概論論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作業(yè)第1章概率論的基本概念 1.1隨機(jī)試驗(yàn)及隨機(jī)事件1. (1) 一枚硬幣連丟3次，觀察正而H.反而T出現(xiàn)的情形.樣本空間是：S二HHT, HTH, THH, THT, TTH, TTT ；(2)-枚硬幣連丟3次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù).樣本空間是：S二0, 1, 2, 3；2. (1)丟一顆骰子.A：出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則A二1,2,3； B：數(shù)點(diǎn)大于2,則B二3, 4, 5, 6(2) 枚硬幣連丟2次, A：第一次出現(xiàn)正而，則A二正正，正反:B：兩次岀現(xiàn)同一而，則二正正，反反: C：至少有一次出現(xiàn)正面，則8 正 正，正反，反正 1.2隨機(jī)事件的運(yùn)算P(AB)1. 設(shè)A、B、C為三事件，

2、用A、B、C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件：(1)A、B、C都不發(fā)生表示為：ABC .A與B都發(fā)生，而C不發(fā)生表示為：_ABC .(3)A與B都不發(fā)生，而C發(fā)生表示為：_ABC_. (4)A、B、C中最多二個(gè)發(fā)生表示為：(5)A、B、C 中至少二個(gè)發(fā)生表示為：_ABjACBC. (6)A、B、C 中不多于一個(gè)發(fā)生表示為：_ABACjBC2設(shè)S = x: 0x 5,A = x: 1 x 3,B = %: 2 4：貝ij(1 ) AjB = x:lx4( 2 ) AB =x:2=x=3,( 3 ) AB =x：3x4(4) Ajx:0二x=l或 2W5, (5 ) AB = x:lvxv4 13概率的定

3、義和性質(zhì)1. 已知 P(A 5) = 0.8, P(A) = 0.5, P(B) = 0.6,則(1) P(AB) = P (A) +P (B) -P(AUB)二0. 5+0. 6-0 8二0 3 ,(P(A B) =l-P(Al；B)=l-08=02 ,(3) P(A kJ B)二.2. 已知 P(A) = 0.7, P(AB) = 0.3,則 P(AB)二 0.4 1.4古典概型1. 某班有30個(gè)同學(xué)，其中8個(gè)女同學(xué)，隨機(jī)地選10個(gè),求：正好有2個(gè)女同學(xué)的概率，(2) 最多有2個(gè)女同學(xué)的概率，(3)至少有2個(gè)女同學(xué)的槪率.1) 點(diǎn)電/ 2)(C； + C；C；2+C：C；2)/C；7 3)

4、1-(麗+C；C；2)/C第2. 將3個(gè)不同的球隨機(jī)地投入到4個(gè)盒子中，求有三個(gè)盒子齊一球的概率. 1.5條件概率與乘法公式1. 丟甲、乙兩顆均勻的骰子，已知點(diǎn)數(shù)之和為7,則其中一顆為1的槪率是 2/6 。2. 已知 P(A) = l/4, P(BI A) = l/3,P(AI3) = l/2,則 P(A B)=1/3。 1.6全概率公式1. 有10個(gè)簽，英中2個(gè)“中”，第一人隨機(jī)地抽一個(gè)簽，不放回，第二人再隨機(jī)地抽一 個(gè)簽，說明兩人抽中的概率相同。設(shè)A表示第一人“中”，則P (A)=2/10,設(shè) B 表示第二人“中”，則 P(B) = P(A)P(B IA) + P(A)P(B I A)2

5、18 2 2二 I =10 910 9102. 第一盒中有4個(gè)紅球6個(gè)白球，第二盒中有5個(gè)紅球5個(gè)白球，隨機(jī)地取一盒，從中 隨機(jī)地取一個(gè)球，求取到紅球的概率。設(shè)&表示第一次取到紅球，表示R2第二次取到紅球，則：4664 2 ，Pg) = )Pg I 即 + P(RJP(RR) = wJ1.7貝葉斯公式1. 某廠產(chǎn)品有70%不需要調(diào)試即可出廠，另30%需經(jīng)過調(diào)試，調(diào)試后有80%能出廠，求(1) 該廠產(chǎn)品能出廠的概率，(2)任取一出廠產(chǎn)品,求未經(jīng)調(diào)試的概率。設(shè)A需要調(diào)試A不要調(diào)試B出廠P(A) = 30%, P(A) = 70%, P(B I A) = 80%, P(BIA) = 1,1) ,由全

