(完整版)考研高數(shù)必備公式

1、考研高數(shù)部分公式 dx 2du 1 u2 2u sin x 2, cosx 1 u 兩個(gè)重要極限: 雙曲正弦:shx e e 2 雙曲余弦 :chx xx e e 2 雙曲正切 :thx shx ex chx ex arshx In (xx2 1) archx ln(x x2 1) 4 一些初等函數(shù): xx x e x e arthx 1ln1 lim 如 1 x 0 x lim(1 )x x e 2.718281828459045 5三角函數(shù)公式: 誘導(dǎo)公式： 、週數(shù) 角A、 sin cos tg ctg -a -sin a cos a -tg a -ctg a 90 a cos a sin

2、 a ctg a tg a 90 a cos a -sin a -ctg a -tg a 180 a sin a -cos a -tg a -ctg a 180 a -sin a -cos a tg a ctg a 270 a -cos a -sin a ctg a tg a 270 a -cos a sin a -ctg a -tg a 360 a -sin a cos a -tg a -ctg a 360 a sin a cos a tg a ctg a sin 2 2sin cos cos2 2cos21 ctg2 ctg21 2ctg tg2 2tg 2 1 tg 倍角公式: 1 2s

3、i n2 -半角公式: 2 sin si n3 3sin4sin3 cos3 4cos3cos tg3 3tg tg3 1 3tg2 2 cos tg2 1 cos Y 2 1 cos sin 2 1 cos 1 cos sin sin 1 cos -正弦定理: a b sin A sinB c si nC 2R cos Tl j 2 2 ctg -J 1 cos 1 cossin 1 cos sin1 cos 2 -余弦定理： 2 2 c a b2 2ab cosC 1 cos arctgx arcctgx 反三角函數(shù)性質(zhì)：arcs inxarccosx 2 8中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用： 拉格朗日

4、中值定理： f(b) f(a) f ( )(b a) 柯西中值定理：f(b) f (a) f ( ) F(b) F(a) F ( ) 當(dāng)F(x) x時(shí)，柯西中, 值定理就是 拉格朗日中值定理 曲率: 弧微分公式：ds .1 y2dx,其中y tg 平均曲率：K .:從M點(diǎn)到M點(diǎn)，切線斜率的傾角變 化量；s： MM弧長。 M點(diǎn)的曲率：K 嘰I s| ds 直線：K 0; 半徑為a的圓：K i a 9定積分的近似計(jì)算： b b 矩形法：f(x) a( (yo yi a n b b 梯形法：f(x) a i (yo yn) a n 2 b 拋物線法：f (x) b a (yo yn) a 3n io

5、定積分應(yīng)用相關(guān)公式: 功：W 水壓力: y i) yiyn i 2( y2y4yn 2) 伽 gyn i) 引力：F 函數(shù)的平均值：y 丄 f(x)dx b a a b 2 f (t)dt a 空間解析幾何和向量代數(shù):空間 2點(diǎn)的距離：d M 1M 2 J(x2 x1)2 (y2 y1)2 (z2 z1)2 向量在軸上的投影：PrjuAB AB cos , 是AB與u軸的夾角。 Pr ju(ai a2) Prjai PJa? a b a b cos axbxaybyazbz,是一個(gè)數(shù)量 兩向量之間的夾角: cos 2 2 ax ay axbxaybyazbz by2bz2 y az2.bx2

6、cab ax bx ay by az bz a b sin 例: 線速度: v w r. 向量的混合積：abc (a b) c 代表平行六面體的體積 。 axay bxby cxcy az bz abc cos ,為銳角時(shí), Cz 多元函數(shù)微分法及應(yīng)用 全微分：dz dx x 全微分的近似計(jì)算： dy y z dz du dx x fx(x,y) x u. u dy dz y z fy(x, y) y 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法： dz dt z fu(t),v(t) z fu(x,y),v(x,y) z z u z x u x v 當(dāng) u u(x, y), v v(x,y)時(shí)， du dx dy

7、dv dx dy xy x y 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式： 隱函數(shù)F(x, y) 0, 魚 Fx , 2 dx Fy dx 隱函數(shù) F(x,y,z) 0, z Fx z t u v x y z -(旦)+ (氏)史 x Fyy Fy dx D Fz u 1 (F,G) v X j (x,v) X u 1 (F,G) v y J (y,v) y F F j(F,G) u (u,v) G G u v 1 (F,G) j (u,x) 1 (F,G) j (u,y) 隱函數(shù)方程組：F(x,y，u，v)0 G(x, y,u,v) 0 Fu Gu Fv Gv 微分法在幾何上的應(yīng)用: x 空間曲線y z (t) (

