函數(shù)的對稱性[講課適用]

1、有些函數(shù)有些函數(shù) 其圖像有著優(yōu)美的對稱性，其圖像有著優(yōu)美的對稱性， 同時(shí)又有著優(yōu)美的對稱關(guān)系式同時(shí)又有著優(yōu)美的對稱關(guān)系式 1優(yōu)選課堂 1-3-1-265432 -xx ( 1)(1)FF ( 2)(2)FF ()( )FxF x 78 0 x （偶函數(shù)）（偶函數(shù)） Y=F(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對稱對稱 知識(shí)回顧知識(shí)回顧 l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， F(-x)=F(x) X Y 2優(yōu)選課堂 1-3-1-26543278 2x ( )f x f(x)= f(4-x) f(1)= f(0)= f(-2)= f(310)= f(6) f(4-31

2、0) 0 x4-x Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=2對稱對稱 f(3) f(4) l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， x y 3優(yōu)選課堂 f(1+x)= f(3-x) f(2+x)= f(2-x) f(x)= f(4-x) 對于任意的對于任意的x 你還能得到怎樣的等式？你還能得到怎樣的等式？ l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， Y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=2對稱對稱 1-3-1-2654327 2x ( )f x 0 x4-x Y x 4優(yōu)選課堂 -2-x 1-3-1-26543278 x=-1 f(x)

3、= f(-2-x) x 思考思考?若若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=-1對稱對稱 Y x 5優(yōu)選課堂 -1+x-1-x 1-3-1-26543278 x=-1 f(-1+x)= f(-1-x) 思考思考?若若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=-1對稱對稱 f(x)= f(-2-x) Y x 6優(yōu)選課堂 猜測：若猜測：若y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 f(x)=f(2a-x) xa f(a-x)=f(a+x) 7優(yōu)選課堂 xa 在在y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)圖像上任取一點(diǎn)P 點(diǎn)點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)P 則有則有P的坐標(biāo)應(yīng)滿足的坐標(biāo)應(yīng)滿足y=

4、f(x) 也在也在f(x)圖像上圖像上 P(x0,f(x0) P P(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0) 即：即： f(x)=f(2a-x) x02a-x0 y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 （代數(shù)證明）（代數(shù)證明） () 求證求證已知已知 y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 f(x)=f(2a-x) 8優(yōu)選課堂 xa 在在y=f(x)圖像上任取一點(diǎn)圖像上任取一點(diǎn)P 若點(diǎn)若點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)P 也在也在f(x)圖像上圖像上 P(x0,f(x0) P P(2a-x0,f(x0) f(x0)=f(2a-x0) f(x)=f

5、(2a-x) x02a-x0 y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 （代數(shù)證明）（代數(shù)證明） () 已知已知求證求證 y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 則則y=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 ? f(x)=f(2a-x) P在在f(x)的圖像上的圖像上 9優(yōu)選課堂 ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) ly=f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=0對稱對稱 f(x)=f(-x) 特例：特例：a=0 軸對稱性軸對稱性 思考？思考？ 若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)=f(b+x)

6、, 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對稱對稱 a+b 2 x= 直線直線 xa 10優(yōu)選課堂 -xx x y o F(-x)+F(x)=0 y=F(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(0,0)中心對稱中心對稱 中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究 a l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， 11優(yōu)選課堂 F(x)+F(2a-x)=0 x y o a y=F(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， 中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究 x2a-x 12優(yōu)選課堂 F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+

7、F(a+x)=0 x y o a l從從”形形”的角度看，的角度看，l從從”數(shù)數(shù)”的角度看，的角度看， 中心對稱性中心對稱性類比探究類比探究 a+x a-x y=F(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 b 13優(yōu)選課堂 a F(a+x)+F(a-x)=2b F(x)+F(2a-x)=2b b 中心對稱性中心對稱性 y=F(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于(a,b)中心對稱中心對稱 類比探究類比探究 x y o 14優(yōu)選課堂 思考？思考？ (1)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)+f(b+x)=0, (2)若若y=f(x)滿足滿足f(a-x)+f(b+x)=2c, 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于

8、 對稱對稱 a+b 2 ( ,0 )點(diǎn)點(diǎn) 則函數(shù)圖像關(guān)于則函數(shù)圖像關(guān)于 對稱對稱 a+b 2 ( ,C )點(diǎn)點(diǎn) 15優(yōu)選課堂 知識(shí)內(nèi)容：知識(shí)內(nèi)容： 函數(shù)圖像的對稱性函數(shù)圖像的對稱性對稱關(guān)系式對稱關(guān)系式 y=F(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于x=a軸對稱軸對稱F(x)=F(2a-x) F(a-x)=F(a+x) y=F(x)圖像關(guān)于點(diǎn)圖像關(guān)于點(diǎn)(a,b)中心對稱中心對稱F(x)+F(2a-x)=2b F(a-x)+F(a+x)=2b 16優(yōu)選課堂 數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法: 1.數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 2.由特殊到一般由特殊到一般 3.類比思想類比思想 17優(yōu)選課堂 知識(shí)遷移：知識(shí)遷移： 已知對任意已知對任意x

