(574)【精】新課標人教A版高中數(shù)學必修5全套教案

1、高中數(shù)學教案（人教a版必修全套）【必修5教案全套】目 錄第一章解三角形11.1.1正弦定理31.1.2余弦定理111.1.3解三角形的進一步討論181.2.1解決有關測量距離的問題241.2.2解決有關測量高度的問題301.2.3解決有關測量角度的問題401.2.4解決有關三角形計算的問題451.3實習作業(yè)50第二章 數(shù)列542.1.1數(shù)列的概念與簡單表示法(一)542.1.2數(shù)列的概念與簡單表示法(二)602.2.1等差數(shù)列的概念、等差數(shù)列的通項公式642.2.2等差數(shù)列通項公式682.3.1等差數(shù)列的前n項和(一)722.3.2等差數(shù)列的前n項和(二)772.4.1等比數(shù)列的概念及通項公式

2、812.4.2等比數(shù)列的基本性質(zhì)及其應用872.5.1等比數(shù)列前n項和公式的推導與應用912.5.2求數(shù)列前n項和知識的運用96第三章 不等式1033.1.1不等關系與不等式（一）1033.1.2不等關系與不等式（二）1083.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法1133.2.2一元二次不等式的解法的應用(一)1193.2.3一元二次不等式的解法的應用(二)1263.3.1二元一次不等式(組)與平面區(qū)域1343.3.2簡單線性規(guī)劃問題1443.4.1基本不等式的證明1573.4.2基本不等式的應用（一）163第一章解三角形本章規(guī)劃課程標準和教科書把“解三角形”這部分內(nèi)容安排在數(shù)學必修

3、五的第一部分，位置相對靠后，在此內(nèi)容之前學生已經(jīng)學習了三角函數(shù)、平面向量、直線和圓的方程等與本章知識聯(lián)系密切的內(nèi)容，使這部分內(nèi)容的處理有了比較多的工具，某些內(nèi)容可以處理得更加簡潔教學中應加強與前后各章教學內(nèi)容的聯(lián)系，注意復習和應用已學內(nèi)容，并為后續(xù)章節(jié)教學內(nèi)容做好準備，提高教學效益，并有利于學生對于數(shù)學知識的學習和鞏固要重視與內(nèi)容密切相關的數(shù)學思想方法的教學，并且在提出問題、思考解決問題的策略等方面對學生進行具體示范、引導1.教學內(nèi)容全章有三大節(jié)內(nèi)容：第一大節(jié)：正弦定理和余弦定理，這一節(jié)通過初中已學過的三角中的邊角關系，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題：“在任意三角形中有大邊對大角，

4、小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”重點是正弦定理的概念和推導方法，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想，并可以向?qū)W生提出用向量來證明正弦定理，這一點可以讓學生探究在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”設置這些問題，都是為了加強數(shù)學思想方法的教學比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要對三角形進行討論，方法不夠簡潔，教科書則用了向量的方法，發(fā)

5、揮了向量方法在解決問題中的威力第二大節(jié)：應用舉例，在應用兩個定理解決有關的解三角形和測量問題的過程中，一個問題也常常有多種不同的解決方案，應該鼓勵學生提出自己的解決辦法，并對于不同的方法進行必要的分析和比較對于一些常見的測量問題甚至可以鼓勵學生設計應用的程序，得到在實際中可以直接應用的算法學生往往不能把實際問題抽象成數(shù)學問題，不能把所學的數(shù)學知識應用到實際問題中去，對所學數(shù)學知識的實際背景了解不多，雖然學生機械地模仿一些常見數(shù)學問題解法的能力較強，但當面臨一種新的問題時卻辦法不多，對于諸如觀察、分析、歸納、類比、抽象、概括、猜想等發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的科學思維方法了解不夠針對這些實際情況，本章重

6、視從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題，最后把數(shù)學知識應用于實際問題第三大節(jié)：實習作業(yè)，適當安排一些實習作業(yè)，目的是讓學生進一步鞏固所學的知識，提高學生分析問題和解決實際問題的能力、動手操作的能力以及用數(shù)學語言表達實習過程和實習結(jié)果的能力，增強學生應用數(shù)學的意識和數(shù)學實踐能力教師要注意對學生實習作業(yè)的指導，包括對實際測量問題的選擇，及時糾正實際操作中的錯誤，解決測量中出現(xiàn)的一些問題2.作用與地位本章的兩個主要數(shù)學結(jié)論是正弦定理和余弦定理，它們都是關于三角形的邊角關系的結(jié)論學習數(shù)學的最終目的是應用數(shù)學，而如今比較突出的兩個問題是，學生應用數(shù)學的意識不強，創(chuàng)造能力較弱為解決此問題，教學中要用聯(lián)系的觀點，從

