必修五不等式專題附加標(biāo)準(zhǔn)答案解析

1、不等式專題 一共分為6部分 1. 不等關(guān)系與不等式 2. 元二次不等式及其解法 3. 二元一次不等式組與平面區(qū)域 4. 線性規(guī)劃與實際應(yīng)用 5. 線性規(guī)劃與基本不等式 6. 不等式綜合復(fù)習(xí) 第一部分不等關(guān)系與不等式 弼識點符號法則與比較大岀 實數(shù)的符號： 任意x R，貝y x 0（ x為正數(shù)）、x 0或x 0（ x為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有 種成立。 兩實數(shù)的加、乘運算結(jié)果的符號具有以下符號性質(zhì)： 兩個同號實數(shù)相加，和的符號不變 符號語言：a 0,b0 a b 0 ； a 0,b0 a b 0 兩個同號實數(shù)相乘，積是正數(shù) 符號語言：a 0,b0 ab 0 ； a 0,b0 ab 0 兩個異號實數(shù)

2、相乘，積是負(fù)數(shù) 符號語言：a 0,b0 ab 0 任何實數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)， o的平方為o 符號語言：x R x2 0, x 0 x2 0. 比較兩個實數(shù)大小的法則： 對任意兩個實數(shù)a、b a b 0 a b ； a b 0 a b ； a b 0 a b. 對于任意實數(shù)a、b,a b,a b,a b三種關(guān)系有且只有一種成立。 要點詮釋：這三個式子實質(zhì)是運用實數(shù)運算來比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系。它是本章的基 礎(chǔ)，也是證明不等式與解不等式的主要依據(jù)。 I例題展示 1、某人有樓房一幢，室內(nèi)面積共 180m2，擬分割成大、小兩類房間作為旅游客房，大 房間面積為18m2， 可住游客5人，每名游客每天住宿費

3、40元；小房間每間面積為15m2，可住游客3人, 每名游客每天住宿費 50元；裝修大房間每間需要 1000元，裝修小房間每間需要 600元， 如果他只能籌款8000元用于裝修，試寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式 【解析】假設(shè)裝修大、小客房分別為 x間，y間，根據(jù)題意，應(yīng)由下列不等關(guān)系： （1） 總費用不超過 8000 元 （2） 總面積不超過 2 180m2 ； （3） 大、小客房的房間數(shù)都為非負(fù)數(shù)且為正整數(shù) 即有： 1000 x 600y 8000 5x 3y 40 18x 15y 180 6x 5y 60 *即 * x 0 (x N ) x 0 (x N ) y 0 (y N ) y 0

4、(y N*) 此即為所求滿足題意的不等式組 變式訓(xùn)練3 1、某種雜志原以每本 2.5元的價格銷售，可以售出 8萬本。據(jù)市場調(diào)查，若單價每提 高0.1元，銷售量就可能相應(yīng)減少2000本。若把提價后雜志的定價設(shè)為x元，怎樣用不等 式表示銷售的總收入仍不低于20萬元呢？ x 2 5 【答案】設(shè)雜志社的定價為x元，則銷售的總收入為(8 0 2)x萬元，那么不等關(guān)系銷 0.1 售的總收入仍不低于 20萬元”可以表示為不等式 x 2 5 (8 0.2)x 20 0.1 2、某礦山車隊有 4輛載重為10 t的甲型卡車和7輛載重為6 t的乙型卡車，且有 9名 駕駛員此車隊每天至少要運 360 t礦石至冶煉廠已

5、知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙 型卡車每輛每天可往返 8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式. 解析：設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛. 根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系： (1)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)； 車隊每天至少要運 360 t礦石； (3)甲型卡車不能超過 4輛，乙型卡車不能超過 7輛. 用下面的關(guān)于x，y的不等式表示上述不等關(guān)系即可， x y 9 x y 9 10 6x 6 8y 360，即 5x 4y 30 0 x 4,x N 0 x 4, x N 0 y 7,x N 0 y 7, x N 弼識點二：不等式的性質(zhì) 不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運算性質(zhì)兩部分 基

6、本性質(zhì)有： (1)對稱性：ab bb, bc ac 可乘法則: a b0 ,c d0 a c b d0 (3)可加性： a b a c b c (c R) c 0 ac bc (4)可乘性： ab， c 0 ac bc c 0 ac bc 運算性質(zhì)有： (1)可加法則: a b, c d a c b d 可乘方性：a b 0, nN an bn 0 可開方性：a b 0,n N ,n 1 n.a nb 要點詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù) 擁展示： 1、對于實數(shù)a,b,c判斷以下命題的真假 (1) 若 ab,貝U acbc2,則 ab; (3) 若 ababb2; (4) 若 ab|b

7、|; 1 1 (5) 右 ab, ,則 a0, bbc2,所以c工0,從而c20，故原命題為真命題。 a b (3) 因為，所以a2ab a 0 a b匕 又，所以abb2 b 0 綜合得a2abb2，故原命題為真命題. (4) 兩個負(fù)實數(shù)，絕對值大的反而小，故原命題為真命題. a b a b 0 5)因為 1 1 ，所以 1 1 0 a b a b b a 0 所以 b a ，從而 abb，所以a0, bv0)， 則船在流水中在甲地和乙地間來回行駛一次的時間 2uS u2 v2 平均速度u 2S t 2 2 u v u u 因此，船在流水中來回行駛一次的平均速度與船在靜水中的速度不相等，平均

8、速度小于船在靜水中的 速度。 變式訓(xùn)慕 1、若 a0b a, cv dv 0，則下列命題：(1)adbe; a b (2) 0 ; (3)a c b d; (4)a (d c) b(d c)中能成立 d c 的個數(shù)是().C A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、若abb且 bc，貝U ac （實質(zhì)是不等式的傳遞性）一般選擇0或1為中間量. 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小 若兩個式子具有相同的函數(shù)結(jié)構(gòu)，可以利用相應(yīng)的基本函數(shù)的單調(diào)性比較大小 作差比較法的步驟: 第一步：作差; 第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將 差”化為積”; 第三步：定號，就是確定差是大于、等于還是小于 號

