22排列組合.資料

1、排列組合排列組合是組合學最基本的概念。所謂排列，就是指從給定個數(shù)的元素中取出指定個數(shù)的元素進行排序。 組合則是指從給定個數(shù)的元素中僅僅取出指定個數(shù)的元素，不考慮排序。 排列組合的中心問題是研究給定要求的排列和組合可能出現(xiàn)的情況總數(shù)。1. 小新、阿呆等七個同學照像，分別求出在下列條件下有多少種站法？（1）七個人排成一排；（2）七個人排成一排，小新必須站在中間（3）七個人排成一排，小新、阿呆必須有一人站在中間（4）七個人排成一排，小新、阿呆必須都站在兩邊（5）七個人排成一排，小新、阿呆都沒有站在邊上（6） 七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人（7） 七個人戰(zhàn)成兩排，前排三人，后排四人小新、阿呆不在同

2、一排?！窘馕觥浚?） P7 =5040 （種）。（2） 只需排其余6個人站剩下的6個位置.P6 =720 （種）（3） 先確定中間的位置站誰，冉排剩下的6個位置.2X再=1440（種）.（4） 先排兩邊，再排剩下的 5個位置，其中兩邊的小新和阿呆還可以互換位置.2 P用1、2、3、4、5這五個數(shù)字可組成多少個比 20000大且百位數(shù)字不是 3的無重復數(shù)字的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類來看：把3排在最高位上，其余 4個數(shù)可以任意放到其余4個數(shù)位上，是 4個元素全排列的問題，有P： =4 3 2 1=24（種）放法，對應24個不同的五位數(shù)； 把2, 4, 5放在最高位上，有 3種選擇，百位上有除已

3、確定的最高位數(shù)字和3之外的3個數(shù)字可以3選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意放到其余 3個數(shù)位上，有P3 =6種選擇由乘法原理，可 以組成3 3 6 =54（個）不同的五位數(shù)。由加法原理，可以組成 24 *54 =78（個）不同的五位數(shù)。 用0到9十個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)；若將這些四位數(shù)按從小到大的順序排列，則5687是第幾個 數(shù)？【解析】從高位到低位逐層分類: =240 （種）.（5） 先排兩邊，從除小新、阿呆之外的5個人中選2人，再排剩下的5個人，P52戌=2400 （種）（6） 七個人排成一排時，7個位置就是各不相同的現(xiàn)在排成兩排，不管前后排各有幾個人，7個位置還是各不相同的

4、，所以本題實質就是7個元素的全排列.P7 =5040 （種）（7） 可以分為兩類情況：“小新在前，阿呆在后”和“小新在前，阿呆在后”，兩種情況是對等的，所5以只要求出其中一種的排法數(shù)，再乘以2即可.4X3X F5 X2= 2880（種）.排隊問題，一般先考慮特殊情況再去全排列。2. 用1、2、3、4、5、6可以組成多少個沒有重復數(shù)字的個位是5的三位數(shù)？【解析】 個位數(shù)字已知，問題變成從從5個元素中取2個元素的排列問題， 已知n=5 , m = 2，根據(jù)排列數(shù)公式， 一共可以組成F52 =5 4 =20 （個）符合題意的三位數(shù)。千位上排1 , 2 , 3或4時，千位有4種選擇，而百、十、個位可以

5、從 09中除千位已確定的數(shù)字之外的9個數(shù)字中選擇，因為數(shù)字不重復，也就是從9個元素中取3個的排列問題，所以百、十、個位可有P93 =9 8 7 =504（種）排列方式由乘法原理，有4 504 =2016（個）.千位上排5，百位上排04時，千位有1種選擇，百位有5種選擇，十、個位可以從剩下的八個數(shù) 字中選擇.也就是從8個元素中取2個的排列問題，即Pa2 =8 7 =56,由乘法原理，有1556 =2 8（個）千位上排5，百位上排6，十位上排0, 1 , 2 , 3, 4 , 7時，個位也從剩下的七個數(shù)字中選擇，有1 1 6 7 =42（個）. 千位上排5，百位上排6，十位上排8時，比5687小的

6、數(shù)的個位可以選擇 0, 1 , 2 , 3 , 4共5個.綜上所述，比5687小的四位數(shù)有2016 280 42 *5 =2343（個），故比5687小是第2344個四位數(shù).5. 用1、2、3、4、5這五個數(shù)字，不許重復，位數(shù)不限，能寫出多少個3的倍數(shù)？【解析】 按位數(shù)來分類考慮：一位數(shù)只有1個3 ; 兩位數(shù)：由1與2 , 1與5 , 2與4 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成P22 =2 1=2（個）不同的兩位數(shù)，共可組成 2 4 =8（個）不同的兩位數(shù)；三位數(shù)：由1 , 2與3 ； 1 , 3與5 ； 2 , 3與4 ; 3 , 4與5四組數(shù)字組成，每一組可以組成 P3 =3 2 1=

