塑性增量本構(gòu)的基本理論彈塑性力學(xué)論文

1、塑性增量本構(gòu)的基本理論姓名： 學(xué)號：摘要：本文從理論基礎(chǔ)的角度討論彈塑性增量本構(gòu)模型的基本理論：首先給出彈塑性本構(gòu)模型研究的基本假設(shè)；然后談?wù)搹椝苄员緲?gòu)模型的三個基本組成部分（屈服面、硬化規(guī)律和塑性流動法則）。關(guān)鍵字：本構(gòu)關(guān)系；塑性；屈服面；硬化規(guī)律；塑性流動法則1 引言盡管彈塑性理論的研究己有一百多年，但隨著電子計算機(jī)和各種數(shù)值方法的快速發(fā)展，對彈塑性本構(gòu)關(guān)系模型的不斷深入認(rèn)識，使得解決復(fù)雜應(yīng)力條件、加載歷史和邊界條件下的塑性力學(xué)問題成為可能?，F(xiàn)在復(fù)雜應(yīng)力條件下塑性本構(gòu)關(guān)系的研究，已成為當(dāng)務(wù)之急。彈塑性本構(gòu)模型大都是在整理和分析試驗(yàn)資料的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用彈性、塑性理論建立起來的。 在采用有限

2、元法對工程塑性問題進(jìn)行數(shù)值分析時，關(guān)鍵問題就是選擇恰當(dāng)?shù)膹椝苄员緲?gòu)模型，因此，彈塑性材料本構(gòu)模型的研究就顯得十分重要【1】。 本文從理論基礎(chǔ)的角度討論彈塑性增量本構(gòu)模型的基本理論：首先給出彈塑性本構(gòu)模型研究的基本假設(shè)；然后談?wù)搹椝苄员緲?gòu)模型的三個基本組成部分（屈服面、硬化規(guī)律和塑性流動法則）。2基本假設(shè)建立彈塑性材料的本構(gòu)方程時，應(yīng)盡量反映塑性材料的主要特性。由于彈塑性變形的現(xiàn)象十分復(fù)雜，因此在研究彈塑性本構(gòu)關(guān)系時必須作一些假設(shè)【1】。研究彈塑性本構(gòu)關(guān)系理論的基本假設(shè)一般有以下幾點(diǎn):(1）連續(xù)性假設(shè)：彈塑性體是一種密實(shí)的連續(xù)介質(zhì)并在整個變形過程中保持連續(xù)性。(2）小變形假設(shè)：在小變形（變形和物

3、體尺寸相比可以忽略不計）情況下，應(yīng)變和位移導(dǎo)數(shù)間的幾何關(guān)系是線性的。但對于大變形情況，必須考慮幾何關(guān)系中的二階或高階非線性項(xiàng)。(3）均勻性假設(shè):物體在不同點(diǎn)處的力學(xué)性質(zhì)處處相同。實(shí)際上金屬材料都可以看作是均勻的。對于混凝土、玻璃鋼等非均質(zhì)材料，如果不細(xì)究其不同組份分界面的局部應(yīng)力，可以釆用在足夠大的材料上測得的等效彈塑性參數(shù)來簡化成均勻材料。（4）僅考慮等溫過程中的應(yīng)變率無關(guān)材料，即忽略了應(yīng)變率大小(或粘彈性效應(yīng))對變形規(guī)律的影響。這時任何與時間呈單調(diào)遞增關(guān)系的參數(shù)都可取作為變形過程的時間參數(shù)。由此得到的本構(gòu)關(guān)系將會有相當(dāng)?shù)暮喕?。?） drucker假設(shè)和ilyushin假設(shè)(在流動法則中將

