之間的關(guān)系”，是“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”的定量 化。但量、算、猜不能代

18、替數(shù)學(xué)思考與邏輯證明，而定理的證 明實(shí)質(zhì)是：用垂直做媒介，將一般三角形化為直角三角形處 理。本課設(shè)計(jì)既講類(lèi)比聯(lián)想，又講邏輯推理，讓學(xué)生知其然， 知其所以然。 4、來(lái)源于生活實(shí)際，又回到生活中，強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)。 點(diǎn)評(píng)： 本課通過(guò)精心設(shè)計(jì)“發(fā)現(xiàn)和解決問(wèn)題”的過(guò)程，注重講背景、 講過(guò)程、講應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、勇于探索。首先從具體問(wèn) 題情境出發(fā)，在教師的指導(dǎo)下，結(jié)合學(xué)生的已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，通過(guò) 自主學(xué)習(xí)，進(jìn)行發(fā)散式猜想與探究判斷，去偽存真，提煉猜想， 并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，完善猜想。其次，在定理證明階段，通過(guò)新舊 知識(shí)的連接點(diǎn)設(shè)問(wèn)，搭建知識(shí)腳手架，讓學(xué)生展開(kāi)聯(lián)想，力求引 導(dǎo)學(xué)生尋找合理的知識(shí)方法（如本課知識(shí)生長(zhǎng)