初二下期末幾何壓軸題及解析(20210108130211)

1、 ABC 圖1的邊上.小林設(shè)圖1$ =;余下的 2F個(gè)三角形中還按照小林設(shè)計(jì)的剪法進(jìn)行第二次裁初二下期末幾何及解析1、以四邊形ABCD勺邊AB AD為邊分別向外側(cè)作等邊三角形 ABF和ADE連接EB FD,交點(diǎn)為G.(1 )當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)(如圖 1), EB和FD的數(shù)量關(guān)系是 ;(2) 當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)(如圖2) , EB和FD具有怎樣的數(shù)量關(guān)系 ？請(qǐng)加以證明；(3) 四邊形ABCD由正方形到矩形到一般平行四邊形的變化過程中，/EGD是否發(fā)生變化？如果改變，請(qǐng)說明 理由；如果不變，請(qǐng)?jiān)趫D 3中求出/ EGD的度數(shù).難度一般：證全等即可(第三問，圖1中就能看出是45。)解(1

2、) EB=FD 。(2) EB=FD證： AFB為等邊三角形， AF=AB / FAB=60/ ADE為等邊三角形， AD=AE / EAD=60，/ FAB+Z BAD/ EAD+/ BAD即/ FAD=/ BAE,.A FADA BAE,. EB=FD(3)解： ADE為等邊三角形，/ AEDZ EDA=60/ FADA BAEAEB=/ ADF設(shè)/ AEB為 x，則/ ADF也為 x于是有/ BED%( 60-x )，/ EDF( 60+x) Z EGD=180 - / BED-/ EDF=180 - (60-x) - (60+x) =60 2、已知：如圖，在 口ABCD中，點(diǎn)E是BC的

3、中點(diǎn)， 連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BF.(1) 求證： ABE FCE;(2) 若AF=AD，求證：四邊形 ABFC是矩形.簡(jiǎn)單題證明：(1)如圖1 .在厶 ABE 和厶 FCE 中，/ 1 = Z 2, Z 3=/ 4, BE=CE, ABE FCE .(2) ABE FCE , AB=FC ./ AB / FC ,四邊形 ABFC是平行四邊形.四邊形ABCD是平行四邊形， AD = BC./ AF=AD , AF=BC .二四邊形 ABFC 是矩形.3、已知： ABC是一張等腰直角三角形紙板，/B=90 , AB=BC=1 .(1 )要在這張紙板上剪出一個(gè)正方形，使這個(gè)正方形

4、的四個(gè)頂點(diǎn)都在計(jì)出了一種剪法，如圖 1所示.請(qǐng)你再設(shè)計(jì)出一種不同于圖1的剪法，并在圖2中畫出來.剪(如圖3),得到2個(gè)新的正方形，將此次所得 2個(gè)正方形的面積的和 記為S2，則S2=;在余下的4個(gè)三角形中再按照小林設(shè)計(jì)的的剪法進(jìn)行第三次裁剪(如圖4),得到4個(gè)新的正方形，將此次所得4個(gè)正方形的面積的和記為S3 ;按照同樣的方法繼續(xù)操作下去，第n次裁剪得到個(gè)新的正方形，它們的面積 的和Sn =(題外題：把你剪出的正方形的面積與圖 本題相當(dāng)于中考12題的簡(jiǎn)單題 解：(1)如圖2;1分(2) 1 , 1 , 2n1 ,-1中的正方形面積進(jìn)行比較。4、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形 ABC

5、D的邊長(zhǎng)為4,它的頂點(diǎn)A在X軸的正半軸上運(yùn)動(dòng),頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn) 相交于點(diǎn)P,連接OP .(1 )當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為A, D都不與原點(diǎn)重合)，頂點(diǎn)B，C都在第一象限，且對(duì)角線AC, BD482(3)設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，則在點(diǎn)A，D運(yùn)動(dòng)的yf外題：當(dāng) OA Od時(shí),12E圖3/ POA=(2)當(dāng)OAAB , D點(diǎn)在 AC上，AB = CD, E、F分別是 BC、AD的中點(diǎn)，連結(jié)EF并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G,若/ EFC = 60 ，聯(lián)結(jié)GD，判斷 AGD的形狀并證明。 （也可問/ ADG的度數(shù)。）判斷： AGD是直角三角形。證明：如圖聯(lián)結(jié) BD，取BD的中點(diǎn)H，

