高三不等式復(fù)習(xí)(教師版)

1、2010屆高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)不等式一、本章知識結(jié)構(gòu)：無理不等式不 等 式不等式的性質(zhì)均值不等式不等式的解法比較法綜合法分析法放縮法反證法換元法函數(shù)法不等式的證明有理不等式超越不等式絕對值不等式一元一次不等式(組)一元二次不等式(組)整式高次不等式(組)分式高次不等式(組)指數(shù)不等式(組)對數(shù)不等式(組)三角不等式(組)不等式的應(yīng)用函數(shù)的定義域、值域與單調(diào)性取值范圍問題最值問題方程根的分布數(shù)列不等式、函數(shù)不等式的證明實(shí)際應(yīng)用問題線性規(guī)劃二、考試內(nèi)容(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明。(2)掌握兩個(不擴(kuò)展到三個)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。（即基本不等式的應(yīng)用）(3)

2、掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。(4)掌握簡單不等式的解法。(5)理解不等式a-ba+ba+b。三、重點(diǎn)知識回顧1、 不等式的性質(zhì)是證明不等式和解不等式的基礎(chǔ)不等式的基本性質(zhì)有：（1） 對稱性：abbb，bc，則ac；（3） 可加性：aba+cb+c；（4） 可乘性：ab，當(dāng)c0時，acbc；當(dāng)c0時，acb，cd，則a+cb+d；（2） 異向相減：，.（3） 正數(shù)同向相乘：若ab0，cd0，則acbd。（4）乘方法則：若ab0，nn+，則；（5）開方法則：若ab0，nn+，則；（6）倒數(shù)法則：若ab0，ab，則。 2、基本不等式（或均值不等式）利用完全平方式的性質(zhì)，可得a2+b2

3、2ab（a，br），該不等式可推廣為a2+b22|ab|；或變形為|ab|；當(dāng)a，b0時，a+b或ab.3、不等式的證明（1） 不等式證明的常用方法：比較法，公式法，分析法，反證法，換元法，放縮法；（2） 在不等式證明過程中，應(yīng)注重與不等式的運(yùn)算性質(zhì)聯(lián)合使用；（3） 證明不等式的過程中，放大或縮小應(yīng)適度。4、 不等式的解法解不等式是尋找使不等式成立的充要條件，因此在解不等式過程中應(yīng)使每一步的變形都要恒等。一元二次不等式（組）是解不等式的基礎(chǔ)，一元二次不等式是解不等式的基本題型。一元二次不等式與相應(yīng)的函數(shù)，方程的聯(lián)系 求一般的一元二次不等式或的解集，要結(jié)合的根及二次函數(shù)圖象確定解集 對于一元二次

4、方程，設(shè)，它的解按照可分為三種情況相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系也分為三種情況因此，我們分三種情況討論對應(yīng)的一元二次不等式的解集，列表如下：含參數(shù)的不等式應(yīng)適當(dāng)分類討論。5、不等式的應(yīng)用相當(dāng)廣泛，如求函數(shù)的定義域，值域，研究函數(shù)單調(diào)性等。在解決問題過程中，應(yīng)當(dāng)善于發(fā)現(xiàn)具體問題背景下的不等式模型。用基本不等式求分式函數(shù)及多元函數(shù)最值是求函數(shù)最值的初等數(shù)學(xué)方法之一。研究不等式結(jié)合函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想，等價變換思想等。6、線性規(guī)劃問題的解題方法和步驟解決簡單線性規(guī)劃問題的方法是圖解法，即借助直線（線性目標(biāo)函數(shù)看作斜率確定的一族平行直線）與平面區(qū)域（可行域）有交點(diǎn)時，直線在y軸上的截距的最大值

