數(shù)列通項公式常用求法及構(gòu)造法

1、數(shù)列通項公式的常用求法構(gòu)造法求數(shù)列通項公式一、構(gòu)造等差數(shù)列求數(shù)列通項公式運用乘、除、去分母、添項、去項、取對數(shù)、待定系數(shù)等方法，將遞推 公式變形成為f(n 1) f(n)=A (其中A為常數(shù))形式，根據(jù)等差數(shù)列的定義 知f(n)是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，先求出f(n)的通項公式，再例1在數(shù)列an中，6 =丄，an 12根據(jù)f(n)與an，從而求出an的通項公式?？認(rèn) ( n N)，求數(shù)列an通項公式. an 3解析：由an 13anan 3 得，an+1 an=3 an+1-3 an=0，兩邊同除以 an+1 an 得,丄丄 丄an 1an3 ，設(shè)bn= 7，則bn+1- bn=1，

2、根據(jù)等差數(shù)列的定義知,數(shù)列 5是首項b1=2，公差d=i的等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的通項公式得bn=2 + I (n-1)=撲+ 2)，求數(shù)列 an通項公式。 解析： ai=2，an=an-i2(n2)0，兩邊同時取對數(shù)得，lg an=2lg an-i根據(jù)等比數(shù)列的定義知，數(shù)列 lg an是首相為lg2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得lg an=2n-ilg2= Ig22數(shù)列通項公式為an=22n評析：本例通過兩邊取對數(shù)，變形成logan 2logan i形式，構(gòu)造等比數(shù)列l(wèi)og an，先求出log an的通項公式，從而求出an的通項公式。例4在數(shù)列 an中，ai=i，an+i=4

3、an+3n+i，求數(shù)列 an通項公式。解析：設(shè)an+什A (n+i) +B=4 (an+An+B )，(A B為待定系數(shù))，展開得3 A 3A iai+i =4an+3An+3B-A，與已知比較系數(shù)得 23B A iB -2 ai+i+ (n+i) +| =4 (an+n+舟)，根據(jù)等比數(shù)列的定義知,數(shù)列 an+n+舟是首項為I，公比為q=3的等比數(shù)列， an+n +訂缶x數(shù)列通項公式為an= $ x 3n-1-n- I例5 在數(shù)列 an中，ai=i ， an+ian=4n，求數(shù)列 an通項公式。解析： an+iai=4nanan-i=4 n-1兩式相除得 嚴(yán) =4 ，dn i7 ai，as，

4、as與 a 2，a 4 ，a6 是首相分別為 ai，a 2，公比都是 4的等比數(shù)列，又 t ai=1， an+ian=4n ， a2=4n 14 n31= n42n三、等差等比混合構(gòu)造法數(shù)列有形如f (an,an 1,anan 1) 0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘以 一1,先求出anan 1丄,再求得a n.例6.設(shè)數(shù)列an滿足a12,an1h N），求乳2、在數(shù)列 an中，a11 , an 1an 2n 3，求數(shù)列an的通項公式解：原條件變形為an 1an13 an 1 an-兩邊同乘以 ，得an an 1113 anan 1V 3( an1an3n1.c2 annj .2 3n 11四、輔助數(shù)

5、列法有些數(shù)列本身并不是等差或等比數(shù)列, 新的數(shù)列為等差或等比數(shù)列，例7.在數(shù)列an中,但可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?，?gòu)造出一個 從而利用這個數(shù)列求其通項公式2訐11 , a22 , an 2解析：在an23anan兩邊減去an 1 ,3得an 20an，求 an。31/ an 13 (an 1 an)3an是以a2 a11為首項，以11為公比的等比數(shù)列,3an (3）n1，由累加法得an=(anan 1 )(a n 1an 2)ai)ai1、n 3(3)(1)1 (1 =1、n 1313=4【1(143=7=4練習(xí)1、在數(shù)列 an中，3（3）n1ai=1,an+1=3an+2n (n N*),求數(shù)列