7、新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)3.學習目標本章的中心內(nèi)容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落實在解三角形的應用上通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題4.重點和難點通過對三角形中邊角關系的探索，證明正弦定理、余弦定理及其推論，并能應用它們解三角形5.課時安排1.1正弦定理和余弦定理（3課時）1.2應用舉例（4課時）1.3實習作業(yè)（1課時）本章復習（1課時）優(yōu)質(zhì) 數(shù)學資源下載 http:/w

8、/sxzyxz第172頁 共173頁1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理從容說課本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識也有著密切的聯(lián)系教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關系.我們是否能得到這個邊、角的關系準確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題

9、，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)教學重點1.正弦定理的概念；2.正弦定理的證明及其基本應用教學難點1.正弦定理的探索和證明；2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)教具準備直角三角板一個三維目標一、知識與技能1.通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；2.會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題二、過程與方法1.讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中

10、，邊與其對角的關系；2.引導學生通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理；3.進行定理基本應用的實踐操作三、情感態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；2.培養(yǎng)學生探索數(shù)學規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一教學過程導入新課師如右圖，固定abc的邊cb及b，使邊ac繞著頂點c轉(zhuǎn)動師思考：c的大小與它的對邊ab的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？生顯然，邊ab的長度隨著其對角c的大小的增大而增大師能否用一個等式把這種關系精確地表示出來？師在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角

11、與邊的等式關系如右圖，在rtabc中，設bc =a,ac =b,ab =c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sina， =sinb，又sinc=1=,則.從而在直角三角形abc中，.推進新課 合作探究師那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如右圖，當abc是銳角三角形時，設邊ab上的高是cd，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有cd=asinb=bsina,則，同理，可得.從而.（當abc是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.師是否可以用其他方法證明

12、這一等式？生可以作abc的外接圓，在abc中,令bc=a,ac=b,ab=c,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，來證明這一關系師很好！這位同學能充分利用我們以前學過的知識來解決此問題，我們一起來看下面的證法. 在abc中,已知bc=a,ac=b,ab=c,作abc的外接圓,o為圓心,連結(jié)bo并延長交圓于b,設bb=2r.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到bab=90，c =b，sinc=sinb=.同理,可得.這就是說,對于任意的三角形,上述關系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為

13、直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學生理解和接受,并且消除了學生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. 知識拓展師接下來,我們可以考慮用前面所學的向量知識來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關系呢?生向量的數(shù)量積的定義式ab=|a|b|cos,其中為兩向量的夾角.師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關系而非正弦關系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?生 可以通過三角函數(shù)的誘導公式sin=cos(90-)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90-

14、,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進一步的運算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90-這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎,并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關鍵,為了產(chǎn)生j與、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評: (1)在給予學生適當自學時間后,應強調(diào)學生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學生在鞏固

15、向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90-a,j與的夾角為90-c.由向量的加法原則可得,為了與圖中有關角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到由分配律可得.|j|cos90+|j|cos(90-c)=|j|cos(90-a).asinc=csina.另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90+c,j與的夾角為90+b,可得.(此處應強調(diào)學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90-c,j與的夾角為90-b).(2)abc為鈍角三角形,不

16、妨設a90,過點a作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為a-90,j與的夾角為90-c.由,得j+j=j,即acos(90-c)=ccos(a-90),asinc=csina.另外,過點c作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90+c,j與夾角為90+b.同理,可得.（形式1）.綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明了正弦定理之后,我們來進一步學習正弦定理的應用. 教師精講（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使a=ksina，b=ksinb，c=ksinc；（2）等價于 (形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2

17、不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關三角形問題. 已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本p4的例1就屬于此類問題.已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結(jié).例題剖析【例1】在abc中，已知a=32.0,b=81.8,a=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應用正弦定理可求出邊b,若求邊c,再利

