材料力學(xué) 平面圖形的幾何性質(zhì)

1、,附錄：截面的幾何性質(zhì),材料力學(xué),1、靜矩與形心 2、慣性矩、極慣性矩和慣性積 3、平行移軸公式、轉(zhuǎn)軸公式,靜矩、慣性矩、極慣性矩、慣性積、主慣性軸、形心主慣性軸,本章重點(diǎn),關(guān)鍵概念,附錄A 截面的幾何性質(zhì),A.1 面積矩和形心 A.2 截面的慣性矩和慣性半徑 A.3 平行移軸公式 A.4 轉(zhuǎn)軸公式與主慣性矩, -1 靜矩和形心,一、基本概念,1. 靜矩（或一次矩）,2.形心坐標(biāo)公式,常用單位：m3 或mm3 。 數(shù) 值：可為正、負(fù)或 0 。,3.靜矩與形心坐標(biāo)的關(guān)系,推論：截面對形心軸的靜矩恒為0，反之，亦然。,1.組合截面的靜矩,根據(jù)靜矩的定義：整個平面圖形對某軸的靜矩應(yīng)等于它的各組成部分

2、對同一軸的靜矩的代數(shù)和，即：,二、討論：,2.組合截面的形心坐標(biāo)公式,組合截面靜矩,組合截面面積,組合截面的形心坐標(biāo)公式為：,例I1：計算由拋物線、y軸和z軸所圍成的平面圖形對y軸和z軸的靜矩，并確定圖形的形心坐標(biāo)。,解：,例I2：確定圖示圖形形心C的位置。,解：,目錄, I2 極慣性矩 慣性矩 慣性積,1.極慣性矩（或截面二次極矩）,2.慣性矩（或截面二次軸矩）,所以,（即截面對一點(diǎn)的極慣性矩，等于截面對以該點(diǎn)為原點(diǎn)的任意兩正交坐標(biāo)軸的慣性矩之和。）,3.慣性積,（其值可為正、為負(fù)或?yàn)榱?,結(jié)論：截面對于包含對稱軸在內(nèi)的一對正交軸的慣性積為0。,4.慣性半徑,（單位：長度的一次方）,例I3：

3、試計算矩形截面對于其對稱軸（即形心軸）x和y的慣性矩。,解：,取平行于x軸的狹長條,則 dA=b dy,同理,思考題I1：平行四邊形對形心軸x 的慣性矩應(yīng)怎樣計算？,5.主慣性軸:當(dāng)平面圖形對某一對正交坐標(biāo)軸y0、z0的慣性積 =0時，則坐標(biāo)軸 y0、z0稱為主慣性軸。 推論：具有一個或兩個對稱軸的正交坐標(biāo)軸一定是平面圖形的 主慣性軸。,7.形心主慣性軸:過形心的主慣性軸稱為形心主慣性軸。,可以證明:任意平面圖形必定存在一對相互垂直的形心主慣性軸。,8.形心主慣性矩:平面圖形對任一形心主慣性軸的慣性矩稱為形 心主慣性矩。,6.主慣性矩:平面圖形對任一主慣性軸的慣性矩稱為主慣性矩。,目錄,-3

4、平行移軸公式,1.平行移軸公式推導(dǎo),左圖是一面積為A的任意形狀的平面，c為其形心，xcyc為形心坐標(biāo)軸。與該形心坐標(biāo)軸分別平行的任意坐標(biāo)軸為xy ,形心c在oxy坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為(a , b),任意微面元dA在兩坐標(biāo)系下的坐標(biāo)關(guān)系為：,xc,x,同理，有：,例I4：求圖示直徑為d的半圓對其自身形心軸xc的慣性矩。,（1）求形心坐標(biāo),（2）求對形心軸xc的慣性矩,由平行移軸公式得：,例I5：求圖示平面圖形對y軸的慣性矩 Iy,解：,-4慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸公式.截面的主慣性軸和主慣性矩,1. 轉(zhuǎn)軸公式,新坐標(biāo)系ox1y1 舊坐標(biāo)系o x y,將上述關(guān)系代入平面圖形對x1軸的慣性矩：,x,y,O,

5、x,y,a,x,y,a,1,1,A,B,C,D,E,d,A,x,y,1,1,利用三角函數(shù)整理上式，得轉(zhuǎn)軸公式 ：,同理得：,規(guī)定：上式中的 的符號為：逆時針為正，順時針為負(fù)。,即，截面對于通過同一點(diǎn)的任意一對相互垂直的坐標(biāo)軸的兩慣性矩之和為一常數(shù)，并等于截面對該坐標(biāo)原點(diǎn)的極慣性矩。,將上述轉(zhuǎn)軸公式中的前兩式相加可得：,討論：,從慣性積的轉(zhuǎn)軸公式可推知，隨著坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)，慣性積將隨著角作周期性變化，且有正有負(fù)。因此，必有一特定的角度0，使截面對與該角對應(yīng)的新坐標(biāo)軸x0、y0的慣性積為零。依此進(jìn)行如下定義：,2.截面的主慣性軸和主慣性矩,(1) 主慣性軸:截面對其慣性積等于0的一對坐標(biāo)軸。,(2)

6、主慣性矩:截面對于主慣性軸的慣性矩。,形心主慣性軸：當(dāng)一對主慣性軸的交點(diǎn)與截面的形心重合時。,(4) 形心主慣性矩:截面對于形心主慣性軸的慣性矩。,3.主慣性軸位置的確定,設(shè)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動角度為0，則由慣性積的轉(zhuǎn)軸公式及主慣性軸的定義，得：,經(jīng)整理，得,4.主慣性矩的確定 由上面tan20的表達(dá)式求出cos20、sin20后，再代入慣性矩的轉(zhuǎn)軸公式 ，化簡后可得主慣性矩的計算公式如下：,結(jié)論：,若截面有一根對稱軸，則此軸即為形心主慣性軸之一，另一形心主慣性軸為通過形心并與對稱軸垂直的軸。,若截面有二根對稱軸，則此二軸即為形心主慣性軸。,若截面有三根對稱軸，則通過形心的任一軸均為形心主慣性軸，且主慣性矩相等。,例I6：計算截