人教版高中數(shù)學選擇性必修二導學案

人教版高中數(shù)學選擇性必修二導學案全套

《4.1數(shù)列的概念》導學案

（第一課時）

【學習目標】

1.理解數(shù)列的有關概念與數(shù)列的表示方法.

2.掌握數(shù)列的分類.

3.理解數(shù)列的函數(shù)特征,掌握判斷數(shù)列增減性的方法.

4.掌握數(shù)列通項公式的概念及其應用，能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.

【重點和難點】

重點：數(shù)列的有關概念與數(shù)列的表示方法

難點：數(shù)列的函數(shù)特征

【知識梳理】

一、數(shù)列

1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.

2.項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1

項,常用符號&表示;第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用a?表示……第n個位置上

的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項,用a“表示.其中第1項也叫做首項.

3.表示:數(shù)列的一般形式是abaz,…,a,簡記為｛a?｝.

點睛：（D數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù)，有序性是數(shù)列的基本屬性.

數(shù)相同而順序不同的兩個數(shù)列是不相同的數(shù)列，

例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.

（2）符號｛a,｝和a”是不同的概念，區(qū)｝表示一個數(shù)列,而a表示數(shù)列中的第n項.

二、數(shù)列的分類

類別含義

按項的有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列

個數(shù)無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列

按項的變遞增數(shù)列從第2項起,每一項都大壬它的前一項的數(shù)列

化趨勢遞減數(shù)列從第2項起,每一項都小王它的前一項的數(shù)列

常數(shù)列各項相等的數(shù)列

從第2項起,有些項大工它的前一項,有些項

擺動數(shù)列

小于它的前一項的數(shù)列

三、數(shù)列與函數(shù)

數(shù)列｛aj是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集｛1,2,…，n｝)到實數(shù)集R的函數(shù),

其自變量是序號n,對應的函數(shù)值是數(shù)列的第n項a”，

記為a?=f(n).

另一方面，對于函數(shù)y=f(x),

如果f(n)(nGN*)有意義，

那么構成了一個數(shù)列｛f(n)｝.

f(l),f⑵，…，f(n),???

o123456789101112131415161718〃

四、數(shù)列的通項公式

如果數(shù)列｛a“｝的第n項a“與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示,那么這個式

子叫做這個數(shù)列的通項公式.

點睛：(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)｛1,2,…,n)為定義

域的函數(shù)表達式.

(2)并不是所有的數(shù)列都有通項公式.

(3)同一數(shù)列的通項公式,其表達形式可以是不唯一的,例如數(shù)列

T,1,T,1,T,1,…的通項公式可以寫成心=(-1)",a?=(T)"；a?=cosn兀等.

1.下列敘述正確的是()

A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類

B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定

C數(shù)列1,3,5,7可表示為｛1,3,5,7｝

D.同一個數(shù)在數(shù)列中不可能重復出現(xiàn)

2.若數(shù)列｛a0｝的通項公式是a?=n2-l,則該數(shù)列的第10項ai°=,224是該數(shù)列的第

項.

【學習過程】

一、情景導學

古語云：“勤學如春起之苗，不見其增，日有所長”

如果對“春起之苗”每日用精密儀器度量，

則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個數(shù)列.

那么什么叫數(shù)列呢？

二、問題探究

1.王芳從一歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）依次排成

一列數(shù)：

75,87,96,103,110,116,120,128,138,

145,153,158,160,162,163,165,168①

記王芳第i歲的身高為％,那么1=75,h2=87,…，3=168.

我們發(fā)現(xiàn)看中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定

位置，即h1=75是排在第1位的數(shù)，hz=87是排在第2位的數(shù)

…，也7=168是排在第17位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以

①具有確定順序的一列數(shù)。

2.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥板（編號K90,約生產(chǎn)于公元

前7世紀）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天，

每天月亮可見部分的數(shù)：

5,10,20,40,80,96,112,128,

144,160,176,192,208,224,240.②

記第i天月亮可見部分的數(shù)為Si，那么s1=5,s2=10,…，Si5=240.這里，*中的i反映了

月亮可見部分的數(shù)按日期從1~15順序排列時的確定位置，即S/5是排在第1位的數(shù)，s2=10

是排在第2位的數(shù)……S】5=240是排在第15位的數(shù)，它們之間不能交換位置，所以，②也

是具有確定順序的一列數(shù)。

3.《的11次幕按1次累，2次幕，3次累，4次累……依次排成一列數(shù):

1111

一，—，—，-'③

24816

思考：你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？

三、典例解析

例1.根據(jù)下列數(shù)列｛a｝的通項公式，寫出數(shù)列的前5項,并畫出它們的圖像.

n1)1T

(1)an=;(2)an=cos^-

例2.根據(jù)數(shù)列的前4項,寫出下列數(shù)列的一個通項公式：

(%,2,38,…;(2)1,-3,5,-7,9,-;

(3)9,99,999,9999,…；(4)早,早,?，?，…；

(5)-J-J_-_LJ_....

