和差化積、積化和差、萬能公式(2)

1、正、余弦與差化積公式指高中數(shù)學(xué)三角函數(shù) 部分得一組 恒等式s i n a + sin B =2 s in( a +p ) /2 cos ( a - B ) /2 si n a sin B = 2cos ( a + B ) /2 s in (a B ) / 2 co sa + c os B =2 co s ( a + B ) / 2 c os (a B ) / 2 cosa c o s B =- 2 sin (a + B) / 2 si n ( a - B )/2 【注意右式前得負(fù)號】以上四組公式可以由積化與差 公式推導(dǎo)得到證明過程sin a +s i n B =2si n (a + B) /2

2、 co s( a B) /2 得證明過 程因為s i n (a + B )= s in a cos B +cos a sin B ,s i n (a - B )= s in a co s B - cos a s in B ,將以上兩式得左右兩邊分別相加，得sin ( a + B )+si n ( a B )=2sina cos B,設(shè) a + B = B , a B = 那么a = (9 + )/2, B = (0 - ) / 2把a,B得值代入，即得si n 9 + s i n =2si n ( 0 + ) / 2c o s( 9 )/2 編輯本段正切得與差化積tan a ta nB= si

3、n( aB)/ ( co sa cos B)(附證明)cot ac ot B =s in (Ba ) / (s i na s i nB )t ana +cot B =co s(a B ) /( cos asinB)t a na c o t B = cos( a +B )/(co sa si nB )證明：左邊=tan a t a n B =si n a / co s a sin B /cos B=(s i n a cos B co sa sin B ) /(cos ac o sB )=sin( aB) / (c osa c o s B )=右邊等式成立編輯本段注意事項在應(yīng)用與差化積時，必須就是

4、一次同名三角函數(shù)方可實行。若就是異名， 必須用誘導(dǎo)公式 化為同名；若就是高次函數(shù)，必須用 降幕公式 降為一次 口訣正加正，正在前，余加余，余并肩正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦反之亦然生動得口訣:(與差化積)帥+帥=帥哥帥帥二哥帥咕+咕=咕咕哥一哥=負(fù)嫂嫂反之亦然編輯本段記憶方法與差化積公式得形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個方面就是難點，下面指 出了各自得簡單記憶方法。結(jié)果乘以2這一點最簡單得記憶方法就是通過三角函數(shù)得值域判斷。si n與c o s得值域都就是-1 , 1 ,其積得值域也應(yīng)該就是 -1,1，而與差得值域卻 就是-2 ,2 ，因此乘以2就是必須得。也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角與

5、差公式后，未抵消得兩項相同而造成有系數(shù)2,如：c o s (a - B) - COS( a + B )=(cos a cos B +sin a sin B) (c o s a cos B -sin asi nB )=2s i n a sin B故最后需要乘以2.只有同名三角函數(shù)能與差化積無論就是正弦函數(shù)還就是余弦函數(shù)，都只有同名三角函數(shù)得與差能夠化 為乘積。這一點主要就是根據(jù)證明記憶，因為如果不就是同名三角函數(shù)，兩角與差公式展開后乘積項得形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消與相同得項，也就無法化簡下去了。乘積項中得角要除以2在與差化積公式得證明中，必須先把a與B表示成兩角與差得形式，才能夠展開。熟知要

6、使兩個角得與、差分別等于a與B,這兩個角應(yīng)該就是(a + B) /2與(a B) /2,也就就是乘積項中角得形式。注意與差化積與積化與差得公式中都有一個“除以2” ,但位置不同；而只有與差化積公式中有“乘以2。使用哪兩種三角函數(shù)得積這一點較好得記憶方法就是拆分成兩點，一就是就是否同名乘積，二就 是“半差角(a B ) / 2得三角函數(shù)名。就是否同名乘積，仍然要根據(jù)證明記憶。注意兩角與差公式中，余弦得 展開中含有兩對同名三角函數(shù)得乘積，正弦得展開則就是兩對異名三角函數(shù)得乘積。所以，余弦得與差化作同名三角函數(shù)得乘積；正弦得與差化作異名 三角函數(shù)得乘積。(a - B)/ 2得三角函數(shù)名規(guī)律為：與化為

7、積時,以Co s( a p)/ 2得形式出現(xiàn)；反之,以sin (a - p )/2得形式出現(xiàn)。由函數(shù)得奇偶性記憶這一點就是最便捷得。如果要使與化為積，那么a與P調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，也就就是若把(a p) /2替換為(P - a)/2,結(jié)果應(yīng)當(dāng)就是一樣得，從而(a p )/2得形式就是c os( a p)/2 ;另一種情況可以類似說明。余弦-余弦差公式中得順序相反 /負(fù)號這就是一個特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然，也有其她方法可以幫助這種情況得判定，如(0，n 內(nèi)余弦函數(shù)得單調(diào)性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)就是單調(diào)減得，所以當(dāng)a大于P時，COSa小于CO sp。但就是這時對應(yīng)得(a + p )/

