中北大學(xué)概率統(tǒng)計練習(xí)冊參考答案

1、概率統(tǒng)計習(xí)題冊參考答案第一章 隨機(jī)事件與概率1、（1），；（2）=（正，反），（正，正），（反，正），（反，反），=（正，反），（正，正）。2、（1）表示三門炮中至少有一門炮擊中目標(biāo)（2）表示三門炮中至少有兩門炮擊中目標(biāo)（3）表示三門炮都擊不中目標(biāo)（4）表示三門炮中至少有一門擊不中目標(biāo) 或表示三門炮中至多有兩門炮擊中目標(biāo)（5）（6）（7）（8）3、（1）設(shè)事件表示任取3張郵票中恰好有1張壹角郵票、2張貳角郵票，則（2）設(shè)事件表示任取3張郵票中恰好有2張壹角郵票、1張叁角郵票，則（3）設(shè)事件表示任取3張郵票面值總和為伍角，則（4）設(shè)事件表示任取3張郵票中至少有2張郵票面值相同，則4、設(shè)“第個抽簽

2、者得到戲票”5、我們只需考慮從52張牌中任取13張分給北家，共有中不同的分發(fā)，所以（1）設(shè)事件表示恰有5張黑桃、4張紅心、3張方塊、1張草花，則有（2）設(shè)事件表示恰有大牌、各1張，其余為小牌，則有6、（2），或7、8、9、設(shè)三段的長度分別為，及，則有，。且有，。即：，。于是，所求的概率等于陰影部分的面積與大三角形的面積之比，即10、（1）；（2）因?yàn)樗?；?）由得；（4）。11、（1）設(shè)事件表示考生選出正確答案，表示考生會解這道題，依題意知：，。則：（2）由貝葉斯公式得。12、令a“甲向銀行申請貸款”，b“乙向銀行申請貸款”，則：而 所以13、或14、（1）；（2）；（3）15、設(shè)=“取到第

3、個箱子”，=“取到白球”，則：(1) （2）16、0.042；0.02317、設(shè)“甲機(jī)床需要看管”； “乙機(jī)床需要看管”； “丙機(jī)床需要看管”； 相互獨(dú)立，（1）；（2）。18、獨(dú)立19、0.99420、 (1) d； (2) d； (3) c； (4) b 21、(提示：先求出擊不沉的概率)1283/129622、第二章 隨機(jī)變量及其概率分布1、01231/32/94/278/272、（1）根據(jù)規(guī)范性可得；（2）。3、（1）僅當(dāng)時概率，故有(2) ；。4、 （1）（2）此試驗(yàn)至少做次，若需做次，則第次必為成功，而前次中有次成功，故分布律為（3）先寫出的分布律，它是（1）中的情形，所求分布律為

4、故取偶數(shù)的概率為：5、 （1）根據(jù)規(guī)范性得所以；（2）供電不足即，從而。6、(1)由規(guī)范性 (2) (3) 7、（1）（2）8、(1) (2)9、（1）函數(shù)是嚴(yán)格單調(diào)的，故可直接利用公式，故有即；（2）先來求的分布函數(shù)，因當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時， 將關(guān)于求導(dǎo)數(shù)得到的概率密度為 10、（1）在放回抽樣的情況下，的聯(lián)合分布列為：0101隨機(jī)變量的邊緣分布律為：01隨機(jī)變量的邊緣分布律為：01與是相互獨(dú)立的（2）在不放回抽樣的情況下，的聯(lián)合分布列為：0101隨機(jī)變量的邊緣分布律為：01隨機(jī)變量的邊緣分布律為：01因?yàn)?，所以與是不獨(dú)立的。11、1234123412、（1）由規(guī)范性得：，所以；（2）；（3）；

5、（4）。13、 （1）由規(guī)范性，所以；（2）（3）（4）。14、15、(1),(2) 16、 而所以即。*17、 *18、 =第三章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、 易知的分布列為48100.10.20.7所以；2、 設(shè)隨機(jī)變量表示這輛長途汽車在第個車站的停車次數(shù)，則所以隨機(jī)變量的分布律為：01設(shè)隨機(jī)變量表示這輛長途汽車在沿途各站停車的總次數(shù)，則有，則的數(shù)學(xué)期望。3、 則 。4、 5、 （4）因?yàn)椋凰浴?、 7、 根據(jù)規(guī)范性得再由數(shù)學(xué)期望解線性方程組得，。8、 （1）根據(jù)規(guī)范性得所以；（2）；（3）；（4）因?yàn)椋凰浴?、（1）；（2）。10、（1）；（2）。11、12、 （1）0510150.02