18、用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，c=180-(a+b)=180-(32.0+81.8)=66.2;根據(jù)正弦定理，b=80.1(cm);c=74.1(cm).方法引導 (1)此類問題結(jié)果為唯一解,學生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器.【例2】在abc中，已知a=20cm，b=28cm，a=40，解三角形（角度精確到1，邊長精確到1 cm）分析:此例題屬于bsinaab的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重

19、要性.解：根據(jù)正弦定理，sinb =0.899 9.因為0b180，所以b64或b116.（1）當b64時，c =180-（a+b）=180-（40+64）=76，c =30(cm).（2）當b116時，c=180-（a+b）=180-（40+116）=24，c=13(cm). 方法引導通過此例題可使學生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當然對于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在abc中,已知a60,b50,a38,求b(精確到1

20、)和c(保留兩個有效數(shù)字). 分析:此題屬于ab這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除b為鈍角的情形.解：已知ba,所以bb的情形,有一解,可應用正弦定理求解角b后,利用三角形內(nèi)角和為180排除角b為鈍角的情形.解：sinb=0.618 6,b38或b142(舍去).c =180-（a+b）=22. c =12. 方法引導(1)此題要求學生注意考慮問題的全面性,對于角b為鈍角的排除也可以結(jié)合三角形小角對小邊性質(zhì)而得到.(2)綜合上述例題要求學生自我總結(jié)正弦定理的適用范圍,已知兩角一邊或兩邊與其中一邊的對角解三角形.(3)對于已知兩邊夾角解三角形這一類型,將通過

21、下一節(jié)所學習的余弦定理來解.師為鞏固本節(jié)我們所學內(nèi)容,接下來進行課堂練習：1.在abc中(結(jié)果保留兩個有效數(shù)字)，(1)已知c =,a =45,b=60，求b;(2)已知b12,a30,b120,求a.解：(1)c=180-(a+b)=180-(45+60)=75，b =1.6.(2)，a =6.9.點評:此題為正弦定理的直接應用,意在使學生熟悉正弦定理的內(nèi)容,可以讓數(shù)學成績較弱的學生進行在黑板上解答,以增強其自信心.2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1,邊長精確到1):(1)b=11,a=20,b=30;(2)a=28,b=20,a=45;(3)c =54,b=39,c=115;(4)a=

22、20,b=28,a=120.解： (1) .sina =0.909 1.a165，a2115.當a165時，c1=180-(b+a1)=180-(30+65)=85，c1=22.當a2115時，c2=180-(b+a2)=180-(30+115)=35,c2=13.(2)sinb=0.505 1,b130，b2150.由于a+b2=45+150180,故b2150應舍去(或者由ba知ba,故b應為銳角).c=180-(45+30)=105.c=38.(3),sinb=0.654 6.b141,b2139.由于bc,故bc,b2139應舍去.當b=41時，a=180-(41+115)=24,a=

23、24.(4) sinb= =1.2121.本題無解.點評:此練習目的是使學生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.課堂小結(jié)通過本節(jié)學習,我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對角解三角形.布置作業(yè)（一）課本第10頁習題1.1第1、2題.（二）預習內(nèi)容：課本p5p 8余弦定理 預習提綱(1)復習余弦定理證明中所涉及的有關向量知識.(2)余弦定理如何與向量產(chǎn)生聯(lián)系.(3)利用余弦定理能解決哪些有關三

24、角形問題.板書設計正弦定理1.正弦定理: 2.證明方法: 3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題: (1)平面幾何法 (1)已知兩角和一邊(2)向量法 (2)已知兩邊和其中一邊的對角1.1.2余弦定理從容說課課本在引入余弦定理內(nèi)容時，首先提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎上，使學生能夠形成良好的知

25、識結(jié)構(gòu)設置這樣的問題，是為了更好地加強數(shù)學思想方法的教學比如對于余弦定理的證明，常用的方法是借助于三角的方法，需要對三角形進行討論，方法不夠簡潔，通過向量知識給予證明,引起學生對向量知識的學習興趣,同時感受向量法證明余弦定理的簡便之處.教科書就是用了向量的方法，發(fā)揮了向量方法在解決問題中的威力在證明了余弦定理及其推論以后，教科書從余弦定理與勾股定理的比較中，提出了一個思考問題“勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？”并進而指出，“從余弦定理以及余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么

