模擬“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初二試題（附詳細(xì)解答）

1、模擬“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初二試題 （考試時(shí)間：90 分鐘；滿分 100 分） 一選擇題（4 選 1 型，每小題選對(duì)得 5 分，否則得 0 分.本大題滿分 50 分） . 1. 【原創(chuàng)】化簡：=（ ）. 25 )4(9 5 . 025 . 1 1)25 . 0 ( 5 . 03 5 . 26 a. -1; b. 0; c. 1; d. . 13 25 2. 【原創(chuàng)】已知實(shí)數(shù)滿足，則（ zyx,02261244 222 zyxzyx xz y ）. a.; b. ; c. 1; d. -1. 2 3 3 2 3. 【原創(chuàng)】滿足不等式組的所有整數(shù)的個(gè)數(shù)為（ 9 7 1 7 2 37 3 4 16

2、xx x x x x ）. a. 4; b. 6; c. 9; d. 11. 4. 1已知： ，那么代數(shù)式的值是（ ）.03 2 nn20194 23 nn a. -2009; b. 2009; c. -2010; d. 2010. 5. 2如下圖，多邊形 abcdefghij 的相鄰兩邊互相垂直，要求出它的周長， 至少需要知道（ ）條邊的邊長。 a. 3; b. 4; c. 5; d. 6. 1 模仿 97 年度“希望杯”全國數(shù)學(xué)邀請賽初二試題中的第 6 題自編而成 2 模仿第十九屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初一試題中的第 6 題自編而成 6. 3 被 11 除的余數(shù)是（ ）. 2010 201

3、0 a. 1; b. 2; c. 4; d. 6. 7. 4設(shè) ，是任意實(shí)數(shù)，則1233baabbaba, （ ）.) 11 45 10 41 9 37 8 33 ()10003100310313( a.; b. ; c. ; d. .31015 10 10 101531015 9 9 1015 8. 5如果 ，且，那么在四個(gè)代數(shù)式： cba zyx0,zyx ； z c y b x a ；中，哪一個(gè)的值最??？（ ） y c z b x a z c x b y a y c x b z a a. ； b. ； c. ； d. . 9. 6打字員小張連續(xù)打字 20 分鐘，打了 3609 個(gè)字符，已

4、測得他在第一分 鐘打了 120 個(gè)字符，在最后一分鐘打了 98 個(gè)字符. 如果測算他每一分 鐘所打字符的個(gè)數(shù)，則以下結(jié)論不成立的是（ ）. a. 必有連續(xù) 2 分鐘打了至少 377 個(gè)字符； b. 必有連續(xù) 3 分鐘打了至少 566 個(gè)字符； c. 必有連續(xù) 6 分鐘打了至少 1131 個(gè)字符； d. 必有連續(xù) 9 分鐘打了至少 1697 個(gè)字符. 10. 7空間中八個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線）兩兩連線，用紅綠兩色染這些線段， 其中點(diǎn) a 連出的線段都是紅色的. 那么，以這八個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中， 三邊同色的三角形的個(gè)數(shù)至少為（ ）. a. 13； b. 14； c. 15； d. 16. 二填空題

5、（每小題填對(duì)得 5 分，否則得 0 分.本大題滿分 50 分）. 1. 8已知 是質(zhì)數(shù)，并且也是質(zhì)數(shù)，則_. p3 7 p38 11 p 2. 【原創(chuàng)】設(shè) 9 位自然數(shù) m=，m 是 88 的倍數(shù)，則 m=_. _ 2201091xy 3. 9某校初二三個(gè)班同學(xué)舉行羽毛球混合雙打表演，要求每班都派出一名 男生和一名女生，規(guī)定同班的男女生不能配對(duì).如果派出的男生分別是 甲、乙、丙、丁，派出的女生分別是 a、b、c、d. 3 模仿 97 年度太原市初中數(shù)學(xué)競賽第一試第 4 題自編而成 4 模仿第十九屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初二試題中的第 8 題自編而成 5 改編自數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)教程（初中冊）第 38

6、 頁例 2 6 改編自第十二屆“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初二試題第 10 題 7 改編自中學(xué)數(shù)學(xué)2010 年 5 月數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題 129 第 6 題 8 改編自 96 年度北京市初中數(shù)學(xué)競賽初二試題第 1 題 9 模仿 98 年度北京市初一年級(jí)“迎春杯”數(shù)學(xué)競賽試題填空題第 1 題自編而成 第一場：甲和 a 對(duì)丙和 c； 第二場：丙和 b 對(duì)甲和 c； 第三場：丁和 a 對(duì)乙和丙的同班女生. 那么，甲、乙、丙、丁的同班女生分別是_. 4. 10某個(gè)兩位數(shù) ，它的平方數(shù)的末兩位數(shù)也是，那么為 _ ab _ ab _ ab _. 5. 11某校初中二年級(jí)同學(xué)中，有 45 人參加了數(shù)學(xué)競賽，有

