第八章 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論[章節(jié)講課]

1、8.6 李雅普諾夫穩(wěn)定性理論 1章節(jié)課件 v經典控制理論穩(wěn)定性判別方法：代數判據， 奈魁斯特判據，對數判據，根軌跡判據 v非線性系統(tǒng)：相平面法(適用于一，二階非 線性系統(tǒng))，描述函數法 2章節(jié)課件 v俄國學者李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性定理采 用了狀態(tài)向量來描述，適用于單變量，多 變量，線性，非線性，定常，時變等系統(tǒng)。 主要內容： n李氏第一法（間接法）：求解特征方程的 特征值 n李氏第二法（直接法）：利用經驗和技巧 來構造李氏函數 3章節(jié)課件 1.自治系統(tǒng)：輸入為0的系統(tǒng) =Ax+Bu(u=0) x 一. 穩(wěn)定性基本概念 e x 0 e Ax A奇異： 有無窮多個 00 ee xAx A非奇異：

2、Axx n Rx a.線性系統(tǒng) 0),(txfx ee e x系統(tǒng)的平衡狀態(tài) 3.平衡狀態(tài)： x 00 ( ;, )x t x t 0000 ),(xtxtx 2.初態(tài) =f(x,t)的解為 初態(tài) 4章節(jié)課件 b.非線性系統(tǒng) 可能有多個 0),(txfx e e x 1 0 2 e x 1 0 3 e x 0 1 x 0 2 x 令 3 2212 11 xxxx xx 例 0 0 1 e x 5章節(jié)課件 4. 孤立的平衡狀態(tài)：在某一平衡狀態(tài)的充分 小的鄰域內不存在別的平衡狀態(tài)。 對于孤立的平衡狀態(tài)，總可以經過適當的 坐標變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點。 6章節(jié)課件 二. 李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定

3、 歐幾里德范數歐幾里德范數 22 22 2 11 )()()( neneee xxxxxxxx 設設 是包含使是包含使 的所有點的一個球域，而的所有點的一個球域，而 是包含使是包含使 的所有點的一個球域。的所有點的一個球域。 )(S e xx )( S )( 0 ttxx e 定義一定義一 若系統(tǒng)若系統(tǒng)對于任意選定的對于任意選定的， 存在一個存在一個，使得當，使得當時，時， 恒有恒有 ，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是 穩(wěn)定的。穩(wěn)定的。 ),(txfx 0 0),( 0 t )( 00 ttxx e )( 0 ttxx e 7章節(jié)課件 定義二定義二 如果平衡狀態(tài)如果平衡狀態(tài)xe在李雅

4、普諾夫意義下是穩(wěn)定的，在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的， 且最后都能收斂到且最后都能收斂到xe附近，即附近，即， 其中其中是任選的微量，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是任選的微量，則稱系統(tǒng)的平衡狀態(tài)xe是是 漸近穩(wěn)定的。漸近穩(wěn)定的。 |),(|lim 00e t xtxtx 8章節(jié)課件 定義四定義四 : :如果從球域如果從球域 出發(fā)的軌跡，無論球出發(fā)的軌跡，無論球 域選得多么小，只要其中有一條軌跡脫離球域，域選得多么小，只要其中有一條軌跡脫離球域， 則稱平衡狀態(tài)則稱平衡狀態(tài)x xe e為不穩(wěn)定。為不穩(wěn)定。 )( S 定義三定義三 對所有的狀態(tài)對所有的狀態(tài)( (狀態(tài)空間的所有點狀態(tài)空間的所有點) )，如，如 果由

5、這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，則果由這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都具有漸近穩(wěn)定性，則 稱平衡狀態(tài)稱平衡狀態(tài)x xe e為大范圍漸近穩(wěn)定。為大范圍漸近穩(wěn)定。 9章節(jié)課件 v線性系統(tǒng)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必是有大 范圍漸近穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的 大小無關)。 v非線性系統(tǒng)：穩(wěn)定性與初始條件大小密切 相關,系統(tǒng)漸近穩(wěn)定不一定是大范圍漸近穩(wěn)定。 10章節(jié)課件 利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。 Axx 0 )0(xx 0t Re()0 i ni, 2 , 1 三. 李雅普諾夫第一法（間接法） 即系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復平面左半部。 李氏穩(wěn)定的充要條件： 1. 線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值