7、6（個）不同的三位數(shù)，共可組成 6 4=24 （個）不同的三位數(shù)； 四位數(shù)：可由1 , 2 , 4 , 5這四個數(shù)字組成，有 P： =4 3 2 1 =24（個）不同的四位數(shù)； 五位數(shù)：可由1 , 2 , 3 , 4 , 5組成，共有 P5=5 4 3 2 1 =120（個）不同的五位數(shù). 由加法原理，一共有18 2424 120 =177（個）能被3整除的數(shù)，即3的倍數(shù).6. 用1、2、3、4、5、6六張數(shù)字卡片，每次取三張卡片組成三位數(shù)，一共可以組成多少個不同的偶數(shù)？【解析】由于組成偶數(shù)，個位上的數(shù)應從2 , 4 , 6中選一張，有3種選法；十位和百位上的數(shù)可以從剩下的5張中選二張，有F5

8、2 -5 4 =20（種）選法由乘法原理，一共可以組成3 20 =60（個）不同的偶數(shù).7. 某管理員忘記了自己小保險柜的密碼數(shù)字，只記得是由四個非0數(shù)碼組成，且四個數(shù)碼之和是 9，那么確保打開保險柜至少要試幾次？【解析】四個非0數(shù)碼之和等于9的組合有1, 1, 1, 6； 1 , 1, 2, 5； 1, 1, 3, 4； 1, 2, 2, 4； 1, 2, 3, 3； 2, 2, 2, 3 六種。第一種中，可以組成多少個密碼呢？只要考慮6的位置就可以了， 6可以任意選擇4個位置中的一個，其余位置放1 ,共有4種選擇；第二種中，先考慮放2，有 4種選擇，再考慮5的位置，可以有3種選擇，剩下的位

9、置放1，共有4 3=12（種）選擇同樣的方法，可以得出第三、四、五種都各有12種選擇最后一種，與第一種的情形相似，3的位置有4種選擇，其余位置放 2，共有4種選擇.綜上所述，由加法原理，一共可以組成4 T2 T2 12 12 4=56（個）不同的四位數(shù)，即確保能打開保險柜至少要試56次.8. 兩對三胞胎喜相逢，他們圍坐在桌子旁，要求每個人都不與自己的同胞兄妹相鄰，（同一位置上坐不同的人算不同的坐法），那么共有多少種不同的坐法？【解析】 第一個位置在6個人中任選一個，有 C：=6（種）選法，第二個位置在另一胞胎的3人中任選一個，有C；=3（種）選法同理，第3 , 4 , 5 , 6個位置依次有2

10、 , 2 , 1 , 1種選法由乘法原理，不同的坐法 z 1 1 1 1 1 1 有 P6 XP3 :P2 ： （b d f）的差為0或11的倍數(shù)且a、b、c、d、e、f 均不為0，任何一個數(shù)作為首位都是一個六位數(shù)。先考慮a、c、e偶數(shù)位內，b、d、f奇數(shù)位內的組內交換，有 戌x戌=36種順序； 再考慮形如badcfe這種奇數(shù)位與偶數(shù)位的組間調換，也有戌x P3=36種順序。所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+ 36= 72個能被11整除的數(shù)（包含原來的abcdef） 所以最少還能排出 72-仁71個能被11整除的六位數(shù)。11.如圖所示，用長短相同的火柴棍擺成3x佃96的方

11、格網，其中每個小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍a)橫放需1996X4根，豎放需1997 X3根共需 1996X4+ 1997 X3=13975 根。12. 已知在由甲、乙、丙、丁、戊共5名同學進行的手工制作比賽中，決出了第一至第五名的名次甲、乙兩名參賽者去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍.”對乙說：“你當然不會是最差的.”從這個回答分析，5人的名次排列共有多少種不同的情況？b）這道題乍一看不太像是排列問題，這就需要靈活地對問題進行轉化仔細審題，已知“甲和乙都未拿到冠軍”，而且“乙不是最差的”，也就等價于5人排成一排，甲、乙都不站在排頭且乙不站在排尾的排

