概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)總結(jié)之第一章

1、第一章 概率論的基本概念在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果又具確定性現(xiàn)象： 在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象 隨機(jī)現(xiàn)象：在個(gè)別試驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性， 有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象 隨機(jī)試驗(yàn)： 具有下述三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)：1. 可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行2. 每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果3. 進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn) 樣本空間：將隨機(jī)試驗(yàn) E 的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果組成的集合稱為 E 的樣本空間，記為 S 樣本點(diǎn)：樣本空間的元素，即 E 的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn) 樣本空間的元素是由試驗(yàn)的目的所確定的。隨機(jī)事件：一般，我們稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件 在每次

2、試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生。 基本事件：由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集，稱為基本事件。必然事件：樣本空間S包含所有的樣本點(diǎn)，它是S自身的子集，在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生的， 稱為必然事件。不可能事件：空集 不包含任何樣本點(diǎn)， 它也作為樣本空間的子集， 在每次試驗(yàn)中， 稱為不可 能事件。事件間的關(guān)系與運(yùn)算：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,而A,B, Ak (k=1,2,)是S的子集。1. 若A B ,則稱事件B包含事件A,這指的是事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生。 若A B且B A,即A=B則稱事件A與事件B相等。2. 事件A B x | x A或x B稱為事件A與事件B的和事件。當(dāng)

3、且僅當(dāng) A,B 中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件 A B 發(fā)生。n類似地，稱U Ak為事件An A2,An的和事件；稱U Ak為可列個(gè)事件人，人， k1k1的和事件。3. 事件A B=x | x A且x B稱為事件A與事件B的積事件。當(dāng)且僅當(dāng)A,B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件 A B 發(fā)生。 A B 記作 AB。類似地，稱| Ak為n個(gè)事件AiA，,An的積事件；稱| Ak為可列個(gè)事件k 1k 1AA,的積事件。4. 事件A B x I x A且 x B稱為事件A與事件B的差事件。當(dāng)且僅當(dāng)A發(fā) 生、B不發(fā)生時(shí)事件A B發(fā)生。5. 若A B ，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的。這指的是事件 A與 事件B不能同時(shí)

4、發(fā)生?；臼录莾蓛苫ゲ幌嗳莸摹?. 若A B S且A B ,則稱事件A與事件B互為逆事件。又稱事件A與事件 B互為對(duì)立事件。這指的是對(duì)每次試驗(yàn)而言，事件 A,B中必有一個(gè)發(fā)生。A的對(duì) 立事件A. A S A.設(shè)代B,C為事件，則有交換律：A BBA; ABBA.結(jié)合律:A (BC)(AB)C；A (BC)(AB)C.分配律:A (BC)(AB)(AC)；A (BC)(AB)(AC).德摩根律：A B A B;A B A B.頻率與概率頻率：在相同的條件下，進(jìn)行了 n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA，稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nA/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成 仁A頻率的基本性質(zhì)

5、：1.0 三 fn A 三 12. fn S =13. 若Ai, A2,Ak是兩兩互不相容的事件，則fn( A1 A Ak ) = fn ( A1 )+ + fn ( Ak )概率：設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于E的每一事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為 P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P( )滿足下列條件：1. 非負(fù)性2. 規(guī)范性：對(duì)于必然事件S,有P(S)=13. 可列可加性：P(A A2 )=P ( A1) +P(AJ+概率的性質(zhì)：1. P( )=02. (有限可加性)若A，A，A是兩兩互不相容的事件，則有P ( AA2 An) =P(A)+P(A2)+ +P(An)3. 設(shè)A,B

6、是兩個(gè)事件，若A B，則有P(B-A)=P(B)-P(A),P(B) P(A)4. 對(duì)于任一事件 A, P(A) 0，稱P(B | A)=P(AB)/P(A)為在事件A發(fā)生的條件 下事件 B 發(fā)生的條件概率 .條件概率P( | A)的性質(zhì)：1. 非負(fù)性:P(B | A) 02. 規(guī)范性：對(duì)于必然事件S,有P(S | A)=13. 可列可加性：設(shè)BB是兩兩互不相容的事件，則有P(UBi I A)P(Bi | A)i1 i1對(duì)于任意事件 B,C, 有P(BU C| A)=P(B | A)+P(C | A)-P(BC | A)乘法定理：設(shè) P(A)0，則有 P(AB)=P(B | A)P(A)一般，

7、設(shè)AA，,An為n個(gè)事件，n2,且P(AA?a代J 0,則有P(A!A2AAn) P(An | 人人2八代 JP(An ! | 人入八代 2)八 P(A? | A)P(A)劃分：設(shè)S為試驗(yàn)E的樣本空間，Bi, B2, A Bn為E的一組事件，若1. BiBj,i j,i, j 1,2,a ,n2. B1 B2 ABn S,則稱Bi, B2,ABn為樣本空間S的一個(gè)劃分全概率公式：設(shè)試驗(yàn) E 的樣本空間為 S， A 為 E 的事件， B1,B2,ABn 為 S 的一個(gè)劃分，且P(Bi)0(i1,2,a,n)，貝UP(A) P(AB1)P(B1) P(AB2)P(B2) A P(ABn)P(Bn)

8、貝葉斯公式：設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間為S,A為E的事件，Bi,B2Bn為S的一個(gè)劃分，且P(A)0 ,P(Bi) 0(i 1,2,n),則nP(Bi | A) P(A | Bi)P(Bi)/P(A | Bj)P(Bj)j i先驗(yàn)概率：根據(jù)以往數(shù)據(jù)分析得到的概率后驗(yàn)概率：在得到信息之后再重新加以修正的概率 獨(dú)立性: 設(shè)A,B是兩事件，如果滿足等式P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A,B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱 A,B獨(dú)立定理一： 設(shè)A,B是兩事件，且P(A)0，若A,B相互獨(dú)立，則P(B | A)=P(B),反之亦然。 定理二：若事件A與B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與B, A與B, A與B設(shè)A,B,C是三個(gè)事件，如果滿足等式:P(AB) P(A)P(B)P(AC) P(A)P(C)P( BC) P(B)P(C)P(ABC) P(A)P(B)P(C)則稱事件A,B,C相互獨(dú)立。一般，設(shè)A, A?,，An是n(n 2)個(gè)事件，如果對(duì)于其中任意2