(完整word版)概率公式總結(jié)

1、(完整word版)概率公式總結(jié) 1一、隨機事件和概率1、隨機事件及其概率運算律名稱 表達式交換律A B B A +=+ BA AB =結(jié)合律 C B A C B A C B A +=+=+)()( ABC BC A C AB =)()(分配律AC AB C B A =)( )()(C A B A BC A +=+德摩根律B A B A =+ B A AB +=2、概率的定義及其計算公式名稱公式表達式 求逆公式 )(1)(A P A P -= 加法公式 )()()()(AB P B P A P B A P -+=+條件概率公式 )()()(A P AB P A B P =乘法公式 )()()(A

2、 B P A P AB P = )()()(B A P B P AB P =全概率公式=ni iiA B P A P B P 1)()()(貝葉斯公式 （逆概率公式） =1)()()()()(i ijj j j A B P A P A B P A P B A P伯努力概型公式 n k p p C k P k n kk n n ,1,0,)1()(=-=-兩件事件相互獨立相應(yīng)公式)()()(B P A P AB P =；)()(B P A B P =；)()(A B P A B P =；1)()(=+A B P A B P ；1)()(=+A B P A B P二、隨機變量及其分布1、分布函數(shù)性

3、質(zhì))()(b F b X P = )()()(a F b F b X a P -=2、散型隨機變量分布名稱 分布律01分布),1(p B 1,0,)1()(1=-=-k p p k X P k k二項分布),(p n B n k p p C k X P k n kk n ,1,0,)1()(=-=-泊松分布)(P ,2,1,0,!)(=-k k ek X P k 幾何分布)(p G,2,1,0,)1()(1=-=-k p p k X P k 2超幾何分布),(n M N H),min(,1,)(M n l l k C C C k X P nNk n MN k M +=-3、續(xù)型隨機變量分布名稱

4、密度函數(shù) 分布函數(shù)均勻分布),(b a U,0,1)(b x a a b x f指數(shù)分布)(E=-其他,00,)(x e x f x -,10,0)(x e x x F x 正態(tài)分布),(2N+-x ex f x 222)(21)( -=xt t ex F d21)(222)(標準正態(tài)分布)1,0(N+-x ex x 2221)(-=xt t ex F d21)(222)(三、多維隨機變量及其分布1、離散型二維隨機變量邊緣分布 =jjijjii i py Y x X P x X P p ),()(=iiijjij j py Y x X P y Y P p ),()(2、離散型二維隨機變量條件分

5、布2,1,)(),()(=i P p y Y P y Y x X P y Y x X P p jij j j i j i j i2,1,)(),()(=j P p x X P y Y x X P x X y Y P p i ij i j i i j i j3、連續(xù)型二維隨機變量( X ,Y )的分布函數(shù)-=x ydvdu v u f y x F ),(),(4、連續(xù)型二維隨機變量邊緣分布函數(shù)與邊緣密度函數(shù) 分布函數(shù)：-+-=xX dvdu v u f x F ),()( 密度函數(shù)：+-=dv v x f x f X ),()( -+-=yY dudv v u f y F ),()( +-=du

6、 y u f y f Y ),()(5、二維隨機變量的條件分布 +y x f y x f x y f X X Y ,)(),()( +(),()( 四、隨機變量的數(shù)字特征1、數(shù)學期望離散型隨機變量：+=1)(k k k p x X E 連續(xù)型隨機變量：+-=dx x xf X E )()(2、數(shù)學期望的性質(zhì)(1)為常數(shù)C ,)(C C E = )()(X E X E E = )()(X CE CX E =(2)()()(Y E X E Y X E = b X aE b aX E =)()( )()()(1111n n n n X E C X E C X C X C E +=+ 3(3)若XY

7、相互獨立則：)()()(Y E X E XY E = (4)()()(222Y E X E XY E 3、方差：)()()(22X E X E X D -= 4、方差的性質(zhì)(1)0)(=C D 0)(=X D D )()(2X D a b aX D = 2)()(C X E X D -(2),(2)()()(Y X Cov Y D X D Y X D += 若XY 相互獨立則：)()()(Y D X D Y X D += 5、協(xié)方差：)()(),(),(Y E X E Y X E Y X Cov -= 若XY 相互獨立則：0),(=Y X Cov 6、相關(guān)系數(shù)：)()(),(),(Y D X