6、判據： 11章節(jié)課件 假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展 開成泰勒級數，可用線性化系統(tǒng)的特征 值判據判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的 穩(wěn)定性。 )(xf-非線性函數 0 e x在平衡狀態(tài) 附近存在各階偏導數，于是： )(xfx 設非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程： 2.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析： 12章節(jié)課件 ()()( ) e ee T x x f xf xxxg x x 其中： )(xg-級數展開式中二階以上各項之和 n nnn n T x f x f x f x f x f x f x f 21 1 2 1 1 1 13章節(jié)課件 n上式為向量函數的雅可比矩陣。 令 則線性化系統(tǒng)方程為： T n ffff 21

7、 T n xxxx 21 () e xxf x e xxx e xx T x f A xA x 14章節(jié)課件 結論： 1) 若 ，則非線 性系統(tǒng)在 處是漸近穩(wěn)定的，與 無關。 2) 若 則不穩(wěn)定。 3) 若 ，穩(wěn)定性與 有關， 則是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。 Re()0 i ni, 2 , 1 e x)(xg Re()0 i Re()0 j nji, 1 Re()0 i )(xg 0)(xg 15章節(jié)課件 四四. . 李雅普諾夫第二法李雅普諾夫第二法( (直接法直接法) ) 不通過運動微分方程，也不通過特征值，就能直接判不通過運動微分方程，也不通過特征值，就能直接判 定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。定系統(tǒng)的穩(wěn)

8、定性。 這種方法具有下述的物理背景：如果系統(tǒng)在運動過這種方法具有下述的物理背景：如果系統(tǒng)在運動過 程中能量不斷減小，則系統(tǒng)最終將到達穩(wěn)定平衡位程中能量不斷減小，則系統(tǒng)最終將到達穩(wěn)定平衡位 置，系統(tǒng)應是穩(wěn)定的。置，系統(tǒng)應是穩(wěn)定的。 如能找到系統(tǒng)的能量函數，只要能量函數對時間的如能找到系統(tǒng)的能量函數，只要能量函數對時間的 導數是負的，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)就是漸近穩(wěn)定的導數是負的，則系統(tǒng)的平衡狀態(tài)就是漸近穩(wěn)定的 16章節(jié)課件 1 1標量函數的正定性與負定性標量函數的正定性與負定性 設設 V(x)V(x)是向量是向量x x的標量函數的標量函數, ,在在x=0 x=0處有處有V(0)=0 V(0)=0 (1

9、)(1)正定正定 :V(x)0 :V(x)0 例如，例如， 2 2 2 1 )(xxxV (2)(2)半正定半正定: :例如例如0)( xV 2 21 )()(xxxV (3)(3)負定負定 :V(x)0 :V(x)0 (2) 若若V(x)負定負定,則稱則稱P為負定為負定,記作記作P0 (i=1,2, 0 (i=1,2,n),n),則則P P為正定為正定; ; 為為負負定定，則則 為為奇奇數數 為為偶偶數數 P i i i 0 0 為半正定，則P ni ni i 0 1, 2 , 10 為為半半負負定定，則則為為奇奇數數 為為偶偶數數 P ni i i i 0 0 0 (2) 若若 (3) 若

10、若 (4) 若若 21章節(jié)課件 ( (二二) )李雅普諾夫穩(wěn)定性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性定理 定理一定理一 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 如果存在一個標量函數如果存在一個標量函數V(xV(x，t)t)，V(xV(x，t)t)對向量對向量x x中中 各分量具有連續(xù)的一階偏導數，且滿足條件：各分量具有連續(xù)的一階偏導數，且滿足條件： 1)V(x1)V(x，t)t)為正定；為正定； ),(txfx )(0), 0( 0 tttf 2) 2) 為負定為負定 ),(txV 則在狀態(tài)空間原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。則在狀態(tài)空間原點處的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。 如果隨如果隨 有有 ，則在原點處的平，則在原

