量子力學(xué)算符的對易關(guān)系

1、力學(xué)量算符之間的對易關(guān)系討論微觀態(tài)中某一力學(xué)量時(shí)，總是以的本征質(zhì)譜作為力學(xué)量的可能值。若我們同時(shí)觀測狀態(tài)中的一組不同力學(xué)量，將會(huì)得到什么結(jié)果呢？這一講我們主要討論這個(gè)問題。主要內(nèi)容有：一個(gè)關(guān)系：力學(xué)量算符之間的對易關(guān)系三個(gè)定理1 算符之間的對易關(guān)系1.1 算符的基本運(yùn)算關(guān)系 （1）算符之和：算符與之和定義為 （1） 為任意函數(shù)。一般，例如粒子的哈密頓算符是動(dòng)能算符與勢能算符之和。 （2）算符之積：算符與之積定義為 （2）顯然，算符之積對函數(shù)的作用有先后作用次序問題，一般不能顛倒，即 常記為 （3）個(gè)相同算符的積定義為算符的次冪 例如 ，則 ， 。為了運(yùn)算上的方便，引入量子括號 （5）若 （6）

2、稱算符與是不對易的（不能交換位置），即。若 （7）稱算符與是對易的，即。下面幾個(gè)經(jīng)常使用的對易關(guān)系，請自行證明。 1.2 坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對易關(guān)系坐標(biāo)算符是乘數(shù)因子，相互對易 （12） 動(dòng)量算符是微分算符，因?yàn)?，則 （13）坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符：設(shè)為任意函數(shù) 比較后可得 ，即 （14a）但是 （14b）同理可得坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的其它對易關(guān)系式，可概括為 (14c)其中 坐標(biāo)算符與動(dòng)量算符的對易關(guān)系是最基本的對易關(guān)系，其它力學(xué)量的對易關(guān)系均可由此導(dǎo)出。1.3 角動(dòng)量算符的對易關(guān)系 (15) 只證明其中一個(gè)，請注意證明方法 記憶方法：從左至右以依次循環(huán)指標(biāo)為正，任何一個(gè)指標(biāo)錯(cuò)位即為負(fù)，相同指

3、標(biāo)則為零。以相同的推導(dǎo)方法和記憶規(guī)律，有 （16）另外有 （17） （18）1.4 幾個(gè)重要的推論（請大家自行導(dǎo)出） （19） （20） （3）球坐標(biāo)下是的函數(shù)，若有徑向函數(shù)算符，則 （21） （22）2 共同本征函數(shù)完備系2.1共同本征函數(shù)完備系帶來算符對易 設(shè)兩個(gè)算符和有一個(gè)共同的本征函數(shù)，則必有及，即在態(tài)中可以同時(shí)確定這兩個(gè)力學(xué)量的數(shù)值，那么 這似乎提醒我們有，但下結(jié)論過早，因?yàn)檫@只是針對某一個(gè)特殊函數(shù)（本征函數(shù)），如果和有一組完備的共同本征函數(shù)，對于任意態(tài)函數(shù) （23）有 則 （24）這時(shí)才說和是對易的。這個(gè)結(jié)論可以推廣到多個(gè)算符，即 如果一組算符有共同的本征函數(shù)完備系，則這組算符對易

4、例如，即在態(tài)中同時(shí)有確定值及，所以是的共同的本征函數(shù)，并且是完備的，所以 。2.2 逆定理：如果一組算符對易，則這組算符有組成完備系的共同的本征函數(shù)。 這里僅就非簡并本征函數(shù)系加以證明。若算符和相互對易，對于的本征函數(shù)，有 （25）而 （26）可見也是算符的屬于本征值的本征函數(shù)。已經(jīng)假定非簡并，所以對應(yīng)的兩個(gè)本征函數(shù)和最多只能相差一個(gè)常數(shù)，所 （27）可見，同時(shí)也是的屬于本征值的本征函數(shù)。同理，對的其它本征函數(shù)也有此結(jié)論。所以，和有組成完備系的共同的本征函數(shù)。例如，角動(dòng)量算符，所以它們有組成完備系的共同的本征函數(shù)，在態(tài)中，力學(xué)量同時(shí)有確定值及。氫原子哈密頓算符 （28）所以，對易，它們有組成完