6、聯(lián)結(jié)HF、HE ,1 F 是 AD 的中點(diǎn)， HF/AB,HF -AB ,二/ 1 = Z 3。21同理，HE/CD , HE =_CD ,/ 2=Z EFC。2/ AB = CD , HF = HE，/ 1 = Z 2,3=Z EFC。/ EFC= 60,./ 3 =Z EFC =Z AFG = 60, AGF是等邊三角形。 AF = FG/ AF = FD, GF= FD，/ FGD = Z FDG = 30,/ AGD = 90,即厶AGD是（特殊）直角三角形。（GE=BG-BE , GH是直角三角形的斜邊，這樣證全等。）10、閱讀下列材料:小明遇到一個(gè)問題：AD是厶ABC的中線， 點(diǎn)M

7、為BC邊上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn) D重合），過點(diǎn)M作一直線，使其等分 ABC的面積.他的做法是：如圖1，連結(jié)AM過點(diǎn)D作DN/AM交AC于點(diǎn)N,作直線MN直線MN即為所求直線.請(qǐng)你參考小明的做法，解決下列問題:（1）如圖2,在四邊形ABCD中, AE平分ABCD的面積，M為CD邊上一點(diǎn)，過 M作一直線MN使其等分四邊形ABCD勺面積（要求：在圖 2中畫出直線MN并保留作圖痕跡）；（2）如圖3，求作過點(diǎn)A的直線AE,使其等分四邊形 ABCD勺面積（要求：在圖 3中畫出直線AE,并保留作圖痕跡）.（第二問，把厶ABC的面積接到DC的延長(zhǎng)線上。）D11、已知：四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) E在CD邊上，點(diǎn)

8、F在AD邊上，且AF= DE.（1）如圖1,判斷AE與BF有怎樣的位置關(guān)系？寫出你的結(jié)果，并加以證明；（2）如圖2,對(duì)角線 AC與BD交于點(diǎn)O. BD、AC分別與AE BF交于點(diǎn)G,點(diǎn)H./A 求證C OG= OF| eD 連接 OP若AP= 4, OP= 72，求AB的長(zhǎng).圖2D【第二問 第二問F 最終得 O圖 證厶在PC是CBHOAOGAB上截取BQ=AP則厶直角三角形，可得PQ= BQEOPAPH圖2=OQ AP=BQ 也可得/ OPGM OQP 又/ EPB=90 ,PB=6,在Rt APB中由勾股定理得的值。2倍根號(hào)13.）】12、已知：如圖，梯形 ABCD 中，AD / BC,/

9、B=90 AD=a , BC=b , DC=a b，且b a，點(diǎn)m是ab邊的中點(diǎn).（1）求證：CM丄DM ;（2）求點(diǎn)M到CD邊的距離.（用含a , b的式子表示）（我認(rèn)為答案的思路不是最好。片D平分/ ADC C MC本題還有這樣的思路：過 M做BC的平行線，交 DC于Q,則可證 MQ=DQ=CQ , B平分/ BCD，及/ DMC=90 ,;M到CD的距離也就是 Rt DMC斜邊的高M(jìn)N ,MN的平方=DN乘以NC=AD 乘以 BC=ab ,）證明：（1）延長(zhǎng)DM , CB交于點(diǎn)E.（如圖3）梯形 ABCD 中，AD / BC,/ ADM=/ BEM .點(diǎn)M是AB邊的中點(diǎn)，AM=BM.在厶