11、點處的平 衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。 x ),(txV 說明：說明： 負定負定 能量隨時間連續(xù)單調衰減。能量隨時間連續(xù)單調衰減。),( . txV 22章節(jié)課件 例例 已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 解解 原點原點x=0 x=0是給定系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)是給定系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài) )( )( 2 2 2 1212 2 2 2 1121 xxxxx xxxxx 試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 選取選取正定正定的標量函數的標量函數 2 2 2 1 )(xxxV )(222)( 2 2 2 12211 2 2 1 1 xxxxxx dt dx x V

12、 dt dx x V xV 負定負定 故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。為大范圍漸近穩(wěn)定。 又由于又由于時時 x )(xV 23章節(jié)課件 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 如果存在一個標量函數如果存在一個標量函數V(xV(x，t)t)，V(xV(x，t)t)對向量對向量x x 中各分量具有連續(xù)的一階偏導數，且滿足條件：中各分量具有連續(xù)的一階偏導數，且滿足條件： 1)V(x1)V(x，t)t)為正定；為正定； ),(txfx )(0), 0( 0 tttf 2) 2) 為半負定為半負定 ),(txV 則在原點處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。則在原點處的平衡狀態(tài)是

13、大范圍漸近穩(wěn)定的。 定理二定理二 3) 對任意對任意及任意及任意 在在 時不恒為零時不恒為零 ),( 00 ttxtxV 0 t0 0 x 0 tt 24章節(jié)課件 212 21 xxx xx 例例 解解 原點原點x=0 x=0是給定系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)是給定系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài) 2 22211 222)(xxxxxxV 2 2 2 1 )(xxxV 選取正定的標量函數選取正定的標量函數 0 21 xx 0)( xV 0, 0 21 xx 0)( xV )(xV 當當 為半負定為半負定 )(xV 0, 0 21 xx進一步研究進一步研究, ,當當 時時 不恒為零。不恒為零。 故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)故給

14、定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。為大范圍漸近穩(wěn)定。 25章節(jié)課件 2)( 2 1 )( 2 2 2 1 2 21 xxxxxV )()( 2 2 2 1 xxxV 正定正定 負定負定 如選如選 故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)故給定系統(tǒng)在平衡狀態(tài)x=0為大范圍漸近穩(wěn)定。為大范圍漸近穩(wěn)定。 )(xV 又由于又由于時時 x )(xV 為負定不變，為負定不變， 26章節(jié)課件 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 如果存在一個標量函數如果存在一個標量函數V(xV(x，t)t)，V(xV(x，t)t)對向量對向量x x中中 各分量具有連續(xù)的一階偏導數，且滿足條件：各分量具有連續(xù)的一階偏導數，且滿足條件： 1

15、)V(x1)V(x，t)t)為正定；為正定； ),(txfx )(0), 0( 0 tttf 2) 2) 為半負定為半負定, ,但在原點外的某一但在原點外的某一x x處恒為零，處恒為零， ),(txV 則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在則系統(tǒng)在原點處的平衡狀態(tài)在李雅普諾夫李雅普諾夫意義下是意義下是 穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)保持在一個穩(wěn)定的等穩(wěn)定的，但非漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)保持在一個穩(wěn)定的等 幅振蕩狀態(tài)。幅振蕩狀態(tài)。 定理三定理三 27章節(jié)課件 0 12 21 k xx kxx )0(),( 2 2 2 1 kkxxtxV 02222),( 21212211 xkxxkxxkxxxtxV 例例 故系統(tǒng)是李雅