9、, 最后下結(jié)論。 要點詮釋: 三步一結(jié)論”。這里 定號”是目的， 變形”是關(guān)鍵過程。 例題展示 、 已知a, b, c是實數(shù)，試比較 a2 + b2+ c2與ab+ bc+ ca的大小. 1 根據(jù)實數(shù) 【思路點撥】此題屬于兩代數(shù)式比較大小，實際上是比較它們的值的大小，可以作差，然后展開，合 并同類項之后，判斷差值正負(fù)(注意是指差的符號，至于差的值究竟是多少，在這里無關(guān)緊要 )。 運算的符號法則來得岀兩個代數(shù)式的大小。比較兩個代數(shù)式大小的問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)運算符號問題。 【解析】t a2 b2 c2 (ab be ca) 1 2 2 2 =(a b) (b c) (c a) 0， 2 當(dāng)且僅當(dāng)a=

10、b = c時取等號. -a2+ b2+ c2為b + bc + ca. 亠、1 1亠 2、已知 a b(ab 0), 試比較一和 的大小。 a b 1 1 b a 【解析】- a b ab t a b 即 b a 0， 當(dāng)ab 0時 b a 0 1 1 ab a b 當(dāng)ab 0時b a 0，- 1 ab a b 已知：a、b R 5 且a a b,比較a b 為abba的大小 【思路點撥】本題是兩指數(shù)式比較大小，如果設(shè)想作差法，很明顯很難判斷符號，由指數(shù)式是正項可以 聯(lián)想到作商法. 【解析】- a、b R ，二 aabb 0，abba 0 作商: a b a b b a a b (a)a(b)

11、 (分(a) (* ) (3) (1)若 ab0,則1，a-b0, (-)a b 1 ,此時 a# ab成立； bb 若 ba0,則 01, a-b 0 且 a 比較 b2 一與a b的大小 a 【答案】 (a b) 3.3 a b (a b) ab (b)(a2 2ab b2) (a b)() ab (a b)(a b)20 ab 2 .2 a b a b. b a 4、已知a、 b、c為互不相等的正數(shù)，求證: 2a, 2b 2c b c 【答案】a、 b、c為不等正數(shù)，不失一般性, 0, 2a 2b 2cb c c a a b 這時a b c 0 , a b c 0,則有: a 2b 2c

12、 a b c(a b) (a c) (b c) (b a) (c a) (c b) b c c a a b abc a b c c, c c a (一) a Q a b c 0 b 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知： 1,a b (尹 b 0;1,b c 0;0 c 1,(-)bc 1,(C)ca ca c 1,c-ay zB zy x C. y x zD z x y 2高速公路對行駛的各種車輛的最大限速為 120km/h，行駛過程中，同一車道上的車 間距d不得小于10m，用不等式表示為() ,、v 120km/ h A. v 120km/ h 或d 10m B.C. v 120km/ h D. d 10

13、m d 10m 【答案】C【解析】X loga 2 loga X loga6，y嚴(yán)5町5， z loga I 21 loga - /3 loga 丿7，又由 0Vav 1 知，函數(shù) f(x)= logaX 為減函數(shù)，二 yxz.故選 C. 2. 【答案】B【解析】依據(jù)題意直接將條件中的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式，即為v 120km/h, d 10m 注意這兩個不等式要同時成立 3. 已知a,b,c R,則下面推理中正確的是() 22a b A、abam2bm2Bab 33112211 C、a3b3, ab0D、a2b2, ab0 a ba b 4. 若 x+y0,a0,貝U x-y 的值為（） A、

14、大于0B、小于0C 等于0D、符號不確定 3. 【答案】C 【解析】用淘汰法. （A）中若 m=0 不成立；（B）中若 cvO,不成立；（C中 a3-b30|（a-b）（孑+ab+b2）0. 丁 a2+ab+b20 恒成立，故 a-b0. 1 1 ab，又 t ab0,. 一 b (a+b)(a-b)0，不能說明ab,故本題應(yīng)選(C). 4. 【答案】A【解析】用直接法. / a0: y0 x0, 二 x-y=x+(-y)0.故本題應(yīng)選(A). 5.已知0 x y a 1，則有() A、loga(xy) 0B、0 log a (xy) 1 C 1loga(xy)2 D loga(xy) 2 f

15、xLI * 6 .右 a、 b是任意實數(shù)，且a b，則（） 2 ,2 b / 1、a 1 b A、 a b B、1 C、lg(a b) 0 D、 ) () a 2 2 5.【答案】D 【解析】t :0 x y a 1，/ -0 xy0, 排除A, 又 xy y logaa= 1，排除 B, / loga(xy) = logax+ logay logaa+ logaa= 1 + 1 =2，故選 D. ab - b且y=為單減函數(shù)，故 2 因不知道a, b的正負(fù)，故可排除A B、C選項. 7.下列命題中的真命題為 (1) 若 ab,則 ac2bc2; 1 1 (2) 若 ab0,則一; a b (

16、3) 若 ab-; a b (4) 若 ab0,則ab0,貝U c a c b 7. 【答案】(4) ( 5) 【解析】 (1) v c20當(dāng)c=0時ac2=bc2=0,故原命題為假命題 1 (2) 舉特例-2-1-1，故原命題為假命題. 2 a b 0 a b 0 3)由于ab0,所以11，所以 1 1 ， .a -，故原命題為假命題 一 0 b a a b b a 4)v ab|b|0 ，. |b| vl，. b VI， 故原命題為真命題 |a| a a b C1 1c (5)： cab0, ， c-bc-a0，.- 0, c a c a c b 又/ ab0，/ a 一 b 故原命題為真