6、0.250.520.21則（2）05101520250.020.10.180.450.240.01。13、 14、 （1）則，；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以；?）所以，；（4）， 15、 設(shè)進(jìn)貨量為a,利潤為y則 最少為2116、（1），（2）（3）*17、 ，故的數(shù)學(xué)期望不存在。第四章 幾類重要的概率分布1、設(shè)表示提出正確意見的顧問人數(shù)，則該機(jī)構(gòu)作出正確抉擇，意味著3位顧問中至少有2位顧問提出正確意見，即2、（1）設(shè)表示同時開動機(jī)床數(shù)的臺數(shù)，則（1）消耗電功率恰好為60單位，意味著恰好有臺機(jī)床同時開動，即；（2）消耗電功率至多為30單位，意味著至多有臺機(jī)床同時開動，即（3）；（4）因?yàn)?，?/p>

7、而標(biāo)準(zhǔn)差。3、 4、（1）由于已知每10分鐘收到3次呼喚與收到4次呼喚的可能性相同，即概率則；（2）。5、 6、 （1）（2）（3） =0.27、 （1）與相互獨(dú)立 （2） 8、 設(shè)最多裝袋水泥令表示第袋水泥的重量所以最多裝39袋水泥。9、 （1），因而的概率密度函數(shù)為則；（2）設(shè)表示任取3只日光燈管各使用1200小時不需要更換的日光燈只數(shù)，則因而：。10、 （1）則；（2）。11、（1）（2）= （3） =vu0105/6011/121/12u+v0 1 2p5/6 1/12 1/12第五章 基本極限定理1、 2、2 3、4、設(shè)表示晚間同時去圖書館上自習(xí)的人數(shù)，則，。利用切比雪夫不等式估計所

8、求概率為。5、設(shè)表示擲次銅幣正面出現(xiàn)的次數(shù)，則，6、 設(shè)表示第筆銷售收入產(chǎn)生的誤差，顯然，。則，即。由獨(dú)立同分布的中心極限定理有：7、（1）設(shè)表示第個月醫(yī)院接受破傷風(fēng)患者的人數(shù)，按題意顯然，。則，于是由獨(dú)立同分布的中心極限定理有：。（2）。8、（1）設(shè)第個加數(shù)的舍入誤差為，已知在上服從均勻分布，故知，。則，即。由獨(dú)立同分布的中心極限定理有：（2）設(shè)最多有個數(shù)相加，使誤差總和符合要求，即要確定，使，于是由獨(dú)立同分布的中心極限定理有：即應(yīng)滿足故最多只能有443個數(shù)加在一起，才能使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90.9、設(shè)表示隨機(jī)抽取1000粒種子中發(fā)芽種子的粒數(shù)，則，.則由拉普拉斯中心

9、極限定理有：10、（1）設(shè)第只蛋糕的價格為。則有分布律：11.21.50.30.20.5由此得，。故蛋糕店這天的總收入為，于是于是由獨(dú)立同分布的中心極限定理有：。（2）記為300只蛋糕中售價為1.2元的蛋糕的只數(shù)，于是。，。則由拉普拉斯中心極限定理有：。11、因服從參數(shù)為的指數(shù)分布,故:.第六章 樣本及抽樣分布1、 （1）。（2），其分布律為（3）由于總體，故有，。2、樣本均值：樣本方差：樣本二階中心矩的觀測值：。3、 (1)；（2）；（3）；4、 證：略5、 0.95446、 (1)(2)7、 證：已知總體，則樣本均值。如果再抽取一個樣本，則因?yàn)樗袠颖臼窍嗷オ?dú)立的，所以與也是獨(dú)立的。于是由

10、此得到標(biāo)準(zhǔn)化的統(tǒng)計量又知統(tǒng)計量顯然統(tǒng)計量與是獨(dú)立的。于是按分布的定義可知：統(tǒng)計量。8、（1），（2），（3），（4），（5）9、10、11、 12、*13、 （1）設(shè)則的分布函數(shù)為的概率密度函數(shù)為（2）第七章 參數(shù)估計1、 用樣本均值作為燈泡壽命數(shù)學(xué)期望的估計值，有用樣本方差作為燈泡壽命方差的估計值，有。所以這批燈泡壽命的數(shù)學(xué)期望的估計值為1147小時，方差的估計值為7578.9小時。2、 (1) (2) 3、（1)由 得是的矩估計量 (2)作似然函數(shù)取對數(shù)得 求導(dǎo)得令其等于零解得是的極大似然估計量。 4、 ,無偏估計5、 已知時，的置信度為的置信區(qū)間:查表得：，所以每桶奶粉平均凈重的置信區(qū)間

