淺談應(yīng)用題的教學(xué)

1、淺談應(yīng)用題的教學(xué)摘要：本文根據(jù)新課標(biāo)要求，針對(duì)在應(yīng)用題教學(xué)中所面臨的問(wèn)題，以及學(xué)生的實(shí)際情況，提出了如何應(yīng)用方程（組）的思想，根據(jù)具體問(wèn)題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)脑O(shè)元，列出方程（組），建立數(shù)學(xué)模型求解，指出數(shù)學(xué)建模的基本思想，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的基本思想有初步的了解，同時(shí)對(duì)華師大版七(下)第六、七章的教材給出了整合的思路與方案。關(guān)鍵詞：設(shè)元 尋找等量關(guān)系 方程（組）的思想 數(shù)學(xué)建模。 新課標(biāo)中，在談到“應(yīng)用意識(shí)”時(shí)指出：應(yīng)用意識(shí)主要表現(xiàn)在“認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)信息，數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用；面對(duì)實(shí)際問(wèn)題，能主動(dòng)嘗試著從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用所學(xué)知識(shí)和方法尋求解決問(wèn)題

2、的策略；面對(duì)新的數(shù)學(xué)知識(shí)，能主動(dòng)地尋找其實(shí)際背景，并探索其應(yīng)用價(jià)值”。而方程、方程組都是反映現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效的數(shù)學(xué)模型，因此，新課標(biāo)中要求“能夠根據(jù)具體問(wèn)題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程（組），建立數(shù)學(xué)模型”。同時(shí)，方程（組）思想是非常重要的數(shù)學(xué)思想，它始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)體系之中。因此，如何使學(xué)生在掌握方程（組）解法的基礎(chǔ)上，能夠應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題顯得尤為重要；另外，應(yīng)用題的學(xué)習(xí)也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一，如何突破這一難點(diǎn)是教師在實(shí)際教學(xué)中必須去面對(duì)的一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。為此，本人將結(jié)合七（下）第六章“一元一次方程” 、第七章“二元一次方程組”的教學(xué)談?wù)勛约旱囊恍┛捶ā?首先，我認(rèn)為，

3、應(yīng)用方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想是：笫一、只要是求未知量的問(wèn)題，都可以考慮用方程（組）來(lái)解決；等二、該設(shè)元的就設(shè)元，需要設(shè)幾個(gè)元就設(shè)幾個(gè)元，然后根據(jù)具體問(wèn)題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程（組），建立數(shù)學(xué)模型；第三、求解數(shù)學(xué)模型，也即求解所列的方程（組），再檢驗(yàn)、作答。 其次，學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的最大困惑是：（1）無(wú)法找出問(wèn)題中所存在的等量關(guān)系；（2）無(wú)法確定問(wèn)題中究竟該設(shè)幾個(gè)未知數(shù)。而這兩點(diǎn)正是解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在，處理好這兩個(gè)困惑也就突破了教學(xué)難點(diǎn)。我們應(yīng)該承認(rèn)一個(gè)事實(shí)，就是學(xué)生的閱讀水平有限。因此，在審題時(shí)也就不易去理解題意，找出問(wèn)題中隱含的數(shù)量之間的關(guān)系。這不僅需要我們數(shù)學(xué)老

4、師的努力，也需要語(yǔ)文老師的鼎力相助。但是在解決“是否需要設(shè)元，應(yīng)該設(shè)幾個(gè)元，是直接設(shè)元，抑或是間接設(shè)元”這一問(wèn)題時(shí)，就需要我們數(shù)學(xué)老師來(lái)解決。我們希望，也要求學(xué)生形成這么一種數(shù)學(xué)思想：只要是求未知量的問(wèn)題，都可以考慮用方程（組）來(lái)解決，不僅是現(xiàn)在懂得用方程（組）的思想來(lái)解決問(wèn)題，在今后也要懂得用方程（組）思想來(lái)解決問(wèn)題；不僅是在代數(shù)中懂得用方程（組）的思想來(lái)解決問(wèn)題，在幾何中也要懂得用方程（組）思想來(lái)解決問(wèn)題。不僅是在數(shù)學(xué)中懂得用方程（組）的思想來(lái)解決問(wèn)題，在其它學(xué)科中，比如物理或化學(xué)也要懂得用方程（組）思想來(lái)解決問(wèn)題。綜上所述，七（下）中的第六章與第七章的教學(xué)也就顯得尤為重要。在華師大版七（