17、命題. c a c b 諜后作業(yè) 1若a, B滿足 一 2 2若實數(shù)a,b,c滿足b ，則 2 a 2 c : 3a2 4a 系 1.【答案】 3 2 【解析】 2 2 3 .一冗 籽0, 2 2 2 2.【答案】 b c a【解析】 由已知 b c (a ,b c 3a2 4a 6 由 c 2 a 1 b c 2 a 4a 4 2 “ 12 3 .c a a 1 a (a -)2 0 2 4 B的取值范圍是 6,b c a2 4a 4,試確定a,b,c的大小關(guān) 又 ，且a B 2 2 2 2 2)20 b c, c a綜上所述，b c a 2 2 2 3.已知 a x a,M loga x

18、, N log a(log ax),P=(log ax),則 M、N、P 的大小順序 4.設(shè) a b 0,m0,n0,則 b a b m a n aba mb n 由小到大的排列順序是 3. 【答案】 M 2 N【解析】Q a 1 loga xn0, mnm n a a , Q a a 0 1 ,A B 0 即 A B 當(dāng)0 a 1時， m Q a n a m n0 ,aa 1 , A B 0即A B 綜上A B. .7.設(shè)x0且x工1,比較1+log x3與2logx2的大小. x 1 3x i， 4 即Ovx1時, logx3X 0 ,此時，1 log x3 2log x 2 . 解析】作

19、差： 3x (1 logx3) 2log x2 logx3x logx4 logx一 4 0 x 1 當(dāng)3x , x 1 4 x 1 當(dāng) J 0 3 x 4 4 即1 x 時 13 log 3x 0 ,此時 1 logx 3 2log x 2，其中 x -時取等號. 3 當(dāng)3x 即x 1 4 8.已知 一 2 ，求，的取值范圍. 2 2 2 【解析】 因為 一 2 ，所以，. 2424424 -時，logx0，此時 1 logx3 2log x2 34 444 綜上所述，當(dāng) 0 時，1 + Iogx32logx2;當(dāng) 1x 時，1+ logx3 2logx2;當(dāng) x=時, 333 1+ log

20、x3 = 2logx2. 兩式相廿，得 一 2 2 2 因為，所以一 4244 又a0（a0）的過程 要點詮釋： 1解一元二次不等式首先要看二次項系數(shù)a是否為正；若為負(fù)，則將其變?yōu)檎龜?shù); 2 若相應(yīng)方程有實數(shù)根，求根時注意靈活運用因式分解和配方法； 3.寫不等式的解集時首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論； 4根據(jù)不等式的解集的端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等 式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系； 5若所給不等式最高項系數(shù)含有字母，還需要討論最高項的系數(shù) 知識點二：類型題講解 類型一：一元二次不等式的解法 例題展示 例1.解下列一元二次不等式 2 2 2 (1)

21、x 5x0 ；(2) x 4x 4 0 ；(3) x 4x 5 0 【思路點撥】轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號法則解答 【解析】 (1)方法一： 因為 （5）24 1 0250 2 Xi x 2 方法二：x 所以方程x 5x 0的兩個實數(shù)根為: 5. 5x x(x 5)0 因而不等式x2 5x 0的解集是x |0 x (2) 方法一： 因為 0， 方程 2 x 4x 4 0的解為x1x22. 函數(shù) y 2 x 4x 4的簡圖為： x 5. x 解得 x 0，即0 x 5或x 5 所以，原不等式的解集是x| x 2 方法二：x2 4x 4 (x 2 2)0 (當(dāng) x 2 時, (x

22、2)2 所以原不等式的解集是x|x 2 (3)方法一: 原不等式整理得x2 4x 5 因為 0，方程x2 4x 50無實數(shù)解, 所以原不等式的解集是 4x 50的解集是 方法二：- x2 4x 5 (x 2)2 110 二原不等式的解集是. 【總結(jié)升華】 1. 初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié)合的分析能 0且是 力； 2. 當(dāng)0時，用配方法，結(jié)合符號法則解答比較簡潔(如第2、3小題)；當(dāng) 一個完全平方數(shù)時，利用因式分解和符號法則比較快捷，(如第1小題). 3. 當(dāng)二次項的系數(shù)小于 0時，一般都轉(zhuǎn)化為大于 0后，再解答. 變式訓(xùn)練 【變式1】已知函數(shù) x22x,

23、 x 0, f(x) 解不等式f(x) 3 x 2x, x 0 x 0, x 0, 【答案】由題意知c 或2 2 x 2x 3x2 2x 3, 解得：x 1. 故原不等式的解集為x|x 1. 【變式2】解不等式 2 x 2x 3 0 【答案】整理，得x2 2x 3 0 . 因為 0，方程x2 2x 30無實數(shù)解, 所以不等式x2 2x 3 0的解集是. 從而，原不等式的解集是. 類型二：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法 例題展郝 例2.解下列關(guān)于x的不等式 (1) x2-2ax 0; (3) x2-(a+1)x+a0 即a2或a-2時，原不等式的解集為 x | a la24 或x a Va24

24、 A=0 即a=2或-2時，原不等式的解集為 x | x A0 即-2a2時，原不等式的解集為 R. (3) (x-1)(x-a)1時，原不等式的解集為x|1xa 當(dāng)a1時，原不等式的解集為x|ax1 當(dāng)a=1時，原不等式的解集為 【總結(jié)升華】對含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步： 定號：對二次項系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向； 求根：求相應(yīng)方程的根當(dāng)無法判斷判別式與0的關(guān)系時，要引入討論，分類求解; 定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當(dāng)無法判斷兩根的大小時，弓I入討論 變式訓(xùn)練 【變式1】解關(guān)于X的不等式：x2 1 (a)x a 0 10(a0) 【答案】原不等式化為