12、法數(shù)，因為乙的限制最多，所以先排乙，有3種排法，再排甲，也有 3種排法，剩下的人隨意排，有P3=3 2 1=6（種）排法由乘法原理，一共有 3 3 6 =54（種）不同的排法。13. 4名男生，5名女生，全體排成一行，問下列情形各有多少種不同的排法： 甲不在中間也不在兩端； 甲、乙兩人必須排在兩端； 男、女生分別排在一起；男女相間.【解析】 先排甲，9個位置除了中間和兩端之外的6個位置都可以，有6種選擇，剩下的8個人隨意排，也就是8個元素全排列的問題，有 P8 =8 765432 1 =40320（種）選擇.由乘法原理, 共有 6 40320 =241920（種）排法.甲、乙先排，有 =2 1

13、=2（種）排法；剩下的7個人隨意排，有P77 =7 6 5 4 3 2 1=5040（種）排法.由乘法原理，共有 2 5040 =10080（種）排法. 分別把男生、女生看成一個整體進行排列，有P2 =2 1=2（種）不同排列方法，再分別對男生、女生內部進行排列，分別是 4個元素與5個元素的全排列問題，分別有P4=4 3 2 1 =24（種）和 F5 =5 4 3 2 1 =120 （種）排法.由乘法原理，共有 2 24 120 =5760 （種）排法. 先排4名男生，有F44 =4 3 2 1 =24（種）排法，再把5名女生排到5個空檔中，有5F5 =5 4 3 2 1 =120（種）排法.

14、由乘法原理，一共有24 120 =2880（種）排法。14. 五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。如果貝貝和妮妮不相鄰，共有（）種不同的排法。c） 五位同學的排列方式共有5X4X3X2X1= 120 （種）。如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4X3X2X1=24 （種）。因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24X2=48（種）;貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48= 72 （種）。15. 一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目.求： 當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？ 當要求每2個舞蹈節(jié)

15、目之間至少安排 1個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？【解析】 先將4個舞蹈節(jié)目看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，則是 7個元素全排列的問題，有F77=7! = 7 6 5 4 3 2 1 =5（種4）方法.第二步再排4個舞蹈節(jié)目，也就是 4個舞蹈節(jié)4目全排列的問題，有 P4 =4! =4 3 2 1 =24（種）方法.根據(jù)乘法原理，一共有 5040 24 =120960（種）方法. 首先將6個演唱節(jié)目排成一列（如下圖中的“” ），是6個元素全排列的問題，一共有F66 =6! =6 5 4 3 2 1 =720（種）方法.XXXXXXX第二步，再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或2個演唱

16、節(jié)目之間（即上圖中“X”的位置），這相當于從7個“X”中選4個來排，一共有 =7 6 5 4 =840（種）方法.根據(jù)乘法原理，一共有 720 840 =604800（種）方法。16. 由4個不同的獨唱節(jié)目和 3個不同的合唱節(jié)目組成一臺晚會，要求任意兩個合唱節(jié)目不相鄰，開始和最后一個節(jié)目必須是合唱，則這臺晚會節(jié)目的編排方法共有多少種？【解析】 先排獨唱節(jié)目，四個節(jié)目隨意排，是4個元素全排列的問題，有 P4 =4 3 2 1 =24種排法；其次在獨唱節(jié)目的首尾排合唱節(jié)目，有三個節(jié)目，兩個位置，也就是從三個節(jié)目選兩個進行排列的問題，有F32 =3 2=6（種）排法；再在獨唱節(jié)目之間的 3個位置中排

17、一個合唱節(jié)目，有 3種排法由乘法原理，一共有24 6 3 =432 （種）不同的編排方法.【小結】 排列中，我們可以先排條件限制不多的元素，然后再排限制多的元素如本題中，獨唱節(jié)目排好之后，合唱節(jié)目就可以采取“插空”的方法來確定排法了總的排列數(shù)用乘法原理把若干個排列數(shù)相乘，得出最后的答案。17從1, 2,，8中任取3個數(shù)組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，共有多少個？（只要求列式）從8位候選人中任選三位分別任團支書，組織委員，宣傳委員，共有多少種不同的選法？3位同學坐8個座位，每個座位坐 1人，共有幾種坐法？8個人坐3個座位，每個座位坐 1人，共有多少種坐法？一火車站有8股車道，停放3列火車，有多少種不同的

18、停放方法？8種不同的菜籽，任選 3種種在不同土質的三塊土地上，有多少種不同的種法？【解析】 按順序，有百位、十位、個位三個位置，8個數(shù)字（8個元素）取出3個往上排，有P3種.3種職務3個位置，從8位候選人（8個元素）任取3位往上排，有P8種.3位同學看成是三個位置，任取8個座位號（8個元素）中的3個往上排（座號找人），每確定一種號碼即對應一種坐法，有 P8種.3個坐位排號1, 2, 3三個位置，從8人中任取3個往上排（人找座位），有診種.3列火車編為1, 2, 3號，從8股車道中任取3股往上排，共有 P3種.土地編1, 2, 3號，從8種菜籽中任選3種往上排，有P3種。18. 現(xiàn)有男同學3人，