4、詳細(xì)討論這兩個假設(shè))。3彈塑性本構(gòu)模型的基本理論彈塑性本構(gòu)模型是根據(jù)彈性理論、塑性理論等發(fā)展建立起來的【1】。在塑性變形過程中總應(yīng)變?yōu)閮刹糠忠徊糠质菑椥詰?yīng)變和一部分是塑性應(yīng)變。其中彈性應(yīng)變可由廣義hooke定律計算。塑性狀態(tài)下的本構(gòu)關(guān)系目前存在著兩種理論：一種理論認(rèn)為塑性狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)允菓?yīng)力分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，這種理論稱為全量理論或形變理論；另一種理論認(rèn)為塑性狀態(tài)下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系應(yīng)該是增量之間的關(guān)系，稱為增量理論或流動理論【2，3，4】。由于材料的塑性變形具有不可恢復(fù)性，在本質(zhì)上是一個與加載歷史有關(guān)的過程，所以一般情況下其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系用增量形式描述更為合理。因此塑性應(yīng)變一般用塑

5、性增量理論計算。應(yīng)用塑性增量理論計算塑性應(yīng)變一般需要彈塑性材料的屈服面與后繼屈服面、流動法則和硬化規(guī)律三個基本組成部分，對服從非關(guān)聯(lián)流動規(guī)則的材料，還需要彈塑性材料的塑性勢面【5】。下面將討論彈塑性增量理論的三個組成部分。31 屈服面和后繼屈服面及幾個常用的屈服條件 一般地，材料在外載荷作用下的響應(yīng)與荷載的大小有直接的關(guān)系。當(dāng)外載足夠小時，材料表現(xiàn)為線彈性，當(dāng)外載繼續(xù)增加，應(yīng)力大小超過彈性極限，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系則不再是理想彈性狀態(tài)，而材料的某一點(diǎn)或某些點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。判斷材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)的條件或準(zhǔn)則稱為屈服條件或屈服準(zhǔn)則。根據(jù)不同的可能應(yīng)力路徑所進(jìn)行的試驗(yàn)，可以得出從彈性狀態(tài)進(jìn)入塑

6、性狀態(tài)的各個屈服應(yīng)力，在應(yīng)力空間中將這些屈服應(yīng)力點(diǎn)連接起來就形成了一個區(qū)分彈性和塑性的分界面，即稱為屈服面【6】。在繼續(xù)加載條件下材料從一種塑性狀態(tài)到達(dá)另一種塑性狀態(tài)，將形成系列的后繼屈服面。材料在簡單加載作用下，屈服條件定義為材料的彈性極限，可以由簡單試驗(yàn)直接確定；而多數(shù)工程中的材料處于復(fù)雜載荷作用下，屈服面與后繼屈服面的形狀一般不能通過試驗(yàn)求得，不同的本構(gòu)模型有各自不同形狀的屈服面，且屈服準(zhǔn)則或屈服函數(shù)的具體形式取決于材料的力學(xué)特性。因此關(guān)于材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的屈服面與后繼屈服面(或屈服準(zhǔn)則)的確定具有理論和實(shí)踐意義，一方面它表征了材料從彈性狀態(tài)過渡到塑性狀態(tài)的開始，確定開始塑性變形時應(yīng)

7、力的大小和狀態(tài)，另一方面，它確定了材料復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的后繼屈服極限范圍，它是塑性理論分析的重要基礎(chǔ)，并應(yīng)用于各種實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計與施工。屈服面與后繼屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式稱為屈服函數(shù)。關(guān)于材料的屈服面和屈服函數(shù)，已研究了上百年，提出的各種表達(dá)式不下幾十種之多。在應(yīng)力空間中它一般可以表示成下式：圖1 屈服面在主應(yīng)力空間示意圖 （1）這表示它是應(yīng)力空問中的一個超曲面。若不考慮應(yīng)力主軸旋轉(zhuǎn)的情況下可在主應(yīng)力空間中表示，則為： （2） 如果屈服與靜水壓力無關(guān)，則表示為： （3）在應(yīng)變空間中可用下式表示屈服函數(shù) （4）常用的屈服條件有：tresca屈服條件(1894年)、mises屈服條件(1913年)、

8、coulomb屈服條件(廣義trcsca條件)、drucker-prager屈服條件(廣義mises條件)、雙剪屈服準(zhǔn)則。（1）tresca屈服條件【5】tresca認(rèn)為，在最大剪應(yīng)力達(dá)到極限時材料進(jìn)入屈服，在的假設(shè)下tresca屈服條件表示為： （5）或者： （6）（2）mises屈服條件【5】mises克服tresca屈服面具有角點(diǎn)的缺陷(即不考慮中間主應(yīng)力的影響)提出了tresca屈服條件： 或 （7） 將寫成展開形式，則有： （8） （3）coulomb屈服條件（廣義tresca條件）【6】認(rèn)為屈服與靜水壓力有關(guān)，則材料屈服曲面方程為： （9）與式(9)相吻合的是coulomb準(zhǔn)則，由

9、土力學(xué)可知： （10）式中: 土的抗剪強(qiáng)度 作用面上的正應(yīng)力 c粘聚力（4）ducker-prager屈服條件(廣義mises條件) 【6】d-p為了改進(jìn)coulomb屈服條件在角點(diǎn)處描述塑性流動的困難，于1952年提出光滑屈服曲面模型，為一圓錐。在n平面中為圓，其屈服表達(dá)式為： （11）其中，和與和有關(guān)（5）雙剪屈服準(zhǔn)則【7】1932年schmidt r提出最大偏應(yīng)力屈服準(zhǔn)則，與后來我國學(xué)者俞茂宏提出的雙剪屈服準(zhǔn)則相吻合。最大偏應(yīng)力屈服準(zhǔn)則表示為 （12）其中，可以由簡單拉伸實(shí)驗(yàn)確定 （13）式（12）可以等效地表示為： （14）雙剪應(yīng)力屈服條件敘述為：當(dāng)兩個較大的主剪應(yīng)力絕對值之和達(dá)到某一

10、極限值時，材料開始屈服。假設(shè)，幾個主剪應(yīng)力絕對值的表達(dá)式為： （15）因此，雙剪屈服準(zhǔn)則可以表示為： （16）32彈塑性材料的硬化規(guī)律 有些材料開始屈服后就產(chǎn)生塑性流動，變形無限制的發(fā)展，以致破壞。這是一種理想彈塑性狀態(tài)，不存在硬化，在加載狀態(tài)時，理想彈塑性材料屈服面的形狀、大小和位置都是固定的。硬化材料在加載過程中隨著應(yīng)力狀態(tài)和加載路徑的變化，后繼屈服面(也稱為加載曲面)的形狀、大小和中心的位置都可能變化。用來規(guī)定材料進(jìn)入塑性變形后的后繼屈服面在應(yīng)力空間中變化的規(guī)律稱為硬化規(guī)律【6】。當(dāng)內(nèi)變量改變時，屈服面也將隨之發(fā)生變化，不同的內(nèi)變量對應(yīng)著不同的后繼屈服面。嚴(yán)格地講，后繼屈服面應(yīng)通過具體試

11、驗(yàn)測量得到，但目前的試驗(yàn)資料還不足以完整地確定后繼屈服面的變化規(guī)律，這就需要對后繼屈服面的運(yùn)動和變化規(guī)律作一些假設(shè)。通常的做法是，先根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)決定初始屈服面，后繼屈服面則按照材料的某種力學(xué)性質(zhì)假定的簡單規(guī)律由初始屈服面變化得到，這種變化帶有人為假定的因素。多年來，人們對許多材料進(jìn)行了試驗(yàn)研究。圖2 硬化規(guī)律示意圖彈塑性材料在初始屈服后的響應(yīng)不相同，這時就得選用不同的硬化規(guī)律，一般采用三種硬化規(guī)律，即等向硬化(又稱為等向強(qiáng)化)、隨動硬化(又稱為隨動強(qiáng)化)和混合硬化(又稱為混合強(qiáng)化)規(guī)律，如圖2所示。（1）等向硬化規(guī)律【8】等向硬化規(guī)律假定屈服面的位置中心不變，形狀不變，其大小隨硬化參數(shù)而變化。