10、ADM 與厶BEM中，/ ADM=/ BEM ,i/ AMD =/ BME ,AM=BM, ADM BEM . AD=BE=a , DM = EM . CE=CB+BE=b a ./ CD=a b , CE=CD . CM 丄 DM .解：(2)分別作MN丄DC , DF丄BC,垂足分別為點(diǎn) N, F.(如圖4)/ CE=CD , DM =EM , CM 平分/ ECD ./ ABC= 90 ，即卩 MB 丄 BC, MN=MB ./ AD / BC, / ABC=90 ，/ A=90 .V/ DFB=90,.四邊形 ABFD為矩形. BF= AD=a , AB= DF . FC= BC BF

11、 =b a ./ RtA DFC 中，/ DFC=90,22222 DF DC FC =(a b) (b a) =4ab. DF= 2 ab . MN=MB = - AB= - DF = ab2 2A D圖3a nC圖4即點(diǎn)M到CD邊的距離為. ab .13、已知：如圖1,平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形OABC是矩形，點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為(6, 0), ( 0, 2).點(diǎn)1D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B,C不重合），過點(diǎn)D作直線y = - X + b交折線0 A B于點(diǎn)E.2（1） 在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過程中，若 ODE的面積為S,求S與b的函數(shù)關(guān)系式， 并寫出自變量的取值范圍；（2） 如圖2

12、,當(dāng)點(diǎn)E在線段0A上時(shí)，矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形 O A B, CB分別交CB,0A于點(diǎn)D, M , OA分別交CB , 0A于點(diǎn)N, E.探究四邊形 DMEN各邊之間的數(shù)量關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加 以證明；（3）問題（2）中的四邊形DMEN中，ME的長(zhǎng)為O本題難度對(duì)于初二學(xué)生相當(dāng)于 于【好好學(xué)習(xí)第一問的解題方法，第三問，E在OA上時(shí)，DE的長(zhǎng)度不變，為2倍根號(hào)5,（延x軸平移C代數(shù)法用勾股定理可求得C25題。第二問由兩組平行可得平行四邊形，/ME的值。】OED= / ONED （對(duì)稱性質(zhì)），得菱形。DME：使 D與C重合，設(shè)DM=EM=x , M XDME使D與C解：(1)V矩形

13、OABC中，點(diǎn)A, C的坐標(biāo)分別為(6,0),(0,2) ,/點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6, 2).若直線y若直線y1x21x21xb經(jīng)過點(diǎn)C (0, 2)，則bb經(jīng)過點(diǎn)A (6,0)，貝U b2當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上時(shí)，即2b 3時(shí),(如圖6)點(diǎn)E在直纟戔yx b 上，2當(dāng)y0時(shí)，x2b,點(diǎn)E的坐標(biāo)為1 (2b,0). S12b 22b .2當(dāng)點(diǎn)E在線段BA上時(shí)，即3b 5時(shí)，(如圖7)點(diǎn)D, E在直線y1xb上，2當(dāng)y2時(shí)，x2b 4;當(dāng)x6時(shí)，yb 3,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2b4,2)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(6,b3) SS矩形OABCS CODS OAES DBE若直線yb經(jīng)過點(diǎn)B (6, 2)，則b5 12 2(

14、2b4) 23)b2 5b .綜上可得：S2bb2(23),5b (35).(2) DM=ME=EN=ND .證明：如圖8.四邊形OABC和四邊形O AB是矩形， CB / OA, CB/ OA,即 DN/ ME, DM / NE.四邊形 DMEN是平行四邊形，且/ NDE = / DEM .矩形OABC關(guān)于直線DE對(duì)稱的圖形為矩形 O A B C / DEM=Z DEN ./ NDE = Z DEN . ND=NE .四邊形 DMEN是菱形. DM=ME = EN=ND .-(3)答：?jiǎn)栴}(2)中的四邊形 DMEN中，ME的長(zhǎng)為 2. 5 14、探究問題1 已知：如圖1 ,三角形ABC中，點(diǎn)

15、D是AB邊的中點(diǎn)，AE丄BC, BF丄AC,垂足分別為點(diǎn) E, F, AE, BF交于點(diǎn)M，連接DE , DF .若DE= k DF ,貝U k的值為 .拓展問題2已知：如圖2,三角形 且/ MAC = / MBC，過點(diǎn)M分別作求證：DE=DF.推廣問題3如圖3，若將上面問題ABC中，CB=CA，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，點(diǎn) M在三角形 ABC的內(nèi)部, ME丄BC, MF丄AC,垂足分別為點(diǎn) E, F,連接 DE, DF .2中的條件 CB=CA”變?yōu)镃B毛A”，其他條件不變，試探究DE與DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論（第三問，取BM和AM的中點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形，）122某區(qū)的模擬題與此高度相似