7、 40 人參加了英 語競賽，有 38 人參加了語文競賽，其中參加數(shù)學(xué)和英語兩科的共有 15 人，參加英語和語文兩科的共有 20 人，參加數(shù)學(xué)和語文兩科的共有 19 人.已知參加競賽的同學(xué)中有的同學(xué)得了獎(jiǎng)，則得獎(jiǎng)的共有_人. 11 4 6. 12用一個(gè)正方形去蓋住邊長為 3，4，5 的直角三角形，那么正方形的邊 長不得少于_. 7. 13計(jì)算 =_. 99979593 1 9753 1 7531 1 8. 14萬人矚目的世博會(huì)在上海開幕了。李先生一家計(jì)劃暑期去看世博會(huì)。 如圖，假設(shè)李先生從 a（家）出發(fā)到 b（世博園區(qū)） ，可向東、向北或 在有路時(shí)向東北方向走，則李先生從家到世博園區(qū)有_條不同的

8、路 徑。 9. 15構(gòu)造三角形，可求出 的準(zhǔn)確值為_.36sin 10. 16如下圖，在 43 的網(wǎng)格中有 20 個(gè)格點(diǎn)，作出以這 20 個(gè)格點(diǎn)中的三 個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的所有三角形，其中直角三角形有_個(gè). 10 改編自數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)教程（初中冊） 第 305 頁 96 題 11 改編自 96 年度天津市初中數(shù)學(xué)競賽初二試題第 10 題 12 改編自數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)教程（初中冊） 第 367 頁 2. （5） 13 推廣第 10 屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀請賽總決賽小學(xué)組二試第 3 題 14 改編自課堂有獎(jiǎng)?wù)鞔鸬?9 題 15 改編自中學(xué)數(shù)學(xué)2010 年 4 月數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題 128 第 4 題 1

9、6 改編自中學(xué)數(shù)學(xué)2010 年 6 月數(shù)學(xué)奧林匹克初中訓(xùn)練題 130 第 2 題 模擬“五羊杯”初中數(shù)學(xué)競賽初二試題解答 一一. . 選擇題：badca dcadb 1. b. 原式分子=，故原式=0.011 75 . 0 75 . 0 5 . 3 5 . 3 2. a. ，即02261244 222 zyxzyx ，0)96()9124()44( 222 zzyyxx0) 3() 32()2( 222 zyx ，故.所以.3 2 3 2zyx， 2 3 ) 2 3 ( 23 xz y 3. d. 對(duì)第一個(gè)不等式求解得，)37(2412) 16(xxxxx214116 ，；對(duì)第二個(gè)不等式求解得

10、，258 x125 . 3 x)7(7639xx ，xx749639 ，. 所以不等式組的解為，整數(shù)解為：-7，-142x7x125 . 3 7x 6，-5，2，3，共 11 個(gè). 4. c. 由，知，則. 故=03 2 nn3 2 nnnnn3 23 20194 23 nn .2010201992019)(320193320193 22223 nnnnnnn 5. a. 顯然只須知道邊 ab、bc、gh 的長度，便可計(jì)算出多邊形 abcdefghij 的 周長=2(ab+bc+gh)，所以需要知道邊長的邊數(shù)至少是 3. 6. d. 由，有， 8112010a91164176121)811(2

11、010 222 baaa .故611728899121)911)(811(20103cbaabba ，被 11 除的余數(shù)是 6. （為整數(shù)）61120102010 32010 c 2010 2010cba， . 7. c. 易見，故，abbaba3) 3)(3(100331001010313 ，.31031000100010031003 6 3103101010003) 310( 10466 又易見，故)()(cbacba ，3 4 5 3 9 10 8 9 3) 3 9 37 )(3 8 33 ( 9 37 8 33 ，則3 5 6 3 11 12 10 11 3) 3 11 45 )(3

12、10 41 ( 11 45 10 41 .3 2 3 3 5 6 4 5 3) 33 5 6 )(33 4 5 () 3 5 6 () 3 4 5 ( 由此原式=.310153 2 3 10) 3 2 3 () 310( 91010 8. a. ，則，故cbazyx0,zyx zyx 111 =，于是.0) 11 )() 11 () 11 ( zy cb yz c zy b 同理，有=，于是.0) 11 )() 11 () 11 ( yx ba xy b yx a =，于是.0) 11 )() 11 () 11 ( zx ba xz b zx a 所以在這四個(gè)式子中，的值最小. 9. d. 小