8、t)在點(diǎn)M (x0, y0,z0)處的切線方程: (t) x X。 (t?) y yo zzo (to) (to) 在點(diǎn)M處的法平面方程: (to)(x X。)(to)(y yo) (to)(z Zo) o 若空間曲線方程為: Fy Fz Fz Fx Fx Gy Gz Gz Gx Gx G(x,y,z) o,則切向量t Fy Gy 曲面 F (x, y, z) o上一點(diǎn) M(Xo,y,Zo),則: 1、 過此點(diǎn)的法向量：n Fx(Xo,yo,Zo),Fy(Xo,yo,zo),Fz(Xo,y,zo) 2、過此點(diǎn)的切平面方程：Fx(Xo,y,Zo)(xXo) Fy(xo,y,zo)(yyo)Fz(

9、x, y, zo)(zz)o 3、過此點(diǎn)的法線方程: X Xo yyo z Zo Fx(Xo, yo, Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo, yo,z) 方向?qū)?shù)與梯度: 函數(shù)z f(x,y)在一點(diǎn)p(x,y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為： cosin l xy 其中為x軸到方向I的轉(zhuǎn)角。 函數(shù) z f (x,y)在一點(diǎn) p(x,y)的梯度：gradf(x,y) i j x y 它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：-f grad f (x, y) e,其中e cos i sin j，為I方向上的 單位向量。 f 是gradf (x,y )在I上的投影。 多元函數(shù)的極值及其求法： fxy(xo, yo)

10、 B, fyy(X0,y) C 設(shè) fx(Xo,y) fy(xo,yo) 0,令：fxx(Xo,y) A, AC B2 卄 A 0時(shí) 0,(x。，y。)為極大值 AC D 0 A 0,(x。，y。)為極小值 則：AC B2 0時(shí)， 無極值 AC B2 0時(shí), 不確定 重積分及其應(yīng)用: f(x,y)dxdy D f(r cos D ,r sin )rdrd 曲面z f (x,y)的面積A 1 z2 z :x 2 dxdy x (x, y)d D (x,y)d D 平面薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：對于x軸lxy2 (x, y)d , D 平面薄片(位于 xoy平面)對z軸上質(zhì)點(diǎn) M(0,0,a),(a 平面薄

11、片的重心：x匹 M Fx (x,y)xd 3， D / (x y a ) Fy (x, y)yd y (x, y)d D (x,y)d D 對于 y軸 I y x2 (x, y)d D F億尺忑，其中: (x,y)xd fa3 D / (x y a ) 0)的引力: 3， D/222 ? (x y a ) Fz 曲線積分： 第一類曲線積分(對弧 設(shè)f (x, y)在L上連續(xù), f(x, y)ds f (t), L 長的曲線積分)： L的參數(shù)方程為: (t) (t) (t)J 2(t)2(t)dt ( (t),則: 特殊情況: x t y (t) 第二類曲線積分(對坐 設(shè)L的參數(shù)方程為 y 標(biāo)的

12、曲線積分)： 7則： P(x,y)dx Q(x, y)dy L 兩類曲線積分之間的關(guān) P (t). (t) (t) Q (t), (t) (t)dt Qdy 系：Pdx L L上積分起止點(diǎn)處切向量 的方向角。 Q P 格林公式：()dxdy - Pdx d x y l 當(dāng)P y,Q x,即：-丄2時(shí)， x y 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件: 1、G是一個(gè)單連通區(qū)域； (Pcos Qcos L Qdy格林公式：(衛(wèi) D X 得到D的面積：A )ds其中 )dxdy y dxdy D 1 O 2l 和分別為 :Pdx Qdy L xdy ydx 2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)

13、偏導(dǎo)數(shù) ,且-Q = -P。注意奇點(diǎn)，如(0,0)，應(yīng) y 減去對此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反! 二元函數(shù)的全微分求積： Q P 在 =一時(shí)，Pdx Qdy才是二兀函數(shù)u(x, y)的全微分，其中: x y (x,y) u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y0 0。 曲面積分: 對面積的曲面積分：f(x,y,z)ds f x, y, z(x, y)、:1 z；(x, y) z：(x, y)dxdy Dxy 對坐標(biāo)的曲面積分：P(x, y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy,其中： R(x,y,z)dxdy Rx, y, z(x

14、,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正 號(hào)； Dxy P(x,y,z)dydz Px(y, z), y, zdyd乙 取曲面的前側(cè)時(shí)取正 號(hào)； Dyz Q(x,y, z)dzdx Qx,y(z,x),zdzdx取曲面的右側(cè)時(shí)取正 號(hào)。 Dzx 兩類曲面積分之間的關(guān) 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds 高斯公式: (Pcos Qcos Rcos ) ds R )dv - Pdydz Qdzdx Rdxdy z y z zx dydz dzdx 上式左端又可寫成： xy PQ 斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系: 空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件: (Q