12、對硬化材料而言，屈服面不斷擴(kuò)大，即屈服面在應(yīng)力空間中均勻膨脹；對軟化材料，屈服面不斷縮小。等向硬化規(guī)律相當(dāng)于做了塑性變形各項(xiàng)同性的假定，因此不能反映材料的bausching效應(yīng)的影響，如圖2所示。其一般表達(dá)形式為： （17）式中：初始屈服函數(shù)； 反映塑性變形歷史的硬化函數(shù)。用于確定屈服面的大小。 等向硬化規(guī)律一般是靜載荷作用下的彈塑性模型。（2）隨動硬化規(guī)律【8】 隨動硬化規(guī)律認(rèn)為在塑性變形過程中，屈服面的大小和形狀都不改變，僅發(fā)生位置的變化，即只是屈服面在應(yīng)力空問中作剛體平移，當(dāng)某個方向的屈服應(yīng)力升高時，其相反方向的屈服應(yīng)力應(yīng)該降低。因此，在一定程度上反映了材料的bausching效應(yīng)，如圖

13、2所示。其一般表示形式為 （18）式中：初始屈服函數(shù)； 常數(shù)； 后繼屈服面中心的坐標(biāo)，它反映了材料硬化程度，是硬化程度的參數(shù)，依賴于塑性變形，其增量形式可以表示為屈服點(diǎn)在應(yīng)力空間中的位移。確定的增量變化規(guī)律通常有兩種方法，即prager方法和ziegler方法。隨動硬化規(guī)律適用于周期荷載或反復(fù)荷載條件下的動力塑性模型以及靜力模型。（3）混合硬化規(guī)律【8】混合硬化規(guī)律是由hodge于1957年將隨動硬化規(guī)律和等向硬化規(guī)律結(jié)合起來導(dǎo)出來的。該規(guī)律認(rèn)為，后繼屈服面可以由初始屈服面經(jīng)過一個剛體平移和一個均勻膨脹而得到，即認(rèn)為后繼屈服面的大小、形狀和位置一起隨塑性變形的發(fā)展而變化，如圖2所示。其一般表示

14、形式為： （19）這種硬化規(guī)律較前兩種更為細(xì)致，可以同時反映材料的bausching效應(yīng)以及后繼屈服面的均勻膨脹，但顯然更為復(fù)雜。該硬化規(guī)律主要用于全面模擬循環(huán)荷載和動荷載作用下材料的響應(yīng)。應(yīng)用各種硬化規(guī)律，關(guān)鍵是選好適當(dāng)?shù)挠不瘏?shù)，硬化參數(shù)應(yīng)能表征材料的硬化程度，充分反映材料硬化的歷史。一般地選用塑性總應(yīng)變、塑性剪切應(yīng)變、塑性功或等效塑性總應(yīng)變等作為硬化參數(shù)。33塑性流動法則的理論討論3.3.1 drucker公設(shè)【9】（1）drucker在1951年提出了關(guān)于穩(wěn)定材料在彈塑性加卸載的應(yīng)力循環(huán)過程中塑性功非負(fù)的drucker公設(shè)?？紤]一個應(yīng)力循環(huán)：初始應(yīng)力在加載面內(nèi)，然后加載到，正好在加載面

15、內(nèi)，在繼續(xù)加載到這階段產(chǎn)生塑性變形，設(shè)塑性應(yīng)變?yōu)樽詈髮?yīng)力退回到，形成一個應(yīng)力循環(huán)，如果在應(yīng)力循環(huán)過程中，附加應(yīng)力所做的功不小于零，則材料是穩(wěn)定的。圖3 應(yīng)力循環(huán)示意圖在應(yīng)力循環(huán)中，外載荷所做的功為： （20）該式對穩(wěn)定材料和非穩(wěn)定材料都適用。為考慮材料的穩(wěn)定性，討論附加應(yīng)力所做的功： （21）由于彈性變形是可逆的，在整個應(yīng)力循環(huán)中： （22）因此得： （23）考慮到在應(yīng)力循環(huán)中，僅在段產(chǎn)生塑性變形，故式（23）變?yōu)椋?（24）當(dāng)時，忽略高次項(xiàng)，則有： （25）當(dāng)時，則有： （26）式（25）和式（26）是兩個重要的不等式。（2）dmcker公設(shè)的幾何解釋令應(yīng)力空間與塑性應(yīng)變的坐標(biāo)平行，并且的

