從被3整除的數(shù)的特征談開去

1、從“被 3 整除的數(shù)的特征”談開去關(guān)于“被 3 整除的數(shù)的特征”這一內(nèi)容的課，我聽過許多節(jié)，也許有的教師認(rèn)為這一內(nèi)容很好上，因為無論課上 得多么糟糕，最后學(xué)生還是會知道，一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù) 的和能被 3整除，那么這個數(shù)一定能被 3 整除，所以大部分 老師會選擇這個內(nèi)容來上公開課，但是，我卻從來沒有聽到 過一節(jié)我想要的課。即將這一節(jié)課的難點重點真正突破了的 課。這一內(nèi)容的重點難點在哪里呢 ?我認(rèn)為是如何讓學(xué)生知道，看一個數(shù)能否被 3 整除，是看這個數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù) 的和，從數(shù)學(xué)知識本身來說，就是到底為什么一個數(shù)各個數(shù) 位上的數(shù)的和能被 3 整除，那么這個數(shù)一定能被 3 整除，這 個問題可能許

2、多老師并沒有深究過，所以沒有多少老師能夠 突出這節(jié)課的數(shù)學(xué)本質(zhì)，曾經(jīng)看到一個才工作兩年的老師上 這個內(nèi)容，課堂上，上到這個環(huán)節(jié)，不論她怎么引導(dǎo)，學(xué)生 怎么也想不到要看各數(shù)位上的數(shù)的和，最后她急了，干脆直 接告訴學(xué)生，這一方面是由于她教學(xué)經(jīng)驗不夠造成的，但主 要原因是她不了解這罩的理論背景，即便是一些有經(jīng)驗的老 師，將課上得比較生動，也似乎注意到了這一點，但我總覺 得還是差了那么一點點，沒有突破那道主要的門檻，就像我們啃一個包子，把外圍的熟面吃得干干凈凈，惟獨那個誘惑 人的餡還留在那里一樣，難受得很，比如下面這個還算好的 片段。生：我們在百數(shù)表里圈出了 3 的倍數(shù)。發(fā)現(xiàn)一個數(shù)的首尾數(shù)相加是 3

3、的倍數(shù)，這個數(shù)就是 3 的倍數(shù)。師：你們能舉個例子說一說嗎 生：比如說 63，6+3=9,9 是 3 的倍數(shù)， 63 就是 3 的倍數(shù)。生：我有不同意見，比如說 356 呢?3+6=9，9 是 3 的倍數(shù)，可 356 除以 3 有余數(shù)，就不是 3 的倍數(shù)。生：只有兩位數(shù)的時候，首尾相加是 3 的倍數(shù)的話就沒錯啊但三位數(shù)、四位數(shù)就不好這樣相加了。生：我們組認(rèn)為應(yīng)該是各位數(shù)加起來是 3 的倍數(shù)，這個數(shù)就是 3 的倍數(shù)。師：咦 ?老師發(fā)現(xiàn)你們的結(jié)論涂改過，怎么回事生：我們小組開始認(rèn)為個位、位加起來是 3 的倍數(shù)，這個數(shù)就是 3 的倍數(shù)，剛才聽了他們的發(fā)言，我們想到如果是三位數(shù)、四位數(shù)的話，就要把各個

4、數(shù)位上的數(shù)都加起來，所以把個位、位改成了各位數(shù)。師：你們能從別人的發(fā)言中受到啟發(fā)，值得大家學(xué)習(xí)那這個結(jié)論是否正確呢 ?請同學(xué)們想辦法驗證一下。學(xué)生驗證 師：通過驗證，你們有什么結(jié)論生：各位數(shù)的和是 3 的倍數(shù)，這個數(shù)就是 3 的倍數(shù)；各位數(shù)的和不是 3 的倍數(shù)。這個數(shù)就不是 3 的倍數(shù)。師：你的歸納很精彩，下面再請用實驗研究方法的同學(xué)來匯報。生： （出示下表 ）我們發(fā)現(xiàn)：當(dāng)珠子的顆數(shù)是 3 的倍數(shù)時，撥出的這個數(shù)就是 3 的倍數(shù)。師：這個結(jié)論是否正確呢 ?我們玩一個游戲來驗證老師報數(shù)，男生撥珠，看看這個數(shù)要用幾顆珠子，判斷它是不是 的倍數(shù)；女生用計算器驗證。 師： 21、65、96、100、3

5、21、 912， （報數(shù)速度逐步加快 ）學(xué)生沒有動手拔珠就直接口答。師：老師有些奇怪，有的同學(xué)怎么不撥計數(shù)器就知道了生：珠子的顆數(shù)不用撥也能知道，就是把各個數(shù)位上的數(shù)加起來比如 912 用了 12 顆珠子， 9+1+2=12 ，它是 3 的倍 數(shù)。生：把各位上的數(shù)加起來是 3的倍數(shù)，這個數(shù)就是 3 的倍數(shù)。師小結(jié)：剛才我們用多種方法研究了 3 的倍數(shù)的特征，那 3 的倍數(shù)到底有什么特征呢 ?請你們用自己的話和同桌說說?？陀^地說。這個老師以及這節(jié)課都是不錯的，這里的結(jié)論都是學(xué)生自己主動發(fā)現(xiàn)的。老師只是作必要的引導(dǎo)和總 結(jié)，很符合新課改理念，但是，如前面所說，我以為還是沒 有上到點子上，原因有二：