6、an通項公式。解：由 an+1=3an+2n (n N*)得，an+1+2n+1=3 (an+2n) (n N*), 設(shè)bn= an+2n則bn+1=3bn,.加=3,根據(jù)等比數(shù)列的定義知，n數(shù)列 bn是首相b1=3，公比為q=3的等比數(shù)列, 根據(jù)等比數(shù)列的通項公式得bn=3n,l卩an+2n=3n, 數(shù)列通項公式為an=3n-2n注意：2n+1-2n=2n解：、由an 1 an 2n 3得，(a. i 2n 1) (a.2n) 3，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列a. 2n是首項為3,公差為3的等差數(shù)列，所以an 2n 3n，所以 a.3n 2n3、已知數(shù)列an滿足a123，an1nann 1，求

7、an解：由條件知乩an，分別令n1,2,3,(n 1)，代入上式得(n 1)個等式累乘之，即 又 a13， an23n4.數(shù)列a.滿足a1=1，an=1an 1+12求數(shù)列an的通項公式。1 2)，而 a1 2=1 -2= 1,11解：由 an = an 1 +1 (n2)得 an 2= (an22數(shù)列 an 2是以1為公比，一1為首項的等比數(shù)列21 n 11n 1-an 2=(二)an=2(：)2 25.數(shù)列a.中，a11,a22,3a. 22a.1a.，求數(shù)列a.的通項公式解：由3an 22an比較系數(shù)得k21 an 彳寸 an 2312 1，kh -333 an ,以 an 2ka. 1

8、h(a. 1 ka.)，解得1,h若取k1,h則有an 2an1(an1a.)an是以1為公比,a2a-i21為首項的等比數(shù)列(1、n an( 3)由逐差法可得an(a.an 1)aJ a1=(1)1)1(3) 1 2 1()2()11331 n 1731(-)1 -(-)34431(a2(anan 2)3仁3 16.設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列 a.的前n項和為Sn，對于任意正整數(shù)n,都有等式:an2 2an 4Sn成立，求an的通項an.解: a； a；(an an2ana n 1 2an1 )( anan 12a1的等差數(shù)列，且- an7.設(shè)an是首項為 列的通項公式an. 解：由題設(shè)得(a.a

9、n 0 ， an 1an an 1 n2 2(n 1)24Snan 1 2an 14Sn 1，2an 1 4(SnSn 1 ) 4an2)0， anan 10， a. a. 12.2a14印a12.2n1的正項數(shù)列，且a：即an是以2為公差aian 1 nannan 10 , (n N* ),求數(shù)8.數(shù)列an中,解：aSnSnanan 1anan 1an 1an 21-an 1an 1 )( anan 1 n)0，an a n 10 .ai12，2n an1a2a1ai前n項的和(n 1)2anSnn an，求 an(n2 1)an (n1 13 2 n(n 1)(n 1)(n 2)9.設(shè)正項

10、數(shù)列an滿足a1 解：兩邊取對數(shù)得：log； 則 bn 2bn 1bn是以2為公比的等比數(shù)列，b1bn 1 2n1 2n1，log2n 1 2n 1，log2n2n 11- an 221總結(jié)而運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是an2a n 1an 12 log 2 ，(n 2)logan1)2an.求數(shù)列an的通項公式.2(log 2n 1 1)，設(shè) bn logan 1，般為：an 1 panlog；2 n 1種重要的轉(zhuǎn)化方法。遞推式一n ； an 1 pan qn(1)通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列an+k的形式求解。一般地,形女口 an 1 =pan +q (pH 1 , pqM 0)

11、型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設(shè)an 1 +k=p (an+k)與原式比較系數(shù)可得pk- k=q，即k=，從而得等比數(shù)列 p 1an+k。(2)通過分解系數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列a. an 1的形式求解。這種方法適用于1p, hk q ,可解得h,kan 2 pani qan型的遞推式，通過對系數(shù)p的分解，可得等比數(shù)列an ani:設(shè)an 2 kan 1h(an 1 kan)，比較系數(shù)得 h k3、構(gòu)造法構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題的過程中，通過對條件與結(jié)論的充分剖析， 聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)妮o助模型，進行命題轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法，這種思維方法 的特點就是“構(gòu)造”.若已知條件給的是數(shù)列的