16、, 問題1 k的值為 1問題2 證明：如圖9./ CB=CA,圖9/ MAC = Z MBC ,/ CAB / MAC= / CBA / MBC ,即/ MAB = / MBA . MA = MB. ME丄BC, MF丄AC,垂足分別為點(diǎn) E, F , / AFM=/ BEM=90 在厶AFM 與厶BEM中，/ AFM = / BEM , / MAF = / MBE , MA=MB, AFM BEM . AF=BE.點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)， BD = AD . 在厶BDE與厶ADF中，BD = AD ,/ DBE =/ DAF ,-BE = AF, BDE 也厶 ADF . DE=DF .問題 3

17、 解: DE=DF .證明：分別取點(diǎn) D, G,H分別是AB , AM , BM的中點(diǎn), DG / BM ,DH / AM，且 DG= 1 BM , DH = 1 AM . 22四邊形DHMG是平行四邊形./DHM = / DGM ,AM , BM 的中點(diǎn) G, H，連接 DG, FG , DH , EH.（如圖 10） ME丄BC, MF丄AC,垂足分別為點(diǎn) / AFM=/ BEM=90 11 FG=AM= AG, EH=丄BM= BH .一2 FG= DH , DG= EH,/ GAF = / GFA,/ / FGM =2/ FAM ,HBE = / HEB ./ EHM =2 / EBM

18、 .圖10/ FAM = / EBM，/ FGM = / EHM . / DGM +/ FGM = / DHM + / EHM，即/ DGF = / DHE . 在厶 EHD 與厶 DGF 中，EH = DG , / EHD =/ DGF , HD = GF , EHD DGF . DE=DF .16、如圖，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) G是BC上任意一點(diǎn)，DE丄AG于點(diǎn)E, BF丄AG于點(diǎn)F。(1) 求證：DE BF = EF;(2) 若點(diǎn)G為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其余條件不變.請(qǐng)你在圖中畫出圖形，寫出此時(shí)DE、BF、EF之間的 數(shù)量關(guān)系(不需要證明)；(3) 若AB=2a，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)時(shí)，

19、試探究線段EF與GF之間的數(shù)量關(guān)系，并通過計(jì)算來驗(yàn)證你的結(jié)論。 第一問，證全等即可得AE=BF , AF=DE。第三問，各三角形相似，兩直角邊的比是1:2，所以可得AE=BF=EF=2FG。解：(1)證明：四邊形 ABCD是正方形，BF丄AG , DE丄AG DA=AB，/ BAF+ / DAE= / DAE+ / ADE=90 / BAF= / ADE ,ABF DAE BF=AE , AF=DE ; DE-BF=AF-AE=EF(2 )如圖，DE+BF=EF(3) EF=2FG過程： AB=2a，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)， BG=a由勾股定理可求AG . 5a又 AB丄BC , BF丄AC ,由等

20、積法可求 BF由勾股定理可求FG.5a5，AF4.5a5AE BF2.5a ,5EF2.5ra， EF=2FG17、如圖，在線段 AE的同側(cè)作正方形 ABCD和正方形BEFG (BEAB ),連接EG并延長(zhǎng)交 DC于點(diǎn)M , 作MN丄AB，垂足為點(diǎn)N , MN交BD于點(diǎn)P,設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1。(1) 證明：四邊形 MPBG是平行四邊形；(2) 設(shè)BE=x，四邊形MNBG的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍;(3) 如果按題設(shè)作出的四邊形MPBG是菱形，求BE的長(zhǎng)。(圖中的三角形多是等腰直角三角形，)證明：(1 )T ABCD、BEFG是正方形/ CBA= /

