圓的切線性質(zhì)定理[教學(xué)文書]

1、1上課教育 直線和圓相交直線和圓相交 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧 nd d r;r; nd d r;r; n 直線和圓相切直線和圓相切 n 直線和圓相離直線和圓相離 nd d r;r; 直線與直線與圓圓的位置關(guān)系的位置關(guān)系量化量化揭密揭密 O O 相交相交 O 相切相切 相離相離 rrr d d d 2上課教育 切線的性質(zhì)：切線的性質(zhì)： 1、圓的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。、圓的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。 2、切線與圓心的距離等于半徑、切線與圓心的距離等于半徑(d=r)。 切線還有什么性質(zhì)呢？ CD B O A 3上課教育 探索探索切線切線性質(zhì)性質(zhì) 如圖如圖, ,直線直線CDCD與與O O相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)A,

2、 A, 半徑半徑OAOA與直線與直線 CDCD有怎樣的位置關(guān)系有怎樣的位置關(guān)系? ?說說你的理由說說你的理由. . 半徑半徑OAOA垂直于直線垂直于直線CD.CD. 議一議議一議 駛向勝利 的彼岸 n老師期望老師期望: n圓的對稱性已經(jīng)在你心中落地生根圓的對稱性已經(jīng)在你心中落地生根. n小穎小穎的理由是的理由是: : n右圖是軸對稱圖形右圖是軸對稱圖形,OA,OA所在直線所在直線 是對稱軸是對稱軸, , n沿它沿它對折圖形時(shí)對折圖形時(shí),AC,AC與與ADAD重合重合, , 因此因此,BAC=BAD=90,BAC=BAD=90. . CD O A 4上課教育 探索切線性質(zhì)探索切線性質(zhì) 小亮小亮的

3、理由是的理由是:OA:OA與與CDCD要么垂直要么垂直, ,要么不垂直要么不垂直. . 假設(shè)假設(shè)OAOA與與CDCD不垂直不垂直, ,過點(diǎn)過點(diǎn)O O作一條直徑垂直于作一條直徑垂直于 CD,CD,垂足為垂足為M,M, 議一議議一議 駛向勝利 的彼岸 n老師期望老師期望: n你能看明白你能看明白(或掌握或掌握)用反證法說理的過程用反證法說理的過程. n則則OMOA,OMOA,即圓心到直線即圓心到直線CDCD的距離的距離 小于小于O O的半徑的半徑, ,因此因此,CD,CD與與O O相相 交交. .這與已知條件這與已知條件“直線與直線與O O相相 切切”相矛盾相矛盾. . CD O A n所以所以O(shè)

4、 OA A與與CDCD垂直垂直. . M 5上課教育 切線切線的性質(zhì)定理的性質(zhì)定理 參考小穎和小亮的說理過程參考小穎和小亮的說理過程, ,請你寫出這個(gè)命題請你寫出這個(gè)命題 定理定理 圓切直線垂直于過切點(diǎn)的半徑圓切直線垂直于過切點(diǎn)的半徑. . 議一議議一議 駛向勝 利彼岸 n老師提示老師提示: n切線的性質(zhì)定理是證明兩線垂直的重要根據(jù)切線的性質(zhì)定理是證明兩線垂直的重要根據(jù);作作 過切點(diǎn)的半徑是常用經(jīng)驗(yàn)輔助線之一過切點(diǎn)的半徑是常用經(jīng)驗(yàn)輔助線之一.(連半徑，連半徑， 得垂直）得垂直） n如圖如圖 nCDCD是是O O的切線的切線,A,A是切點(diǎn)是切點(diǎn),OA,OA 是是O O的半徑的半徑, ,CDOA.

5、CDOA. CD B O A 6上課教育 一、切線的性質(zhì)：一、切線的性質(zhì)： 1、圓的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。、圓的切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)。 2、切線與圓心的距離等于半徑、切線與圓心的距離等于半徑(d=r)。 3、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。、圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑。 二、輔助線的作法二、輔助線的作法 作過切點(diǎn)的半徑作過切點(diǎn)的半徑 (連半徑，得垂直）連半徑，得垂直） 7上課教育 切線切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例題欣賞例題欣賞 8上課教育 切線切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用的性質(zhì)定理的應(yīng)用 1.1.直線直線BCBC與半徑為與半徑為r r的的O O相交相交, ,且點(diǎn)且點(diǎn)O O到直線到直線BCB

6、C的距的距 離為離為5,5,求求r r的取值范圍的取值范圍. 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) 2.2.一枚直徑為一枚直徑為d d的硬幣沿直線滾動一圈的硬幣沿直線滾動一圈. .圓心經(jīng)過的距離圓心經(jīng)過的距離 是多少是多少?.?. 老師提示老師提示: :硬幣滾動一圈硬幣滾動一圈, ,圓心經(jīng)過的路經(jīng)是與直線平行的圓心經(jīng)過的路經(jīng)是與直線平行的 一條線段一條線段, ,其長度等于圓的周長其長度等于圓的周長. . r BC O 9上課教育 切線的判定：切線的判定： 1、直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)：、直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)：只有只有一個(gè)公共點(diǎn)。一個(gè)公共點(diǎn)。 2、圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，即、圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，

7、即d=r。 還有其它方法嗎？ 10上課教育 直線何時(shí)變?yōu)橹本€何時(shí)變?yōu)榍芯€切線 如圖如圖,AB,AB是是O O的直徑的直徑, ,直線直線CDCD經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn)A,CDA,CD與與ABAB的夾角的夾角 為為,當(dāng)當(dāng)CDCD繞點(diǎn)繞點(diǎn)A A旋轉(zhuǎn)時(shí)旋轉(zhuǎn)時(shí), , 你能寫出一個(gè)命題來表述這個(gè)事實(shí)嗎你能寫出一個(gè)命題來表述這個(gè)事實(shí)嗎? 議一議議一議 n1.1.隨著隨著的變化的變化, ,點(diǎn)點(diǎn)O O到到CDCD的距離的距離 如何變化如何變化? ?直線直線CDCD與與O O的位置關(guān)系如的位置關(guān)系如 何變化何變化? ? n2.2.當(dāng)當(dāng)?shù)扔诙嗌俣葧r(shí)等于多少度時(shí), ,點(diǎn)點(diǎn)O O到到CDCD 的距離等于半徑的距離等于半徑? ?此

8、時(shí)此時(shí), ,直線直線CDCD與與 O O有的位置關(guān)系有的位置關(guān)系? ?有為什么有為什么? ? B O A CD d d d 11上課教育 切線的切線的判定判定定理定理 定理定理 經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線 是圓的切線是圓的切線. . 老師提示老師提示: 切線的判定定理是證明一條直線是否是圓的切線的根切線的判定定理是證明一條直線是否是圓的切線的根 據(jù)據(jù);作過切點(diǎn)的半徑是常用經(jīng)驗(yàn)輔助線之一作過切點(diǎn)的半徑是常用經(jīng)驗(yàn)輔助線之一. 議一議議一議 CD B O A n如圖如圖 nOAOA是是O O的半徑的半徑, ,直線直線CDCD經(jīng)過經(jīng)過A A 點(diǎn)點(diǎn), ,且且

9、CDOACDOA, , n CD CD是是O O的切線的切線. . 12上課教育 切線的判定：切線的判定： 1、直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)：、直線與圓公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)：只有只有一個(gè)公共點(diǎn)。一個(gè)公共點(diǎn)。 2、圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，即、圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系，即d=r。 3、經(jīng)過半徑外端且垂直于、經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑這條半徑的直線是圓的切線。的直線是圓的切線。 13上課教育 切線切線判定判定定理的應(yīng)用定理的應(yīng)用 1.已知已知O O上有一點(diǎn)上有一點(diǎn)A,A,你能過點(diǎn)你能過點(diǎn)A A點(diǎn)作出點(diǎn)作出O O的切線嗎的切線嗎? ? 做一做做一做 n老師提示老師提示: : n根據(jù)根據(jù)“經(jīng)過半徑的

10、外端且垂直于這條半徑的直線是圓的經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的 切線切線”只要連結(jié)只要連結(jié)OA,OA,過點(diǎn)過點(diǎn)A A作作OAOA的垂線即可的垂線即可. . O A n2.已知已知O O外有一點(diǎn)外有一點(diǎn)P,P,你還能過點(diǎn)你還能過點(diǎn)P P點(diǎn)作出點(diǎn)作出O O的切線嗎的切線嗎? ? O P 14上課教育 練習(xí)與鞏固：練習(xí)與鞏固： 2、如圖如圖,在在ABC中中,AB=AC,BAC=120, A與與BC相切于相切于 點(diǎn)點(diǎn)D,與與AB相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)E,則則ADE等于等于_ _度度. 1、如圖，如圖，A、B是是 O上的兩點(diǎn)，上的兩點(diǎn)，AC是是 O的切線，的切線，B=70， 則則BAC等于（等于（

11、 ） A. 70 B. 35 C. 20 D. 10 ? E ? C ? D ? B ? A O A B C （2）（1） 3、如圖如圖,在在OAB中中,OB：AB=3：2 , 0B=6， O與與AB相切相切 于點(diǎn)于點(diǎn)A, 則則 O的直徑為的直徑為 。 O A B （3） 15上課教育 4、如圖如圖,PA、PB是是 O的切線的切線,切點(diǎn)分別為切點(diǎn)分別為A、B,且且APB=50, 點(diǎn)點(diǎn)C是優(yōu)弧上的一點(diǎn)是優(yōu)弧上的一點(diǎn),則則ACB=_. ? P ? O ? C ? B ? A 5、如圖，如圖， O的直徑的直徑AB與弦與弦AC的夾角為的夾角為30，過，過C點(diǎn)的切線點(diǎn)的切線 PC與與AB的延長線交于的延

12、長線交于P，PC=5，則，則 O的半徑為（的半徑為（ ） A. B. C. 10D. 5 P A B C O （5） （4） 3 35 6 35 輔助線的作法：輔助線的作法：作過切點(diǎn)的半徑作過切點(diǎn)的半徑 16上課教育 變式一：變式一：在在ABC中，中，AB=2，AC= ，以，以A為圓心，為圓心，1為半為半 徑的圓與邊徑的圓與邊BC相切相切 ，則，則BC的長為的長為 。 A BC 6、在在ABC中，中，AB=2，以，以A為圓心，為圓心，1為半徑的圓與邊為半徑的圓與邊BC 相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)D ，則，則BD的長為的長為 。 A BC D 變式二：變式二：如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A是圓是圓O外一點(diǎn)，外一點(diǎn)，O

13、A=4，AB與圓相切于點(diǎn)與圓相切于點(diǎn) B，且，且AB=2 ，弦，弦BCOA，則，則BC的長為的長為 。 A O B C 17上課教育 7、如圖如圖,AB為為 O的直徑，的直徑，C為為 O上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，AD和過和過C點(diǎn)的切點(diǎn)的切 線互相垂直，垂足為線互相垂直，垂足為D，求證：，求證：AC平分平分DAB。 A O B C D （7） 8、如圖如圖,AB為為 O的直徑，的直徑，BC是是 O的切線，切點(diǎn)為的切線，切點(diǎn)為B，OC 平行于弦平行于弦AD，求證：，求證：CD是是 O的切線。的切線。 A O B C D （8） 18上課教育 1、確定一個(gè)圓的位置與大小的條件是什么？、確定一個(gè)圓的位置與大小的

14、條件是什么？ 圓心與半徑圓心與半徑 2、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理、角平分線的性質(zhì)定理與判定定理 性質(zhì)：在一個(gè)角的內(nèi)部，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的性質(zhì)：在一個(gè)角的內(nèi)部，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的 距離相等。距離相等。 判定：到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。判定：到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上。 19上課教育 1.1.經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓。經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)可以作一個(gè)圓。 2.2.經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做 三角形的外接圓三角形的外接圓。 3.3.三角形三角形外接圓的圓心是三角形三邊垂外接圓的圓心是三角形三邊垂 直平分線的交點(diǎn)

15、，叫做直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心三角形的外心， 這個(gè)三角形叫做這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。 三角形與三角形與圓圓的位置關(guān)系（回顧）的位置關(guān)系（回顧） B C O A 性質(zhì):三角形的外心到三角形三三角形的外心到三角形三 個(gè)頂點(diǎn)的距離相等個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 20上課教育 如圖是一塊三角形木料，木工師傅要如圖是一塊三角形木料，木工師傅要 從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下從中裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下 的圓的面積盡可能大呢？的圓的面積盡可能大呢？ A BC A BC 三角形的外接圓在實(shí)際中很有用三角形的外接圓在實(shí)際中很有用,但還但還 有用它不能解決的問題有用它不能

16、解決的問題.如如 21上課教育 C B A D F E O r 22上課教育 思考下列問題思考下列問題： 1如圖，若如圖，若 O與與ABC 的兩邊相切，那么圓心的兩邊相切，那么圓心O的的 位置有什么特點(diǎn)？位置有什么特點(diǎn)？ 圓心圓心0在在ABC的平分線上。的平分線上。 2如圖如圖2，如果，如果 O與與 ABC的內(nèi)角的內(nèi)角ABC的兩邊的兩邊 相切，且與內(nèi)角相切，且與內(nèi)角ACB的兩的兩 邊也相切，那么此邊也相切，那么此 O的圓的圓 心在什么位置？心在什么位置？ 圓心圓心0在在BAC,ABC與與ACB的三個(gè)角的三個(gè)角 的角平分線的交點(diǎn)上。的角平分線的交點(diǎn)上。 O M A B C N O 圖圖2 A B

17、 C 探究：三角形內(nèi)切圓的作法探究：三角形內(nèi)切圓的作法 23上課教育 作法：作法： A B C 1、作、作B、C的平分線的平分線 BM和和CN，交點(diǎn)為，交點(diǎn)為I。 I 2過點(diǎn)過點(diǎn)I作作IDBC，垂足為，垂足為D。 3以以I為圓心，為圓心，ID為為 半徑作半徑作 I. I就是所求的圓。就是所求的圓。 MN D 試一試試一試: 你能畫出一個(gè)三角形的內(nèi)切圓嗎你能畫出一個(gè)三角形的內(nèi)切圓嗎? 24上課教育 定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)內(nèi) 切圓切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交 點(diǎn)，叫做三角形的點(diǎn)，叫做三角

18、形的內(nèi)心內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的，這個(gè)三角形叫做圓的外外 切三角形切三角形。 1.1.三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等； 性質(zhì)性質(zhì)： C B A D F E O r 2.2.三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上； 25上課教育 1.如圖如圖1，ABC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圓，圓， 點(diǎn)點(diǎn)O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。 外接外接 內(nèi)接內(nèi)接 外心外心 三邊中垂線三邊中垂線 2.如圖如圖2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是是DEF的的 圓，圓， 點(diǎn)點(diǎn)I是是 DEF的的

