高考數(shù)學(xué)破題三十六計(jì)之10-18計(jì)

1、與許多的競(jìng)技項(xiàng)目不同，高爾夫與其說(shuō)是一場(chǎng)與別人的對(duì)抗，更像是一次自己與自己的較量，它需要足夠的耐心和專注，鍛煉一個(gè)人獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)一個(gè)人積極進(jìn)取的心態(tài)。有人形容高爾夫的18洞就好像人生，障礙重重，坎坷不斷。然而一旦踏上了球場(chǎng)，你就必須集中注意力，獨(dú)立面對(duì)比賽中可能岀現(xiàn)的各種困難，并且承擔(dān)一切后果。也許，常常還會(huì)遇到這樣的情況：你剛剛還在為抓到一個(gè)小鳥(niǎo)球而歡呼雀躍，下一刻大風(fēng)就把小白球吹跑了；或者你才在上一個(gè)洞吞了柏忌，下一個(gè)洞你就為抓了老鷹而興奮不已。第10計(jì)聾子開(kāi)門(mén)慧眼識(shí)鐘計(jì)名釋義一群人到廟里上香，其中有一個(gè)聾子，還有一個(gè)小孩上香完畢，發(fā)現(xiàn)小孩不見(jiàn)了半天找不到影子后，大家來(lái)“問(wèn)”這聾子

2、聾子把手一指，發(fā)現(xiàn)小孩藏在大鐘底下，而且還在用手拍鐘大家奇怪，連我們都沒(méi)有聽(tīng)見(jiàn)小孩拍鐘的聲音，聾子怎么聽(tīng)著了呢？其實(shí)，大伙把事情想錯(cuò)了，聾子哪里聽(tīng)到了鐘聲，只是憑著他的亮眼，發(fā)現(xiàn)大鐘底下是好藏小孩的地方聾子的直覺(jué)感往往超過(guò)常人數(shù)學(xué)家黎曼是個(gè)聾子，據(jù)說(shuō)，他所以能創(chuàng)立他的黎曼幾何，主要受益于他的超人的直覺(jué)看圖為了增強(qiáng)直覺(jué)思維，建議大家在解數(shù)學(xué)題時(shí)，不妨裝裝聾子，此時(shí)，難題的入口處，可 能閃出耀眼的燈光典例示范【例 1】若(1-2x)2008 = ao+aix+a2X2+, +a 2008x2008(x R),則(ao+ai)+(ao+a2)+(ao+a3)+, +(ao+a2oo8)= (用數(shù)字作

3、答)【思考】 顯然 ao=i,且當(dāng) x=1 時(shí)，ao+ai+, +a2008=1,二原式=2OO8ao+ai+a2+, +a2008 =2007+( ao+a1+, a2oo8)=2OO7+1=2OO8.【點(diǎn)評(píng)】本例的易錯(cuò)點(diǎn)是：必須將2OO8ao拆成2OO7ao+ao,否則若得出2008+仁2009就錯(cuò)了.【例2】 對(duì)于定義在R上的函數(shù)f(X)，有下述命題：若f (x)是奇函數(shù)，貝U f (x-1)的圖象 關(guān)于點(diǎn)A (1，0)對(duì)稱；若對(duì)x R,有f (x+1)= f (x-1),則f (x)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱； 若函數(shù)f (x-1)的圖象關(guān)于直線 x=1對(duì)稱，則f (x)是偶函數(shù)；函數(shù)

4、 f (1 + x)與f (1-x)的圖象 關(guān)于直線x=1對(duì)稱其中正確命題的序號(hào)為 .【思考】奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，原點(diǎn)右移一單位得(1, 0)，故f (x-1)的圖象關(guān)于點(diǎn)A (1，0)對(duì)稱，正確；f(x)= f (x+1)-1 : = f (x+2)，只能說(shuō)明f (x)為周期函數(shù)，不對(duì)； f (x-1)右移一單位得f (x)直線x=1左移一單位得y軸，故f (x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，即為偶 函數(shù)，正確；顯然不對(duì)，應(yīng)改為關(guān)于y軸對(duì)稱.例如設(shè)f (x)=x,貝U f (1 + x)=1 + x, f (1-x)=1-x, 兩圖象關(guān)于y軸對(duì)稱【點(diǎn)評(píng)】本例的陷溝是：容易將f(1 + x)與f

5、(1-x)誤認(rèn)為f (1 + x)=f (1-x)，這是容易魚(yú)目混珠的地方，而后者才是R上的函數(shù)f (x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱的充要條件【例3】關(guān)于函數(shù)f (x)=2x-2-x(x R).有下列三個(gè)結(jié)論：f (x)的值域?yàn)镽;f(x)是R上的增函數(shù)；對(duì)任意x R,都有f (x)+f (-x)=0成立，其中正確命題的序號(hào)是 (注:把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上 )1【解答】 由 y =2x =(2x)2-y 2x-1=0.關(guān)于2x的方程中，恒有 =y2+40./. y R 真.1t y1=2x, y2=x都是R上的增函數(shù)，y=y1+y2=2x-2 *也是R上的增函數(shù)，真.2 f (-x)=2-

