三角形的內(nèi)角和證明

1、課題:6.5三角形內(nèi)角和定理的證明授課時間：2013年6月13星期四第二節(jié)學習目標：1、知識與技能目標：學生由對三角內(nèi)角和定理感性認識上升到理性推理證明，掌握三角形內(nèi)角和定理的證明及簡單應用。2、過程與方法目標：學生親歷探索撕紙過程對比，體會思維實驗和符號化的理性運用，在觀察、操作、推理、歸納等探索過程中，發(fā)展合情推理能力，逐步養(yǎng)成邏輯推理能力，并形成一定的邏輯思維能力。3、情感態(tài)度與價值觀目標：經(jīng)歷三角形內(nèi)角和定理不同種方法的推理證明過程，培養(yǎng)學生創(chuàng)造性，弘揚個性發(fā)展，體驗解決問題的成就感，體會數(shù)學證明的嚴謹性和推理意義，培養(yǎng)學習數(shù)學的興趣，感悟邏輯推理的數(shù)學價值。教材分析1、內(nèi)容分析三角形

2、內(nèi)角和定理是“空間與圖形”中的一個很重要的定理。(1)它為以后學習多邊形內(nèi)角和定理奠定基礎。(2)實際生活、生產(chǎn)中有廣泛的應用。(3)是求角度的有力工具（有時非它不可）。三角形內(nèi)角和定理的證明過程為學生建立數(shù)學思想方法和邏輯推理能力提供一個發(fā)展提高平臺，其論證過程總體體現(xiàn)為化歸思想。學過之后，這種思想方法可以類比運用到其它問題的探索與解決過程之中，其說理過程將成為“普通語言向符號語言轉(zhuǎn)化”的可能，這一可能將隨時間的推移與知識的積攢成為現(xiàn)實。在證明過程中，學生從中學到的不僅僅是知識、方法及數(shù)學邏輯，他們克服困難的勇氣及對問題的好奇心和互相評價，學習方式的選擇等等方面都將大有收獲，說明了本節(jié)教材內(nèi)

3、容對學生非智力因素的影響還是非常大的。 2、學情分析：（1）學生已經(jīng)在小學和七年級的時候接觸過三角形內(nèi)角和定理，并且進行了猜想與驗證及口頭說理過程。這為證明三角形內(nèi)角和定理提供了認知基礎。 （2）從學生的學習動機與需要上看，他們有探究新事物的欲望和好奇心，這為探究三角形內(nèi)角和定理的證明策略及方法提供了情感保障。（3）學生在學習三角形內(nèi)角和定理的證明過程中，其認知順序可能是建構型的。平行線是其原有知識儲備的主要圖式，他們利用原有圖式完全可以同化三角形內(nèi)角和定理。3、障礙預測： 輔助線的作法是學生在幾何證明過程中第一次接觸，并且輔助線的添法沒有統(tǒng)一的規(guī)律，要根據(jù)需要而定，另外本節(jié)課開始將訓練學生把

4、幾何命題翻譯為幾何符號語言，這對學生來說都有一定接受難度。教學重點、難點重點：以三角形內(nèi)角和定理的證明為載體，學習幾何證明思想，以及輔助線的有關知識，體會數(shù)形結合思想。難點：輔助線添加的必要性和具體方法：（1）為什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪種添加方法最簡單。設計思路分析：三角形內(nèi)角和定理是學生接觸較早的定理之一，其內(nèi)容和應用早已為學生所熟悉。因此，本節(jié)課需要重點解決的問題是定理的證明；在定理證明中，學生將首次接觸和應用輔助線，于是，在證明中“為什么要添加輔助線”、“如何添加輔助線”就必然成為本節(jié)課的重點。本課基本定位在于，通過三角形內(nèi)角和定理證明的教學實踐、感受幾何證