5、下）的第六章與第七章的教材中，有這樣一個(gè)情況：第六章中的有些問(wèn)題若用列方程組（即設(shè)二元）來(lái)處理，學(xué)生較容易理解；而第七章里的有些問(wèn)題則列方程（即只設(shè)一元）來(lái)解決過(guò)程更為簡(jiǎn)潔；另外，把這兩章的應(yīng)用題部分分開(kāi)學(xué)習(xí)，可能會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生一種困惑：對(duì)所碰到的應(yīng)用題，是否需要設(shè)元？應(yīng)該設(shè)幾元？是直接設(shè)元？抑或是間接設(shè)元？是列方程？還是列方程組？尤其今后在處理求未知數(shù)的問(wèn)題時(shí)，這個(gè)困惑尤為突出。現(xiàn)列舉其中的幾例說(shuō)明。例1（習(xí)題6.2.2第4題）、球的表面是由一些呈多邊形的黑、白皮塊縫合而成的，共計(jì)有32塊，已知黑色塊數(shù)比白色塊數(shù)的一半多2，問(wèn)兩種皮塊各有多少？分析：這里問(wèn)題要求兩個(gè)未知量，可設(shè)兩個(gè)未知量，尋找

6、兩個(gè)等量關(guān)系，列兩個(gè)方程組成方程組來(lái)求解。解：設(shè)黑、白兩種皮塊各有塊、塊，依題意得：（下略）.例2（第六章復(fù)習(xí)題b組第11題）、學(xué)校在植樹(shù)活動(dòng)中種了楊樹(shù)和杉樹(shù)兩類(lèi)樹(shù)種，已知種植楊樹(shù)的棵數(shù)比總數(shù)的一半多56棵，杉樹(shù)的棵數(shù)比總數(shù)的三分之一少14棵兩類(lèi)樹(shù)各種了多少棵？分析：這里問(wèn)題同樣要求兩個(gè)未知量，可設(shè)兩個(gè)未知量，尋找兩個(gè)等量關(guān)系，列兩個(gè)方程，組成方程組來(lái)求解。解：設(shè)楊樹(shù)和杉樹(shù)兩類(lèi)樹(shù)種各種了棵、棵，依題意得：（下略）.例3（習(xí)題7.3第1題）、某市為更有效地利用水資源，制定了用水標(biāo)準(zhǔn)：如果一戶三口之家每月用水量不超過(guò)mm3，按每立方米水1.30元計(jì)算；如果超過(guò)mm3，超過(guò)部分按每立方米水2.90元

7、收費(fèi)，其余仍按每立方米水1.30元計(jì)算.小紅一家三人，1月份共用水12m3，支付水費(fèi)22元.問(wèn)該市制定的用水標(biāo)準(zhǔn)m為多少？小紅一家超標(biāo)使用了多少立方米的水？解： 解得：這時(shí)，小紅一家超標(biāo)使用的水=12-8 = 4（立方米）.答：（略）.說(shuō)明：此題盡管在第七章的“二元二次方程組” 中出現(xiàn)，但是依題意只需列一元一次方程即可求解.例4（第七章復(fù)習(xí)題a組第4題）、今年，小李的年齡是他爺爺?shù)?小李發(fā)現(xiàn)，12年之后，他的年齡變成爺爺?shù)?試求出今年小李的年齡.解：設(shè)今年小李歲，則他爺爺歲，依題意得：.（下略）.這里或許會(huì)有人提出，上述的例1若只設(shè)一元不就可以解決了嗎？當(dāng)然可以，可是在第七章中也有類(lèi)似的問(wèn)題，

8、課本給出“設(shè)二元，列方程組”的方法來(lái)解決。比如，在第七章的例6中，問(wèn)題為：某蔬菜公司收購(gòu)到某種蔬菜140噸，準(zhǔn)備加工后上市銷(xiāo)售.該公司的加工能力是：每天可以精加工6噸或者粗加工16噸.現(xiàn)計(jì)劃用15天完成加工任務(wù)，該公司應(yīng)安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務(wù)？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤(rùn)為1000元，精加工后為2000元，那么該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少元？解：設(shè)應(yīng)安排x天精加工，y天粗加工.根據(jù)題意，有（下略）.在所配套的習(xí)題也出現(xiàn)了類(lèi)似的情況，比如：第六章復(fù)習(xí)題c組第18題：小趙為班級(jí)購(gòu)買(mǎi)筆記本作晚會(huì)上的獎(jiǎng)品回來(lái)時(shí)向生活委員小陳交賬說(shuō)：“一共買(mǎi)了36本，有兩種規(guī)格，單價(jià)分別為