13、張?jiān)谥虚g的 18 分鐘打了 3609-120-98=3391 個(gè)字符. 把這 18 分鐘分別 平均分成 9 段、6 段、3 段，每段 2 分鐘、3 分鐘、6 分鐘，則 33919=3767，33916=5651，33913=11301，應(yīng)用抽屜原理可知 a、b、c 均成立. 但 33912=16951，因此如果小張每分鐘所打字符個(gè)數(shù) 依次是： 120，189，189，188，189，188，189，188，188，188，189，188，189， 188，189，188，188，188，188，98，則他連續(xù) 9 分鐘最多打了 4(188+189)+188=1696 個(gè)字符，所以結(jié)論 d 不成

14、立. 10. b. 易知有個(gè)三角形. 設(shè)同色三角形有個(gè)，則異色三角形有56 3 8 cx 個(gè).顯然，每個(gè)同色三角形有 3 個(gè)同色角，每個(gè)異色三角形有 1 個(gè)同色x56 角. 設(shè)同色角的總數(shù)為，則.yxxxy256563 除點(diǎn) a，若其他任一頂點(diǎn)處有條紅邊，則其同色角的個(gè)數(shù)為)71 ( kk .即其他任一頂點(diǎn)處至少有 9 個(gè)同色角.9217 22 7 2 kkcc kk 故同色角的總數(shù).即，.8497 2 7 cy84256 x14x 所以同色三角形不少于 14 個(gè). 二. 填空題： 1. 2010. 是質(zhì)數(shù)，也是質(zhì)數(shù).由于，則一定是奇質(zhì)數(shù)， p3 7 p23 7 p3 7 p 為偶數(shù)，為偶質(zhì)數(shù)

15、，所以=2. 故. 7 ppp201038204838 11 p 2. 201091352 或或 201091792. 因?yàn)?20109100288=22851252，而 m= 是 88 的倍數(shù)，故+2=是 88 的倍數(shù).又 88 的三位數(shù)的且個(gè) _ 2201091xy _ 0 xy _ 2xy 位為 2 的倍數(shù)只有 352 和 792，所以=35 或 79，m=201091352 或 _ xy 201091792. 另解：易見 88=811，8|，4|，故；11|m，故 m 的各 _ 2xy _ 2y86420，y 位數(shù)字交替和應(yīng)是 11 的倍數(shù). 從而yxxy132010912 只可能是，

16、和，其中適合 8|的只有)(yx，)97( ，)75( ，)53( ，)31 ( ， _ 2xy =和，故 m=201091352 或 201091792.)(yx，)97( ，)53( ， 3. b、a、d、c. 由已知，甲和 a，甲和 c 不是同班女生，故甲的同班女生只能 是 b 或 d；又丙和 c，丙和 b 不是同班女生，故丙的同班女生只能是 a 或 d，而在第三場比賽中，丁和 a 對(duì)乙和丙的同班女生，則丙的同班女生不可 能為 a，所以丙的同班女生是 d，由此甲的同班女生是 b. 而丁和 a 不是同班女生，所以丁的同班女生是 c，乙的同班女生是 a. 4. 25 或或 76. 因?yàn)榈哪﹥?/p>

17、位數(shù)還是，所以能被 100= 2 _ ab _ ab ) 1( _ 2 _ abababab 425 整除. 因?yàn)榕c互質(zhì)，所以只能有： _ ab1 _ ab 4 整除并且 25 整除； _ ab1 _ ab 4 整除并且 25 整除.1 _ ab _ ab 驗(yàn)證這兩種情形，可得=25 或 76. _ ab 5. 28. 設(shè)三科都參加的有人，共參加了人，則由題意有：xy .xxy69192015384045 而，故.只有當(dāng)時(shí)，可被 11 整除. 151 x8470 y77y 所以，獲獎(jiǎng)人數(shù)為：.28 11 4 77 6. 17 1716 如上圖，要使蓋住 rtaef 的正方形 abcd 盡可能地

18、小，直角三角形的斜邊 af 應(yīng)當(dāng)盡可能地靠近正方形的對(duì)角線 ac. 設(shè) ab=，ec=，由 aeef 知aeb 和cef 互余，而efc 和cef 互余，xy 所以aeb=efc，又b=c=90，則abeecf. 故，即 34 yx . 4 3x y 由 rtabe 得到 ab+be=ae，即，即. 222 4) 4 3 ( x xx16 16 17 2 x 所以，即正方形的邊長不得小于. 17 1716 x 17 1716 7. 912285 60818 ) 99979593 1 9753 1 7531 1 (6 99979593 6 9753 6 7531 6 999795 1 979593 1 975 1 753 1 753 1 531 1 . 912285 60818 999795 1 531 1