25、 (x 1 a)(x -) a a=1或a=-1時，解集為 ； 當(dāng)0a1或a1或-1a0時， a 1 ，解集為： x|- x a. a a 【變式2】解關(guān)于 x的不等式：x2 (a a2)x 3 a 0 ( a R ) 2 【答案】x (a i a2 )x a30 (x a)(x a2)0 當(dāng)a 1時，解集為x|x a或x a2； 當(dāng)a=0時，解集為x | X 0; 當(dāng)0a 1時，解集為x |x a2或x a； 當(dāng)a=1時，解集為x |x 1; a 例題展示 例3.解關(guān)于x的不等式： ax2 (a+1 )x+1 0. 【解析】若a=0,原不等式 x+1 11 ; 若a0，原不等式x2 (1 )

26、x 1 0 (x -)(x 1) 0， a a a 1 x 或 x 1; a a (1)當(dāng) i a=1時，原不等式 x; (2) 當(dāng) i a1時，原不等式 1 x 1 ; a (3)1 i 0 a 1時，原不等式 1 x丄 其解的情況應(yīng)由1與1的大小關(guān)系決定，故 綜上所述： 1 當(dāng)a 1; 當(dāng)0 a 1時，解集為x| x 1. a 【總結(jié)升華】熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，對最高項含有字母系數(shù) 的不等式，要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時要不重不漏 變式訓(xùn)練 【變式1】解關(guān)于X的不等式：(ax-1)(x-2)邛 【答案】當(dāng)a=0時，x (- ,2. 當(dāng)a工0寸，方程(a

27、x-1)(x-2)=0兩根為Xi 當(dāng)a0時, 【變式2】 1 則有：2 , a 解關(guān)于x的不等式: 1,. a ax2 + 2x-10時，則厶0 x ( 1J1a 1 v1 a) a0時, 若 a0, 0, 即a-1時, R； 若 a0, =0, 即a=-1時, 若 a0, 即-1a a2(a R)的解集. 當(dāng)a 0時, 不等式的解集為 當(dāng)a= 0時, 不等式的解集為 x|x -或 x 4 x|x R 且 xM0； x|x 3或x 類型三：一元二次不等式的逆向運用 當(dāng)a v 0時, 不等式的解集為 -J. 例題展示 例4.不等式x2 mx n 0的解集為 x (4,5)，求關(guān)于x的不等式 nx

28、2 mx 【思路點撥】 由二次不等式的解集為 (4,5) 可知：4、5是方程 2 x mx n0的二根，故由韋達(dá)定理可求出 m、 n的值, 【解析】由題意可知方程x2 mx n 0的兩根為x 當(dāng)a0時, 右a 0,- 2, 即0 a -時， x (,2,); a 2 a 若 a 0, 1 =2 , 即a 1 時， x R a 2 若 a 0, 1 2 , 即a 1 時， x ( 1 ，2,). 由韋達(dá)定理有4 5 m, 4 5n m 9, n 20 2 nx mx 10化為 20 x2 9x 1 2 0，即 20 x 9x 10 (4x 1)(5x 1) 0，解 1 軍得 _ 4 x 1 5

29、2 故不等式nx mx 1 0的解集為( 1 J 1). 4 5 【總結(jié)升華】二次方程的根是二次函數(shù)的零點，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點根據(jù) 不等式的解集的端點恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的解集與其 系數(shù)之間的關(guān)系，這一點是解此類題的關(guān)鍵. 技式訓(xùn)練二 【變式1】不等式ax2+bx+120的解集為x|-3x2，則a=, b= 【答案】由不等式的解集為x|-3x2知a 1-2x2對一切實數(shù) 求實數(shù)a的取值范圍. 【思路點撥】 不等式對一切實數(shù)恒成立，即不等式的解集為 R,要解決這個問題還需要討論二次項的系數(shù)。 【解析】原不等式等價于(a+ 2)x2 + 4x+ a- 1

30、0對一切實數(shù)恒成立， 顯然a=-2時，解集不是R,因此a二2， a 2 0, 從而有2 42 4(a 2)(a 1)0. a 2, 整理，得 (a 2)(a 3)0. 解得a 2. 故a的取值范圍是(2，+) 【總結(jié)升華】當(dāng)我們遇到二次項系數(shù)含有字母時，一般需討論 變式訓(xùn)練 【變式1】已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x 2-4(m-1)x+30對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù) 的取值范圍. 【答案】 (1) 當(dāng) m2+4m-5=0 時，m=1 或 m=-5 若m=1，則不等式化為30,對一切實數(shù)x成立，符合題意. 若m=-5，則不等式為24x+30，不滿足對一切實數(shù) x均成立，所以m=-5舍去.

31、 (2) 當(dāng)m2+4m-5工0卩m產(chǎn)1且rn-5時， 由此一元二次不等式的解集為R知，拋物線y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3開口向上，且與x軸無交點, m2 4m 5 0 所以 1)212(m2 4m 5)0 16(m m 1或 m5 即 ，/ 1m19. 1 m 19 綜上所述，實數(shù) m的取值范圍是m|1 m0 X c. -1 0 2 1 3.不等式a/+5x+c0的解集為X | - 3 D . - x2 + 2x 10 1 x ，則a, c的值為() 2 A. a=6， c=1 B. a= 6，c= 1 C. a=1，c=1D. a= 1， c= 6 1 .【答案】D 【解析