9、1.80元和2.60元去時(shí)我領(lǐng)了100元，現(xiàn)在找回27.60元”小陳算了一下，說(shuō)：“你肯定搞錯(cuò)了”小趙一想，發(fā)覺(jué)的確不對(duì)，因?yàn)樗炎约嚎诖镌械?元錢(qián)一起當(dāng)作找回的錢(qián)款給了小陳請(qǐng)你算一算兩種筆記本各買(mǎi)了多少？想一想有沒(méi)有可能找回27.60元，試應(yīng)用方程的知識(shí)給予解釋 第七章7.2練習(xí)：1、22名工人按定額完成了1400件產(chǎn)品，其中三級(jí)工每人定額200件，二級(jí)工每人定額50件.若這22名工人中只有二級(jí)工與三級(jí)工，問(wèn)二級(jí)工與三級(jí)工各有多少名？2、為改善富春河的周?chē)h(huán)境，縣政府決定，將該河上游a地的一部分牧場(chǎng)改為林場(chǎng).改變后，預(yù)計(jì)林場(chǎng)和牧場(chǎng)共有162公頃，牧場(chǎng)面積是林場(chǎng)面積的20%.請(qǐng)你算一算，完

10、成后林場(chǎng)、牧場(chǎng)的面積各為多少公頃？3、某般的載重為260噸，容積為1000m3.現(xiàn)有甲、乙兩種貨物要運(yùn)，其中甲種貨物每噸體積為8m3，乙種貨物每噸體積為2m3，若要充分利用這艘船的載重與容積，甲、乙兩種貨物應(yīng)各裝多少噸？（設(shè)裝運(yùn)貨物時(shí)無(wú)任何空隙）. 顯然，這幾道問(wèn)題既可設(shè)一元也可以設(shè)二元，但在兩章都分別出現(xiàn)，如此一來(lái)，勢(shì)必會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生困惑：究竟何時(shí)設(shè)一元，何時(shí)設(shè)二元呢？以至無(wú)所適從，無(wú)法作出正確的選擇. 針對(duì)教材中所存在的上述情況，我對(duì)兩章的教材內(nèi)容進(jìn)行整合。首先使學(xué)生熟練地掌握一元一次方程、二元一次方程組的解法，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行應(yīng)用題的學(xué)習(xí)。為此，在第一課時(shí)，先通過(guò)一組改造后的簡(jiǎn)單例題，給出

11、了數(shù)學(xué)建模的基本思想。問(wèn)題1（課本6.1問(wèn)題1的改造）我校初一年級(jí)共有328名師生，現(xiàn)在年段準(zhǔn)備組織乘車(chē)外出春游活動(dòng)。（1）若已有2輛可乘坐54人的汽車(chē)，還需租用44座的客車(chē)多少輛？（2）若考慮到帶隊(duì)的老師只有8人，每位老師跟一輛車(chē)，則需租用32座與44座的客車(chē)各多少輛，使得座位剛好坐滿？思考：?jiǎn)栴}1（2）中需設(shè)幾個(gè)未知數(shù)？列幾個(gè)方程？未知數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的個(gè)數(shù)一樣嗎？說(shuō)明：這里借助了一元一次方程和二元一次方程組來(lái)解決問(wèn)題。根據(jù)問(wèn)題所求的未知量設(shè)未知數(shù)（設(shè)元）；根據(jù)問(wèn)題所給的數(shù)量關(guān)系列出方程（組）；然后解方程（組），并把所求得的解進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合題意；最后作答。而這解題過(guò)程實(shí)際上就是如下的過(guò)

12、程：實(shí)際問(wèn)題分析建立數(shù)學(xué)模型求解數(shù)學(xué)模型解的分析與檢驗(yàn)解 答注意：這里的數(shù)學(xué)模型就是我們所列出的方程或方程組，這也是解題的關(guān)鍵。而一但模型建立，剩下的求解就是數(shù)學(xué)問(wèn)題了。問(wèn)題2（課本7.1問(wèn)題1的改造）在學(xué)?！八囆g(shù)節(jié)”活動(dòng)期間，年段舉行了足球比賽，規(guī)定：勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分。我們班比賽了9場(chǎng)，共得17分。已知負(fù)了2場(chǎng)，問(wèn)：勝了幾場(chǎng)？平了幾場(chǎng)？問(wèn)題3（課本6.2例7的改造）學(xué)校團(tuán)委組織65名新團(tuán)員為學(xué)校建花壇搬磚女同學(xué)每人搬6塊，男同學(xué)每人搬8塊，每人搬了4次，共搬了1800塊問(wèn)這些新團(tuán)員中各有多少名男女同學(xué)？通過(guò)對(duì)課本問(wèn)題的改造，把應(yīng)用方程、方程組解決實(shí)際問(wèn)題的基本思想有機(jī)

