關(guān)于調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性的幾種簡單證明new

1、關(guān)于調(diào)和級數(shù)的發(fā)散性的幾種簡單證明摘 要：本文主要介紹幾種新的方法來證明的發(fā)散關(guān)鍵詞： 、發(fā)散、證明 中圖分類號：O221.2on Several Simply Methods Proof of The Divergency of Yue chunhongCollege of Mathematics and Computer science, Chongqing Normal university , Chongqing 400047 Abstract: Several new methods to prove to reconcile the divergent sense in this

2、paperKey words: ; pivergency; proof 1 引言 調(diào)和級數(shù)在級數(shù)中扮演著重要的角色，它通常作為去判斷另外一個(gè)級數(shù)的發(fā)散的標(biāo)準(zhǔn)，許多級數(shù)的證明都與它有關(guān)。因此，對調(diào)和級數(shù)的斂散性的研究是非常重要的，尤其對它的證明更是極其重要的。它的發(fā)散性的證明在教材和一些參考書中都有所證明。許多的人都在力求尋找新的證明方法。本文在文獻(xiàn)5中的相關(guān)結(jié)論下,給出了5種新的證明方法。在通過教材與文獻(xiàn)的中相關(guān)的內(nèi)容的啟發(fā)，得出了另外幾種證明方法。-2 預(yù)備知識下面先給出證明中要用到的相關(guān)定理:定理2.1 正項(xiàng)級數(shù)的基本定理： 若正項(xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列無上界，則此級數(shù)發(fā)散到+。定理2.2 若，

3、則級數(shù)與級數(shù)同時(shí)收斂，同時(shí)發(fā)散。定理2.3 （正項(xiàng)級數(shù)的比較判別法）若兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)和之間成立著關(guān)系：存在常數(shù)，使 或自某項(xiàng)以后（即存在，當(dāng)時(shí)）成立以上關(guān)系式，則有（1）當(dāng)級數(shù)收斂時(shí)，級數(shù)亦收斂；（2）當(dāng)級數(shù)發(fā)散時(shí)，級數(shù)亦發(fā)散。定理2.4 （庫默爾判別法）設(shè)為正項(xiàng)級數(shù)，是使級數(shù)發(fā)散的正數(shù)列并設(shè) ，若存在正整數(shù)，使，則級數(shù)收斂；若,，則級數(shù)發(fā)散。定理2.5 （高斯判別法）設(shè)是正項(xiàng)級數(shù)其中與為常數(shù)，而為有界量，,那么當(dāng)或，時(shí)，收斂；當(dāng)或，時(shí)，發(fā)散。定理2.6 （kummer判別法） 假設(shè)， 則 （1）若,使得 ，則級數(shù)收斂 （2）若發(fā)散，且，則級數(shù)發(fā)散。定理2.7 （拉貝判別法） 為正項(xiàng)級數(shù)，且存在

4、某正數(shù)及常數(shù)， (1) 時(shí) ， 則級數(shù)收斂； (2) 時(shí) ，則級數(shù)發(fā)散。定理2.8 設(shè)為單減正值函數(shù)，又設(shè)，則 當(dāng)時(shí)，級數(shù)收斂； 當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散。 3 用定理證明結(jié)論證法1：定理2.1 因?yàn)?顯然是一個(gè)單調(diào)遞增數(shù)列，且無上界，故發(fā)散。證法2：定理2.2 因?yàn)?在中 與的斂散性相同 又因?yàn)?故是發(fā)散到。證法3：（反證法）假設(shè)是收斂的，設(shè)，顯然，則, 所以 而實(shí)際上 故矛盾，因此假設(shè)不成立，即是發(fā)散的。證法4：定理2.3 因?yàn)椴坏仁匠闪⒃O(shè)的部分和為，則 即是發(fā)散的，故發(fā)散。證法5：等價(jià)性因?yàn)?由證法4可知發(fā)散。故發(fā)散證法6：定理2.4令，令所以 由積分判別法知：是發(fā)散的。設(shè) 即對都有 成立，故發(fā)散

5、。證法7：定理2.5 因?yàn)?所以 即 ， 由定理可知：發(fā)散。證法8：定理2.6 令，由證法6可知： = =故發(fā)散。證法9：定理2.7 令，則有 對上式都成立，故發(fā)散。證法10：定理2.8 設(shè)，根據(jù)定理2.8，則有 顯然 故 級數(shù)發(fā)散。 4 結(jié)束語調(diào)和級數(shù)是一類重要的級數(shù)，證明它發(fā)散的方法有多種。本文就從一些新的角度（主要是構(gòu)造思想）出發(fā)，運(yùn)用相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)論給出了一些新的證明方法。但是本文并沒有把除常規(guī)法以外的方法窮盡，這是本文的局限性。希望廣大的愛好者能夠給出新的證明方法，完善它的證明方法。參考文獻(xiàn)1陳傳璋等，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析下冊（第二版）北京： 高等教育出版社，1983.2 陳傳璋等，復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊（第三版）北京：高等教育出版社，1983.3劉三陽等，數(shù)學(xué)分析選講，.北京：北京科學(xué)出版社，2007.4明清河， 數(shù)學(xué)分析的思想與方法，濟(jì)南：山東大學(xué)出版社，2004.5大學(xué)數(shù)學(xué)名師導(dǎo)學(xué)叢書， 數(shù)學(xué)分析名師導(dǎo)學(xué)（下）北京：中國水利水電出版社，2004.6裴禮文 ， 數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法， 北京：高等教育出版社,1993.7石秀文,“調(diào)和級數(shù)發(fā)散性”證明中體現(xiàn)出的思維策略 A.邢臺師范高專學(xué)報(bào)，17（2），3334，2002.8夏曉峰，發(fā)散性的幾種證明 A .本溪冶金高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào)，2（4），4445，2000.9張竟成，關(guān)于調(diào)和級數(shù)發(fā)散性的幾