26、第三邊所對的角是直角；如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角；如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角.由上可知，余弦定理是勾股定理的推廣”還要啟發(fā)引導學生注意余弦定理的各種變形式,并總結(jié)余弦定理的適用題型的特點,在解題時正確選用余弦定理達到求解、求證目的.啟發(fā)學生在證明余弦定理時能與向量數(shù)量積的知識產(chǎn)生聯(lián)系,在應用向量知識的同時,注意使學生體會三角函數(shù)、正弦定理、向量數(shù)量積等多處知識之間的聯(lián)系.教學重點 余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用. 教學難點 1.向量知識在證明余弦定理時的應用,與向量知識的聯(lián)系過程;2.余弦定理在解三角形時的應用思路;3.勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證

27、明過程中的作用教具準備 投影儀、幻燈片兩張第一張:課題引入圖片(記作1.1.2a)如圖(1),在rtabc中,有a2+b2=c2問題:在圖(2)、(3)中,能否用b、c、a求解a?第二張:余弦定理(記作1.1.2b)余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.形式一: a2=b2+c2-2bccosa，b2=c2+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc,形式二:cosa=,cosb=,cosc=.三維目標一、知識與技能1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法;2.會利用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題;3.能利用計算

28、器進行運算.二、過程與方法1.利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論;2.通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題.三、情感態(tài)度與價值觀1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；2.通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一教學過程導入新課師 上一節(jié),我們一起研究了正弦定理及其應用,在體會向量應用的同時,解決了在三角形已知兩角、一邊和已知兩邊與其中一邊對角這兩類解三角形問題.當時對于已知兩邊夾角求第三邊問題未能解決,下面我們來看幻燈片1.1.2a,如圖(1)，在直角三角形中,根據(jù)兩直角邊及直角可表示斜邊,即勾股定理,那么對于

29、任意三角形,能否根據(jù)已知兩邊及夾角來表示第三邊呢?下面我們根據(jù)初中所學的平面幾何的有關知識來研究這一問題.在abc中,設bc=a,ac=b,ab=c,試根據(jù)b、c、a來表示a.師 由于初中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構(gòu)成直角三角形，在直角三角形內(nèi)通過邊角關系作進一步的轉(zhuǎn)化工作，故作cd垂直于ab于d，那么在rtbdc中，邊a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rtadc中利用邊角關系表示,db可利用ab-ad轉(zhuǎn)化為ad,進而在rtadc內(nèi)求解.解：過c作cdab,垂足為d,則在rtcdb中,根據(jù)勾股定理可得a2=cd2+bd2.在rtadc中,cd2=b2-ad2

30、,又bd2=(c-ad)2=c2-2cad+ad2,a2=b2-ad2+c2-2cad+ad2=b2+c2-2cad.又在rtadc中,ad=bcosa,a2=b2+c2-2abcosa.類似地可以證明b2=c2+a2-2cacosb.c2=a2+b2-2abcosc.另外,當a為鈍角時也可證得上述結(jié)論,當a為直角時，a2+b2=c2也符合上述結(jié)論,這也正是我們這一節(jié)將要研究的余弦定理,下面我們給出余弦定理的具體內(nèi)容.(給出幻燈片1.1.2b)推進新課1.余弦定理:三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.在幻燈片1.1.2b中我們可以看到它的兩種表示形式:

31、形式一:a2=b2+c2-2bccosa,b2=c+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc.形式二:,.師 在余弦定理中,令c =90時,這時cosc=0,所以c2=a2+b2,由此可知余弦定理是勾股定理的推廣.另外,對于余弦定理的證明,我們也可以仿照正弦定理的證明方法二采用向量法證明,以進一步體會向量知識的工具性作用. 合作探究2.向量法證明余弦定理(1)證明思路分析師 聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因a、b均未知，所以較難求邊c由于余弦定理中涉及到的角是以余弦形式出現(xiàn),從而可以考慮用向量來研究這個問題由于涉及邊長問題，那么可以與哪