5、或最小值求解。它的步驟如下：（1）設(shè)出未知數(shù)，確定目標(biāo)函數(shù)。（2）確定線性約束條件，并在直角坐標(biāo)系中畫出對應(yīng)的平面區(qū)域，即可行域。（3）由目標(biāo)函數(shù)zaxby變形為yx，所以，求z的最值可看成是求直線yx在y軸上截距的最值（其中a、b是常數(shù)，z隨x，y的變化而變化）。（4）作平行線：將直線axby0平移（即作axby0的平行線），使直線與可行域有交點(diǎn)，且觀察在可行域中使最大（或最?。r所經(jīng)過的點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)。（5）求出最優(yōu)解：將（4）中求出的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，從而求出z的最大（或最?。┲?。7、絕對值不等式（1）xa（a0）的解集為：xaxa；xa（a0）的解集為：xxa或xa。（2）四、考點(diǎn)

6、剖析考點(diǎn)一：不等關(guān)系與不等式【內(nèi)容解讀】通過具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等（組）的現(xiàn)實(shí)背景；了解不等式的有關(guān)概念及其分類，掌握不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用。養(yǎng)成推理必有依據(jù)的良好習(xí)慣，不要想當(dāng)然，不要錯漏不等式性質(zhì)使用的條件，如，中，注意后面大于的條件，出題者往往就在這里出一些似是而非的題目來迷惑考生【命題規(guī)律】高考中，對本節(jié)內(nèi)容的考查，主要放在不等式的性質(zhì)上，題型多為選擇題或填空題，屬容易題。例、設(shè)，若，則下列不等式中正確的是（ ）a b. c. d. 解：由知, ,所以,故選c.點(diǎn)評：本題考查絕對值的概念和絕對值的性質(zhì)，如果用特殊值法也能求解。例2、已知為非零實(shí)

7、數(shù)，且，則下列命題成立的是( )a、 b、 c、 d、解：取a3，b，由（）（）（）都錯，故（c）。點(diǎn)評：特殊值法是解選擇題的一種技巧，在應(yīng)試時要時刻牢記有這么一種方法。這里a，b沒有說明符號，注意不要錯用性質(zhì)?？键c(diǎn)二：一元二次不等式及其解法【內(nèi)容解讀】會從實(shí)際情況中抽象出一元二次不等式的模型，了解一元二次不等式與函數(shù)方程的聯(lián)系；會解一元二次不等式，會由一元二次不等式的解求原不等式；用同解變形解不等式，分類解不等式；對解含參的不等式，對參數(shù)進(jìn)行討論；注意數(shù)形結(jié)合，會通過函數(shù)圖象來解不等式（1）用圖象法解一元二次不等式教材中在研究一元二次不等式的解法時，是結(jié)合二次函數(shù)的圖象，利用對應(yīng)的一元二次方

8、程的解得出的，所以我們學(xué)習(xí)一元二次不等式的解法時，應(yīng)從二次函數(shù)圖象出發(fā)加以理解（2）弄清一元二次方程、二次函數(shù)、一元二次不等式三者之間的關(guān)系二次函數(shù)是研究自變量x與函數(shù)值y之間的對應(yīng)關(guān)系，一元二次方程的解就是自變量為何值時，函數(shù)值的這一情況；而一元二次不等式的解集是自變量變化過程中，何時函數(shù)值（）或（）的情況一元二次方程的解對研究二次函數(shù)的函數(shù)值的變化是十分重要的，因?yàn)榉匠痰膬筛呛瘮?shù)值由正變負(fù)或由負(fù)變?yōu)檎姆纸琰c(diǎn)，也是不等式解的區(qū)間的端點(diǎn)學(xué)習(xí)過程中，只有搞清三者之間的聯(lián)系，才能正確認(rèn)識與理解一元二次不等式的解法【命題規(guī)律】高考命題中，對一元二次不等式解法的考查，若以選擇題、填空題出現(xiàn)，則會對

