2021年高等數(shù)學(xué)一（專升本）考試題庫（真題版）

1、2021年高等數(shù)學(xué)一（專升本）考試題庫（真題版）單選題1.A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、收斂性與a有關(guān)答案：A解析：2.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：由不定積分基本公式可知3.設(shè)f(x)在點x=2處連續(xù)，（）A、0B、1C、2D、任意值答案：B解析：4.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：先依所給積分次序的積分限寫出區(qū)域D的不等式表達(dá)式畫出積分區(qū)域D的圖形如圖5-2所示上述表達(dá)式不是題目中選項中的形式如果換為先對y積分后對x積分的積分次序，則區(qū)域D可以表示為可知應(yīng)選C說明此題雖然沒有明確提出交換二重積分次序，但是這是交換二重積分次序的問題5.函數(shù)y=sinx在區(qū)間0，上滿足羅爾

2、定理的=（）A、AB、BC、CD、D答案：C解析：6.設(shè)二元函數(shù)z=xy，則點Po(0，0)（）A、為z的駐點，但不為極值點B、為z的駐點，且為極大值點C、為z的駐點，且為極小值點D、不為z的駐點，也不為極值點答案：A解析：可知Po點為Z的駐點當(dāng)x、y同號時，z=xy0；當(dāng)x、y異號時，z=xy0，可知f(x)在-1，1上單調(diào)增加，最大值為f(1)=5，所以選D57.A、2x-2eB、2x-e2C、2x-eD、2x答案：D解析：由導(dǎo)數(shù)的基本公式及四則運算法則，有故選D58.設(shè)，y=COSx，則y等于()A、-sinxB、sinxC、-cosxD、cosx答案：A解析：由導(dǎo)數(shù)的基本公式可知，因此

3、選A59.A、2xB、3+2xC、3D、x2答案：A解析：由導(dǎo)數(shù)的基本公式及四則運算法則，有故選A60.設(shè)unvn(n=1，2，)，則（）A、AB、BC、CD、D答案：D解析：un、vn可能為任意數(shù)值，因此正項級數(shù)的比較判別法不能成立，可知應(yīng)選D61.A、發(fā)散B、絕對收斂C、條件收斂D、收斂性與k有關(guān)答案：C解析：62.A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充分必要條件D、既非充分條件也非必要條件答案：B解析：由連續(xù)與極限的關(guān)系知選B63.A、5yB、3xC、6xD、6x+5答案：C解析：64.微分方程yx=0的通解為A、AB、BC、CD、D答案：D解析：解析所給方程為可分離變量方程65.A

4、、AB、BC、CD、D答案：D解析：66.微分方程y=1的通解為（）A、y=xB、y=CxC、y=C-xD、y=C+x答案：D解析：67.A、AB、BC、CD、D答案：A68.A、0B、0，則f(x)在(0，1)內(nèi)（）A、單調(diào)減少B、單調(diào)增加C、為常量D、不為常量，也不單調(diào)答案：B解析：由于f(x)0，可知f(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)增加因此選B159.A、收斂且和為0B、收斂且和為aC、收斂且和為a-a1D、發(fā)散答案：C解析：160.A、AB、BC、CD、D答案：C解析：161.A、cos(x+y)B、-cos(x+y)C、sin(x+y)D、-sin(x+y)答案：B解析：162.A、f(b

5、)-f(a)B、f(b)C、-f(a)D、0答案：D解析：由于定積分存在，它表示一個確定的數(shù)值，其導(dǎo)數(shù)為零，因此選D163.設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)均在(a，b)可導(dǎo)，且滿足f(x)A、必有f(x)g(x)B、必有f(x)C、必有f(x)=g(x)D、不能確定大小答案：D解析：由f(x)164.設(shè)Y=e-5x，則dy=()A、-5e-5xdxB、-e-5xdxC、e-5xdxD、5e-5xdx答案：A解析：【評析】基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運算法則是常見的試題，一定要熟記基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式對簡單的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，應(yīng)該注意由外到里，每次求一個層次的導(dǎo)數(shù)，不要丟掉任何一個復(fù)合層次165.

