方差分析變異分解思路剖析

1、方差分析變異分解思路剖析 第一部分：方差分析變異分解的整體思想 差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技 術(shù)，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測值變異原因的數(shù)量分析。 從變異性分解角度來看，主要是對觀測值的總變異進(jìn)行分解。分解為兩大部分：第一，來自 于自變量不同處理效應(yīng)的影響：第二，來自于誤差因索的影響（即包括隨機(jī)化選擇被使過程 中所產(chǎn)生的隨機(jī)因素，也包括一些無法辨別來源的殘差）。 以單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)為例。 某心理學(xué)家為了考察訓(xùn)練教程對兒童創(chuàng)造思維能力的影響，將20名被試隨機(jī)分成四個(gè)紐， 每組5人，每組采用一種教程進(jìn)行訓(xùn)練，一學(xué)期后每個(gè)被試的創(chuàng)造思維能力評分如下

2、表，試 檢驗(yàn)訓(xùn)練教程的作用是否有顯著的差異。 在這個(gè)例子中，自變量為訓(xùn)練教程，一共有四個(gè)水平。因變量為創(chuàng)造性思維能力得分。 那么所有被試在因變量上得分的差異性（即變異）可以分解為兩個(gè)來源：第一，由于自變董 的四個(gè)水平所產(chǎn)生的四個(gè)組之間的差異性；第二，由于選擇被試所導(dǎo)致的組內(nèi)被試之間的差 異性。 第二部分：不同實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)下變異來源分解剖析 一、單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì) 血主題相關(guān)圖片 21 A ?! SS廠徒喬欲#癥硼）士越穌 /-IM H沁號皿訶 J-l 2-1/-I 2-1緞 j4 i4 /-l i-1 變異分解的一般邏輯： 首先，計(jì)算總變異； 然后，計(jì)算處理產(chǎn)生的變異； 最后，用總變異減去處理產(chǎn)生

3、的變異即誤差變異。 在單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中，處理產(chǎn)生的變異即水平組間變異。 利用原始數(shù)據(jù)計(jì)算變異的公式規(guī)律： 第一，總平方和和組間平方和的后一項(xiàng)記為CM,矯正數(shù)，均為總數(shù)據(jù)和的平均平方。求多 少和，即對多少平均。 第二，總平方和的詢一項(xiàng)為所有原始數(shù)據(jù)平方的和。 第三，組間平方和的前一項(xiàng)為每組數(shù)據(jù)和的平方求平均，然后把幾個(gè)紐的計(jì)算結(jié)果相加。 PS:對我們的啟示是在平方和處理變異分解過程中，我們只要搞清楚處理處理是指那幾個(gè)組 就差異就可以了。 以第一部分中單因索隨機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)為例。具體數(shù)據(jù)見下表: 目此主題相關(guān)圖片 自始數(shù)據(jù) 3-1 1 樞硼 用il !-1 8 20 12 14 10 64 819

4、.2 504 39 26 31 45 40 181 6552.2 6783 17 21 20 17 20 95 1805 1819 32 23 28 25 29 137 3753.8 3803 求和 477 12930.2 13309 總數(shù)據(jù)和為477,總數(shù)據(jù)和的平方為：227529,平均的總數(shù)據(jù)和的平方為：（有20個(gè)數(shù)據(jù)）。 該項(xiàng)即為矯正項(xiàng)。 所有原始數(shù)據(jù)平方的和為：13309。因此，總平方和為。 組間平方和的前一項(xiàng)為每組數(shù)據(jù)和的平方求平均，然后把幾個(gè)組的計(jì)算結(jié)果相加。即：。因 此，組間平方和為：。 組內(nèi)平方和為總平方和減去組間平方和。因此，組內(nèi)平方和為：。 具體結(jié)果見下表。 目此主題相關(guān)圖

5、片 變異彌 均方 Ft F曲 組間 1553. 75 3 517.92 21.88* 3.24 組內(nèi) 378.80 16 23.68 總 1932. 55 10 總結(jié)：我們發(fā)現(xiàn)，在方差分析不同實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的變異分解中，總變異的槪念是一致的，矯正項(xiàng) 的槪念是一致的。而誤差變異又可以通過總變異減去處理變異即可。因此，只要搞清楚處理 變異的計(jì)算就可以搞定所有實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)下方差變異的分解問題。 處理變異計(jì)算的關(guān)鍵點(diǎn)：只要搞清楚處理來源涉及到哪幾個(gè)處理水平之間的差異性即可。下 面以冬種其它實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的方差分解為例，進(jìn)一步理解這一思想。 二. 單因素隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì) 單因素隨機(jī)區(qū)紐設(shè)計(jì)和單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的區(qū)別是單因素

