全國青年教師觀摩大賽數(shù)學(xué)賽課一等獎作品：《等比數(shù)列的前n和》教案及說明

1、第四屆全國高中青年數(shù)學(xué)教師優(yōu)秀課大賽教案設(shè)計 課 題: 等比數(shù)列前項和(第一課時) 執(zhí)教人: 謝業(yè)建單 位: 安徽無為襄安中學(xué)課題：等比數(shù)列的前項和（第一課時）一 教學(xué)目標(biāo):1.知識與技能目標(biāo):1)掌握等比數(shù)列求和公式,并能用之解決簡單的問題。2)通過對公式的推導(dǎo),對學(xué)生滲透方程思想、分類討論思想以及等價轉(zhuǎn)化思想。2過程與方法目標(biāo)：通過對公式的推導(dǎo)提高學(xué)生研究問題、分析問題、解決問題能力；體會公式探求中從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，同時滲透如上所說的多種數(shù)學(xué)思想。3.情感與態(tài)度目標(biāo)：通過公式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，敢于探索、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)。二 教

2、學(xué)重點：等比數(shù)列項前和公式的推導(dǎo)與簡單應(yīng)用。三 教學(xué)難點：等比數(shù)列項和公式的推導(dǎo)。四 教學(xué)方法：啟發(fā)引導(dǎo)，探索發(fā)現(xiàn)（多媒體輔助教學(xué)）。五 教學(xué)過程：1創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課：1）復(fù)習(xí)舊知，鋪墊新知：（1）等比數(shù)列定義及通項公式；（2）等比數(shù)列的項之間有何特點？說明：如此設(shè)計目的是在于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列各項特點：從第二項起每一項比前一項多乘以，從而為“錯位相減法”求等比數(shù)列前和埋下伏筆。2）問題情境，引出課題：從前，一個窮人到富人那里去借錢，原以為富人不愿意，哪知富人一口答應(yīng)了下來，但提出了如下條件：在30天中，富人第一天借給窮人1萬元，第二天借給窮人2萬元，以后每天所借的錢數(shù)都比上一天多一萬；但

3、借錢第一天，窮人還1分錢，第二天還2分錢，以后每天所還的錢數(shù)都是上一天的兩倍，30天后互不相欠。窮人聽后覺得挺劃算，但怕上當(dāng)受騙，所以很為難。請在座的同學(xué)思考一下,幫窮人出個主意.注：師生合作分別給出兩個和式： 學(xué)生會求，對學(xué)生知道是等比數(shù)列項前和的問題但卻感到不會解！問1：能不能用等差數(shù)列求和方法去求？（不行）問2：怎么辦？（用追問的方式引出課題）2師生互動，新課探究： 問題1如何求和：注：（給學(xué)生時間讓他們觀察、思考）如果學(xué)生想不出來，師做必要啟發(fā)：1） 等式右邊各項有什么特點？（等比數(shù)列30項和）2） 公比是多少？（2）即：從第二項起每一項比前一項多乘以2.3）因此，如果兩邊（教師語速放

4、慢，看學(xué)生反應(yīng)狀況，再往下提示：把等式兩邊同乘以公比2）從而有： 師：如何求？（此處給學(xué)生充分的觀察思考的時間，師不忙給出結(jié)論，讓他們自己得出求解的方法：作差）注：學(xué)生解出，并與比較（到底能不能向富人借錢）。這種求和的方法叫錯位相減法。此處先不忙介紹“錯位相減法”的要點，只讓學(xué)生有個大致印象，后面還有應(yīng)用，體現(xiàn)從特殊到一般、學(xué)生自主探究教材的新教材理念。問題2 如何求等比數(shù)列的前項和：注：學(xué)生已有上面問題的處理經(jīng)驗，肯定有不少學(xué)生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學(xué)生探究，并請學(xué)生上臺板演。將兩邊同時乘以公比后會得到 ，兩個等式相減后，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都

5、是用錯位相減法求等比數(shù)列前項和的關(guān)鍵所在，讓學(xué)生先思考，再討論，最后師用多媒體予以突出強(qiáng)調(diào)，加深印象！兩等式作差得到時，肯定會有學(xué)生直接得到，師不忙揭露錯誤，等一會用練習(xí)反饋這個易錯知識點，從而掌握公式的本質(zhì)！公式的應(yīng) 用 練習(xí)1. 用等比數(shù)列求和公式求和： 注：此組練習(xí)目的： 熟悉等比數(shù)列求和公式的直接應(yīng)用。從而得到：等比數(shù)列前項和公式應(yīng)為：. 通過糾錯的方式給出公式比平鋪直敘方式得出公式的效果要好得多，學(xué)生通過：自己推導(dǎo)出公式（不完整）公式應(yīng)用得出矛盾完整公式的過程，很好地解決了本節(jié)課重、難點。練習(xí)2.求和：1)注：練習(xí)1）中數(shù)列的項數(shù)的確定是很容易失誤的地方，學(xué)生誤解為是19項。從而強(qiáng)調(diào)