6、概率公式：P(B) = P(A)P(B I A) + P(A)P(B I A)P(A)P(BA)94%=30%X80%+70%X 1=94%2) 由貝葉斯公式：P(AB) = =P(B)70942. 將兩信息分別編碼為A和B傳遞出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0. 02,B被誤收作A的概率為0.01,信息A與信息B傳遞的頻繁程度為3 : 2,若接收站收 到的信息是A,問原發(fā)信息是A的槪率是多少？= 0.993p_ 06x(l-002)0.6x(l-0.02) + 0.4x0.01 1.8隨機(jī)事件的獨(dú)立性1. 電路如圖，其中A, B, C, D為開關(guān)。設(shè)各開關(guān)閉合與否相互獨(dú)立，且每一開關(guān)

7、閉合的概率 均為P,求L與R為通路(用T表示)的概率。B/LRC D 用A B C D表示開關(guān)閉合，于是T = ABl) = l-(l-0.2)H0.9 即 0.8nlg0.1/lg0.8 = 10.32至少進(jìn)行11次的獨(dú)立射擊2.4隨機(jī)變量的分布函數(shù)A-11設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)是：F(x)= 0.5 -1x(1)求 P(XWO)： P(OX 1)： P(XM1), (2)寫出 X 的分布律。1) P(X0) = F(0) = 0.5 P(OXl) = l-P(X0,求(l)常數(shù)AJ2)P(IX 2).0x0A x1) 1 = lim f(x) = lim = A, A = 1.一他l +

8、X2) P(lvXS2) = F(2)-=- 2. 5連續(xù)型隨機(jī)變量1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：= kx 0x 10其他7/15(1)求常數(shù)k的值；(2)求X的分布函數(shù)F(x),畫出F(x)的圖形,(3)用二種方法計(jì)算P(- 0. 5Xl時(shí)，F(xiàn)(x) =+ j*2tdt +(0/ = 13) 、P(-0.5 v X v 0.5) = _fx)dx =心+2設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量0的分布函數(shù)為：F(x)二0In x1xlxe求X的密度函數(shù)f(x),畫出/(x)的圖形，(2)并用二種方法計(jì)算P(X0. 5).P(X2) = l-F(2) = l-ln22) 或= J；l/M=l ln2 26均勻分

9、布和指數(shù)分布1設(shè)隨機(jī)變量K在區(qū)間(0. 5)上服從均勻分布,求方程4x2 + 4Kx + K + 2 = 0 有實(shí)根的概率。 = 16K2-4x4(K + 2)n0,Kn2,或KS-1P(K5l)+P(Kn2) = 0 + f 撲=2假設(shè)打一次電話所用時(shí)間(單位：分)X服從6? =0.2的指數(shù)分布，如某人正好在你前而疋進(jìn)電話亭，試求你等待：(1)超過10分鐘的概率：(2) 10分鐘到20分鐘的概率。ae-avx0x10) =戶2)、P(10 vX v20) = 2-f7 2. 7正態(tài)分布1 隨機(jī)變量 XN(3, 4),(1)求 P(2XW5), P(-42), P(X3)：(2)確定 c,使得

10、 P(Xc) = P(Xc)o2.設(shè)二維隨機(jī)變量（X）的聯(lián)合分布律為：X* q 12試根據(jù)下列條件分別求a和b的值；00.10.2 a（l）P（X =1） = 0.6：10b 0d(2) P(X = 11 丫 = 2) = 0.5 ；(3)設(shè) F(x)是 Y 的分布函數(shù)，F(xiàn)(1.5) = 0.5 1) a=0.Lb=0.32) a=02,b=023) a=0.3,b=0l 3. 2二維連續(xù)型隨機(jī)變量I.（X、丫）的聯(lián)合密度函數(shù)為：= i（A + y）求 常數(shù) k： (2) P(Xl/2,Yl/2)； (3) P(X+Y1)： (4)P(Xvl/2)。1) 1 =匚 L /(x，yixdy =