6、A、1/3B、1C、2D、3答案：D解析：解法1由于當(dāng)x一0時，sinaxax，可知故選D解法2故選D166.設(shè)函數(shù)f(x)=sinx，A、sinx+CB、cosx+CC、-sinx+CD、-cosx+C答案：A解析：167.函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù)是f(x)在x0處可導(dǎo)的（）A、充分非必要條件B、必要非充分條件C、充分必要條件D、既非充分條件也非必要條件答案：B解析：由可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系：“可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)不一定可導(dǎo)”可知，應(yīng)選B168.設(shè)函數(shù)f(x)在0，b連續(xù)，在(a，b)可導(dǎo)，f(x)0若f(a)f(b)0，則y=f(x)在(a，b)()A、不存在零點B、存在唯一零點C、存在極大

7、值點D、存在極小值點答案：B解析：由于f(x)在a，b上連續(xù)f(z)fb)0，可知f(x)在(a，b)內(nèi)單調(diào)增加，因此f(x)在(a，b)內(nèi)如果有零點，則至多存在一個綜合上述f(x)在(a，b)內(nèi)存在唯一零點，故選B169.設(shè)y=cos3x，則y=（）A、AB、BC、CD、D答案：D解析：y=cos3x，則y=sin3x(3x)=-3sin3x因此選D170.設(shè)區(qū)域D=(x，y)|-1x1，0y2，A、1B、2C、3D、4答案：D解析：4，因此選D171.在空間直角坐標(biāo)系中，方程x2+z2=z的圖形是（）A、圓柱面B、圓C、拋物線D、旋轉(zhuǎn)拋物面答案：A解析：線為圓、母線平行于y軸的圓柱面172

8、.設(shè)x是f(x)的一個原函數(shù)，則f(x)=A、AB、BC、CD、D答案：C解析：x為f(x)的一個原函數(shù)，由原函數(shù)定義可知f(x)=x=1，故選C173.設(shè)y=5x，則y=（）A、AB、BC、CD、D答案：A解析：174.A、3(x+y)B、3(x+y)2C、6(x+y)D、6(x+y)2答案：C解析：175.A、2xy+sinyB、x2+xcosyC、2xy+xsinyD、x2y+siny答案：A解析：將y認(rèn)作常數(shù)，可得知因此選A176.A、AB、BC、CD、D答案：A177.過點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的平面方程為()A、x+y+z=1B、2x+y+z=1C、x+2y

9、+z=1D、x+y+2z=1答案：A解析：設(shè)所求平面方程為由于點(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)都在平面上，將它們的坐標(biāo)分別代入所設(shè)平面方程，可得方程組故選A178.設(shè)區(qū)域D為x2+y24，A、4B、3C、2D、答案：A解析：A為區(qū)域D的面積由于D為x2+y24表示圓域，半徑為2，因此A=22=4，所以選A179.A、AB、BC、CD、D答案：B解析：180.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：181.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：182.A、1B、2C、x2+y2D、TL答案：A解析：183.設(shè)函數(shù)f(x)=COS2x，則f(x)=()A、2sin2xB、-2sin2

10、xC、sin2xD、-sin2x答案：B解析：由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，可得故選B184.A、-exB、-e-xC、e-xD、ex答案：C解析：由可變上限積分求導(dǎo)公式有，因此選C185.A、4B、3C、2D、1答案：C解析：由等比級數(shù)和的公式有故選C186.A、-2B、-1C、0D、21答案：A解析：187.設(shè)A、-cosxB、cosxC、1-cosxD、1+cosx答案：B解析：由導(dǎo)數(shù)四則運算法則，有故選B188.設(shè)f(x)在a，b上連續(xù)，xa，b，則下列等式成立的是（）A、AB、BC、CD、D答案：B解析：由可變限積分求導(dǎo)公式知選B。189.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：由所給二次積分可

