回到原點(diǎn)超越原點(diǎn)-平行與垂直

1、回到原點(diǎn)超越原點(diǎn)字?jǐn)?shù)：2428來(lái)源：教學(xué)月刊小學(xué)數(shù)學(xué) 2013年9期 字體：大中小打印當(dāng)頁(yè)正文但凡進(jìn)行“三角形的認(rèn)識(shí)”公開(kāi)課教學(xué)時(shí)，有一個(gè)話題總會(huì)引發(fā)教師的爭(zhēng)論三角形的穩(wěn)定性。爭(zhēng)論背后反映的是教師認(rèn)識(shí)的差異，或者說(shuō)是對(duì)此問(wèn)題認(rèn)識(shí)的不確定性。下面，筆者試著通過(guò)此文還原 “三角形穩(wěn)定性”的認(rèn)識(shí)及教學(xué)改進(jìn)歷程，供大家批判。一、緣起：什么是“三角形的穩(wěn)定性”一次公開(kāi)課，一位教師讓學(xué)生拿出課前做好的三角形和平行四邊形框架，用手拉一拉。師：有什么發(fā)現(xiàn)？生：三角形拉拉不會(huì)動(dòng)，平行四邊形一拉就變形了。師：對(duì)，三角形的這種特性，叫作“穩(wěn)定性”。一生舉手，師：你還有什么補(bǔ)充？該生拿出一塊七巧板中的平行四邊形舉在手

2、中：老師，這個(gè)平行四邊形拉拉也不會(huì)變形！師：類(lèi)似這樣的教學(xué)“意外”時(shí)常出現(xiàn)，如還有學(xué)生質(zhì)疑：老師，我把這個(gè)四邊形鐵絲框架的四個(gè)角焊住，它拉拉也不變形，也是穩(wěn)定的！這些“意外”漸漸引發(fā)了教師的關(guān)注和反思到底什么是“三角形的穩(wěn)定性”？以下為中學(xué)兩個(gè)版本教材對(duì)“三角形穩(wěn)定性”的描述。北師大版顯然，三角形的穩(wěn)定性就其外在活動(dòng)表征是“拉拉不會(huì)動(dòng)”，內(nèi)在含義是“形狀和大小不會(huì)發(fā)生改變”，更進(jìn)一步的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)則是“三角形三邊長(zhǎng)度確定，其形狀和大小是唯一確定的”，或者說(shuō)“三邊長(zhǎng)度相同的三角形，其大小和形狀是完全一樣的（即全等）”。因此，這就帶來(lái)幾點(diǎn)啟示：1.教學(xué)三角形穩(wěn)定性或平行四邊形不穩(wěn)定性要從關(guān)注“拉拉會(huì)不

3、會(huì)動(dòng)”轉(zhuǎn)向“形狀是否發(fā)生改變”；2.要設(shè)計(jì)合適的活動(dòng)幫助學(xué)生體驗(yàn)形狀的變化與否，進(jìn)而體驗(yàn)穩(wěn)定性。二、突破：三角形的穩(wěn)定性實(shí)質(zhì)是“形狀唯一性”許多教師為實(shí)現(xiàn)這種認(rèn)知突破作了嘗試，以下即為特級(jí)教師沈百軍的教學(xué)片段。教師出示兩組長(zhǎng)度相等的小棒（帶磁性）：教師利用第一組小棒在黑板上首尾相連搭出一個(gè)三角形（見(jiàn)下左圖）。師：你能用另外一組小棒首尾相連搭出一個(gè)和老師不一樣的三角形嗎？個(gè)別學(xué)生猶疑，多數(shù)學(xué)生都躍躍欲試：能！師請(qǐng)一個(gè)學(xué)生上黑板，學(xué)生搭出了如上右圖的三角形。教師將學(xué)生所搭三角形旋轉(zhuǎn)后移至教師所搭三角形旁邊，師：有什么發(fā)現(xiàn)？生：這兩個(gè)三角形是一模一樣的！師：看來(lái)，同樣長(zhǎng)度的兩組小棒所搭出的三角形形狀