5、備系的共同的本征函數(shù)，在該臺中三者同時(shí)有確定值： 。請問：有組成完備系的共同的本征函數(shù)嗎？ 與及呢？2.3 力學(xué)量完全集 有些情況下，力學(xué)量的本征值是全部簡并或部分簡并的，一個(gè)本征值對應(yīng)若干個(gè)本征函數(shù)。所以，只以的本征值不足以完全確定本征函數(shù)，這時(shí)必定存在和獨(dú)立且和對易的其它力學(xué)量。如果的共同的本征函數(shù)仍然有簡并，則必定還存在獨(dú)立于而又和對易的其它力學(xué)量，的共同的本征函數(shù)是否還有簡并？ 我們定義：一組相互對易而又相互獨(dú)立的力學(xué)量算符，如果它們的共同的本征函數(shù)是非簡并的，即這組本征值完全確定一個(gè)共同本征函數(shù)，則這組力學(xué)量稱為力學(xué)量完全集。完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般稱為體系的自由度。請大家將一維諧振

6、子、角動(dòng)量、三維粒子的力學(xué)量完全集與定義對照一下。（注意：完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般體系的自由度）例題一 任意態(tài)，求態(tài)中的可能值、概率及。解法一 可以看出是的共同本征函數(shù)所組成，列表對應(yīng)求解： 解法二 由 得 由正交歸一性得 例題二 在對某一狀態(tài)進(jìn)行測量時(shí)，同時(shí)得到能量，能唯一確定這一狀態(tài)嗎？ 解：能。因?yàn)槿齻€(gè)力學(xué)量對易， 故共同本征態(tài)為 例題三 求粒子處于時(shí)角動(dòng)量分量和分量的平均值。解：首先應(yīng)注意，是的共同本征函數(shù)，而不對易，故不是的本征函數(shù)。利用對易關(guān)系 ，則 同理 由于坐標(biāo)與的對稱性，可得，故 3 不確定關(guān)系 若算符和不對易時(shí)，常記為 （29）是一個(gè)力學(xué)量算符或普通的數(shù)。首先定義 （30）

7、所以 （31）注意，仍為厄米算符，若巧妙設(shè)計(jì)積分 （32）利用的厄米性，可推出 （33）最后得出不確定關(guān)系 （34）這一關(guān)系有時(shí)也表為 （35）即，兩個(gè)力學(xué)量不對易時(shí)，導(dǎo)致兩力學(xué)量不能同時(shí)有確定值,或者說，它們不能有共同本征函數(shù)。對不確定關(guān)系，應(yīng)著重掌握其物理意義，例如，所以 或 （36）可見，若動(dòng)量確定，；則，即位置完全不確定。試想，動(dòng)量為的自由粒子以波長的狀態(tài)（平面波）彌散于空間時(shí)，你能說出粒子的確定位置嗎？反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)本征函數(shù)可寫為 （37）即位于點(diǎn)的波（粒子）是許多不同波長（動(dòng)量）的平面波的疊加，你能說出該波的波長（粒子的動(dòng)量）是多少嗎？總之，不確定關(guān)系所揭示的是量子力學(xué)

8、規(guī)律的特點(diǎn)，是粒子具有波動(dòng)性的必然結(jié)果。應(yīng)用不確定關(guān)系估算一些力學(xué)量的不確定范圍可參見教材。例題4 一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在 求解：歸一化后可得 利用 有 所以 所以 最后得 滿足不確定關(guān)系4 運(yùn)動(dòng)恒量（守恒量）4.1 力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化波函數(shù)描寫的狀態(tài)隨時(shí)間的變化滿足方程 （38）而這個(gè)狀態(tài)中力學(xué)量的平均值隨時(shí)加的變化為 利用（38）式及其共軛式，考慮到的厄米性，可得 （39）這就是力學(xué)量平均值隨時(shí)間的變化規(guī)律。4.2運(yùn)動(dòng)恒量（守恒量） （39）式中，若算符不顯含時(shí)間，則，并且有，則有 （40）平均值不隨時(shí)間變化的力學(xué)量，稱為運(yùn)動(dòng)恒量?；颍簼M足的不顯含時(shí)間的力學(xué)量為體系的運(yùn)動(dòng)恒量。請回答：對哈密頓算符，下面哪些力學(xué)量是運(yùn)動(dòng)恒量（守恒量）： 對于（為常數(shù)）呢？4.3守恒量的特點(diǎn) 守恒量具有如下特點(diǎn)，即體系在任何狀態(tài)下： （1）其平均值不隨時(shí)間而變化；（2）其概率分布不隨時(shí)間而變化。 證明特點(diǎn)（2）： 因?yàn)?，故具有共同本征函數(shù)系，任何狀態(tài)都可表為 （41）式中 即為守恒量在態(tài)中的概率，且概率分布函數(shù) （42）所以 （43） 故有 （44）其中 為時(shí)力學(xué)量的概率分布函，所以 （45）即守恒量的測量概率與時(shí)間無關(guān)，即概率分布不隨時(shí)間而變化。 根據(jù)以上兩點(diǎn)，你能判斷時(shí)，守恒量具有確定值，以后任意時(shí)刻體系處于什么狀態(tài)？4.4