11、知區(qū)域D可以表示為0yl，yx1其圖形如右圖中陰影部分又可以表示為0x1，0yx因此選D。190.A、sinx+CB、cosx+CC、-sinx+CD、-COSx+C答案：A解析：191.A、AB、BC、CD、D答案：A192.A、e-2B、e-1C、eD、e2答案：D解析：由重要極限公式及極限運算性質(zhì)，可知故選D193.設(shè)f(x)在點x0處可導(dǎo)，（）A、4B、-4C、2D、-2答案：D解析：因此f(x0)=-2，可知選D194.曲線Y=x-3在點(1，1)處的切線的斜率為()A、-1B、-2C、-3D、-4答案：C解析：點(1，1)在曲線由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，所求切線的斜率為-3，因此選C1

12、95.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：196.A、AB、BC、CD、D答案：A解析：197.A、6xarctanx2B、6xtanx2+5C、5D、6xcos2x答案：C解析：198.設(shè)球面方程為，則該球的球心坐標(biāo)與半徑分別為()A、(-1，2，-3)；2B、(-1，2，-3)；4C、(1，-2，3)；2D、(1，-2，3)；4答案：C解析：對照球面方程的基本形式可知因此球心坐標(biāo)為(1，-2，3)，半徑為2，故選C199.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：200.A、2B、1C、0D、-1答案：C解析：填空題（總共150題）1.答案：2.答案：3.答案：積分區(qū)域D的圖形如圖57所示由

13、被積函數(shù)及積分區(qū)域D可知，可以將二重積分化為任意次序的二次積分若化為先對Y積分，后對x積分的二次積分，D可以表示為4.由曲線y=x2，直線y=a，x=0及x=1所圍成的圖形如圖34中陰影部分所示，其中0a1(1)求圖中陰影部分的面積A(2)問a為何值時，A的取值最小，并求出此最小值答案：5.答案：6.答案：27.(1)求函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式；(2)討論函數(shù)y=fx)在(0，+)內(nèi)的單調(diào)性答案：8.設(shè)曲線及x=0所圍成的平面圖形為D(1)求平面圖形D的面積s(2)求平面圖形D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體體積V答案：平面圖形D如圖3-2所示(1)(2)9.二階線性常系數(shù)齊次微分方程y+2y=0的

14、通解為_答案：10.答案：11.設(shè)y1(x)、y2(x)是二階常系數(shù)線性微分方程y+py+qy=0的兩個線性無關(guān)的解，則它的通解為_答案：由二階線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu)可知所給方程的通解為其中C1，C2為任意常數(shù)12.答案：由反常積分的定義可知13.微分方程xy=1的通解為_.答案：【解析】所給方程為可分離變量方程14.答案：【評析】此時收斂區(qū)間由-115.設(shè)x2為f（x)的一個原函數(shù)，則f（x)=_答案：由原函數(shù)的概念可知【評析】原函數(shù)的概念、不定積分的性質(zhì)是常見的考試試題應(yīng)熟記原函數(shù)的定義：若在內(nèi)的原函數(shù)16.答案：對應(yīng)齊次微分方程的特征方程為17.答案：【評析】分部積分的題目基本上都屬

15、于較難的題目，備考考生可酌情考慮如何對待18.答案：由一階線性微分方程通解公式有19.答案：所給問題為反常積分問題，由定義可知【評析】反常積分需依定義化為定積分與極限來運算20.答案：21.答案：積分區(qū)域D為半圓環(huán)域，利用極坐標(biāo)計算此二重積分較方便在極坐標(biāo)系下，戈2+Y2=1可以化為r=1；x2+y2=4可以化為r=2因此區(qū)域D可以表示為因此22.答案：23.微分方程dy+xdx=0的通解y=_.答案：【解析】所給方程為可分離變量方程24.答案：由于積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)為奇函數(shù)，可知25.答案：26.設(shè)函數(shù)z=xy，則全微分dz_.答案：27.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值答案：函數(shù)的定義域為