19、女同學4人（女同學中有一人叫王紅），從中選出男女同學各 2人，分別參加數(shù)學、英語、 音樂、美術四個興趣小組：（1）共有多少種選法？（2） 其中參加美術小組的是女同學的選法有多少種？（3） 參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有多少種？（4） 參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術小組的是女同學的選法有多少種？3式24漢3【解析】（1）從3個男同學中選出2人，有 =3種選法。從4個女同學中選出2人，有=6種選法。2 2在四個人確定的情況下，參加四個不同的小組有4 X3X2 X1=24種選法。3X6 X24=432,所以共有 432種選法。（2） 在四個人確定的情況下，參加美術小組的是女同學時有2

20、X3X2X仁12種選法。3X6X12=216，所以其中參加美術小組的是女同學的選法有216種。（3） 考慮參加數(shù)學小組的是王紅時的選法，此時的問題相當于從3個男同學中選出2人，從3個女同 學中選出1人，3個人參加3個小組時的選法。3X3X3X2 X1 = 54，所以參加數(shù)學小組的是王紅時的選法有54種，432-54=378,所以參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有 378種。（4） 考慮參加數(shù)學小組的是王紅且參加美術小組的是女同學時的選法，此時的問題相當于從3個男同 學中選出2人參加兩個不同的小組，從 3個女同學中選出1人參加美術小組時的選法。3X2X3=18，所以參加數(shù)學小組的是王紅且參加美

21、術小組的是女同學時的選法有18種，216-18= 198,所以參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術小組的是女同學的選法有198種。19. 某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成 3個階段進行，第一階段：將參加比賽的 48名選手分成8個小組，每 組6人，分別進行單循環(huán)賽；第二階段：將 8個小組產生的前 2名共16人再分成4個小組，每組4人，分別進 行單循環(huán)賽；第三階段：由 4個小組產生的4個第1名進行2場半決賽和2場決賽，確定1至4名的名次.問：整 個賽程一共需要進行多少場比賽？265【解析】第一階段中，每個小組內部的6個人每2人要賽一場，組內賽C6二- =15場，共8個小組，有2況115 8 =

22、120場；第二階段中，每個小組內部 4人中每2人賽一場，組內賽 C：=4 3=6場，共4個小組, 2匯1有6 4 =24場；第三階段賽2 2=4場根據(jù)加法原理，整個賽程一共有120 24 *4=148場比賽。20. 由數(shù)字1, 2, 3組成五位數(shù)，要求這五位數(shù)中1, 2, 3至少各出現(xiàn)一次，那么這樣的五位數(shù)共有 個。（2007年“迎春杯”高年級組決賽 ）【解析】 這是一道組合計數(shù)問題由于題目中僅要求1, 2 , 3至少各出現(xiàn)一次，沒有確定1 , 2 , 3出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由1,2,3組成的五位數(shù)中，去掉僅有1個或2個數(shù)字組成的五位數(shù)即可.1

23、（法1）分兩類：1 , 2 , 3中恰有一個數(shù)字出現(xiàn) 3次，這樣的數(shù)有C3 5 4=60（個）；1 , 2 , 3中有 兩個數(shù)字各出現(xiàn) 2次，這樣的數(shù)有 c3 5 C： =90（個）.符合題意的五位數(shù)共有 60 90 =150（個）.（法2）從反面想，由1 , 2 , 3組成的五位數(shù)共有 35個，由1, 2 , 3中的某2個數(shù)字組成的五位數(shù)共有53 （2 一2）個，由1，2，3中的某1個數(shù)字組成的五位數(shù)共有3個，所以符合題意的五位數(shù)共有3 -3 （2 -2） -3 =150（個）。21. 10個人圍成一圈，從中選出兩個不相鄰的人，共有多少種不同選法？【解析】（法1）乘法原理按題意，分別站在每個

24、人的立場上，當自己被選中后，另一個被選中的，可以是除了自己和左右相鄰的兩人之外的所有人，每個人都有7種選擇，總共就有7 10=70種選擇，但是需要注意的是，選擇的過程中，會出現(xiàn)“選了甲、乙，選了乙、甲”這樣的情況本來是同一種選擇，而卻算作了兩種，所以最后的結果應該是 （10-1-1-1） 10=-2 =35（種）.（法2）排除法.可以從所有的兩人組合中排除掉相鄰的情況，總的組合數(shù)為G0，而被選的兩個人相鄰的情況有10種，所以共有 G2。-10=45 -10 =35（種）。22. 8個人站隊，冬冬必須站在小悅和阿奇的中間（不一定相鄰），小慧和大智不能相鄰， 小光和大亮必須相鄰，滿足要求的站法一共