21、FEB=90，/ ABD= / BEG=45 , DB / ME。/ MN丄AB , CB丄AB , MN / CB。四邊形 MPBG是平行四邊形；112x ,22(0x1);(2)正方形 BEFG , BG=BE=xCMG= / BEG=45 , CG=CM=BN=1 x。 y= - (GB+MN ) BN= - ( 1+x) (1 x) 2 2(3) 由四邊形BGMP是菱形，則有 BG=MG ,即 x=丿2 (1 x) o 解得 x=2 V2 , BE=2 2。18、將一張直角三角形紙片 ABC折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，這時(shí)DE為折痕， CBE為等腰三角形；再繼 續(xù)將紙片沿 CBE的對(duì)稱軸E

22、F折疊，這時(shí)得到了兩個(gè)完全重合的矩形(其中一個(gè)是原直角三角形的內(nèi)接矩形，另一個(gè)是拼合成的無縫隙、無重疊的矩形），我們稱這樣兩個(gè)矩形為“疊加矩形”.請(qǐng)完成下列問題:(1)(2)(3)解:如圖，正方形網(wǎng)格中的 ABC能折疊成“疊加矩形”嗎？如果能，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出折痕; 如圖，在正方形網(wǎng)格中，以給定的 折成的“疊加矩形”為正方形； 如果一個(gè)三角形所折成的“疊加矩形”BC為一邊，畫出一個(gè)斜 ABC,使其頂點(diǎn)A在格點(diǎn)上，且 ABC為正方形，那么它必須滿足的條件是(1)（說明B只需畫口（2）（說明：只需畫出滿足條件的 一個(gè)三角形；答案不惟一，所畫三角形的一邊長(zhǎng)與該邊上的高相等即可.（3）19、考考你的推理與

23、論證C （本題6分） 如圖，在 ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)， E是AD的中點(diǎn)， 過A點(diǎn)作BC的平行線交CE的延長(zhǎng)線于F，且AF BD，連結(jié)BF .（1）求證：D是BC的中點(diǎn)；（2）如果AB AC ,試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明你的結(jié)論.難度一般 解(1)證明：T AF / BC,：/ AFE= / DCE./ E 是 AD 的中點(diǎn)， AE=DE ./ AEF= / DEC , AEF DEC . AF=DC. / AF=BD , BD=CD. , D 是 BC 的中點(diǎn).(2)四邊形AFBD是矩形， AB=AC , D 是 BC 的中點(diǎn)， AD 丄BC?，即/ ADB=90/ AF=B

24、D , AF / BC ,四邊形 AFBD 是矩形.20、拓廣與探索(本題7分)如圖（1） , RtAABC中，/ ACB=90，中線BE、CD相交于點(diǎn) O,點(diǎn)F、G分別是OB、OC的中點(diǎn).（1）求證：四邊形 DFGE是平行四邊形;（2） 如果把 Rt ABC變?yōu)槿我?ABC，如圖（2）,通過你的觀察，第（1）問的結(jié)論是否仍然成立？（不 用證明）；（3） 在圖（2）中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn) A,通過你的觀察和探究，在什么條件下？四邊形 DFGE是矩形，并 給出證明；（4） 在第（3）問中，試想：如果拖動(dòng)點(diǎn) A，是否存在四邊形 DFGE是正方形或菱形？如果存在，畫出相應(yīng) 的圖形（不用證明）（第三問，

25、AB=A（但是，AB工AC時(shí)21、如圖，點(diǎn)A （0, 4）,且底邊上的高是B=A（圖1） 時(shí)。第四問， 寸是菱形。）/點(diǎn)P為線段AB上的、（圖 2）BC的3/2、倍時(shí)是正方形。保持這種高與邊的比,、E-%個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作軸于點(diǎn)* PM y 軸，作PN x軸于點(diǎn)N,連接MN，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)， MN的值最小？最小值是多少？求出此時(shí)PN的長(zhǎng).（MN=OP，所以 0P丄AB時(shí)，MN也就是 0P最小，OP=12/5.）初三相似形22、如圖，在梯形 ABCD中，AD/ BC, AB=AD=DC= 4, C 60 AE BD于點(diǎn)E, F是CD的中點(diǎn)，連接EF.（1）求證：四邊形 AEFD是平行四邊形；（2