'1X2*2X3"3X4,4X5，'

(6)4,0,4,0,4,0,-.

根據(jù)數(shù)列的前幾項寫通項公式的具體思路為：

(1)先統(tǒng)一項的結構，如都化成分數(shù)、根式等.

(2)分析這一結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應序號間的關系.

(3)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(T)-處理符號.

(4)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列，考慮利用周期函數(shù)的知識解答.

2.常見數(shù)列的通項公式

(1)數(shù)列T,1,T,1,…的一個通項公式是a?=(-l)",數(shù)列1,-1,1,-1,???

的一個通項公式是a0=(T)""或(T)1

(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個通項公式是a0=n.

(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個通項公式是a?=2n-l.

(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個通項公式是a?=2n.

(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個通項公式是a?=2n".

(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個通項公式是a0=n：

(7)數(shù)列1,3,6,10,…的一個通項公式是a”一等.

(8)數(shù)列…的一個通項公式是a,.=i.

跟蹤訓練L寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：

⑴1,林下⑵與號用8a

⑶。曰17;⑷|福最專

(5)7,77,777,7777.

2

例3(1)已知數(shù)列｛aj滿足an=n-5n-6,n￡N*.

①數(shù)列中有哪些項是負數(shù)？

②當n為何值時,a“取得最小值?求出此最小值.

(2)己知數(shù)列瓜｝的通項公式a0=(n+D管)％G“)，試問數(shù)列瓜｝有沒有最大項?若有,求出

最大項和最大項的項數(shù);若沒有，請說明理由.

求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法

(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關性質，如單調

性、最大值、最小值等，此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集｛1,2,…,n｝這一

條件.

(2)可以利用不等式組[7支(2])找到數(shù)列的最大項；

lan—an+l

利用不等式組二］an，(n>D找到數(shù)列的最小項

ldn—dn+l

變式探究：在本例(2)中，若已知數(shù)列的通項公式a0=上-仁)：neN\試求該數(shù)列｛a,,｝的最小

n+3\87

項.

【達標檢測】

L下列各項表示數(shù)列的是()

A.△,O,□

B.2008,2009,2010,-,2017

C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形

D.a+b,a-b,ab,Xa

2.下列數(shù)列既是遞增數(shù)列,又是無窮數(shù)列的是()

A.1,2,3,,,,,20

B.-1,-2,-3,,,,,-n,

C.1,2,3,2,5,6,

D.-1,0,1,2,,,,,100,???

3.觀察圖中5個圖形的相應小圓圈的個數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個圖中有小圓

圈.

OO

O

OOO

O

OOO0°C°OO

UOOOOOOO°OoO°

O

OOO

OOOO

OO0

OO

⑴(2)(3)(4)(5)

4.已知數(shù)列｛a.｝的通項公式為a0=log3(2"+l),則a產(chǎn).

5.已知數(shù)列次,77,何底，…,則5g是該數(shù)列的第項.

6.在數(shù)列｛a?｝中，已知a?=^y-i(nSN*).

(1)寫出aw,3tl+i.

(2)79|是不是該數(shù)列中的項?如果是,是第幾項？

7.已知數(shù)列｛an｝的通項公式a“#7(keR).

2n+3

⑴當k=l時,判斷數(shù)列｛a“｝的單調性；

(2)若數(shù)列｛aj是遞減數(shù)列,求實數(shù)k的取值范圍.

【課堂小結】

'數(shù)列的定義

數(shù)列的表示

數(shù)列的概念與表示(數(shù)列的分類

數(shù)列的函數(shù)特征

、數(shù)列的通項公式

【參考答案】

知識梳理

1.解析:按項的變化趨勢，數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列等數(shù)列,A錯

誤;數(shù)列1,3,5,7與由實數(shù)1,3,5,7組成的集合｛1,3,5,7｝是兩個不同的概念,C錯誤；同一個

數(shù)在數(shù)列中可能重復出現(xiàn),如2,2,2,…表示由實數(shù)2構成的常數(shù)歹ij,D錯誤;對于給定的數(shù)歹！J,

數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定,B正確.

答案:B

2.解析:aio=lO：-1=99.令a?=rf'T=224,解得n=15,

即224是該數(shù)列的第15項.