4、、大小是完全一樣的，也就是說(shuō)，三角形的三邊長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀就不會(huì)發(fā)生變化了，這叫作三角形的穩(wěn)定性。很顯然，沈老師的教學(xué)就是基于對(duì)三角形的穩(wěn)定性實(shí)質(zhì)不是“拉拉不會(huì)動(dòng)”而是“形狀唯一性”的認(rèn)識(shí)展開(kāi)的。設(shè)計(jì)的巧妙之處在于，為抽象的穩(wěn)定性找到了一個(gè)具象的載體，同時(shí)又利用磁條教具創(chuàng)設(shè)了一個(gè)激發(fā)學(xué)生參與的有效情境。在某些教學(xué)中，當(dāng)某個(gè)學(xué)生搭建三角形經(jīng)教師旋轉(zhuǎn)后發(fā)現(xiàn)形狀是一樣的，還會(huì)有學(xué)生不確信，教師可以繼續(xù)請(qǐng)學(xué)生嘗試，最后發(fā)現(xiàn)，無(wú)論怎么搭建，要么直接旋轉(zhuǎn)后即與原圖一致，要么先翻轉(zhuǎn)再旋轉(zhuǎn)，形狀還是一致的。（注：因?qū)W生此時(shí)還未學(xué)圖形的放大與縮小，因此本文的形狀一致，即指形狀、大小完全相等。）三、升華：

5、對(duì)三角形穩(wěn)定性實(shí)質(zhì)的進(jìn)一步探索今年上半年，又有教師在沈老師基礎(chǔ)上做出了更進(jìn)一步的探索。以下即為教學(xué)中的一個(gè)片段。教師發(fā)給每位學(xué)生同等規(guī)格的三根小棒（如6cm、8cm、10cm），師：請(qǐng)同學(xué)們用這三根小棒首尾相連組成一個(gè)三角形。（此小棒都帶扣鈕，直接組裝即可）教師拿出一根長(zhǎng)長(zhǎng)的竹簽走向?qū)W生：請(qǐng)同學(xué)們把你們做的三角形全部套到老師的竹簽上來(lái)。（教師觀察，如發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生三角形方向不一致，提醒學(xué)生翻個(gè)面）教師對(duì)全部三角形進(jìn)行簡(jiǎn)單的撥弄、整理，所有三角形組成了一個(gè)中空的三棱柱！全體學(xué)生：哇！師：你們哇什么？生：我發(fā)現(xiàn)這些三角形組成了一個(gè)形體，不過(guò)我叫不來(lái)它的名字。生：我發(fā)現(xiàn)我們所有人的三角形形狀是一模一樣

6、的！師：怎樣的小棒才能搭出一模一樣的三角形？生：只要每組小棒的長(zhǎng)度是一樣的，它們所搭出的三角形就是一樣的。師：是的，只要三角形的三邊長(zhǎng)度一定，所搭出的三角形的形狀就是一樣的，這就是三角形的穩(wěn)定性。此教學(xué)片段和沈老師的教學(xué)片段最大的區(qū)別在于“樣本”的擴(kuò)張，從2個(gè)到數(shù)十個(gè)，這樣的變化可以起到以下作用。1.可以讓學(xué)生更確認(rèn)結(jié)果。在2個(gè)樣本的情況下，還是會(huì)有部分學(xué)生心中存有疑問(wèn)：只有一兩個(gè)學(xué)生上去搭了一下，是否真能說(shuō)明問(wèn)題？可不可能確實(shí)存在不一樣的三角形，只不過(guò)上去的學(xué)生沒(méi)搭出來(lái)？而當(dāng)樣本達(dá)到幾十個(gè)的時(shí)候，就學(xué)生而言，大容量素材足以支撐學(xué)生認(rèn)知從“量變”走向“質(zhì)變”。2.可以對(duì)學(xué)生產(chǎn)生更強(qiáng)烈的感官、認(rèn)

7、知刺激。在教師未整理之前，在絕大多數(shù)學(xué)生潛意識(shí)中會(huì)認(rèn)為，大家搭出的三角形肯定會(huì)有不一樣，所以當(dāng)結(jié)果呈現(xiàn)在學(xué)生眼前時(shí)，帶給學(xué)生的認(rèn)知沖突是非常強(qiáng)烈的，有利于激發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深入思考。四、回歸：學(xué)生對(duì)三角形穩(wěn)定性的不同理解就三角形穩(wěn)定性教學(xué)而言，目前為止，筆者所了解的“精彩”設(shè)計(jì)也就止于此。但長(zhǎng)期以來(lái)，筆者總覺(jué)得“三角形穩(wěn)定性”的教學(xué)存在問(wèn)題。于是，筆者想到了學(xué)生，也許他們能帶來(lái)教學(xué)的啟示，學(xué)生對(duì)此問(wèn)題究竟是怎樣認(rèn)識(shí)的？筆者選擇了不同層次的學(xué)生進(jìn)行了訪談。（這些學(xué)生現(xiàn)為五年級(jí)，在四下時(shí)已學(xué)過(guò)三角形穩(wěn)定性，而且當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)老師也采用類(lèi)似沈老師的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行過(guò)學(xué)習(xí)）以下即為不同層次學(xué)生的典型理解。（一

