相似三角形添加輔助線的方法舉例(有規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)答案)

1、.相似三角形添加輔助線的方法舉例例1 :已知：如圖， ABC中，AB= AC, BD丄AC于D.求證：BG= 2CD- AC.例2已知梯形 ABCD中，AD/BC , BC 3AD , E是腰AB上的一點(diǎn)，連結(jié) CE(1) 如果 CE AB , AB CD , BE 3AE，求 B 的度數(shù)；BE(2) 設(shè) BCE和四邊形AECD的面積分別為S,和S2，且2S, 3S2，試求 竺 的值A(chǔ)E1 AF - AD 例3 .如圖4-1，已知平行四邊 ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，3 ，連E、F交AC于G.求AG: AC的值.H例4、如圖45, B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，貝U AF: AE=li圖45

2、例5、如圖4-7,已知平行四邊形 ABCD中，對角線 AC、BD交于0點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，0E交BC 于 F，若 AB=a，BC=b, BE=c 求 BF 的長.圖4 了AB BD例6、已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分線.求證： AC CD .圖4 9相似三角形添加輔助線的方法舉例答案例1:求證:已知：如圖， ABC中，AB= AC,BG= 2CD- AC.BD丄AC于D.BC欲證BC= 2CD- AC,只需證2CD直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點(diǎn)及結(jié)論形式，通過添加輔 助線，對其中某一線段進(jìn)行倍、 分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似.“ 2”所放的位置

3、不同，證法也不同.證法一（構(gòu)造2CD）:如圖，在 AC截取DE= DC,/ BD丄 AC于 D, BD是線段CE的垂直平分線， BC=BE / C=/ BEC,又 AB= AC, / C=/ ABC. BCEA ACB.分析:由ACAC 但因?yàn)榻Y(jié)論中有“ 2”，無法BC BC AC CE BC , BG= 2CD- AC.證法二（構(gòu)造2AC）:如圖，在/ AB= AC, AB= AC=AE /BC2CDACBC又EBC=90 ,BD 丄 AC.EBC=Z BDC=/ EDB=90,E=/ DBC EBCA BDCBC CE 剛 BC即CDAC.CD BC BG= 2CD-證法三（構(gòu)造-BC ）

4、2又 AB=AC, AE 丄 BC,/ ACE=/ C/ AEC=Z BDC=90 ACEA BCD.CE AC即匹CDAC.CD BC BC2 = 2CD-CA的延長線上截取 AE= AC,連結(jié)BE,C2ACBC:如圖,ACBC1BC ）：2/ BD丄 AC,. BE=EC=EB / EDC=/ C又 AB=AC, / ABC=/ C, ABCA EDC.證法四（構(gòu)造取BC的中點(diǎn)E,連結(jié)AE,則ECBC2如圖，取BC中點(diǎn)E,連結(jié)DE,貝U CEBC .2.BC AC 刨 BC ACCD EC CD 1BC 2 BC2= 2CD- AC.說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧在

5、解題中方法要靈活，思路要開闊.(1)如果 CE AB , AB例2 .已知梯形 ABCD中,CEBE(2)設(shè) BCE和四邊形AECD的面積分別為S1和S2，且2S1 3S2，試求的值A(chǔ)E(1 )設(shè) AE k，則 BE 3k解法1如圖，延長BA、CD交于點(diǎn)FAD / BC , BC 3AD , BF 3AF AF 2k, E 為 BF 的中點(diǎn) 又CE BF BC CF，又CF BFBCF為等邊三角形故 B 60解法2 如圖作DF/AB分別交CE、CB于點(diǎn)G、F 則CE DF，得平行四邊形ABFD 同解法1可證得 CDF為等邊三角形 故 B 1 60解法3 如圖作AF / EC交CD于G，交BC的

6、延長線于F 作GI /AB，分別交CE、BC于點(diǎn)H、I 則CE GI，得矩形AEHGAF/CE BC 業(yè) 3,CF AE又BC 3AD CF AD，故G為CD、AF的中點(diǎn) 以下同解法1可得 CGI是等邊三角形故 B 1 60解法4 如圖，AB作AF/CD，交BC于F，作FG/CE，交AB于G，得平行四邊形 AFCD，且FG讀者可自行證得 ABF是等邊三角形，故B 60解法5 如圖延長CE、DA交于點(diǎn)F，作AG/CD，分別交BC、CE于點(diǎn)G、H，得平行四邊形AGCD可證得A為FD的中點(diǎn)，貝U AH 得ABG為等邊三角形，故 B 解法6 如圖（補(bǔ)形法），2k，故 16060讀者可自行證明 CDF是

7、等邊三角形,得 B F 60（注：此外可用三角形相似、等腰三角形三線合和一、等積法等）(2 )設(shè) S bce 3S，則 S四邊形AECD 2S解法1 （補(bǔ)形法）如圖補(bǔ)成平行四邊形 ABCF，連結(jié)AC，則DF 2AD設(shè) S ACDX，則 S ace2S x,S CDF2x由 S ABCS ACF 得，3s2s xx2x,x5 s4SACEc32s xsBESBCE3s43 s4AESACE4解法2（補(bǔ)形法）如圖，延長BA、1S FADS FAD8S梯形ABCD5s5521S FAD S，S FECs2ss，乂 S EBC3S888EFS FBC7BES BEC8設(shè)BE8m，則EF 7m，BF15