32、些向量知識產(chǎn)生聯(lián)系呢?生 向量數(shù)量積的定義式ab=|a|b|cos,其中為a、b的夾角.師 在這一點聯(lián)系上與向量法證明正弦定理有相似之處,但又有所區(qū)別.首先因為無須進行正、余弦形式的轉(zhuǎn)換,也就少去添加輔助向量的麻煩.當然,在各邊所在向量的聯(lián)系上仍然通過向量加法的三角形法則,而在數(shù)量積的構(gòu)造上則以兩向量夾角為引導,比如證明形式中含有角c,則構(gòu)造這一數(shù)量積以使出現(xiàn)cosc.同樣在證明過程中應注意兩向量夾角是以同起點為前提.(2)向量法證明余弦定理過程:如圖，在abc中,設ab、bc、ca的長分別是c、a、b.由向量加法的三角形法則，可得,即b2=c2+a2-2accosb.由向量減法的三角形法則，

33、可得,即a2=b2+c2-2bccosa.由向量加法的三角形法則,可得,即c2=a2+b2-2abcosc. 方法引導(1)上述證明過程中應注意正確運用向量加法(減法)的三角形法則.(2)在證明過程中應強調(diào)學生注意的是兩向量夾角的確定,與屬于同起點向量,則夾角為a;與是首尾相接,則夾角為角b的補角180-b;與是同終點,則夾角仍是角c. 合作探究師 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？生（留點時間讓學生自己動手推出）從余弦定理，又可得到以下推論：.師 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平

34、方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？生（學生思考片刻后會總結(jié)出）若abc中，c =90，則cosc=0，這時c2=a2+b2.由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例師 從余弦定理和余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，在一個三角形中，如果兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角；如果兩邊的平方和小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是鈍角，如果兩邊的平方和大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是銳角從上可知，余弦定理可以看作是勾股定理的推廣現(xiàn)在，三角函數(shù)把幾何中關于三角形的定性結(jié)果都變成可定量計算的公式了師 在證明了余弦定理之后,我們來進一步學習余弦定理的應用(給出幻燈片1.

35、1.2b)通過幻燈片中余弦定理的兩種表示形式我們可以得到,利用余弦定理,可以解決以下兩類有關三角形的問題:(1)已知三邊,求三個角.這類問題由于三邊確定,故三角也確定,解唯一,課本p8例4屬這類情況.(2)已知兩邊和它們的夾角,求第三邊和其他兩個角.這類問題第三邊確定,因而其他兩個角唯一,故解唯一,不會產(chǎn)生類似利用正弦定理解三角形所產(chǎn)生的判斷取舍等問題.接下來,我們通過例題來進一步體會一下.例題剖析【例1】在abc中，已知b=60 cm，c=34 cm，a=41，解三角形（角度精確到1，邊長精確到1 cm）.解：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2-2bccosa=602+342-26034cos4

36、13 600+1 156-4 0800.754 71 676.82,所以a41 cm.由正弦定理得sinc=0.544 0,因為c不是三角形中最大的邊，所以c是銳角.利用計數(shù)器可得c33,b=180-a-c=180-41-33=106.【例2】在abc中，已知a =134.6 cm，b=87.8 cm，c =161.7 cm，解三角形.解：由余弦定理的推論,得cosa=0.554 3,a5620;cosb=0.839 8,b3253;c =180-(a+b)=180-(5620+3253)=9047. 知識拓展補充例題：【例1】在abc中,已知a=7,b=10,c=6,求a、b和c.(精確到1

37、)分析:此題屬于已知三角形三邊求角的問題,可以利用余弦定理,意在使學生熟悉余弦定理的形式二.解：,a44.cosc=0.807 1,c36.b=180-(a+c)=180-(44+36)=100. 教師精講 (1)為保證求解結(jié)果符合三角形內(nèi)角和定理,即三角形內(nèi)角和為180,可用余弦定理求出兩角,第三角用三角形內(nèi)角和定理求出.(2)對于較復雜運算,可以利用計算器運算.【例2】在abc中,已知a=2.730,b=3.696,c=8228,解這個三角形(邊長保留四個有效數(shù)字,角度精確到1).分析:此題屬于已知兩邊及其夾角解三角形的類型,可通過余弦定理形式一先求出第三邊,在第三邊求出后其余角求解有兩種