11、為。6、 未知時，的置信度為的置信區(qū)間:， 。查表得：，所以每人平均脈搏的置信區(qū)間為。7、 未知時，的置信度為的置信區(qū)間:，即， 。查表得：，所以飛機(jī)最大飛行速度方差的置信區(qū)間為。8、（1）用樣本均值作為每株梨樹平均產(chǎn)量的估計值，有所以每株梨樹平均產(chǎn)量的估計值為。（2）用樣本方差作為每株梨樹產(chǎn)量方差的估計值，有。所以每株梨樹產(chǎn)量方差的估計值為。（3）未知時，的置信度為的置信區(qū)間:查表得：，所以每株梨樹平均產(chǎn)量的置信區(qū)間為。（4）未知時，的置信度為的置信區(qū)間:，即查表得：，所以每株梨樹產(chǎn)量方差的置信區(qū)間為。9、(1) -0.3545, 2.5545 (2) 0.1767, 1.613610、（1

12、）作似然函數(shù)故的極大似然估計量為。的分布函數(shù)為 的概率密度函數(shù)為所以是的無偏估計量。（2）由于所以的矩估計量為。由于，所以是的無偏估計量。（3）故而，故因當(dāng)時，故比有效。11、 證略，是的最有效估計量.12、 證略，第八章 假設(shè)檢驗(yàn)1、按題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)是，。因?yàn)橐阎?，所以選取統(tǒng)計量拒絕域?yàn)椋寒?dāng)時，故拒絕域?yàn)橛嬎銟颖揪到y(tǒng)計量的觀測值為沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認(rèn)為。2、 按題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)是，。因?yàn)橐阎?，所以選取統(tǒng)計量拒絕域?yàn)椋寒?dāng)時，故拒絕域?yàn)榻y(tǒng)計量的觀測值為落入拒絕域，故拒絕原假設(shè)。即可以認(rèn)為這批新摩托車的平均壽命有顯著提高。3、 未知時，對的假設(shè)檢驗(yàn)所選用的統(tǒng)計量為拒絕域?yàn)?/p>

13、：當(dāng)時，故拒絕域?yàn)闃颖揪?，樣本均方差于是統(tǒng)計量的觀測值為沒有落入拒絕域，故在顯著性水平下接受原假設(shè)。4、（1）按題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)是，。這是未知時，對的假設(shè)檢驗(yàn)所選用的統(tǒng)計量為拒絕域?yàn)椋寒?dāng)時，故拒絕域?yàn)闃颖揪?，樣本方差于是統(tǒng)計量的觀測值為沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認(rèn)為。（2）按題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)是，。這是未知時，對的假設(shè)檢驗(yàn)所選用的統(tǒng)計量拒絕域?yàn)椋寒?dāng)時，故拒絕域?yàn)榻y(tǒng)計量的觀測值為沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認(rèn)為。5、 設(shè)第一批電子元件的電阻，第二批電子元件的電阻。由已給數(shù)據(jù)分別計算兩批電子元件電阻的樣本均值與樣本方差的觀測值，得，；，。（1） 按題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)是，。因

14、為，均未知，所以選取統(tǒng)計量拒絕域?yàn)椋寒?dāng)時，故拒絕域?yàn)榻y(tǒng)計量的觀測值為沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認(rèn)為兩批電子元件電阻的方差無顯著差異。（2） 按題意，要檢驗(yàn)的假設(shè)是，。因?yàn)?，均未知，由?）的結(jié)論知，所以選取統(tǒng)計量 拒絕域?yàn)椋?當(dāng)時，故拒絕域?yàn)榻y(tǒng)計量的觀測值為沒有落入拒絕域，故接受原假設(shè)。即可以認(rèn)為兩批電子元件電阻的均值無顯著差異。故接受原假設(shè)。即可以認(rèn)為兩批電子元件電阻的方差無顯著差異。概率統(tǒng)計模擬題一一、單項(xiàng)選擇題（本題滿分15分，每題3分）1、b；2、a；3、d；4、d；5、c二、填空題（本題滿分15分，每空3分）1、4/7；2、0.1；3、；4、；5、三、（本題滿分12分）解：