13、地結(jié)合起來(lái)，使學(xué)生從整體上來(lái)認(rèn)識(shí)、理解并初步了解應(yīng)用方程、方程組來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中求未知量的基本思想及基本步驟：（1）只要是求未知量的問(wèn)題，都可以考慮用列方程（組）來(lái)解決；（2）該設(shè)元的就設(shè)元，需要設(shè)幾元就設(shè)幾元，然后根據(jù)具體問(wèn)題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程、方程組建立數(shù)學(xué)模型；（3）求解數(shù)學(xué)模型，也即求解所列的方程、方程組，再檢驗(yàn)、作答。 而后，對(duì)兩章中的例題、練習(xí)、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w類(lèi)、調(diào)整（因篇幅所限，不再贅述），在教學(xué)過(guò)程中，逐步地滲透數(shù)學(xué)建模的思想，但不強(qiáng)調(diào)應(yīng)該設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，而是要求視具體情況而定。從而使學(xué)生在整體上來(lái)逐步地理解和掌握應(yīng)用方程、方程組來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中求未知量

14、的基本思想及基本方法。下面是學(xué)生們對(duì)課本中的一道問(wèn)題給出的幾種不同的解法，非常有創(chuàng)意，思路不拘一格。6.3 “實(shí)踐與探索”問(wèn)題1用一根長(zhǎng)60厘米的鐵絲圍成一個(gè)長(zhǎng)方形 （1） 使長(zhǎng)方形的寬是長(zhǎng)的，求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬 （2） 使長(zhǎng)方形的寬比長(zhǎng)少4厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方形的面積 （3） 比較（1）、（2）所得兩個(gè)長(zhǎng)方形面積的大小還能?chē)雒娣e更大的長(zhǎng)方形嗎？注：這里只給出第（1）題的解答.解一：所以，長(zhǎng) =寬答：（略）.解二、設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，則寬為，依題意得： .（下略）.解三、設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為，依題意得： .（下略）.解四、設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為，依題意得： （下略）. 從上述的幾種解法不難看出，學(xué)

15、生在處理問(wèn)題時(shí)，思路不再禁錮于設(shè)元或不設(shè)元，該設(shè)幾元；該列算式或方程或方程組，體現(xiàn)了整體教學(xué)對(duì)學(xué)生開(kāi)拓思維的教學(xué)效果。待添加的隱藏文字內(nèi)容3最后，再列舉兩例說(shuō)明應(yīng)用方程、方程組來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題中求未知量的基本思想及基本方法。例5（華師大版七下同步訓(xùn)練p314（2）班委組織部分學(xué)生騎車(chē)到郊外春游，上午9時(shí)出發(fā)，到達(dá)目的地后午餐和舉辦活動(dòng)，逗留了3個(gè)小時(shí)后沿原路返回，下午3時(shí)回到學(xué)校.若途中在平路的平均速度是15千米/時(shí)，上坡的平均速度是10千米/時(shí)，下坡的平均速度是30千米/時(shí)，且在往返途中各休息了20分鐘.問(wèn)：共騎了多少路程？解：設(shè)平路的路程為千米，上坡的路程為千米，下坡的路程為千米，依題意得： ，解得： 答：共騎了35千米.說(shuō)明：這里涉及到平路、上坡、下坡的路程共三個(gè)未知量，但直接的等量關(guān)系只有來(lái)回所耗的總時(shí)間，設(shè)三元而只能列一個(gè)方程。可是最終的求解結(jié)果并非要求出平路、上坡、下坡的路程，此題體現(xiàn)了“該設(shè)元的就設(shè)元，需要設(shè)幾元就設(shè)幾元，然后根據(jù)具體問(wèn)題，尋找其隱含的數(shù)量之間的等量關(guān)系，列出方程、方程組建立數(shù)學(xué)模型，再求解數(shù)學(xué)模型”這一基本思想。 例6（華師大版七下同步訓(xùn)練p8010