15、x P )dxdy y Pdx Qdy Rdz dxdy cos cos cos z x y z R P Q R R Q P R Q P y z z x x y 二衛(wèi))dydz 二 6dzdx 散度： .P div Q R,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若div x y z 通量： A nds An d s (P cosQcosRcos )ds, 高斯公式的物理意義 通量與散度: 因此，高斯公式又可寫成： div Adv 廠Ands 0,則為消失 i 旋度：rotA x P 向量場A沿有向閉曲線 的環(huán)流量：: Pdx Qdy Rdz : A tds 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 等比數(shù)列：q q2 等差數(shù)

16、列：2 3 1 1 調(diào)和級(jí)數(shù)：丄丄 23 級(jí)數(shù)審斂法： 1 qn 1 q 、（n 1）n 2 1 1是發(fā)散的 n 1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 設(shè)： ”m n un，則 根植審斂法（柯西判 1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂 1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散 1時(shí)， 別法）： 不確定 2、比值審斂法: ，則 級(jí)數(shù)收斂 級(jí)數(shù)發(fā)散 1時(shí)， 1時(shí)， 1時(shí)，不確定 3、定義法: SnU1U2 un;limsn存在，則收斂；否則發(fā) n 散 交錯(cuò)級(jí)數(shù)U1 U2 U3 U4 u1 u2 u3,un 0）的審斂法萊布尼茲定理: 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足 Un Un 1 c，那么級(jí)數(shù)收斂且其和S U1,其余項(xiàng)rn的絕對值rn limun0 n Un 1 絕對收斂與

17、條件收斂: ，其中un為任意實(shí)數(shù); （1）U1 U2 （2）uJ |u |u3 如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對 收斂級(jí)數(shù); 如果（2）發(fā)散，而 收斂，則稱（1）為條件收斂級(jí)數(shù)。 1發(fā)散，而 n 丄收斂； n 1 /p nP .P 調(diào)和級(jí)數(shù): 級(jí)數(shù): 幕級(jí)數(shù): Un Un 1時(shí)發(fā)散 1時(shí)收斂 1 x x2 X3 |x 1時(shí)，收斂于 對于級(jí)數(shù)(3)a0 a-|X a2x2 數(shù)軸上都收斂，則必存 在R, |x 1時(shí)，發(fā)散 ，如果它不是僅在原點(diǎn) 收斂，也不是在全 R時(shí)收斂 R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。 n anX R時(shí)不定 0時(shí)，R - 求收斂半徑的方法：設(shè) lim n an 1 an

18、 其中an， an 1是(3)的系數(shù)，則 0時(shí)，R 時(shí)，R 0 函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù): 函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù): f (x)f(X)(X X。)f4x(x x。)2 2! n! (n 1) 余項(xiàng)：Rn (丄(x x0)n 1, f (x)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)的 充要條件是：lim Rn 0 (n 1)!n Xo 0時(shí)即為麥克勞林公式: f(x) f(0) f (0)x x2 2! f (n) (0) n x n! 些函數(shù)展開成幕級(jí)數(shù): m (1 x) 1 mx mx2 2! m(m 1) (m n 1) n x n! 1 x 1) sinx x 3 x_ 3! 5 x 5! 1)n 2n 1 1 (2n

19、 1)! 歐拉公式: ix e cosx i sinx cosx 或 si nx ix e 三角級(jí)數(shù): f(t)Ao t n)| An sin( n n 1 aA0，anAn sin n，S 其中，a。 正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x 上的積分=0。 傅立葉級(jí)數(shù)： ix e 2 ixix e e 2 (an cosnx bn sin nx) n 1 An Cos n， tX。 sin nx, cosnx 任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積 在 f(x) a0 2 (an cos nx bn s inn x), 周期 n 1 an f (x)cos nxdx (n 0,1,2 其

20、中 bn f (x)sinnxdx (n 1,2,3 1 1尹 1 1 2242 正弦級(jí)數(shù): 余弦級(jí)數(shù): 1 62 an bn 8 1 24 0, bn 0，an 1 尸 1 22 1 歹 1 32 1 4 1 f (x)sin nxdx f(x)cosnxdx 0 周期為2l的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù): f(x) 12 an 其中 bn / n x . n x (an cosbn s in n 111 l 1n x -f(x)cos dx (n l ll 1 1n x f (x)sin dx l il )，周期 0,1,2 ) 微分方程的相關(guān)概念: (n 1,2,3 ) 2 (相加) 6 2 一(相減) 12 1,2,3 0,1,2 21 f (x) f(x) bnsin nx是奇函數(shù) a0 2 an cos nx是偶函數(shù) 一階微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy 得：G(y) F(x) C稱為隱式通解。 g(y)dy f (x)dx 齊次方程：一階微分方程可以寫成 設(shè)u ，則dx u 即得齊次方程通解。 du xdx， du dx 乎 f (x, y) dx / dx (u)， x 一階線性微分方程: (x, y)， f (x)dx的形式，解法: 即寫成上的函數(shù)，解法: