計(jì)算方法公式總結(jié)

1、精品文檔計(jì)算方法公式總結(jié)緒論4.3歡迎下載絕對誤差x , x為準(zhǔn)確值，X為近似值。絕對誤差限|e| |x x|，&為正數(shù)，稱為絕對誤差限r(nóng)通常用e表示相對誤差r相對誤差e相對誤差限|er| r或|er | r有效數(shù)字元函數(shù)y=f (x)絕對誤差 e(y) f(x)e(x)相對誤差e(y)e(y)yf (x) e(x)yxf(x)f(x)er(x)二元函數(shù) y=f (xi,x 2)XiX2絕對誤差 e(y)f(xi,x)dxif(x,x)dx2/、 f （Xi,X2）X1/、相對誤差er（y）0（為）9 翌 er（X2）yX2e（xi + 叼）=e（x） + e（2）? E（叼 一 X2） =

2、E（叼）一 e（X2）, e街2）o x2e（zi） 詫（叼）,卻e（zi）e丄1e（J72）.2er（ 十 遠(yuǎn)2） a切（叼）H+遲2囂+遲2*v龍 I/山 2/飾（功 -X2）心寺（心）=巳廠（工2）,X 一工2工1 運(yùn)2crV “（叼）一。（叼）.er（xix2） Q 引（叼）+ 6（叼），機(jī)器數(shù)系1）數(shù)的浮點(diǎn)表小:才=土（0.5他如）護(hù);其中 0 /3（1 / n）, L pU.2）機(jī)器中的數(shù)集是有限的：j-二（0.兩血）卩卩：1 W切S E0 - ,i=2t：ir ynLp U3）實(shí)數(shù)返- -、兀（機(jī)器數(shù)）.注：1.2,且通常取2、4、6、82. n為計(jì)算機(jī)字長3.指數(shù)p稱為階碼（指

3、數(shù)），有固定上下限L、U 尾數(shù)部sO.aL a.,定位部 p5.機(jī)器數(shù)個(gè)數(shù)1 2（1） n 1（U L 1）機(jī)器數(shù)誤差限精品文檔1舍入絕對|x fl(x)| - n p截?cái)嘟^對|x fl(x)|舍入相對|X fl(x)|X|截?cái)嘞鄬x fl(x)|X|11歡迎下載積分中值定理設(shè)幾r)/(砒在p川匕連續(xù),H詢砧上保號(hào)負(fù)或井1叮，則存 扳UL使得f*bf A/ f dx = /) / 金)drJ aJ a秦九韶算法方程求根im*f(x) (x xf g(x), g(x) 0 , x 為 f (x) =0 的 m重根。二分法抵一 口| S 3(加一心)冬喬訂少一 a)+對丁給定桔度6若取A;使彳7

4、1門、冇卩一町 &則有|* 切 迭代法f(x) 0Xk 1(Xk ) k=0、1、2* *xk為迭代序列，（x）為迭代函數(shù)，!im xkx （X ）k定理1設(shè)祕對在b內(nèi)存在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足：1）當(dāng)a; G a川時(shí),卩佃） at6；2）存在正常數(shù)E oc4)L1-L耳一血-山人=123；Lk-l-LA； = 1 r 2 , 3 ：局部收斂定義1對方程丄=卩，若在:的果個(gè)鄰域S = 龍|工_才| 內(nèi)，對任意初值兀e S迭代格式電+i =以列）都收斂，則稱 迭代法在的附近局部收斂*定理3設(shè)方程血=卩3）有根說 且在E的某個(gè)鄰域S = x|x-X*| d內(nèi)卩（對一階連續(xù)可導(dǎo)，貝!|1）當(dāng)|0（h）|

5、 1時(shí),迭代格式發(fā)散-注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應(yīng)用定理3判斷是否局部收斂定義2設(shè)序列口收斂于并記 =心如杲存在常 數(shù)P 21及非零常數(shù)C使得則稱序列盹是衛(wèi)階收斂的. .” 一 1,卩(工“)=0,人二12 沖3)*0,則迭代格式件詁附近足衛(wèi)階局部收斂的 L仃-r* _ ”3)(汩)定理4 問訕”附近的某個(gè)鄰域內(nèi)有(鼻1)階連續(xù)孑數(shù)且(14)(15)Hin - frIoo i(16)如 k _ 如果卩=1要求0(/)| 1 牛頓迭代法f(x) f(Xk) f (Xk)(X Xk) 0Xk 1Xk T(k 0,1,2 丄)f (Xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近

6、真值。半為方程單根時(shí),Newton迭代是二階局部收斂.當(dāng)分為方程m伽 2)重根時(shí),Newton迭代一階局部收斂.牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂，加如下四個(gè)條件定理5設(shè)函數(shù)幾叨在區(qū)間血切內(nèi)2階連續(xù)可導(dǎo)，且滿足:1)Co* |ci| 0;2) |6| |Oi| + |q|,”3) 如 at! 0*易證(4)的系數(shù)矩陣非奇異.利用6皿消去法解方程組每步 消元只要消一個(gè)元素消元過程算法如下：,n做=b. yi=2 Pi-1iii=&一 iiCt-i, yt = di /妙一加ci口202C2d口36.3* Q* 豪I- 十*T1 J n1珂一*1血A!/1 0肉c2V2003

7、”C3A也V0in15 1tVyn-0Vn _回代算法:叭二（-G心+1）/04列主元高斯消元法設(shè)進(jìn)彳亍了斤1步消元.打片(1)）J1)片allaV2知叫1alkalnrtLn+10(2)23叫1a2,k aln4 100(3)喙1遵tt3Tn+li-00()04*0-0(A-1)匚-1）心）（以）A的=竹-1410ak-,k(k) au皚-I 誑44卅) ahw-000 1)-aM,nA：+ 1 ,Tl+1+ +0+-04+0 0*- * a*-(Ai-V00 v 40 0ankt b nn他）當(dāng)1 ask 1 max1 aik 1 即第k次消元把kn行第k列絕對值最大的行（s2.1向量范數(shù)

8、i殳必=（富為嚴(yán)G RX定義1設(shè)危）=|卜|是皿上的函數(shù)，如果滿足:D （非負(fù)性丿 Ve Rn,有|時(shí)| Of M|x| = 0 o 忑=0； 2”齊次性丿色 G Rn, AeR 有以 | = |A|o?|;3）（三角不等式）如9 R”,有A + 2/|h| + |訓(xùn). 則稱II * IPjR上的范數(shù).常川的三個(gè)向量范數(shù)：n1）1范數(shù)：II劃|1 =工山|;112）00-范數(shù):lllloo = max |a|；ln3）2范數(shù)：|2 = J ”=血 = /a；）.精品文檔定理2設(shè)A GnMill2)則=max lAxlli =nmax y hijL1勺s| 訓(xùn)=1i-l=山暮|山忑|二n弋焉刀隔

9、l険lloc=lJ=1=S=p(ATA).A=iHlloc定義5設(shè)B e R吟 九也，九為B的ri個(gè)特征值，稱pB = max|Af|!?n為矩陣左的譜半彳包定理3閔 |是理曲I:的桿總一個(gè)矩陣范數(shù)，A e射牟 則有P（A） )/33*卍十1)=(切-為1龍,)- an2_ *如厲佟1)/門73711迭代矩陣JD (L U)收斂性判據(jù)：| I J | 0 |D 1 |?|L DU|O|L D U | 0 求出 最大值小于1( J的譜半徑小于1)即迭代格式收斂.Gauss-Seidel 迭代法迭代格式(k 1)1(k 1):(k)x D ( Lx Ux b)x(k 1) (D L) 1 Ux(k

10、)(D L) 1b1迭代矩陣：G (D L) U1常數(shù)矩陣：g (D L) b(+1)7 1g仗)(A) /K = (*1I 0122 1必3毗)/口 11(M) l(M)W(k) t可 =02 - 211 切3巧翊訂訂)“22收斂性判據(jù): DE| I G | 0|(D L) 1 |?| (D L) U | 0| (D L) U | 0求出最大值小于1 (G的譜半徑小于_ 1)即迭代格式收斂.結(jié)論：當(dāng)A是嚴(yán)格對角占優(yōu)的，則Jacobi和Gauss-Seidal迭代法均是收斂的甫值法用插值多項(xiàng)式p( x)代替被插函數(shù)f(x)插值多項(xiàng)式：P(x)3q ax Lanx ，n+1個(gè)點(diǎn) P(xJyi(i

11、0: n)插值區(qū)間：a,b，插值點(diǎn)滿足axox1LXnb求插值多項(xiàng)式p( x)，即求多項(xiàng)式系數(shù)的過程為插值法帶入可知求系數(shù)的插值點(diǎn)行列式為范德蒙行列式，不為0,有唯一解。即n+1插值條件對應(yīng)的不超過 n次的插值函數(shù) P(x)只有一個(gè)。次線性插值P (x)X。xlX1y。y1人 x。yi(x) y1(x)lk(x)(X Xi)i 0、i 7i kn0(Xk Xi)n (x Xi)0 (Xk Xi)Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(X)yJk(x)k 0n(j0i kXXk)yk插值余項(xiàng)非插值節(jié)點(diǎn)上Lagrange插值多項(xiàng)式為被插函數(shù)f(x)的近似值Rn(X)f(X) Ln(X)n(n 1)!i0(

12、xXi)(a,b)帶導(dǎo)數(shù)插值條件的余項(xiàng)估計(jì)(1)求一個(gè)三灰多項(xiàng)式H(P使得歸口 fW”r(d), h()二 Z*H(a =只八 H (a) - f巴 乂 S八fix) H(h) =4!它的余項(xiàng)為求一個(gè)三次爭項(xiàng)式H(J使得它的余項(xiàng)為f() -H(x)=匚嚴(yán)(定理2設(shè)1/何(宅)在血b I :連續(xù) /(n+1)(x)在(a，b)內(nèi)存在 % X1, ,巧 訓(xùn) 為互異節(jié)點(diǎn),Ln(x)是滿足的插值多項(xiàng)式 則 對Vc G 7, 6, 3 (a, b) (依歟于小便得凡(石)=f 仗)一 Ln(x)=(“ + 1)!(10)JI沖 5+1(工)=-血)i=0注：推導(dǎo)過程用羅爾中值定理構(gòu)造輔助函數(shù)(t)R.(

13、t) K(x)Wni(t)注2 “ g依賴于眄即f = C(x) E心；1,衛(wèi)覓,Xo)*2丿為幾廠)木身是一個(gè)次數(shù)不超過li勺蘇項(xiàng)式時(shí)./(T)- E的= a因而S3)人叭特別當(dāng)/(x) = l則有n X 3 = 1 A=U3丿由于 般不能精飾求出,因此只能估計(jì)誤差.設(shè)- Afn+lj則仃皿何丄弟MI第二條性質(zhì)用于可以證明階數(shù)不大于n的f(x)的插值余項(xiàng)為0.差商和Newton插值法定義2設(shè)i2知函數(shù)也）在舁+ 1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)心円嗎上的 函數(shù)值為子仙1）. /（iCl）p.子1）.稱.f（ - fgJ 幾 A =巧斗為/（關(guān)于節(jié)點(diǎn)羽叼的/階差商（均差丄稱/階差商打幾呵|和 打弓：九的差商f *

14、巧*士九”阮,:工7j/（x）關(guān)于節(jié)點(diǎn)j;巧叼*七的2階澄商，一般地*稱2個(gè)盒1階的 建商為k階差瓶L!卩Tkl,叼，衛(wèi)卜|“訂一 f 呵，叼,“可 2叼約定0階茸商是函數(shù)ftl計(jì)算函數(shù)的淬商可以通過列表法計(jì)算。記憶方法：先記分母，最后一個(gè)減去第一個(gè)，對應(yīng)的分子第一項(xiàng)是最后一個(gè)臨近 k元素的差商，第二項(xiàng)是第一個(gè)臨近 k個(gè)元素的差商。性質(zhì)3郅介差商和A;階導(dǎo)數(shù)之間有如F關(guān)系;打1嚴(yán)5）/皿g川如=,其中q W （niitir0, 銳訂11戀叭川,牛頓插值多項(xiàng)式G（不）=幾叼）+打呵叼（不一啦）+ /肚山叼22仗一叼）（龍一4） + .+ f -Oi 工1廠,工前一匹o）（富X1） * * *（X

15、 Xn-1）*（ 1 5）（15 ）稱為n * Newton插值多項(xiàng)式.通常記作Nn（ x）分段樣條插值給定“疋）在比+ 1個(gè)節(jié)點(diǎn)d = To J：1 V * xn = b上的函數(shù) 值：JCIX幾一J（X1）f（n）1 切h = inax壯在每個(gè)小區(qū)間叼旳+打上作子佃）llht = jCf的線性插值的）一幾鳥）+ /國，疋好1（工一叭）,maxUin-1）-厶 1/（兀）=J（I -心）3 5& I;口:心十）從而有品心恥）1 了嚴(yán)（&）3 一 切（富 一 51）maxTirri+1擁max |和)1(17)三次樣條插值函數(shù)分段二次樣條插值討論n為奇偶情況時(shí)的三個(gè)點(diǎn)余項(xiàng)估計(jì)式第一類邊界條件（端

16、點(diǎn)一階導(dǎo)數(shù)已知）6j = 1,2,，n-1的十心巧+1(孰十M+1)町-叼)+眄3 - xj)2 + 麗r A+i Mj)(e Xj)3,r E 巧，叼十i, j = 11，口 一 L i 26)曲線擬合最小二乘原理函數(shù)關(guān)于n個(gè)點(diǎn)線性無關(guān)定義1設(shè)心巧、珀是倫個(gè)互不相同的點(diǎn)，仇（足）的（叭 神的）是（皿十1）個(gè)己知的函數(shù)如果存在不全為 零的常數(shù)州使得切00叼）十 6如（巧）H%（巧）-, J - 1,2（co?ci - .Cm） - uiiiiy如）（3）閔川嚴(yán)fajneR稱m卩（足）=工齢1=0為數(shù)據(jù)的擬合函數(shù).如東血（=忑匸則稱。（叮為m次彊小一乘多項(xiàng)式.注：線性無關(guān)的函數(shù)為1,x, X2,

17、 X3丄n,X才是最小二乘多項(xiàng)式f如咖! I如妙Q爐嘆(如00)($141)(林0 砒): : * m)妙)44(!/?為0給定方程組位11江12*化1畀星_rfc舊1 曲2*4*VV_也ml。應(yīng)2 八如皿_ bg貝沖加幾系數(shù)矩陣A的列向量線性無關(guān).方程（5）稱為超定方 程組.該方程組一般沒有精確解*記mtn?。ㄇ慑? ）-刀丫求瑤瘍,X*,使得;w二，曬）二 min（叼：叼，* .；門,帀,“ .TneR山駐點(diǎn)方程組的理論可知，琳咗 衛(wèi);是卜面方程組的解:ArAx - A1 b注：記住公式即可。數(shù)值積分和數(shù)值微分性質(zhì)7 （定積分中值定理）如果函數(shù)/（兀）在閉區(qū)間叭糾上連續(xù),則在積分區(qū)間們上至

18、少存在一個(gè)歳使7（兀冷=/（6）（方辿 ggD由亂值含式般的數(shù)值積分公式為:nf （時(shí)必 刀月汀（叼J,X：0Xk 為求積節(jié)點(diǎn)， A 為求積系數(shù)。插值求積公式/(/)rbI f)dxuii4Lnd)dj：fb 43)血f血)k=0=力A汀(心)A-0+ th. t |0: n: Xj+ J兄竝=a + kfh定義2如果求積點(diǎn)弧伙=0丄)是等距的,即.,b a斤=a十a(chǎn) =n則稱對應(yīng)的插值型求積公式為Newton-Cotes公式(_ nn-A： 嚴(yán) nC卄=一yr- TT(Z j)dt A =，地11.作變換_r =H t可M2 2心)=f害f (L + b b (7 - + Tf-itT1.1

19、上的Gauss公式得猖/上的GaussA77/(X l- 6 b (i 、( 5 I和二(7.記住Xktk, A A的關(guān)系，tk Ak查表即可= I-杯， -4a 二一 Ai A；二 0 J冗,jW則得訥上的Gau陰積分公式為人（門=工4汀血）A-0定義4役有計(jì)算積分/(刀的復(fù)化求枳公式幾(/),如果存在正整 數(shù)p和非零常數(shù)G便怖()-人(了) h-O hp則稱公式I丄打缶P階的.復(fù)化梯形公式_2階，復(fù)化_Simpson公式4階，復(fù)化Cote公式6階計(jì)算機(jī)通過不斷把區(qū)間二分，所得前后兩次積分差值滿足精度條件即可1給定精度&,班1 1 I2n( f )1 n( f ) 1 時(shí)1|l(f) G(f

20、)| 廠 Il2n(f) ln(f)|因而可以取l2n(f )為l(f )的近似值。梯形占I1心)sun決(門跆川Simps on數(shù)值微分畑)仏罵一畑 (向前差剛幾)一 ?心一辦),(向后龍商)門呵)門/伽D 款伽件(中點(diǎn)葢商)數(shù)值微分截?cái)嗾`差畑）_仏+: -皿=氣嚴(yán)仙）+0（臚）， fM -皿）-嚴(yán)。）=少伽）十。（們， 畑）-g + h）J（D 號(hào)嚴(yán)血）+ 0（們,中點(diǎn)公式：f (Xo h) f (Xo h)2h常微分方程數(shù)值解法左矩形公式/ g(x)dx =少 一 a)ga) + 少 丁) g), & (礙風(fēng)右矩形公式ack * pdf J g(rr)血=(b_a)g(b) 一 J(),中矩形公式/ gx)dx = (b - a)g (-) -_g(), (碼 亦梯形公式f g血=弓血)+地)一氣烏， e匕gEuler方法f yf -axb,= 7假設(shè)1) 心必警型連續(xù).2) (I)存在唯一解?/3)且在仏引上充分光滑.、h = (b a)/n.= + 汎，(j = 0? 1廠,n)