6、2x= - (2x-2 公)=-f (x),當(dāng)x R時(shí)，恒有f (x)+f (-x)=0 (即f (x)為R上的奇函數(shù)) 真.【點(diǎn)評(píng)】高考試題中的小題，已出現(xiàn)了多項(xiàng)選擇的苗頭，其基本形式如本例所示，多選題中的正確答案可能都是，也可能不都是，還有可能都不是(這種形式多反映在選擇題中， 其正確答案為零個(gè)).由于許多考生的思維定勢(shì)是以為多選題只有“不都是”一種情況，往 往難以相信“都是”或“都不是”.這也是這種題型的陷阱所在.正確的對(duì)策：不受選項(xiàng)多少的干擾，只要你能證明某項(xiàng)必真則選，否則即不選本例是“全選”(即“都是”)的題型.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2 21.設(shè)F是橢圓- y 1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至少有21個(gè)不同

7、的點(diǎn)Pi(i=1,2,3,),使|FP1|，76|FP2|, |FP3| ,組成公差為d的等差數(shù)列，貝y d的取值范圍是 .參考答案1. 橢圓中：a= - 7 , b= 6 , c=1.Xi,貝 y |FPi|=(7-xi),v7其中右準(zhǔn)線x=7.1 e =，設(shè)Pi的橫坐標(biāo)為7|FPn|=|FP1|+( n-1)d. d=|FPn|FP1 |& -焉7(n -1).T |X1-Xn|W 27 , |d|Wn11 d -， 0) U (0，.10102.已知-1n21, 0|w ,但 d工0.10點(diǎn)評(píng)：本題有兩處陷溝，一是0,二是可以d0,解題時(shí)考生切勿疏忽.第11計(jì)耗子開(kāi)門(mén)就地打洞這說(shuō)明，在高

8、爾夫球場(chǎng)上，短暫的領(lǐng)先并不代表最終的勝利；而一時(shí)的落后也不意味著全盤(pán)失敗。只有憑借毅力，堅(jiān)持到底，才有可能成為最后的贏家。這些磨練與考驗(yàn)使成長(zhǎng)中的青少年受益匪淺。在種種歷練之后，他們可以學(xué)會(huì)如何獨(dú)立處理問(wèn)題；如何調(diào)節(jié)情緒與心境，直面挫折，抵御壓力；如何保持積極進(jìn)取的心態(tài)去應(yīng)對(duì)每一次挑戰(zhàn)。往往有著超越年齡的成熟與自信，獨(dú)立性和處理問(wèn)題的能力都比較強(qiáng)。計(jì)名釋義說(shuō)唐中有這樣一個(gè)故事唐太宗征北，困在木陽(yáng)城，絕糧軍師獻(xiàn)計(jì)，沿著鼠洞挖去， 可能找到糧食結(jié)果，真的在地下深處發(fā)現(xiàn)了糧倉(cāng)太宗嘉獎(jiǎng)耗子的牙啃立功，并題詩(shī)曰：鼠郎個(gè)小本能高，日夜磨牙得寶刀，唯恐孤王難遇見(jiàn)，宮門(mén)鑿出九條槽龐大的數(shù)學(xué)寶庫(kù)也是眾多的“數(shù)學(xué)

9、耗子”啃穿的你可知道，前1萬(wàn)個(gè)質(zhì)數(shù)就是這些耗子們一個(gè)個(gè)啃出來(lái)的，七位數(shù)字對(duì)數(shù)表也是這樣啃出來(lái)的數(shù)學(xué)解題，當(dāng)你無(wú)計(jì)可施，或者一口難吞時(shí)，那就決定“啃”吧典例示范【例1】 已知f (x)= 3.1 _2x，判定其單調(diào)區(qū)間.【分析】用求導(dǎo)法研究單調(diào)性當(dāng)然可行，但未必簡(jiǎn)便，直接從單調(diào)定義出發(fā)，循序漸進(jìn)，也可將“單調(diào)區(qū)間”啃出來(lái) .【解答】設(shè) xi0.故有原式=2(X1 X2)0.故f(x)= 3.1-2x的增區(qū)間為(4，+g).【點(diǎn)評(píng)】耗子開(kāi)門(mén)是一個(gè)“以小克大，以弱克強(qiáng)”的策略 函數(shù)的單調(diào)法即不等式的比較法方法基礎(chǔ)，可靠，只要有“啃”的精神，則可以透過(guò)形式上的繁雜看到思維上的清晰 和簡(jiǎn)捷.【例2】(0

10、4 天津卷)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽.設(shè)隨機(jī)變量E表示所選3人中女生的人數(shù)(I)求E的分布列；(D)求E的數(shù)學(xué)期望；(川)求“所選3人中女生人數(shù)E 1”的概率【思考】 本題設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)單，方向明確，無(wú)須反推倒算，只要像耗子開(kāi)門(mén)，牙啃立功就是了.C31【解答】 (I) 6人中任選3人，其中女生可以是0個(gè)，1個(gè)或2個(gè)，P(E =0) =4;C3 5c2c1P(+晉故E的分布列是:3C14C； 1蔦；P 仁=2)=CIV，E012P131555（n） E的數(shù)學(xué)期望是:1 31E 三=0 x +1 X +2 X =1.5 55例3題圖（川）由（1），所選3人中女生人數(shù)E 1的概率是:【例3