32、】 9x2+ 6x + 1 = (3x+ 1)2，. A不正確；T = X2 | X | 0，- B不正確； X .- 2 -D不正確. 0，二 X -11 OX R)， 2 故 C正確;V X2 + 2x 10-x2 2x + 1 = (x 1)20 的解集是() 11 x C. x| 22 - D. x | 3 x 2 3 A.( g，0) B . ( g， 0) U J 4 4 c.( 汽0 D . ( g， 0 U J 3 4.【答案】 D【解析】 :0v t v 11，. t - 1 .(X t)(x ) 0 t 1 x - t t t t 6.關(guān)于x的不等式(1 + m)x2 +

33、mx + mv x2 + 1對x R恒成立, 則實數(shù)m的取值范圍是（ 5. 答案】C【解析】由題意得，方程 X2 ax b=0的兩根為x=2,x=3,由韋達(dá)定理得2 3a，2 3 m 0 m 0 2 3m 4m 0 2 m 4mm 1 0 綜上， m的取值范圍為（g， 0. 11 求得a 5 , b=-6，從而解得bx2ax 1 0的解集為x |X 23 6. 【答案】C【解析】原不等式等價于mx2 + mx+ m 1 v 0對x R恒成立， 當(dāng)m= 0時，0 x2+ 0 x 1 v 0對x R恒成立.當(dāng)mM0寸，由題意，得 4 m 0. 3 課后作業(yè) 1.如果 A= x|ax2 ax+ 1

34、v 0 = ?，則實數(shù) a的取值范圍是 2.如果關(guān)于x的方程x2 （m 1）x+2 m=0的兩根為正實數(shù)，則 m的取值范圍是 1.答案】 0,4）【解析】 a 0 由題意知2，二0 v av 4. a2 4a 0 當(dāng)a= 0時，A = x|1 v 0 = ?，符合題意. 0 3.函數(shù)f(X) 2【答案】m| 1 2 2 m 2【解析】由題意得：咅x2 0,解得1 2 2 x1x20 一 的定義域是 R,則實數(shù) a的取值范圍為 ax 3ax 1 4若關(guān)于x的不等式ax2 6x a2 0的解集為(1,m)，則實數(shù)m等于 所以原不等式的解集為 x| 4.13 x 413 4.【答案】2【解析】由題意

35、，得1, m是關(guān)于x的方程ax2 6x a2 0的兩根，則 解得 3【答案】04 【解析】由已知f(x)的定義域是R.所以不等式ax2+ 3ax+ 10恒成立. ，9 (1)當(dāng)a =0時，不等式等價于1 0,顯然恒成立； a 0 4 a 0 a 0 當(dāng)a工0寸,則有 2 0 a- 0 (3a) 4a 0 a(9a 4) 0 9 由(1)(2)知，0 a 4 4 即所求a的取值范圍是 0 9 9 m 2或m3 (舍去) (2) x2 + 8x 3 0; 5解下列不等式 (1)2x2 + 7x+ 3 0; 【解析】 (1) 因為 A=72 4X2X3= 250, 1 所以方程2x2 + 7x +

36、3= 0有兩個不等實根X1= 3, X2 2 又二次函數(shù)y= 2x2 + 7x+ 3的圖象開口向上， 1 、 所以原不等式的解集為 x | x或x 3 2 (2) 因為 A=82 4X 1) X 3) = 52 0， 所以方程x2 + 8x 3= 0有兩個不等實根 %413，x24,13. 又二次函數(shù)y= x2+ 8x 3的圖象開口向下， 6. 不等式mx2+1 mx的解集為實數(shù)集 R，求實數(shù)m的取值范圍. 當(dāng)m = 0時，不等式即為1 0,滿足條件. 0 ，解得 0 v m v 4. (m)2 4m 0 m 當(dāng)m0時，若不等式的解集為 R,則應(yīng)有 綜上，m的取值范圍是m|0 wm0， 3 1

37、1 -,-;當(dāng)mv0時，原不等式的解集為-, m mm 由 m2x2 + 2mx 3v 0，得(mx 1)(mx + 3) v 0， 口1 3 即x x 0, m m 若m0,則 1 3 m m 所以原不等式的解集為 3 1 ; 1 , m m 若mv 0,則 1 3 m m 所以原不等式的解集為 1 3 m m 綜上所述，當(dāng) m 二 =0時, 原不等式的解集為R ; 當(dāng)m0時，原不等式的解集為 o (2) 如果對x -3, 1, f(x)0恒成立，求實數(shù) a的取值范圍 14.解析】 2 由題意得： =2( a 2)160，即 oa0得，有如下兩種情況: 2 a 3,1 f( 3)0 或 f(

38、1) 0 2 a 3,1 f(2 a) 0 綜上所述: 丄,4 9解下列關(guān)于x的不等式(ax 1)(x 1) 當(dāng)a=0時，原不等式即為-(x+1)0,解得x0,數(shù)f (x) 1 故不等式(ax 1)(x 1)0的解集為 1,- a (ax 1)(x 1)的圖象開口向上，與x軸有兩個交點，其簡圖如下: 1 故不等（ax 1）（x1）0的解集為（，1）U丄, a 綜上所述， 1 當(dāng)a-1時，不等式的解集為1,-； a 當(dāng)a=-1時，不等式的解集為空集； 1 當(dāng)-1a0時，不等式的解集為（，1）, a 第三部分二元一次不等式組與平面區(qū)域 知識點二元一次不等式（組）的定乂 1. 二元一次不等式：含有兩

39、個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 1的不等式叫做二元一 次不等式 2. 二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組 3. 二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式（組）的 x和y的取值構(gòu)成有序 實數(shù)對（x, y），所有這樣的有序?qū)崝?shù)對（x,y）構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式（組）的解集 要點詮釋：注意不等式（組）未知數(shù)的最高次 腳識點二二元一次不等式（組表示平面區(qū)域 二元一次不等式（組）的解集與平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的點之間的關(guān)系： 二元一次不等式（組）的解集是有序?qū)崝?shù)對，而點的坐標(biāo)也是有序?qū)崝?shù)對，因此，有序 實數(shù)對就可以看成是平面內(nèi)點的坐標(biāo)，因此，二元一次不等式（