26、） 點(diǎn)G是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) G在什么位置時(shí)，四邊形 DEGF是矩形？并求出這個(gè)矩形的周長(zhǎng)；（3）在BC邊上能否找到另外一點(diǎn) G，使四邊形DEG F的周長(zhǎng)與（2）中矩形DEGF的周長(zhǎng)相等？請(qǐng)簡(jiǎn)述你的理由.（第二問，點(diǎn) G為BC中點(diǎn)時(shí)，也是 AE的延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)。第三問，能找到。以EF為一邊在EF的下方做 G1EF GFE , G1在BC上，但是不與 G重合，）23、（9 分）在梯形 ABCD 中，AB / CD , BCD 90，且 AB 1, BC 2 , CD 2AB。對(duì)角線 AC 和BD相交于點(diǎn)O ,等腰直角三角板的直角頂點(diǎn)落在梯形的頂點(diǎn)C上，使三角板繞點(diǎn) C旋轉(zhuǎn)。（1）如圖9

27、-1,當(dāng)三角板旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)是；（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，旋轉(zhuǎn)角為立請(qǐng)加以證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由;E落在BC邊上時(shí)，線段 DE與BF的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系 ，請(qǐng)你在圖9-2中畫出圖形，并判斷（1）中結(jié)論還成立嗎？如果成#【】（3）如圖9-3,當(dāng)三角板的一邊CF與梯形對(duì)角線 AC重合時(shí)，EF與CD相交于點(diǎn)P,若OF5 ,6求PE的長(zhǎng)。圖9-1（第三問，證明兩次相似，推導(dǎo)比例關(guān)系。解：（1）垂直，相等；（2）畫圖如圖（答案不唯一）（1）中結(jié)論仍成立。證明如下： 過A作AM DC于M，則四邊形CD 2AB , dm 2 1 2ECF 90o, BCF , DE5 BCDBCDDCE又 Q 34 ,圖9-

28、2）多看看圖9-3ABCMDC = BC。為矩形。 AM = BC=2 , MC=AB=1。DCE BCFBF, 12 90DEBF ,線段DE和BF相等并且互相垂直。(3)AB /CD,AOBABs COD ,CDOAOB 1Q AB1,CD2, OCOD 2、522OAo3同理可求得OBo35.5 ACQOFAFOA OF6，2 2.5CECFo2Q BCCD,BCD90,OBC 45 由（2）知 DCEBCF ,1 2 又3OBC45 ,CPE s COB OA OBOC ODPE CE. PE 。pe 衛(wèi)。OB BC2 226初三相似形24、(9分)將一矩形紙片 OABC放在平面直角坐

29、標(biāo)系中，O(0,0) , A(6,0) , C(0,3)。動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度沿 OC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)2秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以相等的速度沿3AO向終點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)。當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒)。(1) 用含t的代數(shù)式表示OP, OQ ;(2) 當(dāng)t 1時(shí)，如圖10-1，將 OPQ沿PQ翻折，點(diǎn)O恰好落在CB邊上的點(diǎn)D處，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3) 連結(jié)AC，將 OPQ沿PQ翻折，得到 EPQ，如圖10-2。問：PQ與AC能否平行？ PE與AC能 否垂直？若能，求出相應(yīng)的 t值；若不能，說明理由。2解：(1) OP 6 t, OQ t3(2)當(dāng)t

30、 1時(shí)，過D點(diǎn)作DD1 OA，交OA于D1，如圖1, 3分D(1,3)。5則 DQ QO , QC3(3) PQ能與AC平行。若PQ / AC，如圖2,則蘭A，即6_L 6 ,OQ OC23t314 由714t ，而 0 t , t939PE不能與AC垂直。若PEAC ,延長(zhǎng)QE交OA于F ,如圖3,則QFOQQFt 二3oQF5 tACOC3533EFQFQEQF OQ.5 t t -(1)t (、5 1)。.7分333又Q RtA EPF s RtOCA,OCOA453而0 t - , t不存在。325、銳角 ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC邊上，DE丄AB于E, 延長(zhǎng)ED交BC的延長(zhǎng)線于