11、】（04 上海，20文）如圖、 11 2，直線y= x與拋物線y= x - 4交于2 8A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與直線y= -5交于點(diǎn)Q.（1）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（2 ）當(dāng)P為拋物線上位于 AB下方（含點(diǎn)A、B）的動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求厶O(píng)PQ的面積的最大值.【思考】 同例1 一樣，本題設(shè)問(wèn)明確， 思路并不復(fù)雜，只須按所設(shè)條件逐一完成就是，只是要嚴(yán)防計(jì)算失誤1 2y =_x -4,【解答】(1)由 8= x2 -4x-32 =0.| 1設(shè) AB 中點(diǎn)為 M （X。，y），貝V X。= =2， y0= x0=1.2 2故有 M （2，1），又 AB 丄 MQ， MQ 的方程是：y-1=-2（x-2），令

12、 y=-5，得 x=5,點(diǎn) Q 的坐 標(biāo)為（5,-5）.由（1）知|OQ|=5 -2為定值.1 _設(shè)P（x， x2-2）為拋物線上 AB上一點(diǎn)，由（1）知x2-4x-32 0,得x -4,8，又直線OQ8的方程為：x+y=0，點(diǎn)P到直線OQ的距離：1 2| x x - 212，顯然d豐0，(否則 POQ不存在)，即x豐4 . 3-4，為|8 I |(x+4) -481d=使厶POQ面積最大只須d最大，當(dāng)x=8時(shí)，dmax =6,2.11 (SapoQ)max = lOQl dmax= 5 . 2 6 _ 2 =30.2 2【例4】O為銳角 ABC的外心，若Saboc ，Sacoa的值.【解答】

13、 如圖，有：Sa boc+0aob=2 Sa coa.不妨設(shè) ABC外接圓半徑為1,令/ BOC=a =2A,/ AOC= 3 =2B，Z AOB=r=2C，則有:11sin a + sin 丫 =sin 3， 22即 sin2A+sin2C=2sin2B.2sin(A+C )cos (A-C)= 4sinBcosB.例 4 題解圖/ sin(A+C )=sinBz 0, cosB= -cos(A+C ). cos (A-C)+2cos (A+C )=0, cosAcosC +sinAsinC +2(cosA+cosC - sinAsinC )=0. 3cosAcosC=sinAsinC，故

14、tanAtanC=3.【點(diǎn)評(píng)】本例中的“門(mén)”不少，其中“同圓半徑相等”是“門(mén)”，由此將面積關(guān)系轉(zhuǎn)換成有關(guān)角的關(guān)系；以下通過(guò)圓心角與圓周角的轉(zhuǎn)換，和差化積與倍角公式，誘導(dǎo)公式、和角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系等依次轉(zhuǎn)換，這便是一連串的“門(mén)”，逐一啃來(lái)，從而最終達(dá)到解題目的.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練第1題圖1.在棱長(zhǎng)為4的正方體 ABCD A1B1C1D1中, O是正方形A1B1C1D1的中心，點(diǎn)P在棱 CC1 上，且 CC1 = 4CP.(I )求直線 AP與平面BCC1B1所成的角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；(n)設(shè)O點(diǎn)在平面D1AP上的射影是H，求證：D1H丄AP;(川)求點(diǎn)P到平面ABD1的距離.2.證明

15、不等式：11 一爲(wèi)一1 一心【一1n (n N+).v273Jn3設(shè) x ?一M 3，f (x)=;2 2sin x cosji ix - 4 ，求f （x）的最大值與最小值.4.若 x，y，z R+，且 x+y+z =1，求函數(shù) u=-歸存1的最小值.參考答案1.建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，有：A(4,0,0)，P(0,4,1)，B(4,4,0)，B1(4,4,4)，D1(0,0,4).(I )連 BP，: AB 丄平面 BCC1B1.O昭71 (Z4 3 J AB 丄 BP，/ APB 是直線 AP 與平面 BB1C1C 的夾角，T | BP |= .421=17./|AB|4 后 tan

16、/ APB=-1 =一J17| BP|17 AP與平面BB1C1C所成角為arctan J17 .17(n)連 D1B1，則 O DB1.月(4,4,0)T D1B1 = (4,4,0)， AP= (-4,4,1),- D1B1 AP =-16+16+0=0.即AP丄D1B1，也就是RD丄D1O.第1題解圖已知OH丄面AD1P， API D1O（三垂線定理）（川）在 DD1 上取 |DQ | =1,有 Q（0,0,1），作 QR丄 AD1 于 R，t RQ/ AB，. PQ/ 面 ABD1, AB丄面AA1D1D， AB丄QR，貝V QR丄面ABD1，QR之長(zhǎng)是Q到平面ABD1的距離，1 -