8、）對(duì)優(yōu)等生理解情況的訪談過(guò)程師：你記不記得三角形具有什么特性？生：穩(wěn)定性。師：你覺(jué)得什么叫穩(wěn)定性？生：就是三角形拉拉不會(huì)動(dòng)，形狀不會(huì)變。師出示兩組同等規(guī)格的小棒，用其中一組搭出一個(gè)三角形，問(wèn)：你能用另一組小棒首尾相連搭出一個(gè)和老師不一樣的三角形嗎？生思考片刻：不能，搭出來(lái)后轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)還是一樣的。（也有的優(yōu)生先動(dòng)手搭，搭完后自行旋轉(zhuǎn)，說(shuō)明還是一樣的）師：這說(shuō)明什么？生：說(shuō)明兩組一樣長(zhǎng)的小棒搭出的三角形形狀是一樣的。師：你覺(jué)得它和穩(wěn)定性有關(guān)系嗎？生：有。師：有什么關(guān)系？（接著學(xué)生的解釋均是模棱兩可的）（二）對(duì)中等生理解情況的訪談過(guò)程師：你記不記得三角形具有什么特性？生：穩(wěn)定性。師：你覺(jué)得什么叫穩(wěn)定性？

9、生：就是三角形拉拉不會(huì)動(dòng)，平行四邊形一拉就變形了。和前面類(lèi)似操作，問(wèn)學(xué)生能否用另一組小棒首尾相連搭出一個(gè)和老師不一樣的三角形。生操作旋轉(zhuǎn)后確認(rèn)不能。師：這說(shuō)明什么？學(xué)生能大致說(shuō)明同樣長(zhǎng)的小棒搭出來(lái)的三角形是一樣的，但語(yǔ)言表述不太流暢、準(zhǔn)確。師：你覺(jué)得它和穩(wěn)定性有關(guān)系嗎？生：好像有。師：有什么關(guān)系？生：第一個(gè)三角形是穩(wěn)定的，第二個(gè)三角形也是穩(wěn)定的。（三）對(duì)后進(jìn)生理解情況的訪談過(guò)程師：你記不記得三角形具有什么特性？生想了想：忘記了。師：你覺(jué)得什么叫三角形的穩(wěn)定性？生：就是三角形拉拉不會(huì)動(dòng)。和前面類(lèi)似操作，問(wèn)學(xué)生能否用另一組小棒首尾相連搭出一個(gè)和老師不一樣的三角形。一部分學(xué)生說(shuō)能，也有部分學(xué)生表示不

10、確定，而是在操作旋轉(zhuǎn)后確認(rèn)兩個(gè)三角形一樣。師：這說(shuō)明什么？生：說(shuō)不來(lái)。師：你覺(jué)得它和穩(wěn)定性有關(guān)系嗎？多數(shù)學(xué)生認(rèn)為不清楚。也有部分學(xué)生說(shuō)可能有關(guān)系但說(shuō)不來(lái)。雖然上述學(xué)生在四年級(jí)學(xué)習(xí)“三角形穩(wěn)定性”時(shí)，教師已經(jīng)通過(guò)兩組同等規(guī)格的小棒進(jìn)行過(guò)操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生從“同等規(guī)格的兩組小棒，所搭出的三角形形狀是一樣的”角度來(lái)理解三角形的穩(wěn)定性。但如果靜下心來(lái)分析上述不同層次學(xué)生的思維，可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)結(jié)束一段時(shí)間以后，再對(duì)積淀在學(xué)生頭腦中的對(duì)三角形穩(wěn)定性的認(rèn)識(shí)進(jìn)行跟蹤，情況遠(yuǎn)非所想。對(duì)于優(yōu)等生或者中等生而言，知道三角形有穩(wěn)定性，并將穩(wěn)定性主要理解為拉拉不會(huì)動(dòng)或拉拉不變形，對(duì)于操作活動(dòng)的理解直覺(jué)上認(rèn)為和穩(wěn)定性有關(guān)