40、組）的解集就可以看成是直 角坐標(biāo)系內(nèi)的點構(gòu)成的集合. 二元一次不等式所表示的平面區(qū)域： 在平面直角坐標(biāo)系中，直線l : Ax By C 0將平面分成兩部分，平面內(nèi)的點分為三 類： 直線I上的點（x, y）的坐標(biāo)滿足： Ax By C 0 ; 直線I 一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x, y）的坐標(biāo)滿足： Ax By C 0 ; 直線I另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點（x, y）的坐標(biāo)滿足： Ax By C 0 . 即二元一次不等式 Ax By C 0或 Ax By C 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 Ax By C 0的某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域, 直線 Ax By C 0叫做這兩個區(qū)域的 邊界,（虛線表示區(qū)域不包

41、括邊界直線,實線表示區(qū)域包括邊界直線）. 重點：二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的確定 二元一次不等式表示的平面區(qū)域 由于對在直線Ax By C 0同一側(cè)的所有點（x, y），把它的坐標(biāo)（x, y）代入 Ax By C ，所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（x0,y0 ） ，從 Ax0 By0 C 的正負(fù)即可判斷 Ax By C 0 表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地,當(dāng) C 0 時,常把 原點 作為此特殊點） 以上判定方法簡稱為 “直線定界、特殊點定域 ”法. 不等式組所表示的平面區(qū)域 由幾個不等式組成的不等式組所表示的平面區(qū)域, 是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公 共部

42、分 . 1. 判斷二元一次不等式 Ax+By+c 0或0（或0表示直線X y+5= 0上及右下方的點的集合，x +y表示直線x+y= 0上 及右上方的點的集合，XW3表示直線x= 3上及左方的點的集合.不等式組表示平面區(qū)域即為圖示的三角形區(qū) 域: 3、畫出下列不等式表示的平面區(qū)域 (X y)(x y 1)0 ； x |y 2x 【解析】 x y 0 x y 0 （1）原不等式等價轉(zhuǎn)化為 或 （無解） x y 10 x y 1 /、x y 0 故點（x, y）在區(qū)域 內(nèi)，如圖： x y 10 y 0y 0 原不等式等價為 x y 0或 x y 0 ，如圖 2x y 0 2x y 0 【總結(jié)升華】

43、把非規(guī)范形式等價轉(zhuǎn)化為規(guī)范不等式組形式便于求解 變式訓(xùn)練 1、畫出下列不等式所表示的平面區(qū)域 （1）4x 3y 12 ；（2）x 1 【答案】 (1) ( 2) 2、用平面區(qū)域表示不等式組7 3x 12 x 2y 2y右上方的區(qū)域, 3、畫出下列不等式組表示的平面區(qū)域 【解析】不等式 y 3x 12表示直線y 3x 12右下方的區(qū)域, x 2y表示直線x x y 2 x 2y 3 (2) x 0 y 0 4、用平面區(qū)域表示不等式 (x y 1)(x y 4)0 5、用平面區(qū)域表示不等式 (i) y x 1 ； x y ；( 3) x y 【答案】 【解析】 AC , 12 表示的平面區(qū)域的面積

44、 【法門（特殊三角形） 顯然 ABC為等腰直角三角 易得B點坐標(biāo)為（3, 3），c點 形，A 90 , AB 坐標(biāo)為(3,9)，則| BC | 由點到直線的距離公式得高 hAC |3 ( 3) 6| 6、2 、2 S ABC -6 . 2 6、236. 2 弼識點三求平面區(qū)域的面稅 例題展示 1、求不等式組x 1 八 S ABC212636. 【法2】（面積公式） 易得A點坐標(biāo)為（-3,3）, B點坐標(biāo)為（3, 3） , C點坐標(biāo)為（3,9） 則 | AC| , (3 3)2(9 3)26 2 法 3】（向量法） 易得A點坐標(biāo)為（-3,3）, B點坐標(biāo)為（3, 3） , C點坐標(biāo)為（3,9）

45、則 AC (6,6), AB (6, 6) S ABC 1 |6 ( 6) 6 636 . x y 6 0 故不等式組 x y 0表示的平面區(qū)域的面積等于 36. x 3 【總結(jié)升華】這一類問題的關(guān)鍵是正確畫岀所求平面區(qū)域，其實質(zhì)是二元一次不等式組表示 的平面區(qū)域的應(yīng)用，注意圖形的分解轉(zhuǎn)化 變式訓(xùn)練 x y 3 0 1、畫出不等式組 x y 0 表示的平面區(qū)域并求其面積 x 3 81 4 2、在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組 ax （a為常數(shù)）所表示的平面區(qū)域的 0 面積等于2,則 a的值為（ C. 2 【解析】 不等式組 x ax 所圍成的區(qū)域如圖所示. t= 11+-1=0 .其面積為 2

46、,. |AC|= 4, C 的坐標(biāo)為（1,4），代入 ax y+ 1 = 0, 得a= 3.故選D. 3、已知M,N是y x x ，所圍成的區(qū)域的兩點，則 y 10 y 6 | MN |的最大值是 解析：不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示， 第9題 弼識點四：實際應(yīng)用問衙 觀察圖可得|MN|的最大值是|AB| （51）2（2V）.17 1、某人準(zhǔn)備投資1 200萬元興辦一所完全中學(xué)，對教育市場進(jìn)行調(diào)查后，他得到了下 面的數(shù)據(jù)表格（以班級為單位）（注：初、高中的教育周期均為三年，辦學(xué)規(guī)模以2030個班 為宜，老師實行聘任制）. 學(xué)段 班級學(xué)生數(shù) 配備教師數(shù) 硬件建設(shè) 教師年薪 初中 45 2 26萬