8、m，AF 5mBEAE2m，4AE解法3（補(bǔ)形法）如圖連結(jié)AC，作DF / AC交BA延長線于點(diǎn)F 連結(jié)FC則 FAD s ABC，故 AB 3AF （1）S ACDS ACF ,S四邊形AECDS FECBES BECS BCE3EFS FECS四邊形AECD2故2BE3EF3( AE AF )3AE 3AF (2)由（1 ）、（2）兩式得BE 4AE即旦旦 4AE解法4 （割補(bǔ)法）如圖連結(jié)A與CD的中點(diǎn)F并延長交BC延長線于點(diǎn)G ,如圖，過E、A分別作高h(yuǎn)1、h2，則CG AD且S四邊形AECD S四邊形aecG， S ABG S梯形ABCD 5s3 SBC 2 BC h 又 BC 3 5

9、盂莎二詰4匹4h2 5BE4,BE ,故4AB5AE說明 本題綜合考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造相 似三角形-AD3連E、F交AC于G.求AG: ACAF例3.如圖4-1，已知平行四邊 ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，的值.H解法1:延長FE交CB的延長線于 H,圖4-1四邊形ABCD是平行四邊形,AD/BC= ,/ H=Z AFE,Z DAB=Z HBE又 AE=EB AEFA BEH,即卩 AF=BH,1 1 1AF AD AF -BC AF CH/3,3 ，即 4AD/ CH,/ AGF=Z CGH, / AFG=Z BHE,. AFGA CGH A

10、G: GC=AF: CH,AG: GC=1: 4,. AG: AC=1: 5.解法2 : 如圖42，延長EF與CD的延長線交于 M,由平行四邊形 ABCD可知，AB/DC，即AB / MC,圖4-2AF: FD=AE MD, AG: GC=AE MC.AF 1 AD3, AF: FD=1: 2,AE: MD=1 : 2.1 1 AE AB DC22. AE: MC=1 : 4,即卩 AG: GC=1: 4,AG: AC=1: 5例4、如圖45, B為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，貝U AF: AE=D圖45解析：取 CF的中點(diǎn)G,連接BG.t B為AC的中點(diǎn)， BG: AF=1: 2,且 BG/

11、 AF,又 E為 BD 的中點(diǎn)， F為DG的中點(diǎn).EF: BG=1: 2.故 EF: AF=1: 4,. AF: AE=4: 3.例5、如圖4-7,已知平行四邊形 ABCD中，對角線 AC、BD交于0點(diǎn)，E為AB延長線上一點(diǎn)，0E交BC 于 F,若 AB=a, BC=b, BE=c 求 BF 的長.4-7解法1 : 過0點(diǎn)作0M / CB交AB于M ,/0 是 AC 中點(diǎn)，0M / CB,1 MB a M是AB的中點(diǎn)，即2,1 1 0M - BC b 0M是厶ABC的中位線，22且 0M / BC,Z EFB=Z E0M,Z EBF=/ EM0.BF BE BEFA MOE,. 0M EM ,

12、BFBFbea 2c.解法2 :如圖4-8，延長E0與AD交于點(diǎn)G,則可得 AOGA C0F,AG=FC=b-BF T BF/ AG,BFAGBEBFAE .即 b BFBFbea 2eBFbea 2e解法3:延長EO與CD的延長線相交于BF BE口則厶BEF與厶CNF的對應(yīng)邊成比例，即 CF CN .BF解得bea 2eAB BD例6、已知在 ABC中，AD是/ BAC的平分線.求證： AC CD .分析1比例線段常由平行線而產(chǎn)生，因而研究比例線段問題， 常應(yīng)注意平行線的作用，在沒有平行線時(shí),可以添加平行線而促成比例線段的產(chǎn)生此題中AD ABC內(nèi)角A的平分線，這里不存在平行線，于是可考慮過定

13、點(diǎn)作某定直線的平行線，添加了這樣的輔助線后，就可以利用平行關(guān)系找出相應(yīng)的比例線段， 再比較所證的比例式與這個(gè)比例式的關(guān)系，去探求問題的解決.在厶 BCE中，TDA/ CE, 又 CE/ AD,./ 仁 / 3,/ 仁/2，于是/ 3=/4,BD BADC AE/ 2=/ 4,且 AD 平分/ BAC,證法1:如圖49，過C點(diǎn)作CE/ AD,交BA的延長線于 EBD ABAC=AE代入式得DC AC .分析2由于BD、CD是點(diǎn)D分BC而得，故可過分點(diǎn) D作平行線.證法2 :如圖410,過D作DE/ AC交AB于E,則/ 2=7 3.4-10/7 仁/2,7 仁/ 3.于是EA=EDBEBDABBEBE ABBD又 EADC, ACEDEA , ACCD.分析3 欲證式子左邊為 AB: AC,而AB、AC不在同一直線上，又不平行，故考慮將AB轉(zhuǎn)移到與AC平行的位置.證法3: 如圖411,過B作BE/ AC,交AD的延長線于 E,則7 2=7 E圖 4-11