17、1 - Saad1q = ?|AG |QR|=-| AD| |D1Q|. 即：4 2 |QR|= 4 x 3，. |QR|=3、2 .2Q 已證PQ/ ABD1，a點(diǎn)P到平面ABP1的距離為- 座=8.xyz第12計(jì)小刀開(kāi)門(mén)切口啟封計(jì)名釋義西餐宴上，擺著漂亮的什錦比薩在一個(gè)透明的“玻璃盒”里，不知從哪兒打開(kāi)，大家只好故作謙讓，互相叫“請(qǐng)一小孩不顧禮節(jié)，拿著餐刀往“盒”上直戳，七戳，八戳，戳到了 “玻璃盒”的花紋處, 此時(shí)盒子竟像蓮花一樣自動(dòng)地啟開(kāi)了 .大家驚喜，夸這孩子有見(jiàn)識(shí)其實(shí)，這孩子的成功在 他的“敢于一試”，在試試中碰到了盒子的入口 數(shù)學(xué)解題何嘗沒(méi)遇上這種情境？我們有時(shí)苦心焦慮地尋找破題

18、的入口，正站在入題的大門(mén)口前，只是不敢動(dòng)手一試眾人雖然都在稱好,但沒(méi)有一人動(dòng)手原來(lái)這東西罩其實(shí)，自己此時(shí)典例示范【例 1】 已知 5sin 3 =sin(2 a + 3 )，求證：tan( =.tana2【分析】題型是條件等式的證明，內(nèi)容是三角函數(shù)的變換條件和結(jié)論都是三角等式，正宗解法(大刀開(kāi)門(mén))，首先考慮的是三角函數(shù)及和角變換能否找到另外的切入口呢？比如說(shuō)3 3“拋開(kāi)函數(shù)看常數(shù)”，我們找到了 -這個(gè)數(shù)，試一試，就打-的主意！2 2【解答】化條件為sin(很亠；)5355,考察結(jié)論的右式 -與-的數(shù)量關(guān)系知1215 15-1I，那sin(2。+0) +sin B _ 5 + 1 _ 3sin(

19、2： 亠卩)sin ：512tan(),于是等式成立.ta nt，首先考慮了常數(shù)，而常數(shù)在函數(shù)面前自然是“小玩m=2x 7(x 2)2么由合分比定理能使問(wèn)題獲得解決，即而左端分子、分母分別進(jìn)行和差化積即為【點(diǎn)評(píng)】 這才是真正的“小刀開(kāi)門(mén)”意”；首先考慮比例變換，比例變換在三角變換的面前也是“小玩意”！數(shù)學(xué)解題時(shí)，在“入口對(duì)號(hào)”的情況下，小刀比大刀更管用【例2】 設(shè)m為正整數(shù)，方程mx2+2(2m-1)x+4m-7=0(x為未知量)至少有一個(gè)整數(shù)根，求 m的值.【分析】若根據(jù)求根公式得到 x=,討論至少有一個(gè)整數(shù)根相當(dāng)復(fù)雜.m如果把常量m(m是一個(gè)待求的常量)與變量x相互轉(zhuǎn)化,則解決此問(wèn)題就簡(jiǎn)單

20、了 .【解答】原方程可化為(x2+4x+4)m=2x+7,【插語(yǔ)】m是本題的破題小刀，因?yàn)樗o方程中m的最高次數(shù)是1，使得問(wèn)題簡(jiǎn)化了 .2x + 7【續(xù)解】由于x為整數(shù)且m為正整數(shù)， 則xm -2且 1,得-3W x 1,于是x=-3,(x + 2)2-1,0, 1,代入原方程求出符合條件的m值為1或5,即m=1或m=5時(shí)，原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.【點(diǎn)評(píng)】有些數(shù)學(xué)問(wèn)題中的常量具有特殊性，常常暗示著某種巧妙的解題思路，如能充分挖掘,巧妙轉(zhuǎn)化,便可以將問(wèn)題輕松解決.【例3】 設(shè)函數(shù)f (x)=x2+x+a(a R*)滿足f (n)0,試判斷f (n +1)的符號(hào).【分析】這道題看似代數(shù)題，但如果打

21、開(kāi)幾何的大門(mén)，就可以找到條件與結(jié)論的聯(lián)系，思路才會(huì)應(yīng)運(yùn)而生例3題圖【解答】因?yàn)閒 (n)0,所以函數(shù)2f (x)=x+x+a的圖像與與 x軸有2個(gè)相異交點(diǎn)，如圖所示，設(shè)橫坐標(biāo)為xi、X2且 Xi0.所以-1XinX20,于是 f (n+1)=( n+1) +( n+1)+a0(a0).【點(diǎn)評(píng)】利用數(shù)形結(jié)合，數(shù)形結(jié)合是構(gòu)建解題思路的重要立足點(diǎn)，靈活運(yùn)用常使解題化難2y =2px中，求得A點(diǎn)坐標(biāo)為為易，化繁為簡(jiǎn).【例4】占八、-【解答】過(guò)拋物線 ,=2px的頂點(diǎn)O作2條互相垂直的弦 OA、OB，求證：直線 AB過(guò)定 因?yàn)镺A丄OB，所以O(shè)A與OB的斜率成負(fù)倒數(shù)關(guān)系.設(shè)OA的斜率為k,將OA的方程：