6、區(qū)組設(shè)計(jì)通過區(qū)組因素很好的 控制了一個(gè)無關(guān)變量對因變量的影響（即：區(qū)組因素是一個(gè)無關(guān)變董）。在統(tǒng)計(jì)上來說，是 通過估計(jì)出區(qū)組因素所產(chǎn)生的平方和，城少了誤差平方和的大小，從而提鬲了統(tǒng)計(jì)檢臉效力。 單因素隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的一個(gè)前提條件是：區(qū)紐因素和自變童因素之間不存在交互作用。否則 需要采用兩因素析因?qū)嵞樤O(shè)計(jì)。 單因素隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)的總變異被分解為以下的幾個(gè)部分： 第一，自變量效應(yīng)所產(chǎn)生的變異: 第二，區(qū)組效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第三，誤差變異。 自變量效應(yīng)所產(chǎn)生的變異以及區(qū)組效應(yīng)所產(chǎn)生的變異的計(jì)算方法同單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的 組間效應(yīng)的計(jì)算。關(guān)鍵是要搞淸楚是在計(jì)算哪幾個(gè)組之間的變異性。 三、單因素重復(fù)測量實(shí)

7、驗(yàn)設(shè)計(jì) 單因素重復(fù)測量實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和單因素完全隨機(jī)實(shí)臉設(shè)計(jì)的區(qū)別在于被試分配到處理中的方法 是不一樣的。在單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)中，不同處理水平下的被試是不一樣的。而在單因素重 復(fù)測董實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，所有的被試均接受了所有處理水平的影響。 單因素重復(fù)測量實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)是可以控制被試間差異這一無關(guān)變量對因變量所造成的影 響。從統(tǒng)計(jì)上來說，是通過把被試間差異所導(dǎo)致的變異從誤差變異中區(qū)分出來，減少了誤差 平方和的大小，從而提高了統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)效力。 單因素重復(fù)測董實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的總變異可以分解為以下幾個(gè)部分： 第一，自變量效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第二，被試間差異所導(dǎo)致的變異； 第三，誤差變異。 下圖反映的是三種不同的單因素實(shí)驗(yàn)

8、設(shè)計(jì)的被試分配方案： 目此主題相關(guān)圖片 三種單因素設(shè)計(jì)祓試分配例表 入、 引 旳 Si $3 Ss Se 3 Ss S9 S10 Sn S12 S13 S14 S15 S16 比 區(qū)組1(1)1) Sn S12 S13 S14 區(qū)組2（h） s S 區(qū)組3（h） S34 區(qū)組4(b) 41 S.2 S44 ai 也 為 也 Si Si Si S1 S2 S2 S2 S2 S3 S3 $3 $3 s s S4 完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)（上左）和隨機(jī)區(qū) 組設(shè)計(jì)（上右）都試被試間設(shè)計(jì)t 不節(jié)省被試，只有被試內(nèi)設(shè)計(jì) （下右）才節(jié)省被試。 四. 多因素析因完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 多因素析因完全隨機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)屬于被試間設(shè)計(jì)

9、的一個(gè)多因素析因?qū)嶒?yàn)設(shè)計(jì)，其優(yōu)點(diǎn)是可以進(jìn) 行交互作用的分析。交互作用產(chǎn)生的變異是通過對組間變異分解實(shí)現(xiàn)的。在多因素析因完全 隨機(jī)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中，我們把組間變異分解為主效應(yīng)和交互作用效應(yīng)。 已2*3完全隨機(jī)析因設(shè)計(jì)為例。假定存在兩個(gè)自變量因素A和B, A有兩個(gè)水平，稱為A1,A2, B有三個(gè)水平，稱為B1,B2,B3o那么組間總變異是由A因素和B因素相交以后產(chǎn)生的6個(gè)處 理水平組所產(chǎn)生的變異。而A因素的主效應(yīng)和B因素的主效應(yīng)是分別由A因素2個(gè)水平紐和 B因素的三個(gè)水平組所產(chǎn)生的。交互作用效應(yīng)即用組間效應(yīng)減去A因素和B因素的主效應(yīng)獲 得的。 2*3完全隨機(jī)析因設(shè)計(jì)的總變異可以分解為以下幾個(gè)部分: 第一

10、，A因素主效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第二，B因素主效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第三，AB因素的交互作用效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第四，誤差變異。 五、多因素析因重復(fù)測董實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 多因素析因重復(fù)測量實(shí)臉設(shè)計(jì)屬于被試內(nèi)設(shè)計(jì)，其與單因素重復(fù)測量實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的差別同多因 素完全隨機(jī)析因設(shè)計(jì)和單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的區(qū)別。其優(yōu)點(diǎn)也是可以進(jìn)行交互作用的分析。 在此不在贅述。 多因素析因重復(fù)測量實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的總變異可以分解為以下幾個(gè)部分： 第一，A因素主效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第二，B因素主效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第三，AB因素的交互作用效應(yīng)所產(chǎn)生的變異； 第四，被試間差異所導(dǎo)致的變異； 第五，誤差變異。 六、多因素析因混合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 多因素析因混合實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)即包