9、不等式直接求解，或經(jīng)常地與集合、充要條件相結(jié)合，難度不大。若以解答題出現(xiàn)，一般會與參數(shù)有關(guān)，或?qū)?shù)分類討論，或求參數(shù)范圍，難度以中檔題為主。例、不等式的解集是（ ）abcd解：原不等式可化為x2x，即x（x），所以x或x，選（）點(diǎn)評：這是一道很簡單的一元二次不等式的試題，只要知道它的解法即可例、“”是“”的什么條件（ ）a充分而不必要 b必要而不充分 c充要 d既不充分也不必要解：由|x2，得：2x2，由得：2x3，2x2成立，則2x3一定成立，反之則不一定成立，所以，選（）。點(diǎn)評：本題是不等式與充分必要條件結(jié)合的綜合考查題，先解出不等式的解集來，再由充分必要條件的判斷方法可得。例、不等式的

10、解集為 解：原不等式變?yōu)?，由指?shù)函數(shù)的增減性，得：，所以填：。點(diǎn)評：不等式與指數(shù)函數(shù)交匯、不等式與對數(shù)函數(shù)交匯、不等式與數(shù)列交匯是經(jīng)常考查的內(nèi)容，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。例6、已知集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：設(shè)，它的圖象是一條開口向上的拋物線（1）若，滿足條件，此時，即，解得；（2）若，設(shè)拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且，欲使，應(yīng)有，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，得即解得綜上可知的取值范圍是點(diǎn)評：本題是一元二次不等式與集合結(jié)合的綜合題，考查含參數(shù)一元二次不等式的解法，注意分類討論思想的應(yīng)用，分類時做到不遺漏?？键c(diǎn)三：簡單的線性規(guī)劃【內(nèi)容解讀】了解二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域和線性規(guī)劃的意義；了解線性約束條件、線

11、性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實(shí)際問題，以提高解決實(shí)際問題的能力生產(chǎn)實(shí)際中有許多問題都可以歸納為線性規(guī)劃問題在線性規(guī)劃的實(shí)際問題中，主要掌握兩種類型：一是給定一定數(shù)量的人力、物力資源，問怎樣運(yùn)用這些資源，能使完成的任務(wù)量最大，收到的效益最大；二是給定一項(xiàng)任務(wù)，問怎樣安排，能使完成這項(xiàng)任務(wù)耗費(fèi)的人力、物力資源最小【命題規(guī)律】線性規(guī)劃問題時多以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，題型以容易題、中檔題為主，考查平面區(qū)域的面積、最優(yōu)解的問題；隨著課改的深入，近年來，以解答題的形式來考查的試題也時有出現(xiàn)，考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。例7、

12、若為不等式組表示的平面區(qū)域，則當(dāng)從2連續(xù)變化到1時，動直線 掃過中的那部分區(qū)域的面積為 ( )ab1 cd5解：如圖知區(qū)域的面積是oab去掉一個小直角三角形。（陰影部分面積比1大，比小,故選c,不需要算出來） 點(diǎn)評：給出不等式組，畫出平面區(qū)域，求平面區(qū)域的面積的問題是經(jīng)?？疾榈脑囶}之一，如果區(qū)域是不規(guī)節(jié)圖形，將它分割成規(guī)節(jié)圖形分別求它的面積即可。例8、若變量x,y滿足，則z=3x+2y的最大值是 ( ) a90 b. 80 c. 70 d. 40解:做出可行域如圖所示.目標(biāo)函數(shù)化為：y，令z，畫y，及其平行線，如右圖，當(dāng)它經(jīng)過兩直線的交點(diǎn)時，取得取大值。解方程組,得.所以,故答c.點(diǎn)評：求最優(yōu)

13、解，畫出可行域，將目標(biāo)函數(shù)化為斜截式，再令z，畫它的平行線，看y軸上的截距的最值，就是最優(yōu)解。例9、本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為元/分鐘和200元/分鐘，規(guī)定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？解：設(shè)公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為分鐘和分鐘，總收益為元，由題意得目標(biāo)函數(shù)為0100200300100200300400500yxlm二元一次不等式組等價