答案:9915

學習過程

一、典例解析

例1.解：(1)當通項公式中的n=l,2,3,4,5時，數(shù)列｛a?｝的前5項依次為

1,3,6,10,15

如圖所示(1)

(2)當通項公式中的n=l,2,3,4,5時，數(shù)列｛a.｝的前5項依次為

1,0,-1,0,1

如圖所示(2)

例2.解：(1)數(shù)列的項有的是分數(shù),有的是整數(shù),可先將各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀

察弓H卷盡…，所以，它的一個通項公式為a“=?

(2)數(shù)列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項公式為2n-l;考慮(-1)""

具有轉換符號的作用，所以數(shù)列的一個通項公式為a?=(-l)ntI(2n-l).

(3)各項加1后,分別變?yōu)?0,100,1000,10000,--此數(shù)列的通項公式為10",可得原數(shù)列的

一個通項公式為a?=10"-L

(4)數(shù)列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項公式為2nT;分子的前

一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項公式為(n+l))分子的后一部分是減去一個自然數(shù),

(n1)

其通項公式為n,綜合得原數(shù)列的一個通項公式為all-^/=粵宇.

2n-l2n-l

(5)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為

正,所以它的一個通項公式是a?=(-l)n-

n(n+l)

(6)由于該數(shù)列中，奇數(shù)項全部都是4,偶數(shù)項全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項

「4n為奇數(shù)

公式，即a,=又因為數(shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…，因此其通項公

(0,n為偶數(shù).

式又可表示為a?=2+2X(-l)nH.

跟蹤訓練1.解：(l)a?=-i-;⑵a“=2n+2；(3)a?=2"+l;

2n-l2n

(4)a?=;(5)an^dO'-l).

(2n)-19

例3分析：(1)①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征，以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的

性質即可求出.

(2)數(shù)列｛a.｝的通項羋三計算確定單調性言廣求解最大(小)項

n€N,正、負單調性

(1)ft?：?an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.

???n￡N\???數(shù)列中第1,2,3,4,5項為負數(shù),

即-10,-12,-12,-10,-6.

②an=n"5n-6二(n-|)-祟當n=2>3時,a”取得最小值,最小值為T2.

(2)解法一：:aI1+i-an=(n+2乂耳)-(n+l)^)

/ioy9-n

\11/11,

?，?當n<9時,an+i-an>0,即an+1>an;

當n=9時，ant-an=0,即an+i=an;

當n>9時,an+i-an<0,即an+i<an.

,,

故ai<a2<a3<-<a9=aio>a11>ai2>---,

J數(shù)列中有最大項,最大項為第9,10項，

OM1O10

BPa9=aio=-^-.

解法二:設ak是數(shù)列的最大項，

則吃X，Jk+D(旌糕廣

takak+1,kk+1

-[(k+l)g)>(k+2)(^))

整理得(10k+1°N11k,得9WkW10

楚埋'號Ilk+11>10k+20,倚'

所以k=9或k=10.又ai=1^〈a9=a1。，即數(shù)列瓜｝中的最大項為a產(chǎn)aio三崇

變式探究：解:設第n項a.最小，則1，

(―?(2)“<J_?"+；解得｛出

叩，n+3\8/n+2

(―?(2)“<_L_

5+3\87-n+4

所以5WnW6,所以n=5或n=6.又a尸5加二ae,

即as與加都是數(shù)歹I」的最小項，且a5=a,=g.

達標檢測

1.解析:數(shù)列是指按照一定次序排列的一列數(shù)，而不能是圖形、文字、向量等，只有B項符合.

答案:B

2.解析：由遞增數(shù)列和無窮數(shù)列的定義知D項正確.

答案：D

3.分析:仔細觀察每個圖形中圓圈的個數(shù)與對應順序之間的關系，從而歸納出第n個圖形中

小圓圈的個數(shù).

解析:觀察圖中5個圖形小圓圈的個數(shù)分別為1,1X2+1,2X3+1,3X4+1,4X5+1,…，故第n

個圖中小圓圈的個數(shù)為(nT),n+l=n'-n+l.

答案：--n+l

4.解析:觀察可得數(shù)列的一個通項公式是a,=歷久,而56=g=V4x19-1,所以5g是

該數(shù)列的第19項.

答案：19

:i

5.Va?=log3(2"+1),.*.a3=log3(2+l)=log39=2.

答案：2

6.解：⑴眥處產(chǎn)=囁

(n+l)2+(n+l)-ln2+3n+l

④”3=-3~-

(2)令a.」M=79|,解得n=15(n=-16舍去)，所以79|是該數(shù)列中的項,并且是第15項.

7.分析:對于(1),因為已知數(shù)列的通項公式,所以可以通過比較數(shù)列的相鄰兩項a”與的大

小來確定數(shù)列的單調性；

對于(2),可根據(jù)數(shù)列是遞減數(shù)歹!I,得出a“與a“”的大小關系,從而確定k的取值范圍.

