三角形重心外心垂心內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應(yīng)用知識點總結(jié)1. O 是也ABC 的重心 u 0A+0B+0C =0；_ 1S 一 _ 一-3 S AAB C 故 OA + OB + OC = 0 ；G為iABC的重心.若O是心ABC的重心，則s爐C = s / = SfAOBL+ Lu2. 0 是 AABC 的垂心 U 0A 0B =0B 0C =0C OA ;若O是心ABC（非直角三角形）的垂心，則S厚OC : Soc ： S舉OB = tan A : tan B:tanC故 tan A0A +tan B0B +tan C0C = 0 2 2 23. 0 是衛(wèi)ABC 的外心=I0A |=|0B|=|0C

2、| (或0A = 0B =0C )若 O 是 AABC 的外心則 S0c： S也oc： Sob =si必B0C：sinZA0C：si憶A0B =sin2A :sin2B:sin2C故 sin2A0A +sin2B0B +sin2C0C =0礦(ab ac ) 0 ( ba BC ) 0 ( ca cb ) 04. O是內(nèi)心心ABC的充要條件是iATiA)I礦廠iBiI芮廠丨阿I 引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記 AB,BC,CA的單位向量為ei，e2，e3，則剛才0是也ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成0A (ei + e3)= OB (e ABC 的重心 GA +GB +GC =0= AG

3、+ BG +CG =0，即卩 3PG = PA + PB + PC1- d 1-1-1-由此可得PG =丄（PA+PB+PC）.（反之亦然（證略） 3T T T T例 6 若O 為 MBC 內(nèi)一點，OA+OB+OC=0，則 O 是iABC 的(A .內(nèi)心B.外心 C.垂心D .重心質(zhì)，所以是重心，選D。（四）將平面向量與三角形外心結(jié)合考查 例7若0為MBC內(nèi)一點，,.,I牛I=I=II=I千IIIN已知向量 0Pi，OP2，OP3 滿足條件 0Pi +OP2 +OP3 =0，|0Pi |=|0P2 |=|0P3 | = 1， PiP2P3是正三角形.（數(shù)學(xué)第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）

4、A由已知OPi+Op2=-Op3，兩邊平方得0可 0P2=，2求證證明同理Op2 - Op3=Op3 -兩=冷解析：由0A+0B+0C=0得OB+OC=0A，如圖以 0B 0C為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則 OB+OC=OD，由平行四邊形性質(zhì)知0 =-10d，|oa=2|oe|，同理可證其它兩邊上的這個性O(shè)A OB =|0C，則 0 是 AABC 的（A .內(nèi)心B.外心C.垂心 D .重心解析：由向量模的定義知 0到MBC的三頂點距離相等。故0是AABC的外心，選B。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8.-y3）|PrP2|=|P2P3|=|PP1|=J3，從而 P1P2P3 是正三角形.反

5、之，若點O是正三角形 P1P2P3的中心，則顯然有OP1 +OP2+0P3 =0且|OPi |=|OP2 |=|oP3 |.即O是 ABC所在平面內(nèi)一點，0Pi +0P2 +0P3 =0且|0Pi |=|0P21=|0P3 |=點 0 是正 PiP2P3的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q G H三點共線，且 QG:GH=1:2設(shè) A（0,0）、（Xi,0 ）、【證明】：以A為原點，AB所在的直線為X軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。C（x2,y 2），D E、F分別為AB BC AC的中點，則有：）、F（D（Xi,0）、心）、F（X,）由題設(shè)可設(shè) Q

6、（02 2 2 2 2 2G（，3.AH=（X2,y4）,Q?=（守號占BC =（X2 -Xi，y2） 7 AH,丄 BC”AH BC =X2（XX1）十y2y0二 y4X2（X2 -Xi）:QF 丄 AC QF AC =X2（X2-）+ y2（Vy3）=02 2 2.X2（X2 -Xi） y2” y 3 cC2y222 .在同一個平面上有 MBC及一點O滿足關(guān)系式：看 +O?* CA = OC2 +,QH=(X2 今宀3)( F-3X2(XX1) y22y2-T)/.QG =(X2 +X132x2 -X1x1 y2、(2X2-X1-y3) “2 3 63x2(X2-X1) y 26丫2y_(

7、X2-xjy23 -、1 2x2-X16 2,2y22 )3X2(X2-X1)芻22y2= 3qh即QH =3QG，故 QG H三點共線，且QG Gh=1： 2例10.若0、H分別是 ABC的外心和垂心.求證OH =OA+OB +0C .證明 若ABC的垂心為H，外心為0,如圖.連B0并延長交外接圓于D，連結(jié)AD，CD. AD 丄 AB，CBC .又垂心為 H，AH 丄 BC，CH 丄 AB， AH / CD，CH / AD，四邊形AHCD為平行四邊形，AH =Dc =50 +0c，故 OH =OA+AH =0A +0B +0C著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、重心、垂心的