6、求和公式中的“”指的是項數(shù).另外，還要指出等比數(shù)列求和公式中的公比的指數(shù)是“”，而等比數(shù)列通項公式的公比的指數(shù)是“”.練習(xí)2）的目的在于引出等比數(shù)列求和的第二個公式形式：，根據(jù)所給條件選擇哪個求和公式進(jìn)行求解。很多學(xué)生會根據(jù)條件先求出，再帶到求和公式中去求，而直接用的另一個公式去求，可使計算過程簡化，從而自然引出這個知識點.典例分析 求和公式中共有五個量：，可用方程（組）思想：知三求二. 注：在不知道公比是否為1的情況下,利用等比數(shù)列求和公式求和時一定要對公比要進(jìn)行分類討論,這是學(xué)生容易忽視的問題.公式再證強(qiáng)化理解對于問題： 還可以這樣考慮: 問：從這種證法中，大家受何啟發(fā)？你能用這種方法證明

7、等比數(shù)列的前項和公式嗎？注：此處給時間給學(xué)生思考、證明（并投影強(qiáng)調(diào)步驟）. 公式應(yīng)用方程（組）思想：知三求二一般情況下等比數(shù)列求和特殊數(shù)列求和六 課堂小結(jié)錯位相減法注：通過教師的提問和幻燈片的順序播放，進(jìn)一步鞏固本節(jié)課的內(nèi)容，并把整節(jié)課的內(nèi)容形成一個整體。七 作業(yè)第30頁 第8題偶數(shù)題（基礎(chǔ)題），第10題（應(yīng)用提高題）；課后探索：等比數(shù)列前項和的其它證明方法。八 板書設(shè)計 課題 等比數(shù)列前項和公式及公式應(yīng)用 問題：（學(xué)生板演和教師解答） 教案說明一 授課內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)與教學(xué)目標(biāo)定位：等比數(shù)列的前n項和（第一課時）是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容,它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際應(yīng)用，如儲蓄、分期付

8、款的有關(guān)計算等等,而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法,都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教學(xué)目標(biāo)為理解等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法，掌握等比數(shù)列前n項和公式及應(yīng)用；通過對公式的推導(dǎo)提高學(xué)生研究問題、分析問題、解決問題能力；體會公式探求中從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、思考問題的能力，并能靈活運用基本概念分析問題、解決問題的能力,鍛煉數(shù)學(xué)思維能力；同時滲透如上所說的多種數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試、敢于探索、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)。二 學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容的基礎(chǔ)及作用：在此之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了數(shù)列的定義、等比數(shù)列的通項公式等知識內(nèi)容,這為過渡到

9、本節(jié)的學(xué)習(xí)起著鋪墊作用，而本節(jié)內(nèi)容也為以后學(xué)習(xí)數(shù)列求和、數(shù)列極限打下基礎(chǔ)。同時數(shù)列是函數(shù)的延續(xù)，它實質(zhì)上是一種特殊的函數(shù)，因此還可以用函數(shù)的觀點去分析求和公式。三 教學(xué)診斷分析： 本節(jié)課學(xué)生很容易在以下三個地方產(chǎn)生錯誤或困惑：1 對錯位相減法的理解。將的兩邊同乘公比以后得到：，將兩式相減，消去哪些項、剩下項的符號是學(xué)生容易錯誤或困惑的地方。2 漏掉的情況。3 公式的應(yīng)用中有兩個地方易錯：；很容易混淆。四 教法特點及預(yù)期效果分析： 針對本節(jié)課的重難點，我從以下幾個方面予以突破。1 引課。設(shè)置了一個有意思的故事情境，引出等比數(shù)列的前項和的問題，使學(xué)生對本節(jié)課的內(nèi)容有個基本的了解：這個問題不同于等差

10、數(shù)列求和問題，要用到新的方法去解決，從而引出課題。2 公式的推導(dǎo)。從求解等比數(shù)列的前30項和自然過渡到等比數(shù)列的前n項和的問題，推導(dǎo)過程中我用了兩種方法。 鋪墊。在課的開始我就帶學(xué)生復(fù)習(xí)了等比數(shù)列：了公比，從而為錯位相減法中關(guān)鍵的步驟：將兩邊同乘以公比做了巧妙的鋪墊。 將錯就錯。在通過錯位相減法得到等比數(shù)列前項和時，先不急于給出的條件，而給出練習(xí)，從而讓學(xué)生在矛盾中醒悟，在參與和笑聲中牢牢地記住了公式的本質(zhì)。3 公式的理解和應(yīng)用。公式（）中有兩個地方學(xué)生容易產(chǎn)生錯誤的理解。 強(qiáng)調(diào)（）和中的指數(shù)不一樣；如果這里不把這個知識點特別指出的話，很多學(xué)生對學(xué)過的這兩個公式會產(chǎn)生混亂的感覺，哪里是，哪里是？在這里強(qiáng)調(diào)很有必要。 通過練習(xí)：使學(xué)生理解求和公式中的意義。學(xué)生在求這個問題時，很容易把理解成是19，原因是不清楚的意義，通過這道糾錯練習(xí)可以幫助學(xué)生正確理解意義。為了加深學(xué)生對求和公式的理解，在探究完用錯位相減法推導(dǎo)出求和公式及必要的說明后，我又向?qū)W生介紹了求等比數(shù)列另一種方法，然后讓學(xué)生自己探究一般情況下的等比數(shù)列的求法，這種由特殊到一般的方法學(xué)生容易接受，同時也加深了學(xué)生對等比數(shù)列求和公式的認(rèn)識。在介紹完求和公式后注意與等比數(shù)列通項公式進(jìn)行比照，強(qiáng)調(diào)方程組（方程）思想：知三求二。這樣可以使得學(xué)生一方面可以認(rèn)清兩個公式的區(qū)別,也同時也強(qiáng)調(diào)了公式