解：⑴當k=l時,a?=-^-,所以a0“=

2n+32n+5

所以an+i-an=-^----—=---------->0,

2n+52n+3(2n+5)(2n+3)

故數(shù)列｛a,,｝是遞增數(shù)列.

(2)若數(shù)列⑸｝是遞減數(shù)列，則a?tl-an<0恒成立,

kn+kkn3k

即Q-nt1-Hn<0恒成立.

2n+52n+3(2n+5)(2n+3)

因為(2n+5)(2n+3)>0,所以必有3k<0,故k<0.

《4.1數(shù)列的概念》導學案

(第二課時)

【學習目標】

1.理解數(shù)列遞推公式的含義,會用遞推公式解決有關問題.

2.會利用數(shù)列的前n項和與通項的關系求通項公式.

【重點和難點】

重點：數(shù)列遞推公式及數(shù)列的前n項和與通項的關系

難點：用遞推公式解決有關問題、用數(shù)列的前n項和與通項的關系求通項公式

【知識梳理】

一、數(shù)列的遞推公式

像an=3an_x（n>2）這樣，如果一個數(shù)列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用一個式子來

表示，那么這個式子叫做這個數(shù)列的遞推公式，知道了首項和遞推公式就能求出數(shù)列的每一

項了

點睛：通項公式和遞推公式的區(qū)別

通項公式直接反映了a.與n之間的關系，即已知n的值,就可代入通項公式求得該項的值a?;

遞推關系則是間接反映數(shù)列的式子,它是數(shù)列任意兩個（或多個）相鄰項之間的推導關系,要

求a“,需將與之聯(lián)系的各項依次求出.

二、數(shù)列的通項與前n項和

1.數(shù)列｛aj從第1項起到第n項止的各項之和,稱為數(shù)列｛a.｝的前n項和,記作S,?即

S?=a,+a2+-+a...如果數(shù)列｛aj的前n項和S“與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來

表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的前n項和公式.

2a=pi，n=1，

（Sn-Sn-i,n>2.

點睛⑴已知數(shù)列｛aj的前n項和S,?求a”一般使用公式an=S「Sz（n》2）,

但必須注意它成立的條件（n）2且nGN*）.

⑵由求得的a,?若當n=l時,a.的值不等于&的值,

則數(shù)列的通項公式應采用分段表示,即a“=《i'個=1；>>

（Sn-Sn1，nN2.

1.設數(shù)列區(qū)｝滿足ai=l,a?=l+—（neN*,n>l）,則a3=________.

an-l

2.判斷（正確的打“J”，錯誤的打“義”）.

（1）遞推公式也是表示數(shù)列的一種方法.（）

（2）所有數(shù)列都有遞推公式.（）

（3）&i=Sn—Sn-l成立的條件是n￡N*.（）

2

3.已知數(shù)列｛an｝的前n項和S?=n+2,求數(shù)歹I」｛aj的通項公式.

【學習過程】

一、課前小測

1.數(shù)列｛aj的通項公式為a“=*n—l)(n+l),則a$=()

A.10B.12C.14D.16

2.由數(shù)列前四項：9，1,5,…，則通項公式％=..

2oo

3.己知數(shù)列的前幾項是0、一1、：2、三3、?一，寫出這個數(shù)列的一個通項公式是.

二、新知探究

例4.圖中的一系列三角形圖案稱為謝賓斯基三角形，在圖中4個大三角形中，著色的三

角形的個數(shù)依次構成一個數(shù)列的前4項，寫出這個數(shù)列的通項公式

<1)<2)(3)(4)

換個角度觀察圖中的4個圖形，可以發(fā)現(xiàn)a1=l,且每個圖形中的著色三角形都在下一個圖

形中分裂為3個著色小三角形和1個無色小三角形，于是從第2個圖形開始，每個圖形中著

色三角形的個數(shù)都是前一個圖形中著色三角形個數(shù)的三倍，這樣，例4中的數(shù)列的前4項滿

足

a1=1,a?—3a1，--3a?a4—3a3

由此猜測，這個數(shù)列滿足公式an=n=l

(3an-i,n>2

三、典例解析

例1己知數(shù)列｛a,｝,a尸1,且滿足a?=3a,11+^(nGN*,且n>l),寫出數(shù)列｛aj的前5項.

由遞推公式寫出數(shù)列的項的方法

根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項,要弄清楚公式中各部分的關系,依次代入計算即可.另外，

解答這類問題時還需注意:若已知首項,通常將所給公式整理成用前面的項表示后面的項的

形式;若已知末項,通常將所給公式整理成用后面的項表示前面的項的形式.