11、kx + y)dxdy，得 k=l3) P(X + Y) = -32.（X、y）的聯(lián)合密度函數(shù)為:曲J0 其他求（1）常數(shù) k； （2） P（X+Y1）； （3）P（Xl/2）o1） k=8 2)p(x+ri)-63)g)詁 3. 3邊緣密度函數(shù)i. 設(shè)（x.Y）的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求x與y的邊緣密度函數(shù)。fg y） = - V X V 乜 - 8 v y v 也7T （1 + 對(duì)）（1 + 廠）#/15嚴(yán)11答.(X)= Lx 兀2( + x2)(l + y2)y = n (1 + X2)嚴(yán)11A. (0 =ndx = -S y +S丿八“ Jp”2(l + /)(l + y2) n (

12、1 + y2)2 設(shè)(X.Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，分別求XY的邊緣密度函數(shù)。O y liy = 2) = 0.5：(3)已知X與丫相互獨(dú)立。1) a=l/6,b=7/182) a=l/9 b=4/93) a=l/3 b=2/92. (X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)如下，求常數(shù)c,并討論X與丫是否相互獨(dú)立?cxy100xl, 0yl其他0C=6, X,Y相互獨(dú)立*3.5多個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布*3.6幾種特殊隨機(jī)變量函數(shù)的分布第4章隨機(jī)變量的數(shù)字特征 4.1數(shù)學(xué)期望1. 盒中有5個(gè)球，其中2個(gè)紅球，隨機(jī)地取3個(gè)，用X表示取到的紅球的個(gè)數(shù)，則EX 是：(A) 1；(B) 1.2：(C) 1.5：(D) 2

13、.3x22.設(shè)X有密度函數(shù)：=答：1.2,求 E(X), E(2X1),E(),并求 X 大 X9/15于數(shù)學(xué)期望E(X)的概率。答：E(X) = j* xf(x)dx = Jxdx- -|E(2X-1) = xf(x)dx = x(2- 1)必=2E&)=匚對(duì)厶=f X：dx =扌育)37/643.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為：X* 12已知 E*(XY) = 0.65,000.2 a則a和b的值是：10 b O.p(A) a=0.1.b=0.3：(B) a=0.3, b=0.1：(C) a=0.2. b=0.2：(D) a=05,b=025。答：D4設(shè)隨機(jī)變量(X.Y)的聯(lián)合密度

14、函數(shù)如下：求EX.EY. E(XK + l)oXV 0xl,0y2刃=S n 甘伽0其他EX=2/3EY=4/3 ,E(XY+1)=17/9 4. 2數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1.設(shè)X有分布律：X 0123 則 E(X?2X+3)是:p 00.2 0.3 0.4(A) 1；(B) 2；(C) 3；(D) 4.答：D522. 設(shè)(X,Y)有 /(x, y) = 4，* y35/12(x+ 1)/42. x有密度函數(shù)：/(x)=r0x2其他求DgD(X)=ll/364.4常見的幾種隨機(jī)變量的期望與方差1. 設(shè) X”(2)0.6) M互獨(dú)立，則 E(X2Y), )(X2Y)的值分別是:(A) -1. 6 和 4

15、. 88：(B) -1 和 4：(C) 1. 6 和 4 88：(D) 1. 6 和-4 88.2 設(shè)X 叫 口 YN(4, 3), X與Y有相同的期望和方差，求匕b的值。(A) 0 和 8；(B) 1 和 7：(C) 2 和 6：(D) 3 和 5B 4. 5協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)1隨機(jī)變M (X,Y)的聯(lián)合分布律如下：試求協(xié)方差Cov(X.Y)和相關(guān)系數(shù)PxyX Y-i o100.2 00100.303Cov(X,Y)=0.2Pxy = 0.5632設(shè)隨機(jī)變M (X, Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試求協(xié)方差Cou(XV)和相關(guān)系數(shù)心八x+ yCov(X,Y)=-l/144 pw =-1/11 4.