25、有多少種？【解析】 冬冬要站在小悅和阿奇的中間，就意味著只要為這三個人選定了三個位置，中間的位置就一定要留給冬冬，而兩邊的位置可以任意地分配給小悅和阿奇.小慧和大智不能相鄰的互補事件是小慧和大智必須相鄰小光和大亮必須相鄰，則可以將兩人捆綁考慮只滿足第一、三個條件的站法總數(shù)為：C； P2 C4 P2 P3 = 3360 （種）同時滿足第一、三個條件，滿足小慧和大智必須相鄰的站法總數(shù)為：C； P2宵P； P；=960 （種）因此同時滿足三個條件的站法總數(shù)為：3360 -960 =2400 （種）。23. 小明有10塊大白兔奶糖，從今天起，每天至少吃一塊那么他一共有多少種不同的吃法？【解析】我們將1

26、0塊大白兔奶糖從左至右排成一列，如果在其中9個間隙中的某個位置插入“木棍”，則將10塊糖分成了兩部分。我們記從左至右 第1部分是第1天吃的，第2部分是第2天吃的，如：OOQOOOOOO表示第一天吃3T粒，第二天吃了剩下的7粒：OOO（DOOQOOO表示第一天吃了 4粒，第二天吃了 3粒，第三天吃了剩下的3粒.不難知曉，每一種插入方法對應一種吃法 ，而9個間隙，每個間隙可以插人也可以不插入，且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法，即512種不同的吃法。24. 小紅有10塊糖，每天至少吃 1塊，7天吃完，她共有多少種不同的吃法？【解析】分三種情況來考慮： 當小紅最多一天吃 4塊時，其余各每

27、天吃1塊，吃4塊的這天可以是這七天里的任何一天，有7種吃法； 當小紅最多一天吃3塊時，必有一天吃2塊，其余五天每天吃1塊，先選吃3塊的那天，有7種選擇， 再選吃2塊的那天，有6種選擇，由乘法原理，有 7 6 =42種吃法； 當小紅最多一天吃2塊時，必有三天每天吃 2塊，其四天每天吃 1塊，從7天中選3天，有376 5C7 =35（種）吃法。3 2 1根據(jù)加法原理，小紅一共有7 42 35=84（種）不同的吃法.還可以用擋板法來解這道題，10塊糖有9個空，選6個空放擋板，有 C；二C=84（種）不同的吃法。25. 把20個蘋果分給3個小朋友，每人最少分 3個，可以有多少種不同的分法？d）（法1）

28、先給每人2個，還有14個蘋果，每人至少分一個，13個空插2個板，有C；3=78種分法.（法2）也可以按分蘋果最多的人分的個數(shù)分類枚舉?！眷柟獭?有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】如圖：OQOOQOOOO,將0粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有 9個空，從頭開始吃, 若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉 的，九個空中畫兩條豎線，一共有9 8亠2=36種方法.26. 某池塘中有 A B、C三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3個成人和2個 兒童要分乘這些游船， 為安全起見，有兒

29、童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們5人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】由于有兒童乘坐的游船上必須至少有1個成人陪同，所以兒童不能乘坐 C船.若這5人都不乘坐C船，則恰好坐滿A、B兩船，若兩個兒童在同一條船上， 只能在A船上，此時A 船上還必須有1個成人，有c3=3種方法；若兩個兒童不在同一條船上， 即分別在A、B兩船上，則B 船上有1個兒童和1個成人，1個兒童有C；=2種選擇，1個成人有C3=3種選擇，所以有 2X3=6種方 法故5人都不乘坐C船有3 9種安全方法；若這5人中有1人乘坐C船，這個人必定是個成人，有 C3=3種選擇其余的2個成人與2個兒童， 若兩個兒

30、童在同一條船上，只能在A船上，此時A船上還必須有1個成人，有C； =2種方法，所以此時有3 2 =6種方法；若兩個兒童不在同一條船上，那么B船上有1個兒童和1個成人，此時1個兒童和1個成人均有 C； =2種選擇，所以此種情況下有3 2 2 =12種方法；故5人中有1人乘坐C船有6 -12=18種安全方法所以，共有 9 -18=27種安全乘法.27. 從10名男生，8名女生中選出8人參加游泳比賽.在下列條件下，分別有多少種選法？恰有3名女生入選；至少有兩名女生入選；某兩名女生，某兩名男生必須入選；某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人?！窘馕觥壳∮?名女生入選，說