跟蹤訓練1已知數(shù)列⑸｝滿足an=4a,r+3,且aR,則此數(shù)列的第5項是()

A.15B.255C.16D.63

跟蹤訓練2.已知數(shù)列⑸｝,④=2,a.+i=2a.,寫出數(shù)列的前5項，并猜想通項公式.

例2若數(shù)列｛aj的前n項和S?=-2n2+10n,求數(shù)列｛a“｝的通項公式.

變式探究：試求本例中S“的最大值.

已知數(shù)列｛a,,｝的前n項和S,?求通項公式的步驟：

(1)當n=l時，ai=Si.

⑵當n22時，根據(jù)S.寫出S…，化簡a?=S0一Si.

(3)如果ai也滿足當n>2時，心=杯一S1的式子，

那么數(shù)列｛aj的通項公式為a?=S?-S?-l;

如果ai不滿足當n22時，a?=Sn~~S“-i的式子，

[Si,n=l,

那么數(shù)列｛a0｝的通項公式要分段表示為a.=°°

lS?-Sn-i,n》2.

跟蹤訓練3.己知數(shù)列｛a｝的前n項和S“=3n2—2n+l,則a“=—.

【達標檢測】

1.已知數(shù)列｛aj,a尸1,a.“=|a“+*,則該數(shù)列的第3項等于()

A.1B.iC.-D.-

448

2.已知數(shù)列瓜｝,an-i=man+l(n>l),且a2=3,a3=5,則實數(shù)m等于()

2

A.0B.-C.2D.5

5

3.若數(shù)列｛a?｝的通項公式為a?=-2n2+25n,則數(shù)列｛aj的各項中最大項是()

A.第4項B.第5項C.第6項.D.第7項

4.已知數(shù)列｛④｝的前n項和為S,?且S?=n-5a?+23,n《N*,則數(shù)歹ij｛aj的通項公式a?=()

A,3X(6)n1-1B.3X(滬1C.3X(|)n\1D.3X(|)n+l

5.(1)已知數(shù)列｛a“｝滿足ai--l,anti-a+——,n￡N,

nn+1

求數(shù)列的通項公式a,

⑵在數(shù)列｛an｝中，ai=l,a?=(l-j)a“i(n)2),求數(shù)歹(j｛an｝的通項公式.

【課堂小結】

【參考答案】

知識梳理

1.解析：由已知，得a2=l+—=2,a3=l+—=

aja22

答案:|

2.(1)V(2)X(3)J

3.解:aHE+2=3,①

_22

而n22Si,an=SnSn-i=(n+2)-[(n-1)+2]=2n-1.(2)

在②中，當n=l時,2X1-1=1,故a,不適合②式.數(shù)列區(qū)｝的通項公式為11=

學習過程

一、課前小測

1.B解析：由題意，通項公式為a“=/n—l)(n+l),

則as=1x(5-1)X(5+1)=12.故選B.

2.歲77+2【詳解】由題意，該數(shù)列前四項可變?yōu)椋?/p>

345_6_

，，，，>

24816

由此可歸納得到數(shù)列的通項公式為4=*.

3.【詳解】該數(shù)列的前四項可表示為

因此，該數(shù)列的一個通項公式為4=■("?").

n'/

二、新知探究

例4.解：在圖中(1)(2)(3)(4)中，著色三角形個數(shù)依次為

1,3,9,27

即所求數(shù)列的前4項都是3的指數(shù)基，指數(shù)為序號減1,

因此這個數(shù)列的通項公式是an=3-1

三、典例解析

例1分析：由&的值和遞推公式,分別逐一求出a2,a%a,,as的值.

解：由題意,得a2=3ai+-^-,而ai=l,

所以a?=3X1+，——

(1)

同理a3=3a2+■^-=10,at=3a3+-^-=—,a5=3ai+-=91.

2222

跟蹤訓練1解析：因為apO,所以a2=4ai+3=3,a3=4a2+3=15,a,=4a3+3=63,為=4a,+3=255.

答案:B

跟蹤訓練2.解：由a1=2,an+i=2a?,

得：a2=2a1=2X2=4=2,,

a3=2a2=2X4=8:=23,

4

a.i=2a3=2X8=16=2,

d.5=2sLi=2X16=32=2'',

???，

猜想an—2"(nSN*).

例2(W：VS?=-2n2+10n,

2

.?.Snl=-2(n-l)+10(n-l),

2

...a?=S?-S,rl=-2n+lOn+2(n-1)-10(n-1)=-4n+12(n>2).

當n=l時,a,=-2+10=8=-4Xl+12.

此時滿足a?=-4n+12,

??3^二12一4n.

2

變式探究：解：?飛=-2/+m=-2(11-習+§,

又曾《"，

.?.當n=2或n=3時,S”最大,即S2或S3最大.