15、設(shè)電路不能正常工作，電池?fù)p壞，電池?fù)p壞，電池c損壞；（1） (2) 四、（本題滿分12分）解：（1），從而(2)當(dāng)時，當(dāng)時，(3)設(shè)隨機(jī)變量表示任取5只中壽命大于1500小時的電子管的只數(shù)。又設(shè)事件。令，則所求概率歸結(jié)為計算服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的概率：。如能求出，即可求得上面的概率。 故五、（本題滿分14分）解：（1）區(qū)域的面積 y01e2xy=1/xd的概率密度為（2） 、因，所以不獨(dú)立.（3）.六、（本題滿分12分）解：(1) 因?yàn)榱?，得是的矩估計量?2)作似然函數(shù)取對數(shù)得求導(dǎo)得所以似然函數(shù)關(guān)于是單調(diào)遞增函數(shù)，要使似然函數(shù)取最大值，只能在其參數(shù)空間中取最大，故是的極大似然估計量。七、（

16、本題滿分12分）解：由樣本得 ， .(1) 要檢驗(yàn)的假設(shè)為 檢驗(yàn)用的統(tǒng)計量 ， 拒絕域?yàn)椤?，落在拒絕域內(nèi)，故拒絕原假設(shè)，即不能認(rèn)為結(jié)果符合公布的數(shù)字12600c。(2) 要檢驗(yàn)的假設(shè)為 檢驗(yàn)用的統(tǒng)計量 ，拒絕域?yàn)?落在拒絕域內(nèi)，故拒絕原假設(shè)，即不能認(rèn)為測定值的方差不超過4。八、（本題滿分8分）解：設(shè)預(yù)備組織貨源噸，國家收入為萬元，國際市場的需求量為噸，則, 令所以當(dāng)時, 取到最大值。概率統(tǒng)計模擬題二一、填空題（本題滿分15分，每小題3分）1、；2、；3、2； 4、；5、；二、單項(xiàng)選擇題（滿分15分，每小題3分）1、 d；2、a；3、c；4、b；5、b三、（本題滿分12分） 解： 設(shè)“被調(diào)查的

17、客戶信用確實(shí)可靠”，“被調(diào)查的客戶被評為信用可靠”，由題設(shè)知 問題（1）要求，由全概率公式，有 問題（2）要求，由貝葉斯公式，有 四、（本題滿分14分） 解：由 得 。 因此密度函數(shù)為 ,所以分布函數(shù)為 五、（本題滿分10分）解：（1）由于誤差服從均勻分布,因此只要確定誤差的取值區(qū)間,就可以得到它的概率密度函數(shù)。當(dāng)小數(shù)點(diǎn)后第三位數(shù)字小于等于時,要舍去,這時產(chǎn)生的誤差;當(dāng)小數(shù)點(diǎn)后第三位數(shù)字大于等于時,要入,這時產(chǎn)生的誤差.這說明誤差的取值區(qū)間為,所以誤差的概率密度函數(shù)為 （2） 六、（本題滿分10分）解：將兩封信投到個信箱的總投法，而和的可能取值均為于是， 。同理可得故的聯(lián)合分布律及邊緣分布律為

18、01201/92/91/94/912/92/904/921/9001/94/94/91/91七、（本題滿分12分）解：,而樣本的一階原點(diǎn)矩為 ,由矩估計得 ,所以 似然函數(shù)為 ,取對數(shù)似然函數(shù),則有, 因此參數(shù)的似然估計量為 八、（本題滿分12分）解：這是檢驗(yàn)這塊土地面積即測量數(shù)據(jù)構(gòu)成的正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望是否為,則假設(shè)由樣本值可得 因?yàn)榉讲钗粗?所以構(gòu)造統(tǒng)計量 則,且拒絕域?yàn)?則的值不在拒絕域內(nèi),所以接受原假設(shè),即這塊土地的面積顯著為是成立的。 概率統(tǒng)計模擬題三一、填空題（本題滿分15分，每小題3分）1、0.18；2、0.8； 3、2；4、6；5、2二、單項(xiàng)選擇題（本題滿分15分，每小題3分）2、 d；2、a；3、c；4、b；5、a三、（本題滿分12分）解：設(shè)； （1） = （2）= 四、（本題