22、y=kx代入拋物線1將OB方程代入拋物線方程求B點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，只有斜率發(fā)生變化.因此，以-置換A點(diǎn)坐標(biāo)k中的k,即得B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk2,-2pk).因 而Tabk2k:y=1_k2(X2pk 八緲 1_k2(X2P),故直線AB過(guò)定點(diǎn)(2p, 0).容易驗(yàn)證，斜率 k= 1時(shí)，結(jié)論也成立【點(diǎn)評(píng)】找尋對(duì)等關(guān)系，挖掘命題中兀素之間的對(duì)等關(guān)系，常能找到簡(jiǎn)潔的解題思路.【例5】1 已知 x、y、z R, x+y+z =1，求證:x2+y2+z2 .3【解答】111運(yùn)用均值代換法.令x=，勿2，則a + 3 + 丫 =0,所以3332 2 2x +y +z =：!2(.：心：川)2 .213331 、(當(dāng)

23、且僅當(dāng)a = 3 = 丫 =0，即x=y=z = 時(shí)“=”成立). 3【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用等價(jià)代換，運(yùn)用等價(jià)代換作切入點(diǎn)探究解題思路，是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要技能.對(duì)應(yīng)訓(xùn)練與許多的競(jìng)技項(xiàng)目不同，高爾夫與其說(shuō)是一場(chǎng)與別人的對(duì)抗，更像是一次自己與自己的較量，它需要足夠的耐心和專注，鍛煉一個(gè)人獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)一個(gè)人積極進(jìn)取的心態(tài)。有人形容高爾夫的18洞就好像人生，障礙重重，坎坷不斷。然而一旦踏上了球場(chǎng)，你就必須集中注意力，獨(dú)立面對(duì)比賽中可能岀現(xiàn)的各種困難，并且承擔(dān)一切后果。也許，常常還會(huì)遇到這樣的情況：你剛剛還在為抓到一個(gè)小鳥(niǎo)球而歡呼雀躍，下一刻大風(fēng)就把小白球吹跑了；或者你才在上一個(gè)洞吞了柏忌，下一個(gè)洞你就為抓

24、了老鷹而興奮不已。2 21已知M是橢圓 =1上的動(dòng)點(diǎn)，橢圓內(nèi)有一定點(diǎn)A(-2, .-3), F是橢圓的右焦點(diǎn),16 12試求|MA|+2|MF |的最小值，并求這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)2. 已知函數(shù)f (x)= . x21 -ax,其中a0.求a的取值范圍，使函數(shù)f (x)在區(qū)間0,+)上是單調(diào)函數(shù).3. 如圖所示，已知梯形ABCD 中 AB|=2|CD|,點(diǎn)E分有向線段AC所成的比為入，雙曲線過(guò)C,D,E三點(diǎn)，且以A，B為2 3焦點(diǎn).當(dāng)時(shí)，求雙曲線離心率3 44. 已知a、b0,并且a+b=1,求證： ae的取值范圍.第3題圖1 x 1 25 b.a b4這說(shuō)明，在高爾夫球場(chǎng)上，短暫的領(lǐng)先并不代表最終

25、的勝利；而一時(shí)的落后也不意味著全盤(pán)失敗。只有憑借毅力，堅(jiān)持到底，才有可能成為最后的贏家。這些磨練與考驗(yàn)使成長(zhǎng)中的青少年受益匪淺。在種種歷練之后，他們可以學(xué)會(huì)如何獨(dú)立處理問(wèn)題；如何調(diào)節(jié)情緒與心境，直面挫折，抵御壓力；如何保持積極進(jìn)取的心態(tài)去應(yīng)對(duì)每一次挑戰(zhàn)。往往有著超越年齡的成熟與自信，獨(dú)立性和處理問(wèn)題的能力都比較強(qiáng)。5. 如圖所示，三棱柱 ABC A1B1C1中，側(cè)面ABB1A1的面積為S，側(cè)棱CC1到此面的距離 為a，求這個(gè)三棱柱的體積.第5題圖參考答案只有憑借毅力，堅(jiān)持到底，才有可能成為最后的贏家。這些磨練與考驗(yàn)使成長(zhǎng)中的青少年受益匪淺。在種 種歷練之后，他們可以學(xué)會(huì)如何獨(dú)立處理問(wèn)題；如何調(diào)

26、節(jié)情緒與心境，直面挫折，抵御壓力；如何保持積 極進(jìn)取的心態(tài)去應(yīng)對(duì)每一次挑戰(zhàn)。往往有著超越年齡的成熟與自信，獨(dú)立性和處理問(wèn)題的能力都比較強(qiáng)。如圖所示則型匚！二e二1,| MB |2第1題解圖即|MB|=2|MF|,所以 |MA|+2|MF|=|MA|+|MB|.易知點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，|MA|+2|MF|取最小值8，這時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo) 為(2 3, ? 3 ).2解析探究a的值，應(yīng)倒過(guò)來(lái)思考.設(shè) X1 X2,且 X1、X2 0,+ g),f(X1) - f (x2)=(X1-X2)x1x2注意至U |AB|=2|CD|，設(shè)oc=d2因?yàn)?x；Tx1,?x|1 x2-所以.xfT xf1x1x20,x