跟蹤訓練3.解析：*.?S“=3n2-2n+l,

Sn-i—3(n—1)2—2(n—1)+1=3n~—8n+6.

???當nN2時:

-22

an=SnSn-i=(3n—2n+l)—(3n—8n+6)=6n—5.

又當n=l時,ai=S1=2不適合上式,

._12,n=l,

bn—5,n22.

達標檢測

1.解析:42=31+]=1,@3二京2+/—

答案:C

2.解析：由題意，得a2=ma3+l,即3=5m+l,解得m=|.

答案:B

22

3.解析：因為an=-2n+25n=-2(n-y)且nW”，

所以當n=6時,熱的值最大,即最大項是第6項.

答案:C

4.解析:當n=l時,ai=l-5ai+23,解得ai=4.

zz

當n22時，anSn-Sn-i=n-5a,i+23-(n-l-5an-i+23),即an二三an-1+工，

66

即故數(shù)列｛a「l｝是以3為首項為公比的等比數(shù)列，

DO

則anT=3X(1y1,所以a13xC)n.故選c.

答案:C

5.分析：(1)先將遞推公式化為a?.-an=i-再利用累加法求通項公式；(2)先將遞推公式

nn+1

化為國=—,再利用累乘法求通項公式.

an-in

解：(1)?.?anti-an'--------

nn+1

?_11_11_11_11/

??S2—Hl--------------,S3-32--,a「a3-------------,,,,,Bn-3n1---------------------,

122334n-1n

將以上n-1個式子相加，得

-*,,

(a2ai)+(a3-a2)+(a.i-a3)++(a?-an-i)

=(i3)+G4)+…+(=-?

即an-ai=l--(n^2,n￡N*).

an=ai+l_—nWN").

nnn

又當n=l時,ap-1也符合上式.?,?*」.

n

(2)因為ai=l,an=^l-^ani(n22),

所以也=匚，

anin

所以an*?地?皿....畫?恐?ai

a

an1an-2an-32al

n-1n-2n-321-1

****,..’’?..一.??????I""-一

nn1n-232n*

又因為當n=l時,ai=l,符合上式，

所以a?q.

《4.2.1等差數(shù)列的概念》導學案

(第一課時)

【學習目標】

1.理解等差數(shù)列的概念

2.掌握等差數(shù)列的通項公式及應用

3.掌握等差數(shù)列的判定方法

【重點和難點】

重點：等差數(shù)列概念的理解、通項公式的應用

難點：等差數(shù)列通項公式的推導及等差數(shù)列的判定

【知識梳理】

1.等差數(shù)列的概念

如果一個數(shù)列從第_2_項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常

文字語言數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公

差通常用字母d表示

符號語言a“+i—a“=d(d為常數(shù)，n《N*)

2.等差中項

(1)條件：如果a,A,b成等差數(shù)列.

(2)結論：那么A叫做a與b的等差中項.

(3)滿足的關系式是a+b=2A.

3.從函數(shù)角度認識等差數(shù)列｛aj

若數(shù)列｛a,J是等差數(shù)列，首項為a“公差為d,

則a?=f(n)=ai+(n—l)d=nd+(a1-d).

(1)點(n,a“)落在直線y=dx+(a「d)上；

(2)這些點的橫坐標每增加1,函數(shù)值增加d

1.判斷(正確的打“，錯誤的打“X”).

(1)如果一個數(shù)列的每一項與它的前一項的差是一個常數(shù)，那么這個數(shù)列是等差數(shù)列.()

(2)數(shù)列0,0,0,0,…不是等差數(shù)列.()

(3)在等差數(shù)列中，除第1項和最后一項外，其余各項都是它前一項和后一項的等差中

項.()

2.判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“X”)

(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)

列.()

(2)等差數(shù)列、｝的單調性與公差d有關.()

(3)若三個數(shù)a,b,c滿足2b=a+c,則a,b,c一定是等差數(shù)列.()

3.在等差數(shù)列｛aj中，a)—2,d=6.5,則a?=()

A.22B.24C.26D.28

4.如果三個數(shù)2a,3,a—6成等差數(shù)列，則a的值為()

A.-1B.1C.3D.4

【學習過程】

一、學習導引

我們知道數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在函數(shù)的研究中，我們在理解了函數(shù)的一般概念，了解了

函數(shù)變化規(guī)律的研究內容(如單調性，奇偶性等)后，通過研究基本初等函數(shù)不僅加深了對

函數(shù)的理解，而且掌握了基函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)等非常有用的函數(shù)模型。

類似地，在了解了數(shù)列的一般概念后，我們要研究一些具有特殊變化規(guī)律135|7|9|11

的數(shù)列，_J_*????