31、明男生有 5人入選，應為C83 C；o =14112種；要求至少兩名女生人選，那么“只有一名女生入選”和“沒有女生入選”都不符合要求運用包含與 排除的方法，從所有可能的選法中減去不符合要求的情況：C18 -Go - C10 C8 - 43758 ；4人必須入選，則從剩下的 14人中再選出另外4人，有=1001種;從所有的選法C18種中減去這4個人同時入選的 C打種：84C18 C14 =43758 -1001 =42757 .分三類情況：4人無人入選；4人僅有1人入選；4人中有2人入選，共:C： - C4 C： C： C： = 34749。28. 在6名內科醫(yī)生和4名外科醫(yī)生中，內科主任和外科

32、主任各一名，現(xiàn)要組成5人醫(yī)療小組送醫(yī)下鄉(xiāng)，按照下列條件各有多少種選派方法？ 有3名內科醫(yī)生和2名外科醫(yī)生； 既有內科醫(yī)生，又有外科醫(yī)生；至少有一名主任參加； 既有主任，又有外科醫(yī)生。36疋5 4【解析】 先從6名內科醫(yī)生中選3名，有C：二一=20種選法；再從4名外科醫(yī)生中選2名，3匯2江1共14頁第7頁共有c4 =4 =6種選法根據(jù)乘法原理，一共有選派方法20 6 =120種.2x1 用“去雜法”較方便，先考慮從10名醫(yī)生中任意選派5人，有 d10 9 8 7 6 =252種選派方5疋4漢3漢2 乂 1法；再考慮只有外科醫(yī)生或只有內科醫(yī)生的情況由于外科醫(yī)生只有4人，所以不可能只派外科醫(yī)生如果只

33、派內科醫(yī)生，有C；二C： =6種選派方法所以，一共有 252 6=246種既有內科醫(yī)生又有外科醫(yī)生的選派方法。 如果選1名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選4人，有2 C4 -2 8 7 6 5 =140種選派方法；如果4漢3匯2x1選2名主任，則不是主任的8名醫(yī)生要選3人，有1 C； =1 8 7 6 =56種選派方法.根據(jù)加法原理,3x2x1一共有140 56 =196種選派方法.49 8 7 6C9126種選取萬法；3 2 14人不能全選內科醫(yī)生，用“去雜法”有分兩類討論： 若選外科主任，則其余 4人可任意選取，有4C8 - C5 若不選外科主任，則必選內科主任，且剩余=65種選取法.根據(jù)加

34、法原理，一共有 126 65 =191種選派方法。29. 在10名學生中，有5人會裝電腦，有3人會安裝音響設備，其余 2人既會安裝電腦，又會安裝音響設備，今選派由6人組成的安裝小組，組內安裝電腦要3人，安裝音響設備要 3人，共有多少種不同的選人方案？【解析】 按具有雙項技術的學生分類：35 汽4 X3 兩人都不選派，有 C3 = 5=10（種）選派方法；3匯2匯1 兩人中選派1人，有2種選法而針對此人的任務又分兩類：25X4若此人要安裝電腦，貝U還需2人安裝電腦，有C54=10（種）選法，而另外會安裝音響設備的 3人2X1全選派上，只有1種選法由乘法原理，有 10 1=10（種）選法；若此人安

35、裝音響設備，則還需從3人中選2人安裝音響設備，有口 =3（種）選法，需從5人中2漢135疋4工3選3人安裝電腦，有 c45 4 3 =10（種）選法由乘法原理，有 3 10 =30（種）選法.3漢2江1根據(jù)加法原理，有1030 =40（種）選法；綜上所述，一共有 2 40 =80（種）選派方法. 兩人全派，針對兩人的任務可分類討論如下： 兩人全安裝電腦，則還需要從 5人中選1人安裝電腦，另外會安裝音響設備的3人全選上安裝音響設備，有5 1 =5（種）選派方案；22543漢2 兩人一個安裝電腦，一個安裝音響設備，有C5 C3 = =60（種）選派方案；2X12江135漢4漢3 兩人全安裝音響設備

36、，有 3 C5 =3 =30（種）選派方案.3江2乂1根據(jù)加法原理，共有 560 395 （種）選派方案.綜合以上所述，符合條件的方案一共有 10 8095 =185（種）30. 有11名外語翻譯人員，其中 5名是英語翻譯員，4名是日語翻譯員，另外兩名英語、日語都精通從中找 出8人，使他們組成兩個翻譯小組，其中 4人翻譯英文，另 4人翻譯日文，這兩個小組能同時工作問這樣的分 配名單共可以開出多少張？【解析】 針對兩名英語、日語都精通人員（以下稱多面手）的參考情況分成三類： 多面手不參加，則需從 5名英語翻譯員中選出 4人，有C；=C5=5種選擇，需從4名日語翻譯員中 選出4人，有1種選擇由乘法