16、6獨(dú)立性與不相關(guān)性矩I.下列結(jié)論不正確的是(C)(A) x與y相互獨(dú)立，則x與y不相關(guān)；(B) x與丫相關(guān)，則x與r不相互獨(dú)立：(C) E(XY) = E(X)E(Y),則 X 與 y 相互獨(dú)立;(D) f(x.y) = fx(x)fY(y),則X 與丫不相關(guān);2. 若 COV(X.Y) = 0.則不正確的是(C )(A) E(Xr)= (%)(/)； (B) (x + r)= E(x)+ E(r)；(C) D(XY) = D(X)D(Y): (D) D(X + Y) = D(X) + D(Y；3. (x“)有聯(lián)合分布律如下，試分析x與y的相關(guān)性和獨(dú)立性。X Y -1 01 -11/81/J1

17、/80 1/8 01/81 1/8 1/81/8X,Y不相關(guān)，但X與Y不相互獨(dú)立4. E(XY) = E(X)E(Y)是X 與 Y 不相關(guān)的(C)(A)必要條件：(B充分條件：(C)充要條件；(D)既不必要，也不充分。5. E(XY) = E(X)E(Y)是X與丫相互獨(dú)立的(C)(A)必要條件；(B)充分條件：(C)充要條件：(D)既不必要，也不充分。6設(shè)隨機(jī)變量(X.Y)有聯(lián)合密度函數(shù)如下：試驗(yàn)證X Y不相關(guān)，但不獨(dú)立。2Lv2y/40第5章極限定理*5.1大數(shù)定理5.2中心極限定理1. 一批元件的壽命(以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為0.004的指數(shù)分布，現(xiàn)有元件30只，一只在 用，英余29只備用，當(dāng)

18、使用的一只損壞時(shí)，立即換上備用件，利用中心極限泄理求 30只元件至少能使用一年(8760小時(shí))的近似概率。0.17882. 某一隨機(jī)試驗(yàn)，“成功”的概率為0.04,獨(dú)立重復(fù)100次，由泊松泄理和中心極限定 理分別求最多“成功” 6次的概率的近似值。0.889, 0.841第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)6.1數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的幾個(gè)概念1. 有 n=10 的樣本：1.2,1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4. 1.8, 1.4,則樣本均值X= 1.57 ,樣本均方差5= 0.254 ,樣本方差S2 =0.0646 o2. 設(shè)總體方差為戸有樣本樣本均值為戸，則G?v(XpX) = _o&

19、2數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的三個(gè)分布1查有關(guān)的附表，下列分位點(diǎn)的值：Z09 = -1.29 , 疥=9.236 , 心(10)=丄1.3722。2. 設(shè),X”是總體z2(/h)的樣本，求E(X D(X)OE(X) = m, D(X) = 2m / n & 3 一個(gè)正態(tài)總體的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布1.設(shè)總體X，樣本XrX2,樣本均值乂，樣本方差S2,則X _丫 N(O,1) , X t(n-l),a/yinS / yjnI 川_占-刖K(XS b ;=115/15*6.4二個(gè)正態(tài)總體的三個(gè)統(tǒng)計(jì)量的分布第7章參數(shù)估計(jì)7.1矩估計(jì)法和順序統(tǒng)計(jì)量法1設(shè)總體X的密度函數(shù)為：/(x) =-1,有樣本求未0其他知參數(shù)&的矩估計(jì)。2 每分鐘通過某橋量的汽車輛數(shù)X;r(刃，為估汁幾的值，在實(shí)地隨機(jī)地調(diào)査了 20次,每次分鐘，結(jié)果如下：次數(shù)：23456量數(shù)：95374試求兄的一階矩估計(jì)和二階矩估計(jì)。2=52 =4.977.2極大似然估計(jì)1.設(shè)總體x的密度函數(shù)為：/(x)= r+1)x有樣本,x”,0其他求未知參數(shù)