14、于作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域如圖：作直線，即平移直線，從圖中可知，當(dāng)直線過點(diǎn)時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值聯(lián)立解得點(diǎn)的坐標(biāo)為（元）答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元點(diǎn)評：用線性規(guī)劃的方法解決實(shí)際問題能提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，隨著課改的深入，這類試題應(yīng)該是高考的熱點(diǎn)題型之一。考點(diǎn)四：基本不等關(guān)系【內(nèi)容解讀】了解基本不等式的證明過程，會用基本不等式解決簡單的最值問題，理解用綜合法、分析法、比較法證明不等式。利用基本不等式可以求函數(shù)或代數(shù)式的最值問題：（1）當(dāng)都為正數(shù)，且為定值時，有（定值），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立

15、，此時有最小值；（2）當(dāng)都為正數(shù)，且為定值時，有（定值），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時有最大值創(chuàng)設(shè)基本不等式使用的條件，合理拆分項(xiàng)或配湊因式是經(jīng)常用的解題技巧，而拆與湊的過程中，一要考慮定理使用的條件（兩數(shù)都為正）；二要考慮必須使和或積為定值；三要考慮等號成立的條件（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立），它具有一定的靈活性和變形技巧，高考中常被設(shè)計為一個難點(diǎn)【命題規(guī)律】高考命題重點(diǎn)考查均值不等式和證明不等式的常用方法，單純不等式的命題，主要出現(xiàn)在選擇題或填空題，一般難度不太大。例10、已知，且，則的最大值是 解： ，當(dāng)且僅當(dāng)x=4y=時取等號.點(diǎn)評：本題考查基本不等式求最值的問題，注意變形后使用基本不等

16、式。例11、已知（ ）(a)(b) (c)(d) 解：由,且， 。點(diǎn)評：本小題主要考查不等式的重要不等式知識的運(yùn)用。例12、已知，則的最小值 解：由得，代入得，當(dāng)且僅當(dāng)3 時取“”點(diǎn)評：本小題考查二元基本不等式的運(yùn)用題目有有三個未知數(shù)，通過已知代數(shù)式，對所求式子消去一個未知數(shù)，用基本不等式求解。考點(diǎn)五：絕對值不等式【內(nèi)容解讀】掌握絕對值不等式xa，xa（a0）的解法，了解絕對值不等式與其它內(nèi)容的綜合?！久}規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容多以選擇、填空題為主，有時與充分必要條件相結(jié)合來考查，難度不大。例13、“|x1|2”是“x3”的（）a.充分不必要條件b.必要不充分條件c.充分必要條件d.即不充分也不必要條

17、件解：由|x1|2得x，在x的數(shù)都有x，但當(dāng)x時，不一定有x，如x，所以選（）點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，充分條件必要條件的解法，可以用特殊值法來驗(yàn)證，充分性與必要性的成立。例14、不等式的解集為( )（）（）（）（）解： 即， ， 故選a；點(diǎn)評：此題重點(diǎn)考察絕對值不等式的解法；準(zhǔn)確進(jìn)行不等式的轉(zhuǎn)化去掉絕對值符號為解題的關(guān)鍵，可用公式法，平方法，特值驗(yàn)證淘汰法?？键c(diǎn)六：不等式的綜合應(yīng)用【內(nèi)容解讀】用不等式的性質(zhì)、基本不等式、一元二次不等式等內(nèi)容解決一些實(shí)際問題，如求最值，證明不等式等。【命題規(guī)律】不等式的綜合應(yīng)用多以應(yīng)用題為主，屬解答題，有一定的難度。例15、如圖，某單位用木料制作如圖所