37、原理，有 5 1=5種選擇. 多面手中有一人入選，有 2種選擇，而選出的這個人又有參加英文或日文翻譯兩種可能：如果參加英文翻譯，則需從 5名英語翻譯員中再選出 3人，有C； =5 4 3 =10種選擇，需從4名日3x 2x1語翻譯員中選出4人，有1種選擇由乘法原理，有 2 10 1 =20種選擇；如果參加日文翻譯，則需從 5名英語翻譯員中選出 4人，有C：=C5=5種選擇，需從4名日語翻譯 員中再選出3名，有C： =C4 =4種選擇由乘法原理，有 2 5 4 =40種選擇根據(jù)加法原理，多面 手中有一人入選，有 20 40 =60種選擇. 多面手中兩人均入選，對應一種選擇，但此時又分三種情況：兩

38、人都譯英文；兩人都譯日文；兩人各譯一個語種.斤乂 d情況中，還需從5名英語翻譯員中選出 2人，有Cl二-=10種選擇.需從4名日語翻譯員中選 42X1人，1種選擇.由乘法原理，有 1 10 1=10種選擇.情況中，需從5名英語翻譯員中選出 4人，有C；=C5=5種選擇.還需從4名日語翻譯員中選出2 人，有C： =4 3 =6種選擇.根據(jù)乘法原理，共有 1 5 6=30種選擇.2漢1情況中，兩人各譯一個語種，有兩種安排即兩種選擇.剩下的需從5名英語翻譯員中選出 3人，有蘭空5=10種選擇，需從4名日語翻譯員中選出 3人，有C：=c4=4種選擇.由乘法原理，3 X2 匯1有1 2 10 4=80種

39、選擇.根據(jù)加法原理，多面手中兩人均入選，一共有10 30 8120種選擇.綜上所述，由加法原理，這樣的分配名單共可以開出5 60 120 =185張.31. 下圖中共有個正方形。【解析】 每個4 4正方形中有：邊長為1的正方形有42個；邊長為2的正方形有32個；邊長為3的正方形有22 個；邊長為4的正方形有12個；總共有42 32 22 12 =30（個）正方形.現(xiàn)有5個4 4的正方形，它們 重疊部分是4個2 2的正方形.因此，圖中正方形的個數(shù)是30 5 -5 4 =130 。32. 在圖中（單位：厘米）： 一共有幾個長方形？ 所有這些長方形面積的和是多少51281-24r1_二3【解析】 一

40、共有（43 2 1） （43 2 1100（個）長方形;所求的和是512 8 1(512)(12 8)(8 1) (5 12 8) (128 1) (5 128 1)247 3(24)(47)(73) (24 7)(473) (24 73)= 144 86 =12384 (平方厘米)。33. 由20個邊長為1的小正方形拼成一個 4 5長方形中有一格有“”圖中含有“”的所有長方形(含正方形)共有個，它們的面積總和是 。(第六屆走美決賽試題)【解析】 含的一行內所有可能的長方形有：(八種)含的一列內所有可能的長方形有：(六種)所以總共長方形有 6 8 =48個，面積總和為(1 2 23 3 4 4

41、 5) (1 2 2 3 3 4360。34. 圖中共有多少個三角形?Ae)顯然三角形可分為尖向上與尖向下兩大類，兩類中三角形的個數(shù)相等.尖向上的三角形又可分為6類(1) 最大的三角形1個(即ABC),(2) 第二大的三角形有 3個(3) 第三大的三角形有 6個(4) 第四大的三角形有 10個(5) 第五大的三角形有 15個(6) 最小的三角形有24個所以尖向上的三角形共有 1 + 3+ 6+ 10+ 15+24= 59 (個)圖中共有三角形 2 X59= 118 (個)。35. 一個圓上有12個點Ai, A2, A3,，An, A12以它們?yōu)轫旤c連三角形，使每個點恰好是一個三角形的頂 點，且

42、各個三角形的邊都不相交問共有多少種不同的連法？【解析】我們采用遞推的方法.I如果圓上只有3個點，那么只有一種連法.n如果圓上有6個點，除Al點所在三角形的三頂點外，剩下的三個 點一定只能在 A1所在三角形的一條邊所對應的圓弧上，表1給出這時有可能的連法。氽下點.妣3131Ai31I川如果圓上有9個點，考慮Ai所在的三角形.此時，其余的 6個點可能分布在: Ai所在三角形的一個邊所對的弧上； 也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上. 在表2中用“ +”號表示它們分布在不同的邊所對的弧.如果是情形，則由n,這六個點有三種連法；如果是情形，則由，每三個點都只能有一種連法.川所在