16、函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-，0，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為0，+)；f(0)=2為極小值28.過原點(0，0，0)且垂直于向量(1，1，1)的平面方程為答案：依法線向量的定義可知，所求平面的法線向量n=(1，1，1)由于平面過原點，依照平面的點法式方程可知，所求平面方程為29.答案：30.答案：31.答案：32.答案：33.用洛必達(dá)法則求極限：答案：34.，其中D是由及x軸所圍成的平面區(qū)域答案：積分區(qū)域D如圖5-5所示若選擇先對Y積分后對x積分，區(qū)域D可以表示為因此35.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數(shù)答案：【評析】將函數(shù)展開為冪級數(shù)，通常將函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)展開式中的函數(shù)對照展開為冪級數(shù)之后

17、一定要注明收斂域36.答案：37.設(shè)ex-ey=siny，求y答案：38.答案：39.答案：40.答案：1/641.答案：42.答案：-243.答案：44.答案：由被積函數(shù)與積分區(qū)域可知可以選擇先對Y積分，也可以選擇先對x積分45.，其中區(qū)域如圖5-3所示，由y=x，y=1與Y軸圍成答案：將所給積分化為二次積分46.設(shè)y=ex+1，則dy=_。答案：47.求微分方程y+3y=3x的通解答案：48.證明：答案：【評析】49.答案：【評析】如果在定積分運算中引入新變元，積分限一定要隨之相應(yīng)變化如果利用湊微分法運算，不需變積分限50.二階常系數(shù)齊次微分方程y-4y+4y=0的通解為_答案：51.過原

18、點且與平面2x-y+3z+5=0平行的平面方程為_答案：已知平面的法線向量n1=(2，-1，3)，所求平面與已知平面平行，因此可取所求平面的法線向量n=n1=(2，-1，3)，又平面過原點(0，0，0)，由平面的點法式方程可知，所求平面方程為52.答案：53.答案：【評析】求二階偏導(dǎo)數(shù)時，只需依求偏導(dǎo)數(shù)的規(guī)則，連續(xù)兩次進(jìn)行求偏導(dǎo)數(shù)的運算54.答案：55.答案：56.答案：由不定積分的基本公式及運算法則，有【評析】不定積分的基本公式及不定積分的加減法運算法則幾乎是每年都要考的內(nèi)容，應(yīng)引起重視57.答案：58.答案：若選擇先對Y積分后對x積分，則若選擇先對x積分后對Y積分，運算較上述復(fù)雜59.答案

19、：60.答案：【評析】定積分的分部積分運算u，u的選取原則，與不定積分相同只需注意不要忘記積分限如果被積函數(shù)中含有根式，需先換元，再利用分部積分61.答案：262.(1)將f(x)展開為x的冪級數(shù)；(2)利用(1)的結(jié)果，求數(shù)項級數(shù)的和答案：(2)在上述展開式中，令x=1，可得63.答案：64.答案：65.答案：由不定積分基本公式可知66.設(shè)y=5+lnx，則dy=_。答案：67.微分方程xyy=1-x2的通解是_.答案：68.答案：69.設(shè)ex-ey=siny，求y答案：70.答案：由所給積分次序的積分限可以得出區(qū)域D的不等式表達(dá)式區(qū)域D如圖5-1所示，因此D又可以表示為0y1，yx171.

20、答案：注不加絕對值符號不扣分；不寫常數(shù)C扣1分72.用洛必達(dá)法則求極限：答案：73.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1x2+y24，x0，y0，其面密度u(x，y)=2+y2，求該薄板的質(zhì)量m答案：由二重積分物理意義知【評析】如果被積函數(shù)為f(x2+y2)的形式，積分區(qū)域D為圓域或圓的一部分，此時將化為極坐標(biāo)計算常常較簡便74.答案：75.答案：充分非必要條件76.答案：77.求由曲線y=x2(x0)，直線y=1及Y軸圍成的平面圖形的面積答案：y=x2(x0)，y=1及y軸圍成的平面圖形D如圖31所示其面積為78.答案：79.設(shè)y=f(x)可導(dǎo)，點a0=2為f(x)的極小值點，且f(2)=