5、明的思想，體會輔助線在幾何問題解決中的橋梁作用。同時，引領學生體會數(shù)學中的重要思想數(shù)形結合。借助“撕三角形紙片，拼接，驗證三角形內(nèi)角和定理”的過程分析，啟發(fā)誘導學生初步體會輔助線及其在證明中的作用。最后，引領學生進一步體會輔助線添加方法的多樣性，滲透“最優(yōu)化”思想。教學策略：1、學教方式：為真正落實學生的主體地位，教師只是教學過程的組織者、合作者、引導者，特確定了如下學教方式：學生自主探究、合作交流學習，教師引導發(fā)現(xiàn)教學。2、教學支持：為促進學生自主學習，增大課堂容量，提高效率，突出重點，突破難點，本節(jié)課將采用多媒體演示教學。 教學過程（一）知識回顧，積累經(jīng)驗1、平行線的判定：2、平行線的性質(zhì)

6、： 3、證明一個文字命題的一般步驟： （二）情景再現(xiàn)，導入新課問題1：我們知道三角形三個內(nèi)角的和等于180.你還記得這個結論的探索過程嗎?（1）數(shù)的研究：對于三角形的內(nèi)角和是180這樣一個結論，啟發(fā)學生回想，我們在小學時是怎樣知道這個結論的。（通過量角器進行角度的測量，這就是“數(shù)”的研究，量角器在這里起到橋的作用。） 問題2：通過前兩節(jié)課的學習，我們知道通過觀察、度量、猜測得到的結論不一定是正確的，測量會產(chǎn)生誤差，問題解決得并不完美。這就促使我們?nèi)ふ倚碌难芯糠较蛐?。（體會證明的必要性） （2）形的研究：對于三角形的內(nèi)角和是180這樣一個結論，啟發(fā)學生回想，七年級下冊時是怎樣知道這個結論的。（

7、通過動手操作拼圖，將分散的三個角“搬”到一起，從而構成一個平角或兩角互補，為本節(jié)課引出輔助線做好鋪墊）命題三角形三個內(nèi)角的和等于180數(shù)度量三個內(nèi)角的度數(shù)并求和等于180測量形三個角拼在一起（1）平角；（2）兩角互補證明【設計意圖】（1）鑒于學生對證明已有一定的認識和了解，并且對三角形內(nèi)角和已經(jīng)有初步認識，在教學過程設計上并沒有從學生身邊熟悉的事例創(chuàng)設情境，而是簡單地對三角形內(nèi)角和的知識加以回憶。（2）學生以前所做的都是特殊的三角形，而且“量一量、拼一拼、折一折”受客觀因素的制約，影響了研究結果的準確性，況且當時有些學生量出內(nèi)角和的度數(shù)確實要高于或低于180。 （3）學生的懷疑是正常的，剪拼得

8、到的結論有一定的合理性，但還需證明來確認，這正是我們這節(jié)課要解決的問題 教育學生研究問題要有一個嚴謹?shù)目茖W態(tài)度。（三）活用化歸，證明定理根據(jù)前面給出的公理和定理,你能用自己的語言說說這一結論的證明思路嗎?你能用比較簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流.結論： 三角形三個內(nèi)角的和等于180。師： 這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？生：需要先畫圖形，根據(jù)命題的條件和結論寫出已知、求證。師：對，下面大家來證明，哪位同學上黑板給大家板演呢？ 已知: A、B、C 是ABC的三內(nèi)角. 求證:A+B+C=180分析:延長BC到D,過點C作射線CEAB,這樣,就相當于把A移到了ACE的位置,把B移到

9、了ECD的位置. 證明：延長BC到D，過點C作直線CEABBECD（兩直線平行，同位角相等） ACE=A（兩直線平行，內(nèi)錯角相等） ACE+ECD+ACB180ABACB180（等量代換）師：同學們寫得證明過程很好，在證明過程中，我們添畫了射線CE、CD，使處于原三角中不同位置的三個角，巧妙地拼湊到一起來了。為了證明的需要，在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線。在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線。我們通過推理的過程，得證了命題：三角形的三個內(nèi)角的和等于180是真命題，這時稱它為定理。即：三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180?！驹O計意圖】培養(yǎng)學生有“公理化思想”，能運用基本事實和定理證明問題