6、第一，學(xué)生并不知道為什么要看 各數(shù)位上的數(shù)之和。只是從有限的幾個數(shù)觀察到有這個特 征，老師就指出結(jié)論，從數(shù)學(xué)上說，不符合歸納這一方法的 邏輯，就算是學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)還不能達(dá)到理解這個背景的要 求，教師也應(yīng)該滲透它的理論背景，第二，老師自己本身也 不一定清楚為什么，因為課堂上沒有見老師有相關(guān)的數(shù)學(xué)本 質(zhì)滲透。到底為什么一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3 整除，這個數(shù)就能被 3 整除呢 ?這是初等數(shù)論里的問題，涉及到整除、同余等內(nèi)容以及一系列定理，看初等數(shù)論方面的書可能 晦澀難懂，但是我們?nèi)匀豢梢酝ㄋ椎乇硎銮宄Ｖ懒嗽?，老師就?yīng)該在教學(xué)中有意滲透這些知識，其實并不難，老師只要在學(xué)生得出結(jié)論后問一句

7、，這個結(jié)論是不是適應(yīng)于判斷所有的數(shù)呢 ?”相信有了前面的研究過程，學(xué)生容易聯(lián)想到，不管這個數(shù)位是多少，總能從中撥開 就可以了，結(jié)論在這個過程中便悄然形成了，雖然有些同學(xué) 可能還是想不到，也想不通，但是老師的引導(dǎo)和滲透，至少 可以讓他們意識到應(yīng)該從哪里下手考慮這個問題，這就足夠 了。9、99、999、9999等數(shù)，只要考慮每一個數(shù)位上的數(shù)字有必要提一下，搞清楚了這個知識，老師應(yīng)該再反思和遷移，問一下自己，為什么末尾是0、 2、4、6、8 的數(shù)能被2 整除?為什么個位上是 0或 5的數(shù)能被 5整除?能被 4、8、 25 整除的數(shù)的特征是什么 ?能被 7、11 整除的數(shù)的特征又是 什么?等等，別以為

8、這些平?？雌饋硐窦s定俗成的知識沒有什 么可以挖掘的，要是學(xué)生問起來，我們的老師們還真不能講清楚。從上面談的我們可以意識到，上好一節(jié)數(shù)學(xué)課，最重要的不是教學(xué)技能的選擇和嫻熟與否，而是教學(xué)的方向的確 定，即這節(jié)課到底應(yīng)該要學(xué)生學(xué)習(xí)什么數(shù)學(xué)內(nèi)容，搞清楚了 方向這個問題，或者說抓住了這個內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)，其他的 都好辦，但是，就目前的情況看，我們的老師們都沒有關(guān)注 這個問題，而是把大量的精力投入到教學(xué)技巧上面，比如模 仿一些特級教師的情境創(chuàng)設(shè)，想一些花哨的但無關(guān)痛癢的小 點子，等等，這些對學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識來說，起不了什么作 用，反而誤導(dǎo)了學(xué)生， 這就像南轅北轍這個故事所說的一樣， 方向都錯了，跑得再快也

9、是沒有用的，其實，數(shù)學(xué)課上得樸 實一點好，多一點數(shù)學(xué)的味道，少一點浮躁和花樣，記得特 級教師潘小明寫過一篇數(shù)學(xué)教育文章洋蔥拌面 ，他把那 些放許多肉啊、排骨呀等料的面，比喻成時下熱鬧非凡的小 學(xué)數(shù)學(xué)課堂，而把只有洋蔥為料的面比作樸實無華的數(shù)學(xué)課 堂， 比較起來， 他更喜歡洋蔥拌面， 我很有感觸， 想想也是，碗面條，盡被肉、排骨等占領(lǐng)了，那還叫面嗎我也覺得。 作為數(shù)學(xué)老師， 應(yīng)該時常鉆研一些有價值的、能夠提高自身數(shù)學(xué)素養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題，而不要糾纏于那些陳芝 麻爛谷子式的問題，浪費大好時間，比如某論壇上的一些問 題：到底有沒有無限不循環(huán)小數(shù) ?O 是不是自然數(shù) ?等等，卻引起了熱烈的討論，實在是讓人感到驚訝。什么是有價值的問題呢 ?這里一下子也難說清楚， 但我有個通俗的說法，就是能夠拔出蘿卜帶出泥的問題，應(yīng)該就是 對自身有幫助的問題，比如，上面談到的被 3