建立它們的通項公式和前n項和公式，并應用它們解決實際問題和數(shù)學:：匚［：::

問題，從中感受數(shù)學模型的現(xiàn)實意義與應用，下面，我們從一類取值規(guī)”：：：：?：：

律比較簡單的數(shù)列入手。

二、新知探究

1.北京天壇圜丘壇，的地面有十板布置，最中間是圓形

的天心石，圍繞天心石的是9圈扇環(huán)形的石板，從內到

外各圈的示板數(shù)依次為

9,18,27,36,45,54,63,72,81①

2.S,M,L,XL,XXL,XXXL型號的女裝上對應的尺碼分別是

38,40,42,44,46,48②

3.測量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大氣溫度，得到從距離地面20米起每升高100

米處的大氣溫度（單位。C）依次為

25,24,23,22,21③

4.某人向銀行貸款a萬元，貸款時間為n年，如果個人貸款月利率為r,那么按照等額本金方

式還款，他從某月開始，每月應還本金”=卷）元，每月支付給銀行的利息（單位:元）依次

為

ar,ar—br,ar-2br,ar—3br...,④

在代數(shù)的學習中，我們常常通過運算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律，例如，在指數(shù)函數(shù)的學習中，我們通過運

算發(fā)現(xiàn)了A,B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律，類似地，你能通過運算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律

嗎？

思考1：你能根據(jù)等差數(shù)列的定義推導它的通項公式嗎？

思考2：教材上推導等差數(shù)列的通項公式采用了不完全歸納法，還有其它方法嗎？如何操

作？

三、典例解析

例1.（1）已知等差數(shù)列｛aj的通項公式為an=5-2n,求｛aQ公差和首項;

（2）求等差數(shù)列8,5,2…的第20項。

求通項公式的方法

(1)通過解方程組求得a“d的值，再利用a0=ai+(n-l)d寫出通項公式，這是求解這類問

題的基本方法.

(2)已知等差數(shù)列中的兩項，可用(1=直接求得公差，

再利用an=a?+(n—m)d寫出通項公式.

(3)抓住等差數(shù)列的通項公式的結構特點，通過a.是關于n的一次函數(shù)形式，列出方程組求

解.

跟蹤訓練1.(1)在等差數(shù)列｛aj中,已知加=10,ai2=3L求首項ar與公差d.

(2)已知數(shù)列瓜｝為等差數(shù)列,a15=8,360=20,求a’s.

例2(1)已知m和2n的等差中項是8,2m和n的等差中項是10,則m和n的等差中項是

1I1k-l_pa-l-r'a+h

(2)己知二p上是等差數(shù)列，求證：—,干，空工也是等差數(shù)列.

8.Dca.DC

等差中項應用策略

1.求兩個數(shù)X,y的等差中項，即根據(jù)等差中項的定義得A=8工

2.證三項成等差數(shù)列，只需證中間一項為兩邊兩項的等差中項即可，即若a,b,c成等差數(shù)

列，則有a+c=2b；反之，若a+c=2b,則a,b,c成等差數(shù)列.

跟蹤訓練2.在一1與7之間順次插入三個數(shù)a,b,c使這五個數(shù)

成等差數(shù)列，求此數(shù)列.

【達標檢測】

1.數(shù)列｛a.｝的通項公式為a“=5-3n,則此數(shù)列()

A.是公差為一3的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列

C.是首項為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列

2.等差數(shù)列｛a｝中，已知az=2,a5=8,則a§=()

A.8B.12C.16D.24

11

3.已知則a,b的等差中項為一

4.在等差數(shù)列｛a,J中，已知as=ll,as=5,則aio=__.

5.若等差數(shù)列｛a.｝的公差dWO且a”出是關于x的方程

；i

X—a3x+ai=0的兩根，求數(shù)列｛a“｝的通項公式.

【課堂小結】

—「等差數(shù)列的概念|

|等差數(shù)列的概念|--------1等差中項|

—|通項公式|

【參考答案】

知識梳理

1.X;X;J

2.解析：(1)錯誤.若這些常數(shù)都相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；

若這些常數(shù)不全相等，則這個數(shù)列就不是等差數(shù)列.

(2)正確.當d>0時為遞增數(shù)列；d=0時為常數(shù)列；

d<0時為遞減數(shù)列.

(3)正確.若a,b,c滿足2b=a+c,BPb—a=c—b,

故a,b,c為等差數(shù)列.

[答案]⑴X⑵V⑶V

3.D[a7=a3+4d=2+4X6.5=28,故選D.]

4.D[由條件知2a+(a-6)=3X2,解得a=4.故應選D.]