8、位置關(guān)系:(1) 三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；即重心到垂心的距(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個三分點， 離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.求OG = 0H3例11. 設(shè)0、G、H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.證明 按重心定理 G是 ABC的重心臺0G =2 (0A+0B+0C)按垂心定理0H =0A +0B +0CI1由此可得 0G=-OH.3補充練習(xí)1已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心,動點P滿足I 444I0P = 3(10A+10B+20C)，則點P 一定為三角

9、形ABC的A.AB邊中線的中點C.重心B.AB邊中線的三等分點(非重心)D.AB邊的中點1. B取AB邊的中點 M，貝U 0A + 0B=20M，由0P30p -30M +2MC， MP=-MC，即點P為三角形中3點P不過重心，故選B.1 1 =一 (0A32AB邊上的中線的一個三等分點，且+ -IOB+2OC)可得A? ，則O為MBC的外心 B 內(nèi)心( D )C重心 D 垂心2.已知 ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：PA0，貝U P為MBC的(A3.C )外心 B 內(nèi)心已知O是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點,C重心 D 垂心動點P滿足:OP = OA + a(

10、AB+AC)，貝U P的軌跡一定通過 ABC的A 外心 B 內(nèi)心 C重心 D 垂心P滿足:4 .已知 ABC , P為三角形所在平面上的動點，且動點PA*PC+PA*PB+PB*PC=o，貝U P 點為三角形的A 外心B 內(nèi)心 C重心 D 垂心a FA +bPB+c*PC = 0 ,貝U P 點A外心B內(nèi)心C重心6.在三角形ABC中，動點P滿足:(B )A外心B內(nèi)心C重心22FCA =CB -2AB*CP,5 .已知 ABC , P為三角形所在平面上的一點，且點 P滿足: 為三角形的D 垂心點軌跡一定通過 ABC的:垂心AC 1 一=27.已知非零向量Ab與AC滿足CAB +卷 )|AB| |

11、AC|B.直角三角形T r(A* + A* ) =0,即角A的平分線垂直于|AB| |AC|A.三邊均不相等的三角形BC=0且啓 T|AB| |AC|C.等腰非等邊三角形,則 ABC 為()D.等邊三角形解析：非零向量與滿足BC ,A AB=AC ,又cosA = ,| AB | | AC | 2/ A=i，所以 ABC為等邊三角形，選D.8. MBC的外接圓的圓心為 0,兩條邊上的高的交點為 H, OH =m(OA + OB + OC)，則實數(shù)m=_ 9.點O是MBC所在平面內(nèi)的一點，滿足OA OB =OB OC =OC OA，則點O是也ABC的(B )(A)三個內(nèi)角的角平分線的交點(B)三

12、條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交點(D)三條高的交點10.如圖1,已知點G是MBC的重心，過G作直線與ABAC兩邊分別交于MN兩點，且嘶=xAB ,AN = yAC，貝y 丄+丄=3。x y證點G是MBC的重心，知GA+GB + GC =Q得aG+(AB_AG)+(AC_AG) =0,有 AG = 1(ab+刑)。又 M N, G三點共線(A不在直線 MN3上），于是存在人4，使得A ：=幾+卩aN（且?guī)?卩=1），有 AG XAB + PyAC = l(AB + 浪)，3A +4 =1得1，于是得-=3I Xx =卩 y = X yI3例講三角形中與向量有關(guān)的問題教學(xué)目標(biāo)：234教學(xué)

13、重點：1、三角形重心、內(nèi)心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法 、向量的加法、數(shù)量積等性質(zhì)、利用向量處理三角形中與向量有關(guān)的問題 、數(shù)形結(jié)合靈活應(yīng)用向量性質(zhì)處理三角形中與有關(guān)向量的問題 教學(xué)難點：針對性地運用向量性質(zhì)來處理三角形中與向量有關(guān)的問題 教學(xué)過程：1、課前練習(xí)2F 221.1 已知 0是 ABC內(nèi)的一點，若 0A =0B =0C，貝U O是 ABC:A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心1.2 在 ABC中,有命題 AB AC =;AB +BC +CA = 0 ；若(AB + AC入C)=0 ,則ABC為等腰三角形；若AB*AC0，貝ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是

14、A B 、 C 、 D、2、知識回顧2.1三角形的重心、內(nèi)心、垂心、外心及簡單的三角形形狀判斷方法 向量的有關(guān)性質(zhì)2.3 上述兩者間的關(guān)聯(lián)3 、利用向量基本概念解與三角形有關(guān)的向量問題/、AB + AC例1、已知 ABC中，有ABAC BC =0和 ABAB 鑒 J,試判斷 ABC的形狀。2AC2.2練習(xí)1、已知 ABC中, AB=a，BC =b，B是ABC中的最大角，若a*bcO，試判斷 ABC 的形狀。4、運用向量等式實數(shù)互化解與三角形有關(guān)的向量問題2，則2 例2、已知O是 ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足 oA + BC = OB + AC0 是 ABCM:A、重心B 、垂心 C 、外心 D