27、-ix2“得旨c1 注意到X1-X2 1，就有f (X1)-f(X2)0.即a 1時(shí),X11X21函數(shù)f (x)在區(qū)間0,+ g)上是單調(diào)減函數(shù)顯然0a1時(shí)，f (x)在區(qū)間0,+ g)上不是單調(diào)函 點(diǎn)評(píng) 運(yùn)用逆向思維，當(dāng)直接由條件探究結(jié)果難以湊效時(shí)，那就反過(guò)來(lái)，由果索因，這是建 立解題思路的一個(gè)重要策略然而注意題中圖案給予的啟示，解題思路的就赫然可3解析很多學(xué)生對(duì)本題無(wú)從下手，見(jiàn)了 AB為x軸，AB得中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)事實(shí)上，由圖形的對(duì)稱性，可設(shè)直線系 xOy.c二 C,依題意記 A(-c,0)， c(,?h), E(X0, y).由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式得設(shè)雙曲線方程為2X2aXo(

28、2)c2(i)h2y2 =1,將點(diǎn)C，E坐標(biāo)代入方程, b2c24a2(一2)2c24(i)2a22h2(1)2b2=1,e代入 ，a2 3又由題設(shè),可知3 4將代入且用2 12 e =1 - =-21 - e27, 10，所以離心率e的范圍是.7 4,故(a+ 1)(b+ 1) 25 (當(dāng)且僅當(dāng)4 aba b 41a=b = 時(shí)取“=”2號(hào)).從等號(hào)成立的條件切入是獨(dú)具匠心的思考方法點(diǎn)評(píng)啟用特例聯(lián)想，從數(shù)學(xué)命題成立的特殊情形入手，?？烧业角擅畹慕忸}思路5解析 將這個(gè)三棱柱補(bǔ)成如圖所示的平行六面體，可知這個(gè)平行六面體的體積等于aS.很明顯三棱柱 ABC A1B1C1與三棱柱 ACD A1C1D

29、1體積相等所以三棱柱 ABCA1B1C1的 體積等于竺.2用這種方法求解一些幾何問(wèn)題，效果十分明顯點(diǎn)評(píng)看清分分合合，通過(guò)分割或整合，將數(shù)學(xué)問(wèn)題化為熟悉的結(jié)論或易于解決的形式，也是建立解題思路的重要途徑 第13計(jì)鑰匙開(kāi)門(mén)各歸各用計(jì)名釋義開(kāi)門(mén)的鑰匙應(yīng)有“個(gè)性”，如果你的鑰匙有“通性”，則將把所有的鄰居嚇跑所有的知識(shí)具有個(gè)性，一切犯有“相混癥”的人，都因沒(méi)有把握知識(shí)的個(gè)性數(shù)學(xué)知識(shí)的根基是數(shù)學(xué)定義，它的個(gè)性在于，只有它揭示了概念的本質(zhì)，介定了概念的范疇，在看似模糊的邊緣，它能判定是與非定義本身蘊(yùn)含著方法， 由“線面垂直的定義直接導(dǎo)出線面垂直的判定定理，由橢圓的定義可直接導(dǎo)出橢圓方程這里，判定定理也好，

30、方程也好，只不過(guò)是其對(duì)應(yīng)的定義在定義之 外開(kāi)設(shè)的一個(gè)“代辦處”，當(dāng)你的問(wèn)題本身離定義很近時(shí)，何必要跑到遙遠(yuǎn)的地方去找“代 辦處”呢？由此，引出了 “回歸定義”的解題之說(shuō)。典例示范【例1】F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，|F1F2|=2c,橢圓上的點(diǎn)P (x, y)到F1 (-c, 0), F2cc(c, 0)的距離之和為 2a.求證：|PF1|=a x,?PF2|=a-x.c無(wú)b，而橢圓方程aa【分析】定要搬動(dòng)橢圓方程嗎？這里的已知條件只有2 2冷爲(wèi)=1卻有b無(wú)c，搬動(dòng)橢圓方程肯定是舍近求遠(yuǎn)a2 b2【解答】程組% +r2 =2a? -消y2, x2和c2得對(duì)|PFi|和|PF2|用距離公式，結(jié)合橢圓的

31、定義得關(guān)于|PFi|= ri, |PF2|= f2 的方=(x c)2y?2 y2?r12r22 =(x-c)2r1彳二 4cx r，聯(lián)立,解得r2 = acxacxa故 |PF1 |=a - x,ac|PF 2|= ax.a【點(diǎn)評(píng)】快捷，清晰，是因?yàn)榇祟}的已知條件靠定義近，而離方程遠(yuǎn)【例2】【思考】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=1+anlgb,求使lim Sn = 1成立的b的取值范圍. njpc應(yīng)首先分清an是什么數(shù)列，再根據(jù)數(shù)列的性質(zhì)與極限的定義解題.【解答】a1=1+a1lgb,若 Igb=0,即 b =1 時(shí)，a1=S1=1 與 lim Sn = 1 矛盾.n-b豐1,于是ai =11