12、遞推公式要求出該數(shù)列的通項公 式(1) 構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列由于等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式顯然， 對于一些遞推數(shù)列問題，若能構(gòu) 造等差數(shù)列或等比數(shù)列，無疑是一種行之有效的構(gòu)造方法 (2) 構(gòu)造差式與和式解題的基本思路就是構(gòu)造出某個數(shù)列的相鄰兩項之差，然后采用迭加的方法就可求得這一數(shù)列的通項公式.(3) 構(gòu)造商式與積式構(gòu)造數(shù)列相鄰兩項的商式，然后連乘也是求數(shù)列通項公式的一種簡(4) 構(gòu)造對數(shù)式或倒數(shù)式有些數(shù)列若通過取對數(shù)，取倒數(shù)代數(shù)變形方法，可由復(fù)雜變?yōu)楹唵?，使問題得以 解決補充一般方法：一、定義法直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適應(yīng)于已知數(shù)列類型的題目.例1.

13、等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，前n項和為Sn，且ai, a3, a9成等比數(shù)列,2S5 a5 求數(shù)列an的通項公式解：設(shè)數(shù)列an公差為d(d 0)2/ ai，a3, a9成等比數(shù)列，.I a3 邛9，2 2即(ai 2d)ai(ai 8d)，得 da“d5ai/ d 0，. ai dai3d 3由得：5，53(n八33ani)-n555d2(ai 4d)2、累加法求形如 an-a n-i =f(n)通項，可用累加法，即令(f(n)為等差或等比數(shù)列或其它可求和的數(shù)列)的數(shù)列 n=2，3，n i得到n i個式子累加求得通項。Snn1anSnSn 1n2求解。例4.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足0 2an

14、 ( 1) ，n通項公式；解：由a1S-i 2a11,得 d 1.當(dāng)n2時，有an Sn Sn 12(an an 1 )2(1),1 求數(shù)列的an 例2.已知數(shù)列an中，a1=1，對任意自然數(shù)n都有1n(n 1)，1(n 1)nan解：由已知得an 1an 1n(n 1)，求 anan 1an 2a3a?a?1戸，1n，以上式子累加，利用1 1n(n 1) n1an- a1 = 2 3三、累乘法(n 2)(n 1) (n 1)n1 1 _1_n(n 1)=2 n 1an 1對形如ann 1個式子累乘求得通項。f (n)的數(shù)列的通項，可用累乘法，即令n=2,3,n 1得至U例3.已知數(shù)列an中，

15、 通項公式an .解：由 S1 n(2n 1)an 得 5 1a113，前n項和Sn與an的關(guān)系是n(2n 1)an，求兩式相減得：(2n 1)an (2n 3)a. 1,an2n 3an 12n 1將上面n 1個等式相乘得：(n 1)(2n 3)1四、公式法若已知數(shù)列的前 n項和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列 an的通項an可用公式經(jīng)驗證a11也滿足上式，所以an3廠(心Snn 1an點評：利用公式Sn Sn1 n 2求解時，要注意對n分類討論，但若能合寫時一定要合并.五、“歸納一猜想一證明”法直接求解或變形都比較困難時，先求出數(shù)列的前面幾項，猜測出通項，然后 用數(shù)學(xué)歸納法證明的方法就是“歸納一猜想一證明”法.n 1例5.若數(shù)列an滿足：a1 1,an1 2an 3 2 ,計算a2，a3，a4的值，由此歸 納出an的公式，并證明你的結(jié)論.解：T a2=2 a1+3X 2 =2x 1+3X 2，a3=2 (2X 1+3X2) +3X21=22X 1+2X 3X 21， a4=2 (22X 1+2X 3X 21) +3X