15、 、內(nèi)心5、運用向量等式圖形化解與三角形有關(guān)的向量問題例3、已知卩是ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點 P滿足OP = OA+aAB AC +ABV.AC則動點P定過 ABC的: A重心練習(xí)2、已知B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心0為平面內(nèi)一點，A、B、C平面上不共線的三點，動點P滿足OP-OA + JabJBC（0,畑），則動點P的軌跡一定通過 ABCA重心例 4 、垂心0 是C 、外心ABC所在平、內(nèi)心的一點，動占p八、 AB+ A :+AB cosBVA重心 B練習(xí) 3、已知op =oa0P=0B+0C+幾2A重心例5、已知點AcAC cosCJCABC、垂心0是AC(0,P則動點P 一定

16、過 ABC、外心 D 、內(nèi)心 所在平面內(nèi)的一點，動幾亡（0,址），則動點P定過 ABC的:AB cosBB 、垂心G是的重心，AC cosC/C 、外心 D 、內(nèi)心過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點，* * * 1 1AM =x AB, AN =y AC，求證：=3x y6小結(jié) 處理與三角形有關(guān)的向量問題時，要允分注意數(shù)形結(jié)合的運用，關(guān)注向量等式中的實數(shù)互化, 合理地將向量等式和圖形進行轉(zhuǎn)化是處理這類問題的關(guān)鍵。7、作業(yè)1、已知 0是ABC內(nèi)的一點，若 0A+0B +0C =0，貝U 0是ABC的:D 、內(nèi)心A重心B 、垂心、外心2、若 ABC的外接圓的圓心為0,半徑為1,且 0A+0

17、B+0C =0，貝U 0A*0B 等于123、已知0是 ABC所在平面上的一點C、1、 2所對的過分別是a、b、ca PA +b 6 +c PC =0，貝UB 、垂心A重心4、已知卩是 ABC所在平面內(nèi)與B 、垂心0是 ABC的:C 、外心、內(nèi)心A不重合的一點，滿足AB + AC =3AP，則卩是 ABC的C 、外心 D 、內(nèi)心A重心5 、平面上的三個向量 0A、0B、0C滿足0A+0B+0C=0，0円=0B = 0C = 1，求證: ABC為正三角形。6在 ABC中, O為中線AM上的一個動點，若 AM= 2,求OA（OB十OC）三角形四心與向量的典型問題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大

18、小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學(xué)“平面向量”（必 修4第二章）的學(xué)習(xí)中，一方面通過數(shù)形結(jié)合來研究向量的概念和運算；另一方面，我們又以向 量為工具，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問題和物理的相關(guān)問題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問題時，首先將幾何問題中的幾何元素和幾 何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問題轉(zhuǎn) 化為基向量的運算問題，最后將運算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系。F面就以三角形的四心為出發(fā)點，應(yīng)用向量相關(guān)知識，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性質(zhì)， 又體會了向量帶來的巧妙獨特的數(shù)學(xué)美感。重心”的向

19、量風(fēng)采【命題1】G是 ABC所在平面上的一點,若GA+GB+GC =0,則G是 ABC的重心.如圖.點,動點 P滿足OP =OA+a（AB+AC）,）點（0,+乂），貝U P的軌跡一定通過 ABC的重心.T T tT T【解析】 由題意AP （AB+AC），當(dāng)A-（0,代）時，由于UAB + AC）表示BC邊上的中線所在直線的向量，所以動點P的軌跡一定通過 ABC的重心，如圖.垂心”的向量風(fēng)采【命題3】卩是ABC所在平面上一點，若 PA”PB=PB PC=PC -PA，貝U卩是 ABC的垂心.【解析】由 PAPB =PB PC，得 PB (PA-PC) =0，即 PB CA=0，所以 PB 丄

20、 CA .同理可證PC 丄 AB，PA丄BC .卩是 ABC的垂心.如圖.B【命題4】已知O是平面上一定點,A B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足r TT 、TB +一 ACABcos BACcos C0= OA +A,川（0, +辺），則動點P的軌跡一定通過 ABC的垂心.T f T【解析】由題意AP = AI rABABcosB烏BC + 偕 BC -BCCB| = 0,所以AB cosBACAC cosC，由于rlABAB cos BACAC cosCAB cosBAC cosCAP表示垂直于BC的向量，即P點在過點A且垂直于BC的直線上，所以動點P的軌跡一定通過 ABC的垂心，如圖.內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】 已知I為 ABC所在平面上的一點,且AB=c , AC = b , BC = a .若 T t TalA+blB cl C），則 I 是ABC 的內(nèi)心.圖【解析】IMA+