47、元/班 2萬兀/人 咼中 40 3 54萬元/班 2萬兀/人 【思路點撥】本題中條件較多，應(yīng)分門列類列出約束條件后，再運用圖解法進(jìn)行求解。 分別用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述限制條件. 【解析】設(shè)開設(shè)初中班 x個，高中班y個根據(jù)題意，總共招生班數(shù)應(yīng)限制在2030之 間，所以有20 x+ y 30. 考慮到所投資金的限制，得到26x + 54y + 2X2x + 2X 3y 1 200即x + 2y 40. 另外，開設(shè)的班數(shù)不能為負(fù)且為整數(shù)，即x N，y N . 把上面四個不等式合在一起，得到： 20 x y 30, x 2y 40, x N, y N. 用圖形表示這個限制條件，得到如圖中的平面區(qū)域

48、（陰影部分）. 【總結(jié)升華】用平面區(qū)域來表示實際問題相關(guān)量的取值范圍的基本方法是：先根據(jù)問題的需 要選取起關(guān)鍵作用的關(guān)聯(lián)較多的量用字母表示，進(jìn)而把問題中所有的量都用這兩個字母表示岀 來，建立數(shù)學(xué)模型，在畫出表示的區(qū)域 變式訓(xùn)練？ 1完成一項裝修工程，請木工需付工資沒人 50元，請瓦工需付工資沒人 40元，現(xiàn)有工人 工資預(yù)算2000元，設(shè)木工x人，瓦工y人，用不等式表示請工人人數(shù)的范圍 【答案】 50 x 40 y 2000 x N, y N 2、某運輸公司有7輛重量為6t的A型卡車與4輛載重量為10t的B型卡車，有9名 駕駛員，在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬運360t瀝青的任務(wù)，

49、已知每輛 卡車往返的次數(shù)為 A型卡車8次，B型卡車6次，列出滿足搬運條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出 相應(yīng)的平面區(qū)域. x 7 y 4, x y 9, 6 8x 10 6y 360, x 0, y 0. 0 x 7, 即 0 y 4, x y 9, 【解析】設(shè)每天岀動 A型車x輛，B型車y輛，則 4x 5y 30 課堂知識回顧: 當(dāng)堂測試 A.( 0, 1) B.( 1 , 0) C.( 0, 2)D.( 2, 0) 2.若點（3,1）和（-4,6）在直線3x-2y+a=0的兩側(cè)，貝U a的取值范圍是（） D. -24a7 A. a24B. a=7 或 a=24 C. -7a 0表示的平面區(qū)域是()

50、x y 0 x y 0 A. B. x y 0 x y 0 C. x2 y2 0 5.不等式組 x 3 0 泊勺面積等于（ x y 表示的平面區(qū)域 x y 2 0 39 A. 28 B. 16 C. D. 121 4 1.【答案】 C 4在直角坐標(biāo)系內(nèi)下圖中的陰影部分表示的不等式（組）是（ ) ) *+=( 【解析】將選項中點的坐標(biāo)代入不等式2x+3y v 5,能使不等式成立的只有C 2.【答案】 【解析】 C: 因為點（3,1）和（-4,6）在直線3x-2y+a=0的兩側(cè)，令f （x, y） 3x 2y a，則有 f(3,1)f( 4,6) 0，解得-7a0表示的平面區(qū)域; 4【解析】設(shè) F

51、(x, y)= 2y 5x 10, 作岀直線 2y 5x 10= 0, A到原點的距離為5. / F(0,0) = 2X 0 5X 0 10= 10v 0, 所求區(qū)域為不含(0,0)的一側(cè)，如圖所示. 5畫出以下不等式組表示的平面區(qū)域: xy10 xy0 x2 5【解析】如圖所示不等式表示直線 x+ y 1= 0的右上方(包括直線)的平面區(qū)域; 得a的取值范圍是18v av 14. 不等式表示直線 x y = 0右下方(包括直線)的平面區(qū)域； 不等式表示直線 x = 2左方(包括直線)的平面區(qū)域. 所以，原不等式組表示上述平面區(qū)域的公共部分(陰影部分). 6A ABC的三個頂點坐標(biāo)分別為A(0

52、,4), B( 2,0), C(2,0)，求 ABC內(nèi)任意一點(x, y)所滿 足的條件 y 0 6【答案】 2x y 4 0 2x y 4 0 【解析】分別求三邊的直線方程，易得y= 0,2x y+ 4 = 0,2x + y 4= 0.在三角形內(nèi)找一點 (0,1)以確定各不等式的不等號的方向因不包括邊界，所求三個不等式為: y 0,2x y + 4 0,2x + y 4v 0. 7.已知D是以點A (4 , 1), B ( 1, 6), C ( 3, 2)為頂點的三角形區(qū)域(包括邊 界與內(nèi)部)。如圖所示。 (1)寫出表示區(qū)域 D的不等式組; (2) 設(shè)點B ( 1, 6), C ( 3, 2

53、)在直線4x 3y a=0的異側(cè)，求a的取值范圍。 7 .【解析】 (1) 直線 AB、AC BC的方程分別為 7x 5y 23=0, x+7y 11=0, 4x+y+10=0 7x 5y 230, 原點(0, 0)在區(qū)域D內(nèi)，表示區(qū)域 D的不等式組：x 7y 11 0, 4x y 100. (2)將B、C的坐標(biāo)代入4x 3y a，根據(jù)題意有(14 a)( 18 a) v 0, 第四部分線性規(guī)劃與實際應(yīng)用 線性規(guī)劃練習(xí)題 x 2y 2 1 若變量x , y滿足約束條件 x y 0，貝V z 2x 3y的最大值為（） x 4 A. 10 B. 8 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】作出可行