16、坐標(biāo)原點(diǎn)取在屈服面上的處，用矢量表示，用矢量表示，則式（25）可表示為： （27）即 （28）式（27）和式（28）表明：當(dāng)角是銳角和直角時，由于隨著增大趨近于加載面的切線，故知只有垂直于加載面的切線時，才能滿足式（25）和式（26）。因此，得出結(jié)論：與加載面的外法線重合，說明穩(wěn)定材料的加載面是外凸的。待添加的隱藏文字內(nèi)容3圖4 drucker公設(shè)的幾何解釋圖（3）drucker公設(shè)的作用 因?yàn)榕c加載面垂直，故將表示成為： （29）式中：標(biāo)量因子。 式(29)便是塑性理論的基礎(chǔ)，此式也是正交流動法則的表達(dá)式。 若用矢量表示，因與加載面的外法線重合，故有： （30） 此式在討論加載卸載條件的時候

17、是很有用。 由上述分析可知：對于穩(wěn)定材料，只要屈服面處處是外凸的，那么drucker公設(shè)一定適用于該材料。在實(shí)際應(yīng)用中drucker公設(shè)對于穩(wěn)定材料是適用的，對于非穩(wěn)定材料就要考慮依留辛公設(shè)或非關(guān)聯(lián)的流動法則。3.3.2 依留辛公設(shè)【9】依留辛提出了一個更一般的塑性公設(shè)，陳述為：在彈塑性材料的一個應(yīng)變循環(huán)內(nèi)，外部作用做功是非負(fù)的。如果功是正的，表示有塑性變形，如果做功是零，只有彈性變形發(fā)生。對于彈性性質(zhì)不隨加載而改變的情況，外部作用在應(yīng)變循環(huán)內(nèi)做功和在應(yīng)力循環(huán)內(nèi)做功(drucker公設(shè))的差別，僅是一個正的附加項(xiàng)，如圖5所示。圖5 應(yīng)力循環(huán)和應(yīng)變循環(huán)示意圖 （31）因此由依留辛公設(shè)，得： （3

18、2）式中：表示原有的應(yīng)變狀態(tài)（與相對應(yīng))。如果初始應(yīng)變點(diǎn)在應(yīng)變加載面，在式中略去高階小項(xiàng)，可得： （33）類似drucker公設(shè)，可由式(33)推出應(yīng)變空間加載面的外凸性以及關(guān)于的正交法則： （34）如果應(yīng)變點(diǎn)在屈服面上，即，則可由式（32）得： （35）4. 小結(jié)本文討論了彈塑性力學(xué)中增量本構(gòu)模型的基本理論，對三個基本組成部分(屈服面、硬化規(guī)律和塑性流動法則)作了較為詳細(xì)的論述，塑性本構(gòu)關(guān)系不僅是塑性力學(xué)的重要組成部分，也是塑性理論研究中的重要課題。通過對彈塑性材料本構(gòu)模型及其理論的研究，這將有利于采用有限元法對工程塑性問題進(jìn)行數(shù)值分析，為解決復(fù)雜應(yīng)力條件、加載歷史和邊界條件下的塑性力學(xué)問題提供理論基礎(chǔ)。 參考文獻(xiàn)1陳惠發(fā)，af薩利浦著余天慶，王勛文譯土木工程材料的本構(gòu)方程武漢：華中科技大學(xué)出版社，20012王仁，黃文彬，黃筑平塑性力學(xué)引論北京：北京大