16、普諾夫意義下的穩(wěn)定 28章節(jié)課件 定理四定理四 設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 如果存在一個標量函數V(x，t)，V(x，t)對向量x中 各分量具有連續(xù)的一階偏導數，且滿足條件： 1) V(x,t)1) V(x,t)在原點的某一鄰域內是正定的；在原點的某一鄰域內是正定的； ),(txfx )(0), 0( 0 tttf 2) 2) 在同樣的鄰域內也是正定的，在同樣的鄰域內也是正定的， ),(txV 則原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。則原點處的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。 29章節(jié)課件 例：給定系統(tǒng)例：給定系統(tǒng) （1） 求系統(tǒng)的平衡點； （2） 利用函數 判斷穩(wěn)定性； 2 112 2 212 ( )s

17、in ( )cos t t x txtx e x tx ext 1212 (,) t V x xe x x 解 2 2 sin cos t tt te xx e 2 2 sin 0 cos t tt te x e 令 得 0 x （1） （2）在x1,x2平面的一、三象限內 1212 (,)0 t V x xe x x 而在同一區(qū)域內 121212 ttt Ve x xe x xe x x 22 12 0 xx 所以系統(tǒng)不穩(wěn)定 30章節(jié)課件 v推論1：當 正定， 半正定， 且 在非零狀態(tài)不恒為零時,則 原點不穩(wěn)定。 ),(txV ),(txV . 0 ( ;, ), V x t x t t )

18、,(txV),( . txV 0 x0),( txV v推論2： 正定， 半正定，若 ， ，則原點是李雅普 諾夫意義下穩(wěn)定(同定理3)。 31章節(jié)課件 幾點說明： 1) 選取不唯一，但沒有通用辦法， 選取不當，會導致 不定的結果。 2) 這僅僅是充分條件。 ),(txV ),( . txV ),(txV 32章節(jié)課件 例4：試判斷下列線性系統(tǒng)平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。 解: 即 設 則 可見 與 無關，故非零狀態(tài)(如 )有 ，而對其余任意狀態(tài) 有 21221 xxxxx 0 21 xx0 21 xx0 e x 2 2 2 1 )(xxxV 2 2 . 2)(xxV )( . xV 1 x0 1 x 0

19、 2 x0)( . xV 0)( . xV 33章節(jié)課件 故 半正定。 令 即非零狀態(tài)時， 不恒為零，則原點不穩(wěn) 定即系統(tǒng)不穩(wěn)定。 )( . xV 0, 00)( 12 . xxxV )( . xV 推論1 34章節(jié)課件 李雅普諾夫第二法的步驟： 1)構造一個 二次型； 2)求 ，并代入狀態(tài)方程； 3)判斷 的定號性； 4)判斷非零情況下， 是否為零。 ),(txV ),(txV 漸近穩(wěn)定 李雅普諾夫穩(wěn)定 不穩(wěn)定 ),(txV ),;( 00 ttxtxV 35章節(jié)課件 n令 若 成立 李氏意義 下穩(wěn)定 若僅 成立 漸進穩(wěn)定 0),( . txV 0,x 0,x 0),( . txV 0),(

20、 . txV 半負定),(txV n令 若 成立 李氏意義 下穩(wěn)定 若僅 成立 不穩(wěn)定 0),( . txV 0,x 0,x 0),( . txV 0),( . txV 半正定),(txV 36章節(jié)課件 4.4 4.4 線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 1 1線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析 定理一定理一 線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是，線性定常系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是， 對于任意給定的一個正定對稱陣對于任意給定的一個正定對稱陣Q Q，有惟一的正定，有惟一的正定 對稱陣對稱陣P P使下式成立使下式成立 QPAPA T 上式稱為李雅普諾夫方程，而上式稱為李雅普諾夫方程，而 是該系統(tǒng)的一是該系統(tǒng)的一 個李雅普諾夫函數個李雅普諾夫函數 Pxx T 37章節(jié)課件 2 1 2 1 11 10 x x x x 例例 2221 1211 pp pp P QPAPAT 10 01 11 10 11 10 2221 1211 2221 1211 pp pp pp pp 12/1 2/12/3 P 02/3 11 p , 0 4 5