54、域如圖所示： 作直線l0 : 2x 3y 0，再作一組平行于l0的直線| : 2x 3y z ,當(dāng)直線|經(jīng)過點 時，z 2x 3y 取得最大值，由% 2y x 4 2 x 得： y 4 ，所以點 1 的坐標(biāo)為4, 1 ，所以Zmax 2 4 3 故選C. 考點：線性規(guī)劃. x y 3 2 設(shè)變量X， y滿足的約束條件 x y 1，則目標(biāo)函數(shù)z y 1 4x 2y的最大值為（ A. 12 B. 10 【答案】B C.8 D. 2 【解析】 由上圖可得z在A 2,1處取得最大值，即zmax 4 2 2 1 10 . x + y-3 豈 6 孑 3若平面區(qū)域 5 心。夾在兩條斜率為衣的平行直線之間，

55、則這兩平行直線間的距離的 A. B. 最小值為 C. D. 【答案】C 【解析】作出平面區(qū)域如圖所示: 0 2 =)c + b 當(dāng)直線 3 分別纟 -3 = 聯(lián)立方程組 by z + y -3 聯(lián)立方程組 2y + 3 ；,解得 B(1,2). 2 A , B時，平行線間的距離相等。 =0 =0 ,解得 A(2,1), =0 =0 兩條平行線分別為 2 4 二一累 * J 3 3 ，即 2x-3y-1=0，2x-3y+4=0. 二平行線間的距離為 13 故選C. 點睛：線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是：一、準(zhǔn)確 無誤地作出可行域；二、畫標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注

56、意與約束條件中的直線的斜率進(jìn) 行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取 得 % *壯0 y -1 0 4若滿足約束條件張+ ，則的最大值為（） 11 13 14 A. 3 B. 3 C. 【答案】C 【解析】 作出如圖所示可行域，令 =由0得直線 = -2x|,由圖象知當(dāng)平移至過 4 A（37） 點時, 1 14 目標(biāo)函數(shù)取最大值故本題答案選 5 若O為坐標(biāo)原點，已知實數(shù) P x,y , x y x,y滿足條件x y 2x y 1 1，在可行域內(nèi)任取一點 2 A. 1 B.3 則OP的最小值為（） 3 D.- 2 【答案】C 【解析】OP表示原點到可行域

57、的距離，畫出可行域如下圖所示，由圖可知，圓點到直線x y 1 0 的距離最小，最小距離 d 6.（本小題滿分12分） 7x 5y 230 已知x,y滿足條件 x 7y 11 0 4x y 10 0 求：（1）4x-3y的最大值 （2）x 2+y2的最大值 8的最小值 x 5 【答案】（1）最大值為13 （2 ）最大值為37 （ 3）最小值為-9 【解析】 7x 5y 23 0 試題分析：解：x,y滿足條件 x 7y 11 0 根據(jù)不等式組表示的區(qū)域可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點（4, 1） 4x y 10 0 時目標(biāo)函數(shù)的截距最大且為 13,故可知）4x-3y 的最大值 為13。而目標(biāo)函數(shù)表示的為區(qū)域內(nèi)

58、點到原點距離里平方的最大值，因此點（4, 1）滿足題意，得到為17. 而對于1一8表示的為區(qū)域內(nèi)點與（5，-8 ）的連線的斜率的最小值，可知過點（4，1 ）取得最小因此可 x 5 知 （1 ）最大值為13 （ 4分） （2 ）最大值為37 （ 8分） （3 ）最小值為-9 （ 12分） 考點：線性規(guī)劃的最優(yōu)解的求解 點評：解決該試題的關(guān)鍵是對于目標(biāo)函數(shù)的理解，結(jié)合兩點的距離公式和兩點的斜率公式來求解運用，屬 于基礎(chǔ)題。 7.（本小題滿分12分） 某投資人打算投資甲、 乙兩個項目根據(jù)預(yù)測，甲、乙兩個項目最大盈利率分為 100%和50% 可能的最大虧損率分別為 30%和10%投資人計劃投入的資金額

59、不超過 10萬元如果要求確保 可能的投入資金的虧損不超過1.8萬元，問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能 使可能產(chǎn)生的盈利最大？ 【答案】投資人用4萬元投資甲項目，6萬元投資乙項目，取得的盈利最大為7萬元 【解析】 試題分析：解：設(shè)投資人投入甲、乙兩個項目的資金分別為x萬元和y萬元，則它可盈利 z x 0.5y 0.3x0.1y 1.8 x 0 y o 作過原點的直線l0 : y 2x，平移經(jīng)過點（4，6）是縱截距最大 所以當(dāng) x=4，y=6 時，Zmax 7 所以投資人用4萬元投資甲項目，6萬元投資乙項目，取得的盈利最大為7萬元 考點：本試題考查了線性回歸的實際應(yīng)用。 點評：解決該試

60、題的關(guān)鍵是要根據(jù)題意，將實際問題轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)問題，抽象岀不等式的關(guān)系，進(jìn)而得到不 等式組，結(jié)合圖象法，結(jié)合線性回歸的知識來分析得到最值問題，屬于基礎(chǔ)題。 (2) 取等號 2 2由公式a - 空2 a b b a 一 a b 2 1 1 a b 要點詮釋： a b、2 “=”的條件在形式上是相同的，都是當(dāng)且僅當(dāng)a b時取等號” b2 2ab和寧石可以引申岀常用的常用結(jié)論 （a, b同號）； 2 （ a,b異號）； (a 0,b0)或 ab )2 b (a 0,b0) 2 a2 2 b 2ab可以變形為：ab b2 - ab可以變形為: ab 2 a+ b 1.基本不等式ab 0且x工1時， lg