18、示的框架,框架的下部是邊長分別為(單位:米)的矩形,上部是斜邊長為的等腰直角三角形，要求框架圍成的總面積為8平方米. （）求的關(guān)系式，并求的取值范圍；（）問分別為多少時用料最省?解：（）由題意得： 4分 （）設(shè)框架用料長度為，則 當(dāng)且僅當(dāng)滿足 答：當(dāng) 米，米時，用料最少. 點(diǎn)評：本題考查利用基本不等式解決實(shí)際問題，是面積固定，求周長最省料的模型，解題時，列出一個面積的等式，代入周長所表示的代數(shù)式中，消去一個未知數(shù)，這是常用的解題方法。例16、某化工企業(yè)2007年底投入100萬元，購入一套污水處理設(shè)備該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備

19、老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元（1）求該企業(yè)使用該設(shè)備年的年平均污水處理費(fèi)用（萬元）；（2）問為使該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低，該企業(yè)幾年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備？ 解：（1）即（）； （2）由均值不等式得：（萬元） 當(dāng)且僅當(dāng)，即時取到等號答：該企業(yè)10年后需要重新更換新設(shè)備點(diǎn)評：本題又是基本不等式的一個應(yīng)用，第一問求出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵，第二問難度不大。考點(diǎn)七：不等式的證明【內(nèi)容解讀】證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、題斷的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特

20、點(diǎn)比較法的一般步驟是：作差(商)變形判斷符號(值)【命題規(guī)律】不等式的證明多以解答題的形式出現(xiàn)，屬中等偏難的試題。例7、已知a, b都是正數(shù)，并且a b，求證：a5 + b5 a2b3 + a3b2證明：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 ) = a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)a, b都是正數(shù)，a + b, a2 + ab + b2 0又a b，(a - b)2 0 (a + b)(a -

21、 b)2(a2 + ab + b2) 0即：a5 + b5 a2b3 + a3b2點(diǎn)評：作差相減法是證明不等式的常用方法之一，通過作差比較差的結(jié)果的符號是大于0還是小于0，另外，作商也是經(jīng)常使用的方法。例18、已知，求證證明：只需證：即證：成立原不等式成立.點(diǎn)評：用分析法證明不等式也是常用的證明方法，通過分析法，能夠找到證明的思路。例19、已知m，n為正整數(shù).（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x-1時，(1+x)m1+mx；（）對于n6，已知，求證，m=1,1,2，n；（）求出滿足等式3n+4m+(n+2)m=(n+3)n的所有正整數(shù)n.解：（）證：當(dāng)x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸

22、納法證明：當(dāng)x-1，且x0時，m2,(1+x)m1+mx. (i)當(dāng)m=2時，左邊1+2x+x2,右邊1+2x，因?yàn)閤0,所以x20，即左邊右邊，不等式成立；（ii）假設(shè)當(dāng)m=k(k2)時，不等式成立，即（1+x）k1+kx,則當(dāng)m=k+1時，因?yàn)閤-1,所以1+x0.又因?yàn)閤0,k2,所以kx20.于是在不等式（1+x）k1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,所以（1+x）k+11+(k+1)x,即當(dāng)mk+1時，不等式也成立.綜上所述，所證不等式成立.()證：當(dāng)而由（）， （）解：假設(shè)存在正整數(shù)成立，即有（）+1.又

23、由（）可得（）+與式矛盾，故當(dāng)n6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n.故只需要討論n=1,2,3,4,5的情形；當(dāng)n=1時，34，等式不成立；當(dāng)n=2時，32+4252，等式成立；當(dāng)n=3時，33+43+5363，等式成立；當(dāng)n=4時，34+44+54+64為偶數(shù)，而74為奇數(shù)，故34+44+54+6474,等式不成立；當(dāng)n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立.綜上，所求的n只有n=2,3.點(diǎn)評：本題考查數(shù)學(xué)歸納法、不等式的基本、反證法等內(nèi)容，難度較大。五、方法總結(jié)與2010年高考預(yù)測（一）方法總結(jié)1熟練掌握不等式的基本性質(zhì)，常見不等式(如一元二次不等式，絕對值不等式等 )的解法，不等式在實(shí)際問題