38、思路:一是利用余弦定理的形式二根據(jù)三邊求其余角,二是利用兩邊和一邊對角利用正弦定理求解,但根據(jù)1.1.1斜三角形求解經(jīng)驗,若用正弦定理需對兩種結(jié)果進行判斷取舍,而在0180之間,余弦有唯一解,故用余弦定理較好.解：由c2=a2+b2-2abcosc=2.7302+3.6962-22.7303.696cos8228,得c4.297.cosa=0.776 7,a392.b=180-(a+c)=180-(392+8228)=5830. 教師精講通過例2,我們可以體會在解斜三角形時,如果正弦定理與余弦定理都可選用,那么求邊用兩個定理均可,求角則用余弦定理可免去判斷取舍的麻煩.【例3】在abc中,已知a

39、=8,b=7,b=60,求c及sabc.分析:根據(jù)已知條件可以先由正弦定理求出角a,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出角c,再利用正弦定理求出邊c,而三角形面積由公式sabc=acsinb可以求出.若用余弦定理求c,表面上缺少c,但可利用余弦定理b2=c2+a2-2cacosb建立關于c的方程,亦能達到求c的目的.下面給出兩種解法.解法一:由正弦定理得,a1=81.8,a2=98.2,c1=38.2,c2=21.8.由,得c1=3,c2=5,sabc=或sabc=.解法二:由余弦定理得b2=c+a2-2cacosb,72=c+82-28ccos60,整理得c2-8c+15=0,解之,得c1=3,c2=

40、5.sabc=或sabc= . 教師精講在解法一的思路里,應注意由正弦定理應有兩種結(jié)果,避免遺漏;而解法二更有耐人尋味之處,體現(xiàn)出余弦定理作為公式而直接應用的另外用處,即可以用之建立方程,從而運用方程的觀點去解決,故解法二應引起學生的注意.綜合上述例題,要求學生總結(jié)余弦定理在求解三角形時的適用范圍;已知三邊求角或已知兩邊及其夾角解三角形,同時注意余弦定理在求角時的優(yōu)勢以及利用余弦定理建立方程的解法，即已知兩邊、一角解三角形可用余弦定理解之.課堂練習1.在abc中:(1)已知c=8,b=3,b=60,求a;(2)已知a=20,bb=29,c=21，求b;(3)已知a=33,c=2,b=150,求

41、b;(4)已知a=2,b=2，c=3+1,求a.解： (1)由a2=b2+c2-2bccosa，得a2=82+32-283cos60=49.a=7.(2)由,得.b=90.(3)由b2=c2+a2-2cacosb,得b2=(33)2+22-2332cos150=49.b=7.(4)由,得.a=45.評述:此練習目的在于讓學生熟悉余弦定理的基本形式,要求學生注意運算的準確性及解題效率.2.根據(jù)下列條件解三角形(角度精確到1).(1)a=31,b=42,c=27;(2)a=9,b=10,c=15.解：(1)由,得0.675 5,a48.由-0.044 2,b93.c=180-(a+b)=180-(

42、48+93)39.(2)由得0.813 3,a36.由0.763 0,b40.c=180-(a+b)=180-(36+40)104.評述:此練習的目的除了讓學生進一步熟悉余弦定理之外,還要求學生能夠利用計算器進行較復雜的運算.同時,增強解斜三角形的能力.課堂小結(jié)通過本節(jié)學習,我們一起研究了余弦定理的證明方法,同時又進一步了解了向量的工具性作用,并且明確了利用余弦定理所能解決的兩類有關三角形問題:（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；（2）余弦定理的應用范圍：已知三邊求三角；已知兩邊、一角解三角形布置作業(yè)課本第8頁練習第1（1）、2（1）題.板書設計余弦定理

43、1.余弦定理 2.證明方法: 3.余弦定理所能解決的兩類問題:(1)平面幾何法; (1)已知三邊求任意角;(2)向量法 (2)已知兩邊、一角解三角形 4.學生練習1.1.3解三角形的進一步討論從容說課本節(jié)課中，應先通過分析典型例題，幫助學生理解并掌握正弦定理和余弦定理；應指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然但解題的時候，應有最佳選擇教學過程中，我們應指導學生對利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問題進行歸類，列表如下：解斜三角形時可用的定理和公式適用類型備注余弦定理a2=b2+c2-2bccosab2=a2+c2-2accosbc2=b2+a2