32、- Ig b而 an=(1 + anlgb)_(1 + an_ilgb).an二 an(1-lg b)=-an-1lgb, a n 1lgb為常數(shù)，an是首項(xiàng)為lg b _11lg b1,公比q=lg b的無(wú)窮 lg b -1遞縮等比數(shù)列(已知nmsn，存在)，卡 齢* cm u (0,1).由皿-1,lg b T即 2lg b 0, 得 lgb1, lgb -12又山丄0二lg b -10lgb1,于是 0lgb丄,2 b (1,、10)由0旦g丿igb_11g b 0或 lg b * 1Jgb1i0，:b(0,1)綜合、，取并集，所求 b的取值范圍為b (0，1) U (1,10).【例3

33、】某商場(chǎng)為了促銷，當(dāng)顧客購(gòu)買商品的金額達(dá)到一定數(shù)量之后可通過(guò)抽獎(jiǎng)的方法獲獎(jiǎng)，箱中有4只紅球和3只白球，當(dāng)抽到紅球時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)20元的商品，當(dāng)抽到白球時(shí)獎(jiǎng)勵(lì)10元的商品(當(dāng)顧客通過(guò)抽獎(jiǎng)的方法確定了獲獎(jiǎng)商品后，即將小球全部放回箱中).(1) 當(dāng)顧客購(gòu)買金額超過(guò) 500元而少于1000元時(shí)，可抽取3個(gè)小球，求其中至少有一個(gè)紅球的概率；(2) 當(dāng)顧客購(gòu)買金額超過(guò) 1000元時(shí)，可抽取4個(gè)小球，設(shè)他所獲獎(jiǎng)商品的金額為E (E =50,60,70,80)元，求E的概率分布和期望【思考】解本題不能不清楚與概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)的概念與定義，否則即使知道有關(guān)計(jì)算公式也無(wú)法準(zhǔn)確解題，例如：(1) 隨機(jī)事件A發(fā)生的概率0W P(

34、A) 1,其計(jì)算方法為P (A)= m ,其中m，n分別表示n事件A發(fā)生的次數(shù)和基本事件總數(shù)；(2) 不可能同時(shí)發(fā)生的事件稱為互斥事件，由于A與A必有一個(gè)發(fā)生，故 A與A既是互斥事件，又是對(duì)立事件，對(duì)立事件滿足P(A)+P ( A ) =1;離散型隨機(jī)變量的期望，E E =X1 P1+X2 P2+, +Xn pn+,這個(gè)概念的實(shí)質(zhì)是加權(quán)平均數(shù)，期望反映了離散型隨機(jī)變量的平均水平；2 2 2離散型隨機(jī)變量的方差 D E =(X1-E E ) p什(X2-EE ) P2+, +(Xn - E E ) Pn + ,，方差反映了離散 型隨機(jī)變量發(fā)生的穩(wěn)定性.【解答】(1)基本事件總數(shù)n=c7=35,設(shè)

35、事件A=任取3球，至少有一個(gè)紅球，則事件A =任取3球，全是白球./ A與A為對(duì)立事件，而 Card A=1(任取3球全是白球僅一種可能).134-P(A)=,于是 P (A)=1-P (A)=35353435E =50表示所取 4球?yàn)?白1紅(T 3 X 10+1 X 20=50), P ( E =50)=cAc4C；a_35即該顧客任取3球，至少有一個(gè)紅球的概率為E =60表示所取4 球?yàn)?2 白 2 紅(T 2X 10+2 X 20=60),.P ( E =60)=C718；=35；E =70表示所取4 球?yàn)?3 紅 1 白(T 3X 20+1 X 10=70),.P ( E =70)=

36、李C；1235；E =80表示所取4球全為紅球，.P仁=80)= CC；丄35是E的分布列為:D 三=50 X A+60 x35即該顧客獲獎(jiǎng)的期望是18121440+70 X +80 X =3544035357(元).63(元).E50607080P41812P 135353535對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1 M為雙曲線2x2a2-y2二1上任意一點(diǎn),b2F1為左焦點(diǎn)， 求證：以MF 1為直徑的圓與圓x2+y2= a2 相切2 求證：以橢圓上任意一點(diǎn)的一條焦半徑為直徑作圓，這個(gè)圓必和以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相切3 在離散型隨機(jī)變量中，證明其期望與方差分別具有性質(zhì) ：2 2 .(1)E(aE +b)=aE E +b

37、;(2)D E =E E - EE 4 M為拋物線y2=2px上任意一點(diǎn)，F(xiàn)為焦點(diǎn)，證明以 MF為直徑的圓必與 y軸相切參考答案11 如圖所示，MF1的中點(diǎn)為P,設(shè)|PF1|= r,連接PO、MF2, / |PO|= I MF21(中位線性質(zhì))211.|PF1| - |PO|= (|MF1| - |MF2|)= 2a= a,22即|PO|= r-a,故以MF1為直徑的圓與圓x2+y2=a2內(nèi)切2 如圖所示，設(shè)M為橢圓上任一點(diǎn)，MF1為焦半徑，MF1的中點(diǎn)為P,設(shè)|PF1|= r,連OP、MF2.11則 |OP|= |MF2|=(2a-|MF1|)= a-r22與許多的競(jìng)技項(xiàng)目不同，高爾夫與其說(shuō)