43、三竜形余下點數(shù)種數(shù).41 ?! 2 363.41 占 p63沖1血Aq63沖內血3 + 3113 + 31.4仏為3 + 31表2共有12種連法.9個點的分布有三種可能:W最后考慮圓周上有12個點同樣考慮Ai所在三角形，剩下9個點都在同一段弧上: 有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上；.4,所在三角形余下點數(shù)種散912松電丸歳9129r 123 + 636 + 333 + 63“MM池3 + 63為3 + 63AjAAa6 + 333 + 3 + 3J農3 每三個點在 Ai所在三角形的一條邊對應的弧上.得到表3.共有 12X3+3X6+1 = 55 種.所以當圓周上有12個點時，滿足題意的

44、連法有 55種。36.用2 , 3 , 4, 5排成四位數(shù)：1）共有多少個四位數(shù)?（2）無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（3）無重復數(shù)字的四位偶數(shù)有多少個？（4）2在3的左邊的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（5）2在千位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？（6）5不在十位、個位上的無重復數(shù)字的四位數(shù)有多少個？【解析】 條件中未限制“無重復數(shù)字”，所以，數(shù)字可以重復出現(xiàn)，如 2 234 ,3 355 ,2 444 ,5 555等. 依分步計數(shù)乘法原理共有 4 4 4 4 =44 （個）4 P4 =24 （個）個位上只能是2或4，有2P； =12 （個）所有四位數(shù)中，2在3的左邊或2在3的右邊的數(shù)各占一半，

45、共有 -P44 =12 （個）22在千位上，只有1種方法，此后34、只能在另外的3個位置上排列，有 P；=6 （個）法一：5不在十位、個位上，所以 5只能在千位上或百位上，有 2P3=12 （個）5432法二：從P5中減去不合要求的（5在十位上、個位上），有P4 -2P3 =2P2 =12 （個）。37. 如圖，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米求圖中長方形的個數(shù)，以及所有長方形面積的和。5T9141【解析】利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有n條線段，縱邊上共有 m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn

46、個，所以有（4+3+ 2+ 1）X（4+ 3+2+ 1 ）= 100,這些長方形的面積和為：（5+7+ 9+2+ 12+ 16+ 11+ 21 +18+23）X（4+6+ 5+ 1+ 10+ 11+ 6+ 15+ 12+ 16） = 124 X86= 10664。38. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【解析】 初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數(shù)進行分類枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有9種方法，10= 1+9= 2+ 8=9+1; 當枚舉到3天吃完的時，情況就有點錯綜復雜了，叫人無所適從所以我們必須換一種角度來思考. 不妨從具體的例子入手

47、來分析，比如這10塊糖分4天吃完：第1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊.我們可以將10個“O”代表10粒糖，把10個“O”排成一排，“O”之間共有9個空位，若相鄰兩塊糖 是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線 （如下圖）.O0DO 10000比如上圖就表示“第 1天吃2塊；第2天吃3塊；第3天吃1塊；第4天吃4塊.”這樣一來，每一種吃糖的方法就對應著一種“在9個空位中插入若干個|的方法”，要求有多少個不同的吃法，就是要求在這 9個空位中插入若干個“的方法數(shù)。由于每個空位都有畫與“不畫兩種可能:OQ.OQQQQQQQ每個空位都有畫“ |”與不畫“|”兩種可能根據(jù)乘法原理，在這 9個

48、空位中畫若干個“的方法數(shù)有：2 2 22=29=512，這也就說明吃完910顆糖共有512種不同的吃法。39. 用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形.如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個更大的等邊三角形如果這個大等邊三角形的每邊由 20根火柴組成，那么一共要用多少 根火柴？f） 把大的等邊三角形分為“ 20”層分別計算火柴的根數(shù)：最上一層只用了 3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了3 X2= 6根；從上向下數(shù)第二層用了3 X3= 9根；從上向下數(shù)第二層用了3 X20= 60根；所以總共要用火柴3 x（1+2+3+20） =630。月測備選40. 書架上有3本故事書，2本作文選和1本漫畫書，全部豎起來排成一排。如果同類的書不分開，一共有多少種排法？如果同類的書可以分開，一共有多種排法？g） 可以分三步來排：先排故事書，有P3 =3 2 1=6（種）排法；再排作文選，有 F22=2 1=2（種）排法；最后排漫畫書有1種排法，而排故事書、作文選、漫畫書的先后順序也可以相互交換，排列的先后順序3有F3=3 2 1=6（種）.故由乘法原理，一共有