正弦定理、余弦定理的應(yīng)用

1、北師大版高中數(shù)學(xué)必修五正弦定理、余弦定理的應(yīng)用遼寧省北票市保國學(xué)校 叢日艷教學(xué)目的：1進(jìn)一步熟悉正、余弦定理內(nèi)容；2能夠應(yīng)用正、余弦定理進(jìn)行邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化；3能夠利用正、余弦定理判斷三角形的形狀；4能夠利用正、余弦定理證明三角形中的三角恒等式教學(xué)重點(diǎn)：利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互換時(shí)的轉(zhuǎn)化方向教學(xué)難點(diǎn): 三角函數(shù)公式變形與正、余弦定理的聯(lián)系教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)式1啟發(fā)學(xué)生在證明三角形問題或者三角恒等式時(shí)，要注意正弦定理、余弦定理的適用題型與所證結(jié)論的聯(lián)系，并注意特殊正、余弦關(guān)系的應(yīng)用，比如互補(bǔ)角的正弦值相等，互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)等；2引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三角恒等式的證明或者三角形形狀的判斷，重在發(fā)

2、揮正、余弦定理的邊角互換作用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：正弦定理：余弦定理： ，二、講解范例：例1在任一abc中求證：證：左邊=0=右邊例2 在abc中，已知，b=45 求a、c及c解一：由正弦定理得：b=4590 即ba a=60或120當(dāng)a=60時(shí)c=75 當(dāng)a=120時(shí)c=15 解二：設(shè)c=x由余弦定理 將已知條件代入，整理：解之： 當(dāng)時(shí) 從而a=60 ，c=75 當(dāng)時(shí)同理可求得：a=120 ，c=15例3 在abc中，bc=a, ac=b, a, b是方程的兩個(gè)根，且2cos(a+b)=1 求（1）角c的度數(shù) （2）ab的長度 （3）abc的面積解：（1）cosc=cosp-(a+b)=-

3、cos(a+b)=- c=120（2）由題設(shè)： ab2=ac2+bc2-2acbcosc 即ab=（3）sabc=例4 如圖，在四邊形abcd中，已知adcd, ad=10, ab=14, bda=60, bcd=135 求bc的長解：在abd中，設(shè)bd=x則即 整理得： 解之： （舍去）由余弦定理： 例5 abc中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 ; 2求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積解：1設(shè)三邊 且c為鈍角 解得 或3 但時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去當(dāng)時(shí) 2設(shè)夾c角的兩邊為 s 當(dāng)時(shí)s最大=例6 在abc中，ab5，ac3，d為bc中點(diǎn)，且ad4，求

4、bc邊長分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè)bc為后，建立關(guān)于的方程而正弦定理涉及到兩個(gè)角，故不可用此時(shí)應(yīng)注意余弦定理在建立方程時(shí)所發(fā)揮的作用因?yàn)閐為bc中點(diǎn)，所以bd、dc可表示為，然用利用互補(bǔ)角的余弦互為相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程解：設(shè)bc邊為，則由d為bc中點(diǎn)，可得bddc，在adb中，cosadb在adc中，cosadc又adbadc180cosadbcos（180adc）cosadc解得，2, 所以，bc邊長為2評(píng)述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會(huì)互補(bǔ)角的余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型另外，對(duì)于本節(jié)的例2，也可考慮上述性質(zhì)的應(yīng)用來求解

5、sina，思路如下：由三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)可得，設(shè)bd5，dc3，則由互補(bǔ)角adc、adb的余弦值互為相反數(shù)建立方程，求出bc后，再結(jié)合余弦定理求出cosa，再由同角平方關(guān)系求出sina三、課堂練習(xí)：1半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為025，求此三角形三邊長的乘積解：設(shè)abc三邊為a，b，c則abc又，其中r為三角形外接圓半徑, abc4rsabc410251所以三角形三邊長的乘積為1評(píng)述：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：，其中r為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式abc發(fā)生聯(lián)系，對(duì)abc進(jìn)行整體求解2在abc中，已知角b45，d是bc邊上一點(diǎn)，ad5，ac7，dc3，

6、求ab解：在adc中，cosc又0c180，sinc在abc中， ab評(píng)述：此題在求解過程中，先用余弦定理求角，再用正弦定理求邊，要求學(xué)生注意正、余弦定理的綜合運(yùn)用3在abc中，已知cosa，sinb，求cosc的值解：cosacos45，0a 45a90, sinasinbsin30，0b 0b30或150b180若b150，則ba180與題意不符 0b30 cosbcos（ab）cosacosbsinasinb又c180（ab）cosccos180（ab）cos（ab）評(píng)述：此題要求學(xué)生在利用同角的正、余弦平方關(guān)系時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知的三角函數(shù)值具體確定角的范圍，以便對(duì)正負(fù)進(jìn)行取舍，在確定角的范

7、圍時(shí)，通常是與已知角接近的特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行比較四、小結(jié) 通過本節(jié)學(xué)習(xí)，我們進(jìn)一步熟悉了三角函數(shù)公式及三角形的有關(guān)性質(zhì)，綜合運(yùn)用了正、余弦定理求解三角形的有關(guān)問題，要求大家注意常見解題方法與解題技巧的總結(jié)，不斷提高三角形問題的求解能力五、課后作業(yè)：課后記： 1正、余弦定理的綜合運(yùn)用余弦定理是解斜三角形中用到的主要定理，若將正弦定理代入得：sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa這是只含有三角形三個(gè)角的一種關(guān)系式，利用這一定理解題，簡捷明快，舉例:例1在abc中，已知sin2bsin2csin2asinasinc，求b的度數(shù)解：由定理得sin2bsin2asin2c2sina

8、sinccosb，2sinasinccosbsinasincsinasinc0 cos b150例2求sin210cos240sin10cos40的值解：原式sin210sin250sin10sin50在sin2asin2bsin2c2sinbsinccosa，令b10，c50，則a120sin2120sin210sin2502sin10sin50cos120sin210sin250sin10sin50（）2例3在abc中，已知2cosbsincsina，試判定abc的形狀解：在原等式兩邊同乘以sina得：2cosbsinasincsin2a，由定理得sin2asin2csin2sin2a， sin2csin2bbc故abc是等腰三角形2一題多證:例4在abc中已知a2bcosc，求證：abc為等腰三角形證法一：欲證abc為等腰三角形可證明其中有兩角相等，因而在已知條件中化去邊元素，使只剩含角的三角函數(shù)由正弦定理得a2bcosc，即2coscsinbsinasin（bc）sinbcosccosbsincsinbcosccosbsinc0 即sin（bc）0，bc（）b、c是三角形的內(nèi)角，b