10、，有學會運用舊知解決新知，從以前的活動中思考獲取解決的方法，有合作學習的能力，有探究新知的能力。（四）開啟智慧，分組探究師：你還有其他方法來證明三角形內(nèi)角和定理嗎？在證明三角形內(nèi)角和定理時,小明的想法是把三個角“湊”到A處,他過點A作直線PQBC(如圖),他的想法可以嗎? 請你幫小明把想法化為實際行動 證明:過點A作PQBC PAB=B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等) , QAC=C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等),BAC+B+C=180 (平角的定義),BAC+B+C=180 (等量代換).小明的想法已經(jīng)變?yōu)楝F(xiàn)實,由此你受到什么啟發(fā)?你有新的證法嗎?1、教師組織學生分組討論：有了上面的知識作為鋪墊，我們

11、可以開展探究活動了，看哪組最先找到解決辦法，找到的方法最多。2、在學生開展探究的過程中，教師參與其中，對個別感到困難的小組可以進行適當?shù)奶崾竞鸵龑А?、教師指導學生添加輔助線，給出完整的“三角形內(nèi)角和定理”的證明。4、分組探究，成果展示教師指導學生進行全班交流：（1）借助實物投影儀，將學生找到的添加輔助線的方法進行匯總展示。（2）在展示過程中，注意關注學生的表達以及尋找到的添加輔助線的方法，若有不全的，教師進行必要的提示。（3）引導學生將輔助線添加在三角形的頂部，邊上及三角形內(nèi)、外部均可。然后，進一步引導學生比較哪種最好?！驹O計意圖】1、讓學生在證明的過程中，進一步了解三角形內(nèi)角和定理的證明思

12、路，并且了解一題的多種證法，從而拓寬學生的思路2、這里是本節(jié)課的一個重點，教師在這里要交代什么是輔助線，添加時要用虛線畫出；輔助線怎么來的在證明開始時要交代清楚，后添加的字母要在證明的開始前交代清楚；規(guī)范書寫格式是自上而下的；有條理的表達上面的分析思路，有一個嚴密的邏輯思維過程。3、三角形內(nèi)角和的證明實質(zhì)是利用化歸思想將三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為“平角等于180”或“兩直線平行同旁內(nèi)角和等于180這一點應向?qū)W生交代清楚4、給學生充分的自我展示的機會，盡量發(fā)現(xiàn)更多的添加輔助線的方法。（五）實踐應用，培養(yǎng)能力1、已知:如圖在ABC中，DEBC,A=60, C=70. 求證： ADE=502.、已知：如圖，

13、ABC中， B 和C的平分線BE，CF交點O.求證： BOC=90+A （六）知識回顧，拓展延伸， 如圖，利用幾何畫板，在ABC中，（1）如果BC不動，把點A“壓”向BC，A就越來越大，而B與C的和越來越小，由此你能想到什么？(2)如果BC不動，把點A“拉離”BC，A就越來越小，而B與C則越來越大，它們的和越來越接近180，由此你能想到什么？【設計意圖】引導學生利用運動變化的觀點理解和認識數(shù)學，滲透極限思想。（七）暢談收獲，反思升華本節(jié)課，我們證明了一個很有用的三角形內(nèi)角和定理。在三角形中，求角的大小可將被求角看作三角形的內(nèi)角來求。證明的基本思想是：借助輔助線將原三角形中處于不同位置的三個內(nèi)角集中在一起，拼成一個平角或兩個互補的角通過本節(jié)課的學習,你有哪些收獲? （八）課外作業(yè)，鞏固練習課外作業(yè)：課本P241習題6.6 1、2、3 板書設計：6.5三角形內(nèi)角和定理的證明 三角形的內(nèi)角和定理：三角形的三個內(nèi)角的和等于180。 證明:過點A作PQBC PAB=B(兩直線平行,內(nèi)錯角相等）QAC=C(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)BAC+B+C=180 (平角的定義)BAC+B+C=180 (等量代換).教學反思 三角形的有關知識是“空間與圖形”中最為核心、最為重要的內(nèi)容，它不僅是最基本的直線型平面圖形，而且?guī)缀跏茄芯克衅渌鼒D形的工具和基礎.而三角形內(nèi)角和定理又是三角形中最為基礎的知識，也