19、 心，心， 它是三角形它是三角形 的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。 A B C O 圖圖1 I D EF 圖2 外切外切 內(nèi)切內(nèi)切 內(nèi)內(nèi) 三條角平分線三條角平分線 3. 三角形的內(nèi)切圓能作三角形的內(nèi)切圓能作_個(gè)個(gè),圓的外切三角形有圓的外切三角形有 _ 個(gè)個(gè),三角形的內(nèi)心在三角形的三角形的內(nèi)心在三角形的_. 26上課教育 思考下列問題思考下列問題： 1如圖，若如圖，若 O與與ABC 的兩邊相切，那么圓心的兩邊相切，那么圓心O的的 位置有什么特點(diǎn)？位置有什么特點(diǎn)？ 圓心圓心0在在ABC的平分線上。的平分線上。 2如圖如圖2，如果，如果 O與與 ABC的內(nèi)角的內(nèi)角ABC的兩邊的兩邊 相切，且與內(nèi)角相切，且與內(nèi)角AC

20、B的兩的兩 邊也相切，那么此邊也相切，那么此 O的圓的圓 心在什么位置？心在什么位置？ 圓心圓心0在在BAC,ABC與與ACB的三個(gè)角的三個(gè)角 的角平分線的交點(diǎn)上。的角平分線的交點(diǎn)上。 O M A B C N O 圖圖2 A B C 探究：三角形內(nèi)切圓的作法探究：三角形內(nèi)切圓的作法 27上課教育 作法：作法： A B C 1、作、作B、C的平分線的平分線 BE和和CF，交點(diǎn)為，交點(diǎn)為I。 I 2過點(diǎn)過點(diǎn)I作作IDBC，垂足為，垂足為D。 3以以I為圓心，為圓心，ID為為 半徑作半徑作 I. I就是所求的圓。就是所求的圓。 EF D 試一試試一試: 你能畫出一個(gè)三角形的內(nèi)切圓嗎你能畫出一個(gè)三角形

21、的內(nèi)切圓嗎? 這樣的圓可以作出幾個(gè)呢這樣的圓可以作出幾個(gè)呢? ?為什么為什么?.?. 28上課教育 n直線直線BEBE和和CFCF只有一個(gè)交點(diǎn)只有一個(gè)交點(diǎn)I,I, 并且點(diǎn)并且點(diǎn)I I到到ABCABC三邊的距離相三邊的距離相 等等( (為什么為什么?),?), n因此因此和和ABCABC三邊都相切的三邊都相切的 圓可以作出一個(gè)圓可以作出一個(gè), ,并且只能并且只能 作一個(gè)作一個(gè). . I EF D A B C 29上課教育 定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)內(nèi) 切圓切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心內(nèi)心，這個(gè)三，這個(gè)三 角形

22、叫做圓的角形叫做圓的外切三角形外切三角形。 1.1.三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；三角形的內(nèi)心到三角形各邊的距離相等；性質(zhì)性質(zhì)： C B A D F E O r 2.2.三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上；三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上； 30上課教育 n分別作出銳角三角形分別作出銳角三角形, ,直角三直角三 角形角形, ,鈍角三角形的內(nèi)切圓鈍角三角形的內(nèi)切圓, ,并說并說 明與它們內(nèi)心的位置情況明與它們內(nèi)心的位置情況? ? n提示提示: :先確定圓心和半徑先確定圓心和半徑, ,尺規(guī)尺規(guī) 作圖要保留作圖痕跡作圖要保留作圖痕跡. . A B C A B C C A B 31上課教育 1.如圖如圖1，ABC是是 O的的 三角形。三角形。 O是是ABC的的 圓，圓， 點(diǎn)點(diǎn)O叫叫ABC的的 ， 它是三角形它是三角形 的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。 外接外接 內(nèi)接內(nèi)接 外心外心 三邊中垂線三邊中垂線 2.如圖如圖2，DEF是是 I的的 三角形，三角形， I是是DEF的的 圓，圓， 點(diǎn)點(diǎn)I是是 DEF的的 心，心， 它是三角形它是三角形 的交點(diǎn)。的交點(diǎn)。 A B C O 圖圖1 I D EF 圖