31、點(diǎn) F.(1)當(dāng)/A=40。時(shí)，求/ F的度數(shù)； 設(shè)/ F為x度，/ FDC為y度試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式 第二問，/ B+x=90 , x+y= / B ,所以 y=90 -2x。解(1)V AB=AC,.BACB./ / A=40 , B70 ./ DE 丄 AB ,BEF90 F 20(2) /BC，A1802 B.FDCADE90A在厶BEF中，BEF 90 , B 90 F .CFDC 901802 F 902 F. y 2x 90 .26、如圖1,正方形 ABCD的邊CD在正方形 DEFG的 邊DE上，連接AE、GC.(1) 試猜想AE與GC有怎樣的數(shù)量關(guān)系；(2) 將正方形D

32、EFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2,連接AE和GC.你認(rèn)為 中的結(jié) 論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；(3 )在(2 )的條件下，求證： AE丄GC.(友情提示：旋轉(zhuǎn)后的幾何圖形與原圖形全等)延長(zhǎng)相交可證得垂直，解：(1)猜想：AE=GC(2) 答：AE=CG 成立.證明：四邊形ABCD與DEFG都是正方形， AD=DC, DE=DG, ADC= = EDG=90 . 1+ 3= 2+ 3=90 . 1= 2 ., ADE CDG ., AE=CG .(3) 延長(zhǎng)AE, GC相交于出由(2)可知5= 4.又5 6=90 ,4 7=180 DCE=90

33、, 6= 7.又/ 6 AEB=90 , AEB= CEH. CEH 7=90 . EHC=90 ., AE GC .27、如圖所示，在直角梯形 ABCD中, AD/BC,/ A= 90, AB= 12 , BC= 21, AD=1&動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)， 沿射線BC的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn) Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，在線段 AD上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (秒)。(1 )當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形 PQDC的面積是梯形 ABCD的面積的一半；C(2)四邊形PQDC能為平行四邊形嗎？如果能， 求出t的值；如果不能, 請(qǐng)說明

34、理由.(3)四邊形PQDC能為等腰梯形嗎？如果能，求出 t的值；如果不能, 請(qǐng)說明理由.(第一問，t=37/6，第二問，t=5，第三問，不能，/ QPC大于90,不 能等于/ DCP；本題擴(kuò)展：如果延 DA CB方向移動(dòng)，則可以出現(xiàn)等腰梯形。28、(12分)如圖，等腰梯形 ABC中, AD/ BC, M N分別是AD BC的中點(diǎn)，E、F分別是BM CM的中點(diǎn).(1 )在不添加線段的前提下，圖中有哪幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)直接寫出結(jié)論；(2) 判斷并證明四邊形 MENI是何種特殊的四邊形？(3) 當(dāng)?shù)妊菪?ABCD勺高h(yuǎn)與底邊BC滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)？四邊形 MEN是正方形（直接寫出結(jié)論，不需要證明

35、） 兩對(duì)；菱形；一半。39、E是正方形 ABCD的對(duì)角線 BD上一點(diǎn)，EF丄BC, EGL CD, 垂足分別是F、G.求證：AE FG .簡(jiǎn)單題：連接 CE，則CE=FG，再證全等即可。證明：連接 CE v四邊形ABCD為正方形 AB = BC，/ ABD =Z CBD = 45,/ C= 90v EFLBC, EGLCD, 四邊形 GEFC 為矩形 GF= ECAB = BC在厶ABE和厶CBE中 / ABD =/ CBDBE = BE ABEA CBE - AE= CE/. AE= CF 30、在厶 ABC中，/ BAC=90 , AB=AC 點(diǎn) D是 AB的 中點(diǎn)，連接 CD過B作BE! CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn) E, 連接AE過A作AFL AE交CD于點(diǎn)F.(1 )若 AE=5,求 EF;(2)求證：CD=2BE+DE.(第一問，/ EBD+/ ABC+/ B