11、，但要么說(shuō)不清兩者關(guān)系，要么認(rèn)為穩(wěn)定性就是這兩個(gè)一樣的三角形拉拉都不變形，都具有穩(wěn)定性。對(duì)于后進(jìn)生而言，很多學(xué)生都已經(jīng)忘記三角形的穩(wěn)定性這一特性，對(duì)穩(wěn)定性的解釋基本停留在拉拉（壓壓）不變形，至于操作實(shí)驗(yàn)與穩(wěn)定性之間的關(guān)系，則完全不能建立聯(lián)系。因此，就有必要進(jìn)一步叩問(wèn)以下幾個(gè)問(wèn)題。1.學(xué)生為什么難理解？這里所謂的難理解，主要是指學(xué)生很難將“三角形的穩(wěn)定性”和“三角形的形狀一致性（同樣規(guī)格的幾組小棒，所搭出的三角形大小形狀一樣）”之間取得溝通。在很多教學(xué)中，在學(xué)生操作三角形和平行四邊形學(xué)具后，教師讓學(xué)生用自己的話說(shuō)說(shuō)它們的特性，多數(shù)孩子會(huì)說(shuō)：平行四邊形一拉“容易變形”，三角形“不容易變形”，也有學(xué)

12、生會(huì)說(shuō)平行四邊形“不牢固”，三角形很“牢固”。很顯然，學(xué)生理解穩(wěn)定性是從操作活動(dòng)的外顯表征出發(fā)的，而且還要借助“外力”手的推拉活動(dòng)促進(jìn)理解。因此，對(duì)于學(xué)生而言“三角形具有不易變形的特性”比“三角形具有穩(wěn)定性”更好理解。而前文所提到的利用“形狀一致性”來(lái)理解三角形穩(wěn)定性，其實(shí)已經(jīng)脫離開(kāi)實(shí)際的推拉操作活動(dòng)，而是要借助形狀的一致性來(lái)理解三角形的穩(wěn)定性，這對(duì)學(xué)生而言，思維水平顯著提高。此外，從訪談中等生的一句話中也會(huì)有所啟發(fā)：第一個(gè)三角形是穩(wěn)定的，第二個(gè)三角形也是穩(wěn)定的。顯然，在學(xué)生心目中，三角形的穩(wěn)定性和兩個(gè)或多個(gè)三角形的一致性并沒(méi)有太多關(guān)系，它是存在于每一個(gè)獨(dú)立三角形內(nèi)部的特性。這讓筆者想起了兒童

13、形成空間觀念的心理特點(diǎn)中提到的一條關(guān)系比要素更難理解。比如，兒童知道什么是平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形等的特征，但讓其用集合圖描述各類(lèi)四邊形關(guān)系時(shí)就非常困難。類(lèi)似地，用拉一拉的方法理解三角形穩(wěn)定性側(cè)重的是要素角度，而形狀一致性角度理解則既要關(guān)注多個(gè)三角形之間的關(guān)系，還要理解形狀一致性和穩(wěn)定性之間的關(guān)系，因此難度是非常高的。2.學(xué)生需要理解到什么程度？通過(guò)上述關(guān)于學(xué)生難點(diǎn)的分析，筆者逐步有了明晰的答案。一方面，利用形狀一致性來(lái)理解三角形穩(wěn)定性，對(duì)于多數(shù)小學(xué)生來(lái)說(shuō)是比較難的。另一方面，三角形穩(wěn)定性?xún)?nèi)容將在初中數(shù)學(xué)中進(jìn)一步學(xué)習(xí)，而且在初中的學(xué)習(xí)時(shí)仍然要借助“推拉是否變形”來(lái)理解。北師大版初中數(shù)學(xué)教參是

14、這樣定位的：“教學(xué)中可以引導(dǎo)學(xué)生先進(jìn)行操作，在實(shí)踐中體會(huì)三角形的這個(gè)特殊性質(zhì)，再鼓勵(lì)學(xué)生思考三角形為什么具有穩(wěn)定性，逐步樹(shù)立推理的意識(shí)?！保ㄗⅲ捍颂幍耐评硪庾R(shí)主要是要與“三邊相等三角形全等溝通”。）因此，在小學(xué)階段無(wú)需過(guò)高要求。第三，從此知識(shí)點(diǎn)的意義來(lái)說(shuō)，小學(xué)階段主要定位于了解其特性及其在生活中的應(yīng)用，與小學(xué)階段后續(xù)學(xué)習(xí)沒(méi)有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性。此外，就“穩(wěn)定性”和“不易變形”兩個(gè)詞語(yǔ)本身而言，后一個(gè)更直接揭示三角形特性，而且初中學(xué)習(xí)時(shí)對(duì)于全等的研究就是形狀不變（一致性）。因此，筆者認(rèn)為，此內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)該這樣定位：首先，教穩(wěn)定性更應(yīng)該突出關(guān)注從“不易變形”角度理解。第二，應(yīng)該側(cè)重通過(guò)推拉三角形和平行四邊形學(xué)具體驗(yàn)其是否容易變形，個(gè)別班級(jí)基礎(chǔ)整體較好的，可以嘗試通過(guò)三角形形狀一致性角度提升理