8、D Y X Cov Y X XY = 若XY 相互獨立則：0=XY 即XY 不相關(guān)7、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)(),(X D X X Cov = ),(),(X Y Cov Y X Cov =(2),(),(),(2121Y X Cov Y X Cov Y X X Cov +=+ ),(),(Y X abCov d bY c aX Cov =+ 8、常見數(shù)學分布的期望和方差分布 數(shù)學期望方差0-1分布),1(p B p)1(p p - 二行分布),(p n B np)1(p np -泊松分布)(P 幾何分布)(p G p1 21pp -超幾何分布),(n M N H N M n1)1(-N

9、 mN N M N M n均勻分布),(b a U 2b a + 12)(2a b - 正態(tài)分布),(2N 2指數(shù)分布)(E1 21五、大數(shù)定律和中心極限定理1、切比雪夫不等式若,)(,)(2=X D X E 對于任意0有2)()(X D X E X P -或2)(1)(X D X E X P -2、大數(shù)定律：若n X X 1相互獨立且n 時，=ni iDni i X E nX n11)(11 4(1)若n X X 1相互獨立，2)(,)(i i i i X D X E =且M i 2則：=ni iPni i n X E nX n11)(),(11 (2)若n X X 1相互獨立同分布，且i

10、i X E =)(則當n 時：=Pn i i X n 11 3、中心極限定理(1)獨立同分布的中心極限定理：均值為，方差為02的獨立同分布時，當n 充分大時有：)1,0(1N n n XY nk kn -= (2)拉普拉斯定理：隨機變量),()2,1(p n B n n =則對任意x 有： -+=-xt n x x dtex p np np P )(21)1(lim 22(3)近似計算：)()()()(11n n a n n b n n b n n Xn n a P b Xa P nk knk k-=六、數(shù)理統(tǒng)計1、總體和樣本總體X 的分布函數(shù))(x F 樣本),(21n X X X 的聯(lián)合分

11、布為)(),(121k nk n x F x x x F =2、統(tǒng)計量(1)樣本平均值：=ni i X nX 11(2)樣本方差：=-=-=ni ini i X n Xn X X n S 122122)(11)(11 (3)樣本標準差：=-=ni i X X n S 12)(11 (4)樣本k 階原點距：2,1,11=kXn A ni ki k(5)樣本k 階中心距：=-=ni k ik k k X XnM B 13,2,)(1(6)次序統(tǒng)計量：設(shè)樣本),(21n X X X 的觀察值),(21n x x x ，將n x x x 21,按照由小到大的次序重新排列，得到)()2()1(n x x

12、 x ，記取值為)(i x 的樣本分量為)(i X ，則稱)()2()1(n X X X 為樣本),(21n X X X 的次序統(tǒng)計量。),min(21)1(n X X X X =為最小次序統(tǒng)計量；),max(21)(n n X X X X =為最大次序統(tǒng)計量。 3、三大抽樣分布(1)2分布：設(shè)隨機變量n X X X 21,相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布)1,0(N ，則隨機變量222212n X X X +=所服從的分布稱為自由度為n 的2分布，記為)(22n 性質(zhì)：n n D n n E 2)(,)(22=設(shè))(),(22n Y m X 且相互獨立，則)(2n m Y X + 5(2)t

13、分布：設(shè)隨機變量)(),1,0(2n Y N X ，且X 與Y 獨立，則隨機變量：nY X T =所服從的分布稱為自由度的n 的t 分布，記為)(n t T性質(zhì)：)2(,2)(,0)(-=n n nn t D n t E 222)(21)1,0()(lim -=x n e N n t(3)F 分布：設(shè)隨機變量)(),(2212n V n U ，且U 與V 獨立，則隨機變量2121),(n V n U n n F =所服從的分布稱為自由度),(21n n 的F 分布，記為),(21n n F F 性質(zhì)：設(shè)),(n m F X ，則),(1m n F X七、參數(shù)估計1、參數(shù)估計(1) 定義：用),(21n X X X 估計總體參數(shù)，稱),(21n X X X 為的估計量，相應(yīng)的),(21n X X X 為總體的估計值。(2) 當總體是正態(tài)分布時，未知參數(shù)的矩估計值=未知參數(shù)的最大似然估計值 2、點估計中的矩估計法：（總體矩=樣本矩）離散型樣本均值：=ni i X n X E X 11)( 連續(xù)型樣本均值：dx x xf X E X +-=),()(離散型參數(shù)：=ni iXnX E 1221)(3、點估計中的最大似然估計最大似然估計法：n X X X ,21取自X 的樣本，設(shè))()(),(P