44、-2bacosc（1）已知三邊（2）已知兩邊及其夾角類型（1）（2）有解時只有一解正弦定理（3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對角類型（3）在有解時只有一解，類型（4）可有兩解、一解或無解三角形面積公式（5）已知兩邊及其夾角同時應指出，在解斜三角形問題時，經(jīng)常要利用正弦、余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然后通過三角變換找出角與角之間的關系，進而解決問題；（2）化角為邊，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題加以解決一般地，當已知三角形三邊或三邊數(shù)量關系時，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關系，利用三角函數(shù)公式求解較為簡

45、便總之，關鍵在于靈活運用定理及公式教學重點1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用教學難點1.利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉(zhuǎn)化方向;2.三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關性質(zhì)的綜合運用教具準備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作113a)正弦定理:；余弦定理:a2=b2+c2-2bccosa,b2=c2+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc，, ,.第二張:例3、例4(記作113b) 例3已知abc, bd為角b的平分線,求證: ab

46、bcaddc. 例4在abc中,求證:a2sin2b+b2sin2a=2absinc.第三張:例5(記作113c) 例5在abc中,bcosa=acosb,試判斷三角形的形狀.三維目標一、知識與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用二、過程與方法通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關性質(zhì)求解三角形問題三、情感態(tài)度與價值觀通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質(zhì)和三角函數(shù)的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能

47、，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系教學過程導入新課師 前面兩節(jié)課,我們一起學習了正弦定理、余弦定理的內(nèi)容,并且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關題型.下面,我們先來回顧一下正、余弦定理的內(nèi)容 (給出幻燈片1.1.3a).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實質(zhì)上反映了三角形內(nèi)的邊角關系,運用定理可以進行邊與角之間的轉(zhuǎn)換,這一節(jié),我們將通過例題分析來學習正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時的應用.推進新課思考：在abc中，已知a=22cm，b=25cm,a=133，解三角形（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解

48、三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題【例1】在abc中，已知a,b,a，討論三角形解的情況.師 分析：先由可進一步求出b；則c =180-(a+b),從而.一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況1.當a為鈍角或直角時，必須ab才能有且只有一解；否則無解2.當a為銳角時，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若absina，則有兩解；（2）若a=bsina，則只有一解；（3）若absina，則無解（以上解答過程詳見課本第9到第10頁）師 注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當

49、a為銳角且bsinaab時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解（1）a為直角或鈍角（2）a為銳角【例2】在abc中，已知a =7,b=5,c =3，判斷abc的類型分析：由余弦定理可知a2=b2+c2a是直角abc是直角三角形，a2b2+c2a是鈍角abc是鈍角三角形，a2b2+ca是銳角/abc是銳角三角形。（注意：a是銳角/ abc是銳角三角形 ）解：7252+32,即a2b2+c2，abc是鈍角三角形 教師精講1利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）2正弦定理，

50、可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關系轉(zhuǎn)化例如：在判斷三角形形狀時，經(jīng)常把a、b、c分別用2rsina、2rsinb、2rsinc來代替3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判斷三角形的形狀，它的主要功能是實現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化（1）已知三邊，求三個角（2）已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角4用方程的思想理解和運用余弦定理，當?shù)仁絘2=b2+c2-2bccosa中含有未知數(shù)時，這便成為方程，式中有四個量，知道三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosa師 下面,我們來看幻燈片上的例題.(給出幻燈片1.1.3b)例題剖析【例3】分析：前面接觸的解三角形問題是在一個

51、三角形內(nèi)研究問題,而角b的平分線bd將abc分成了兩個三角形：abd與cbd,故要證結(jié)論成立,可證明它的等價形式: abbcaddc,從而把問題轉(zhuǎn)化到兩個三角形內(nèi),而在三角形內(nèi)邊的比等于所對角的正弦值的比,故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為,再根據(jù)相等角正弦值相等,互補角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明:在abd內(nèi),利用正弦定理得,即,在bcd內(nèi),利用正弦定理得,即,bd是角b的平分線,abd=dbcsinabd=sindbc.adb+bdc=180,sinadb=sin(180-bdc)=sinbdc.評述:此題可以啟發(fā)學生利用正弦定理將邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系,并且注意互補角的正弦值相等這一特殊關系式的應用.例題剖析【例4】分析:此題所證結(jié)論包含關于abc的邊角關系,證明時可以考慮兩種途徑:一是把角的關系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關系