8、2 與(a p )/2 在(0，冗)得范圍 內(nèi),其正弦得乘積應(yīng)大于 0，所以要么反過來把 C o S p放到C o S a前面， 要么就在式子得最前面加上負(fù)號。積化與差公式sin a S i n p =co s(a - p) -C os ( a + p 門 /2 (注意：此時 差得余 弦在與得余弦 前面)或?qū)懽鳎簊 i na sin p= - COS (a + p ) COS (a p) / 2(注意：此時 公式前有負(fù)號)c OS a CO sp =CO s ( a - p) +COS( a + p )/2sin ac o sp = s i n( a + p) + si n( a - p) /

9、 2cos a sin p = sin (a + p) - s in (a p ) /2編輯本段證明積化與差恒等式可以通過展開角得與差恒等式得右手端來證明。即只需要把等式右邊用兩角與差公式拆開就能證明：s in a sin p= - 1 /2 -2si na si np=-1/2( cos ac os p si nas in p) - (cos a cosp +s i nas in p) =1/2 c OS (a + p) - c OS( a p )其她得3個式子也就是相同得證明方法。(參見與差化積)編輯本段作用積化與差公式可以將兩個三角函數(shù)值得積化為另兩個三角函數(shù)值得與 乘以常數(shù)得形式，所以

10、使用積化與差公式可以達(dá)到降次得效果。在歷史上，對數(shù)出現(xiàn)之前，積化與差公式被用來將乘除運算化為加減運 算，運算需要利用三角函數(shù)表。運算過程：將兩個數(shù)通過乘、除10得方幕化為0到1之間得數(shù)，通過查表求出對應(yīng)得反三角函數(shù)值,即將原式化為10Ak s ina s I nB得形式,套用積化與差后再次查表求三角函數(shù)得值，并最后利用加減算出結(jié)果對數(shù)出現(xiàn)后，積化與差公式得這個作用由更加便捷得對數(shù)取代。編輯本段記憶方法積化與差公式得形式比較復(fù)雜，記憶中以下幾個方面就是難點，下面指出了各自得簡單記憶方法。結(jié)果除以2這一點最簡單得記憶方法就是通過三角函數(shù)得值域判斷。sin與c os得值域都就是-1，1 ,其與差得值

11、域應(yīng)該就是 2，2，而積得值域確就是-1, 1 ，因此除以2就是必須得。也可以通過其證明來記憶，因為展開兩角與差公式后 ，未抵消得兩項相同而造成有系數(shù)2,如：CO S ( a p ) COS( a + B)=(c o s a cos B+ sin a si nB ) (cos ac os B - s in a sin B )= 2si n a sin B故最后需要除以2。使用同名三角函數(shù)得與差無論乘積項中得三角函數(shù)就是否同名，化為與差形式時，都應(yīng)就是同名 三角函數(shù)得與差。這一點主要就是根據(jù)證明記憶，因為如果不就是同名三角 函數(shù),兩角與差公式展開后乘積項得形式都不同，就不會出現(xiàn)相抵消與相同得項，

12、也就無法化簡下去了。使用哪種三角函數(shù)得與差仍然要根據(jù)證明記憶注意兩角與差公式中，余弦得展開中含有兩對同 名三角函數(shù)得乘積，正弦得展開則就是兩對異名三角函數(shù)得乘積。所以反過 來，同名三角函數(shù)得乘積，化作余弦得與差；異名三角函數(shù)得乘積，化作正弦得與差。就是與還就是差？這就是積化與差公式得使用中最容易出錯得一項。規(guī)律為：“小角B以cosB得形式出現(xiàn)時，乘積化為 與；反之，則乘積化為 差。由函數(shù)得奇偶性記憶這一點就是最便捷得。如果B得形式就是co sB,那么若把B替換為-B ,結(jié)果應(yīng)當(dāng)就是一樣得，也就就是含a + B與a B得兩項調(diào)換位置對結(jié)果沒有影響，從而結(jié)果得形式應(yīng)當(dāng)就是與；另一種情況可以類似說明

13、。正弦一正弦積公式中得順序相反/負(fù)號這就是一個特殊情況，完全可以死記下來。當(dāng)然,也有其她方法可以幫助這種情況得判定，如0,n 內(nèi)余弦函數(shù)得單調(diào)性。因為這個區(qū)間內(nèi)余弦函數(shù)就是單調(diào)減得，所以COS( a +B)不大于c OS (a B )。但就是這時對應(yīng)得a與B在0, n 得范圍內(nèi)，其正弦得乘積應(yīng)大于等于0,所以要么反過來把C o S (a B )放到c OS(a +B )前面，要么就在式子得最前面加上負(fù)號。萬能公式【詞語】：萬能公式【釋義】：應(yīng)用公式 s i n a= : 2ta n( /2 ) /1+ta n( a /2)A2cos a= 1 tan (a a 2 / 1 + tan( a/ 2)人 2tan a =2tan( a /2) /1- tan( a)人 2將sin a cos a、t an a代換成tan( / 2)得式子，這種代換稱為萬能置換?！就茖?dǎo)】：(字符版)Sin a =2sin( a/ 2 )cos( a /2)= 2si n ( a /2)c OS ( a /) / sin ( a/2)a 2 + co s( a /2 人 2=2 t an(a 2 ) / 1+ (ta n a) a 2 cos a =co s ( a/ 2)人2 sin(a /2