9、，有，有f(x+2)=f(-x), 當(dāng)當(dāng)x 2,3，y=x 求當(dāng)求當(dāng)x -1,0時(shí)，時(shí)，f(x)的解析式？的解析式？ 18優(yōu)選課堂 謝謝謝謝! 19優(yōu)選課堂 奇函數(shù)奇函數(shù) F(-x)=-F(x) 即：即：F(-x)+F(x)=0 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對稱中心對稱 -xx 20優(yōu)選課堂 F(x)+F(2a-x)=0 F(a-x)+F(a+x)=0 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 -xx 21優(yōu)選課堂 a 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 F(a+x)+F(a-x)=0 F(x)+F(2a-x)=0 22優(yōu)選課堂 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a

10、,0)中心對稱中心對稱 23優(yōu)選課堂 -x x 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=0對稱對稱 F(-x)=F(x) 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 F(a-x)=F(a+x) x=a F(x)=F(2a-x) 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對稱中心對稱 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 F(-x)=-F(x) F(a-x)+F(a+x)=0 F(x)+F(2a-x)=0 軸對稱軸對稱中心對稱性中心對稱性 a 24優(yōu)選課堂 ( )f x 函數(shù)函數(shù) 圖像關(guān)于圖像關(guān)于 軸對稱軸對稱xa ()()f axf axxD 證明：證明： （必要性）（必要性） 25

11、優(yōu)選課堂 26優(yōu)選課堂 xxxxxx1 -3-1-265432 27優(yōu)選課堂 1-3-1-22 -xx 28優(yōu)選課堂 29優(yōu)選課堂 1-3-1-265432 -xx ( 1)(1)FF ( 2)(2)FF ()( )FxF x 78 ( )f x 6x (5)(7)ff (4)(8)ff (6)(6)fxfx 6x ( 6)( 6)fxfx 思考？若函數(shù)思考？若函數(shù) 圖像關(guān)于圖像關(guān)于 軸對稱，軸對稱， ( )f xxa ( )f x 有怎樣的對稱關(guān)系式？有怎樣的對稱關(guān)系式？ 0 x 30優(yōu)選課堂 xa 函數(shù)函數(shù)y=f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于x=a軸對稱軸對稱 證明：證明： （必要性）（必要性）

12、任取任取y=f(x)圖像上一點(diǎn)圖像上一點(diǎn)P(x0,y0) 若點(diǎn)若點(diǎn)P關(guān)于直線關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)P 也在也在f(x)圖像上圖像上 分析：分析： P(x0,y0)P P(2a-x0,y0)代入代入y=f(x) Y0=f(2a-x0) y=f(x)圖像上每圖像上每一一點(diǎn)及其關(guān)于點(diǎn)及其關(guān)于x=a對稱點(diǎn)對稱點(diǎn) 都在都在y=f(x)圖像上圖像上 則則y=f(x)圖像上圖象關(guān)于圖像上圖象關(guān)于x=a對稱對稱 則由則由P的任意性可知的任意性可知 ？ f(x)=f(2a-x) 31優(yōu)選課堂 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=0對稱對稱 F(-x)=F(x) 函數(shù)圖像關(guān)于直線函數(shù)圖像關(guān)于直線x=a對稱

13、對稱 F(a-x)=F(a+x) x=a F(x)=F(2a-x) 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(0,0)中心對稱中心對稱 函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)圖像關(guān)于(a,0)中心對稱中心對稱 32優(yōu)選課堂 ? xa 任取任取y=f(x)圖像上一點(diǎn)圖像上一點(diǎn)P(x0,y0) 設(shè)設(shè)P是是P關(guān)于直線關(guān)于直線x=a的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn) 由由f(x)圖像關(guān)于圖像關(guān)于x=a對稱對稱 P也在也在y=f(x)圖像上圖像上 P(x0,y0)P f(2a-x0)=f(x0) 即：即： f(x)=f(2a-x) x02a-x0 P(2a-x0,y0) 猜測：若猜測：若f(x)圖像關(guān)于直線圖像關(guān)于直線x=a對稱對稱 f(x)有怎樣的對稱關(guān)系式？有怎樣的對稱關(guān)系式？ f(x)=f(2a-x) f(a-x)=f(a+x) 證明證明: () y0=f(x0) 33優(yōu)選課堂 P(x0,f(x0) 若若P也在也在f(x)圖像上，圖像上， xa (2a-x0, y0) P P(2a-x0, y0)代入代入y=f(x) f(2a-x0) =f(x0) y0 ？ = f(2a-x0