21、3，則曲線y=f(x)在點(2，3)處的切線方程為_答案：由于y=f(x)可導(dǎo)，點x0=2為f(x)的極小值點，由極值的必要條件可知f(2)=0曲線y=fx)在點(2，3)處的切線方程為y-3=f(2)(x-2)=0，即y=3為所求切線方程80.答案：81.答案：由可變上限積分求導(dǎo)公式可知【評析】若fx)為連續(xù)函數(shù)，且，即被積函數(shù)在上限處的值需記住這個變化82.答案：83.將ex展開為x的冪級數(shù)，則展開式中含x3項的系數(shù)為答案：84.答案：積分區(qū)間為對稱區(qū)間，被積函數(shù)為奇函數(shù)，因此85.答案：86.(1)求曲線Y=ex及直線x=1，x=0,y=0所圍成的平面圖形(如圖33所示)的面積A(2)求

22、(1)中平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vx.答案：87.用洛必達(dá)法則求極限：答案：88.答案：89.答案：90.答案：91.答案：92.答案：93.設(shè)函數(shù)z=e2x+y則全微分出dz=_.答案：94.設(shè)拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD(如圖21所示)設(shè)梯形上底CD長為2x，面積為S(x)(1)寫出S(x)的表達(dá)式；(2)求S(x)的最大值答案：【評析】求函數(shù)fx)在a，b上的最值時，如果求出fx)的駐點，一定要先判定駐點是否落在a，b上95.答案：96.答案：97.答案：由等比級數(shù)和的公式有98.答案：99

23、.設(shè)函數(shù)z=ln(x+y2)，則全微分dz=_.答案：100.答案：所給級數(shù)為不缺項情形101.y+5y=0的特征方程為答案：由特征方程的定義可知，所給方程的特征方程為【評析】如果是求該方程的解，則可以將所給方程作為可降階方程求解，但當(dāng)作二階線性常系數(shù)方程求解較簡便102.答案：103.答案：104.答案：105.答案：106.答案：所給問題為計算反常積分的反問題，由于107.答案：108.過點Mo(1，-1，0)且與平面x-y+3z=1平行的平面方程為_.答案：由于已知平面的法線向量所求平面與已知平面平行，可取所求平面法線向量又平面過點Mo(1，-1，0)，由平面的點法式方程可知，所求平面為

24、【評析】上述兩種形式都正確前者為平面的點法式方程；后者為平面的一般式方程109.答案：由可變上限積分求導(dǎo)公式可知110.答案：111.答案：112.答案：113.答案：114.答案：解：對方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，y看做x的函數(shù)，按中間變量處理115.研究級數(shù)的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數(shù)a0答案：116.答案：117.將函數(shù)f(x)=xe3x展開為x的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間答案：118.設(shè)Y=y(x)滿足2y+sin(x+y)=0，求y答案：將2y+sin(x+y)=0兩邊對x求導(dǎo)，得119.答案：120.用洛必達(dá)法則求極限：答案：121.答案：122.函數(shù)Y=xln

25、x的單調(diào)增加區(qū)間是_答案：y=xlnx的定義域為x0123.過坐標(biāo)原點且與平面2x-y+z+1=0平行的平面方程為_.答案：已知平面的法線向量n1=(2，-1，1)，所求平面與已知平面平行，可設(shè)所求平面方程為2x-y+z+D=0，將x=0，y=0，z=0代入上式，可得D=0，因此所求平面方程為2x-y+z=0124.用洛必達(dá)法則求極限：答案：125.答案：126.答案：127.答案：128.答案：所給極限為重要極限公式形式可知129.答案：130.設(shè)Z=Z(x，Y)是由方程x+y3+z+e2=1確定的函數(shù)，求dz答案：利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)公式，記131.求函數(shù)f(x)=x3-3x+1的單調(diào)區(qū)間和極值答案：函數(shù)的定義域為注意【評析】判定f(x)的極值，如果x0為f（x)的駐點或不可導(dǎo)的點，可以考慮利用極值的第一充分條件判定但是當(dāng)駐點