38、是一場(chǎng)與別人的對(duì)抗，更像是一次自己與自己的較量，它需要足夠的耐心和專注，鍛煉一個(gè)人獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)一個(gè)人積極進(jìn)取的心態(tài)。有人形容高爾夫的18洞就好像人生，障礙重重，坎坷不斷。然而一旦踏上了球場(chǎng)，你就必須集中注意力，獨(dú)立面對(duì)比賽中可能岀現(xiàn)的各種困難，并且承擔(dān)一切后果。也許，常常還會(huì)遇到這樣的情況：你剛剛還在為抓到一個(gè)小鳥(niǎo)球而歡呼雀躍，下一刻大風(fēng)就把小白球吹跑了；或者你才在上一個(gè)洞吞了柏忌，下一個(gè)洞你就為抓了老鷹而興奮不已。以MFi為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切第2題解圖XT四*第1題解圖3. ( 1)T E E =X1 p計(jì)X2 p2 + , +Xn p E (a E +b)= (aX

39、1+b)p1 + (aX2+b)p2+, +(axn + b)pn= a (X1 p1+X2 p2+, +Xn pn)+b(p1+p2+, +pn) =aE E +b(T pi+p2+, +pn=1).(2)D E =(x1 - E E ) p1+(X2 - E E ) P2+, +(Xn - E E ) pn+,n,2 2 2=(x1 pi + x2 P2+, +x n pn+, ) -2E E (xi P1 + X2 p2+, +Xn pn + ,2)+ E E(P什P2+, +pn+,)=EE 2-2E E-E E +E2 E 1 = EE 2 - E2E .4 如圖所示,拋物線焦點(diǎn) F

40、p,0，準(zhǔn)線l:x= P2為p，設(shè)圓P軸于Q，則PQ為梯形MNOF的中位線.111|PQ|= (|OF | MN |)| MH | MF |=r,222以MF為直徑的圓與y軸相切.，作MH丄I于H，F(xiàn)M中點(diǎn)的半徑|PF|= r，作PQ丄y第4題解圖第14計(jì) 鮮花開(kāi)門(mén) 情有獨(dú)鐘計(jì)名釋義冬天的梅花，非常耀眼其實(shí)，梅花開(kāi)的并不艷麗，只是因?yàn)槟阆矚g她，所以才心明眼 亮.如果到了百花盛開(kāi)的春天，你能身在花叢眼不花，還能看到淡淡素素的梅花嗎？數(shù)學(xué)解題也經(jīng)常遇到這種情景，有時(shí)已知條件非常之多，提供的信息誘惑也非常之泛 此時(shí)，你能“情有獨(dú)鐘”地篩選出你需要的她嗎？典例示范【例1】 P點(diǎn)在平面內(nèi)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，

41、速度向量v=(4,-3).(P點(diǎn)沿v方向運(yùn)動(dòng)，每秒這說(shuō)明，在高爾夫球場(chǎng)上，短暫的領(lǐng)先并不代表最終的勝利；而一時(shí)的落后也不意味著全盤(pán)失敗。 只有憑借毅力，堅(jiān)持到底，才有可能成為最后的贏家。這些磨練與考驗(yàn)使成長(zhǎng)中少年受益匪淺。在種種歷練之后，他們可以學(xué)會(huì)如何獨(dú)立處理問(wèn)題；如何調(diào)節(jié)情緒與心境，直面挫折，抵御壓力；如何保持積 極進(jìn)取的心態(tài)去應(yīng)對(duì)每一次挑戰(zhàn)。往往有著超越年齡的成熟與自信，獨(dú)立性和處理問(wèn)題的能力吐匕較強(qiáng)。-5*5與許多的競(jìng)技項(xiàng)目不同，高爾夫與其說(shuō)是一場(chǎng)與別人的對(duì)抗，更像是一次自己與自己的較量，它需要足夠的耐心和專注，鍛煉一個(gè)人獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)一個(gè)人積極進(jìn)取的心態(tài)。有人形容高爾夫的18洞

42、就好像人生，障礙重重，坎坷不斷。然而一旦踏上了球場(chǎng)，你就必須集中注意力，獨(dú)立面對(duì)比賽中可能岀現(xiàn)的各種困難，并且承擔(dān)一切后果。也許，常常還會(huì)遇到這樣的情況：你剛剛還在為抓到一個(gè)小鳥(niǎo)球而歡呼雀躍，下一刻大風(fēng)就把小白球吹跑了；或者你才在上一個(gè)洞吞了柏忌，下一個(gè)洞你就為抓了老鷹而興奮不已。2A. y=x-2x+2 (x1)2C. y=x-2x(x 1，排除A、C而點(diǎn)(3，5)適合【點(diǎn)評(píng)】圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱”等特點(diǎn)，前呼后擁【例3】下列各式中，最小值為 2的是x25A. -y vx2Ba b 2C.D.1sin x sin【思考】?jī)蓚€(gè)條件:利用均值不等式“取等”的條件這朵鮮花去開(kāi)門(mén)(1)參與運(yùn)算的量必須是正數(shù)；.用均值不等式求最值必須滿足(2)只有當(dāng)有關(guān)量可以“取等”時(shí)才有最值2xx24=Ux2 + 4 +_二,? X2 + 4 啟 2, ?而Jx2 +4x242故x2 4,故否定A ;x24當(dāng)a,