學習過程

一、新知探究

思考1：設一個等差數(shù)列｛aQ的首項為a1,公差為d,根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得

^n+l—^n—d

所以a2-ai=d,a3-a2=d,a4-a3=d,

于是a2=ax+d,

Sj=a2+d-(a1+d)+d=a1+2d,

a4=a3+d=(a]+2d)+d=at+3d,...

歸納可得an=ai+(n-1)d(n>2)

當n=l時，上式為ai=ajd-1)d=a「這就是說，上式當時也成立。

因此，首項為a1，公差為d的等差數(shù)列｛a。｝的通項公式為a”=a#(n-1)d

思考2：［提示］還可以用累加法，過程如下：

?3,2ai==d,

33-3.2=d,

a.i-a3=d,

3n-3n-1=d(n^2),

將上述(n—1)個式子相加得

an—ai=(n—l)d(n22),

Aan=ai+(n—l)d(n^2),

當n=l時，ai=ai+(1—l)d,符合上式，

?*.an=ai+(n—1)d(n￡N").

二、典例解析

例L分析(1)已知等差數(shù)列的通項公式，只要根據(jù)等差數(shù)列的定義，由an+i-a。=d,即

可求出公差d,(2)可以先根據(jù)數(shù)列的兩個已知項求出通項公式，再利用通項公式求數(shù)列

的第20項

解：(1)當nN2時，由｛aQ的通項公式為an=5-2n,

可得an-i=5-2(n-1)=7-2n.

于是d=an-an_x=(5-2n)-(7-2n)=-2.

把代入通項公式an=5-2n,可得a1=3

(2)由已知條件，得d=5-8=-3

把a】=8,d=-3代入an=ai+(n-1)d,得

3n=8-3(n—1)=11—3n)

把n=20代入上式，得

a2o=11—3x20=-49,

所以，這個數(shù)列的第20項是-49

跟蹤訓練1.解：(1)設等差數(shù)列｛&J的公差為d.

fai+4d=10,

,?*as=10,ai2=31,則］

［ai+lld=31,

，這個等差數(shù)列的首項ai=-2,公差d=3.

(2)法一：設等差數(shù)列｛aj的首項為a“公差為d,

64

ai+14d=8,akT?

則由題意得，解得《

a,+59d=20,4

d=—

15,

644

故aT5=ai+74d=^+74X記=24.

20—84

7去—＞：?d6o=a15+(60-15)d,??d=，、八二=1廣，

60—1515

4

???a7=a+(75-60)d=20+15X—=24.

560lo

法三：已知數(shù)列｛aj是等差數(shù)列，可設a“=kn+b.

k]

15k+b=8,

由di5=8,為0=20得，解得《

60k+b=20,

b=4.

4

/.a5=75X—+4=24.

7lo

例2［思路探究］(1)列方程組-"求解m,n一一求m,n的等差中項

m+2n=8X2=16,

(1)6［由題意得

2m+n=10X2=20,

,,、,.m+n七

.*.3(m+n)=20+16=36,,m+n=12,?=6.]

⑵［證明］.?.(，(《成等差數(shù)列，

211

KW+l即2ac=b(a+c).

eeb+c^a+bcb+c+aa+b

*acac

a"+c'+ba+ca2+cZ+Zac2a+(?2a+c

acacba+cb

b+ca+ca+b

成等差數(shù)列.

abc

跟蹤訓練2［解］V-l,a,b,c,7成等差數(shù)列,

??.b是一1與7的等差中項,

-1+7

???b==3.

又a是一1與3的等差中項,

又c是3與7的等差中項，

?3+7

??c-2-3.

???該數(shù)列為：-bb3,5,7.

達標檢測

1.數(shù)列｛③｝的通項公式為a“=5—3n,則此數(shù)列（）

A.是公差為一3的等差數(shù)列B.是公差為5的等差數(shù)列

C.是首項為5的等差數(shù)列D.是公差為n的等差數(shù)列

A［等差數(shù)列的通項公式an=ai+（n—l）d可以化成an=dn+（a］一d）.對比an=-3n+5.

故公差為一3.故選AJ

2.等差數(shù)列瓜｝中，已知az=2,a5=8,則a9=()

A.8B.12C.16D.24

C[設等差數(shù)列｛aj的首項為a”公差為d,

[ai+d=2,

則由a=2,a=8,得彳

25[ai+4d=8,

解得a1=0,d=2,所以④9=ai+8d=16.故選C.]

11

3.已知a=',則a,b的等差中項為

11

小〔a+b_木+也木_陋_小一m+小+小—?。?/p>

222

4.在等差數(shù)列｛aj中,已知a$=lLa8=5,則aio=

解析：(方法一)設an=ai+(n—l)d,

[a5=ai+(5—l)d,

則

[a8=ai+(8—l)d,

ll=ai+4d,ai=19,

即解得

5=ai